Rèn luyện kĩ năng giải trắc nghiệm môn toán cho học sinh lớp 12b2 trường THPT triệu sơn 3 thông qua một số bài toán về lãi suất ngân hàng

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Theo như phương án tổ chức kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017 mà Bộ Giáo
Dục đã công bố thì ngoài môn Ngữ Văn, tất cả các môn còn lại đều thi theo
hình thức trắc nghiệm. Như vậy, môn Toán, môn Ngoại ngữ và bài thi KHXH,
KHTN sẽ thi bài thi trắc nghiệm. Điều này được xem là thay đổi lớn nhất và
cũng gây lo lắng nhiều nhất cho học sinh, đặc biệt đối với môn Toán khi mà
trước nay vẫn quen với hình thức thi tự luận.
Hơn thế nữa, một chủ đề mới chính thức xuất hiện trong đề thi minh họa lần
1 và lần 2 năm học 2016- 2017 của Bộ Giáo Dục đó là bài toán thực tế. Một
trong số các bài toán thực tế đó phải kể đến bài toán về lãi suất ngân hàng, một
vấn đề mà chúng ta thường hay gặp trong cuộc sống và nhất định phải biết để
còn vận dụng trong cuộc sống hiện tại cũng như sau này.
Trước những sự thay đổi đó thì điều cần tất yếu là các em phải tập làm quen
với nó. Không một ai tài giỏi để có thể thích ứng ngay với cái mới. Vì vậy, điều
cần làm bây giờ là các em phải được luyện giải thật nhiều đề trắc nghiệm.
Để giúp các em học sinh làm quen với tính mới mẻ và sự cần thiết của bài
toán về lãi suất ngân hàng trong kỳ thi THPT Quốc Gia cũng như trong cuộc
sống, tôi đã chọn đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải trắc nghiệm môn Toán cho
học sinh lớp 12B2 trường THPT Triệu Sơn 3 thông qua một số bài toán về lãi
suất ngân hàng ” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình trong năm học
2016-2017. Cho đến nay chưa có đề tài nào nghiên cứu cụ thể về vấn đề trên,
nên đề tài tôi nghiên cứu thiết nghĩ là thực sự cần để các em vững tin vượt vũ
môn một cách tốt nhất.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực chuyên môn
phục vụ cho công tác dạy học.
- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải trắc nghiệm môn Toán thông qua một
số bài toán về lãi suất ngân hàng.
- Cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản, cần thiết để giải quyết
những vấn đề trong thực tế cuộc sống sau này.

1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là một số bài toán về lãi suất ngân
hàng, trên cơ sở các bài tập tổng quát đưa ra hệ thống bài tập áp dụng dạng trắc
nghiệm để rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm Toán cho học sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu của đề tài, tôi sử dụng một số phương pháp
nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết
Nghiên cứu sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản, nâng cao và một số tài liệu
liên quan đến nội dung đề tài.
- Phương pháp thực nghiệm

1


Dựa trên kế hoạch ôn thi THPT Quốc Gia soạn giáo án chi tiết các tiết dạy
có áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, thực hiện các tiết dạy tại lớp 12B2 nhằm
kiểm chứng kết quả nghiên cứu của đề tài và đưa ra những đề xuất cần thiết.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
Tìm hiểu thực tiễn dạy học của môn học thông qua việc giảng dạy trực tiếp
trên lớp.
Tham khảo ý kiến đồng nghiệp, thu thập thông tin phản hồi từ học sinh khi
tiến hành dạy học phần bài toán lãi suất ngân hàng.
-Phương pháp thống kê, xử lí số liệu
Thông qua kết quả bài kiểm tra của học sinh, xử lí thống kê toán học trên cả
hai nhóm đối chứng và thực nghiệm để rút ra những kết luận và đề xuất.

2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Để giải quyết vấn đề tôi dựa vào cơ sở lý luận sau :
2.1.1.Lãi hay lãi vay hay tiền lãi là phí trả cho một khoản vay tài sản cho
chủ sở hữu như một hình thức bồi thường cho việc sử dụng của tài sản. Phổ biến
nhất là giá phải trả cho việc sử dụng tiền vay, hoặc tiền thu được của khoản tiền
gửi. Khi tiền được vay, lãi vay thường được trả cho người cho vay như một phần
của số tiền gốc còn nợ người cho vay. Tỷ lệ phần trăm của vốn gốc được trả phí
trong một thời gian nhất định (thường là một tháng hoặc quý hoặc năm) được
gọi là lãi suất.
2.1.2. Lãi đơn
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi
do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kỳ hạn trước không được tính vào vốn
để tính lãi cho kỳ hạn kế tiếp, cho dù đến kỳ hạn người gửi không đến rút tiền
ra.
2.1.3. Lãi kép
Lãi kép là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số
tiền lãi do số tiền gốc sinh ra. Nó chính là lãi tính trên lãi hay còn gọi là
ghép lãi. Khái niệm lãi kép rất quan trọng vì nó được ứng dụng để giải quyết
nhiều bài toán thực tế về lãi suất ngân hàng.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua quá trình thực tiễn dạy học tôi nhận thấy rằng khi dạy học “Bài toán về
lãi suất ngân hàng” gặp một số khó khăn và hạn chế như sau:
+ Do đa phần số học sinh hiện nay chủ yếu chỉ tiếp thu các tri thức từ thầy
cô, sách vở, chưa được tiếp xúc nhiều với các vấn đề trong cuộc sống dẫn đến
tâm lý “ e ngại” thậm chí “sợ” khi gặp bài toán thực tế. Nhiều học sinh cứ gặp
dạng toán này là bỏ qua, khoanh tù mù hoặc không chịu tư duy để giải toán cho
dù chưa biết bài tập đó dễ hay khó.
+ Phần bài toán về lãi suất ngân hàng này được dạy lồng ghép trong tiết lý
thuyết về hàm số mũ, phương trình mũ nên thời lượng dành cho bài toán rất ít,

ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy và học phần này.
+ Việc áp dụng kiến thức lãi đơn và lãi kép vào giải các bài toán về lãi suất
ngân hàng của học sinh đa số còn chậm, rất ít học sinh thuần thục kỹ năng khi
vận dụng kiến thức này vào giải các bài toán về lãi suất ngân hàng.
+ Một số thầy cô giáo chưa thực sự quan tâm và đầu tư khi dạy học phần bài
toán về lãi suất ngân hàng vì đây là chủ đề khá mới mẻ.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Khi dạy học chủ đề “Bài toán về lãi suất ngân hàng” cho học sinh tôi đã
dành một phần thời lượng ôn thi THPT Quốc Gia để tập trung rèn luyện kĩ năng
giải trắc nghiệm toán cho học sinh. Các bài tập đưa ra để rèn luyện kĩ năng giải
trắc nghiệm toán cho học sinh được tôi soạn theo trình tự từ các bài toán tổng
quát có lời giải chi tiết đến các bài tập trắc nghiệm tương ứng với từng bài toán

3


tổng quát để học sinh nhận dạng, vận dụng và giải nhanh các bài tập trắc nghiệm
đó.
Cụ thể tôi đã áp dụng vào thực tiễn dạy học thông qua những giải pháp như
sau:
2.3.1.Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức về lãi đơn và lãi
kép để giải bài toán gửi tiền một lần.
Bài toán tổng quát 1a: Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất
hàng tháng là r% trong n tháng. Biết lãi suất hàng tháng không được nhập vào
vốn. Tính cả vốn và lãi T sau n tháng.
Giải:
Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n tháng:
Tn = a + nar
(1)
⇒Tn = a ( 1 + nr )                                         

Trong đó: T là số tiền cả gốc lẫn lãi sau n kỳ hạn; a là tiền gốc ban đầu; r
là lãi suất định kỳ (%); n là số kỳ hạn tính lãi (tháng hay quý hay năm).
Bài tập áp dụng 1: Bác Ân gửi vào ngân hàng 1 triệu đồng với lãi suất
5%/năm theo hình thức lãi đơn. Hỏi sau 5 năm bác Ân nhận được cả vốn lẫn lãi
là bao nhiêu?
A.1,24 triệu đồng
B. 1,23 triệu đồng
C. 1,25 triệu đồng
D. 1,26 triệu đồng
Giải:
Áp dụng công thức (1), ta có sau 5 năm bác Ân nhận được số tiền cả vốn lẫn
lãi là: T5 = 1( 1 + 5.5% ) = 1,25 triệu đồng.
Chọn C.
Bài tập áp dụng 2: Thầy Cường gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi suất
7%/năm theo hình thức lãi đơn. Hỏi sau 2 năm thầy Cường nhận được cả vốn
lẫn lãi là bao nhiêu?
A.11,40 triệu đồng
B. 11,30 triệu đồng
C. 11,41 triệu đồng
D. 11,35 triệu đồng
Giải:
Áp dụng công thức (1), ta có sau 2 năm thầy Cường nhận được số tiền cả
vốn lẫn lãi là: T2 = 10 ( 1 + 2.7% ) = 11,40 triệu đồng.
Chọn A.
Bài toán tổng quát 1b: Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất
hàng tháng là r% trong n tháng. Biết lãi suất hàng tháng được nhập vào vốn.
Tính cả vốn và lãi T sau n tháng.
Giải:
Gọi T là số tiền vốn lẫn lãi sau n tháng, ta có:
• Tháng 1(n=1): T1 = a + ar = a ( 1 + r )  

2
• Tháng 2(n=1): T2 = a ( 1 + r ) + a ( 1 +r ) r = a ( 1 +r )
………………..

4


• Tháng n(n=n): Tn = a ( 1 + r )

n −1

+ a ( 1+ r )

n −1

r = a ( 1+ r )

n

Vậy Tn = a ( 1 + r ) ;   (công thức lãi kép)
(2)
Trong đó: T là số tiền cả gốc lẫn lãi sau n kỳ hạn; a là tiền gốc ban đầu; r
là lãi suất định kỳ (%); n là số kỳ hạn tính lãi (tháng hay quý hay năm).
Từ (2) ta tính được các đại lượng khác :
T
Số chu kỳ tính lãi: n = log1+r
(3)
a
T
Lãi suất định kỳ: r = n n -1

(4)
a
n

Tiền gốc ban đầu: a =

Tn
n
( 1+ r )

(5)

Bài tập áp dụng 1: (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 của trường
THPT Nguyễn Tất Thành- Hà Nội)
Ông A gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm
với lãi suất 7,65%. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau 5 năm, ông A thu
được cả vốn lẫn lãi bao nhiêu triệu đồng?
5
5
A. 15.( 0,0765 ) triệu đồng
B. 15. 1 + 2 ( 0,0765 )  triệu đồng

C.15.( 1 + 0,765 ) triệu đồng
D. 15.( 1 + 0,0765) triệu đồng
Giải:
5
5
Áp dụng công thức (2), ta có: T5 = 15.( 1 + 7,65% ) = 15.( 1 + 0,0765) .
Chọn D
Bài tập áp dụng 2: (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 của trường

THPT Liên Hà - Hà Nội)
Một người gửi 6 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm
với lãi suất 7,65%. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao nhiêu năm, người
đó sẽ có ít nhất 12 triệu đồng?
A. 5 năm.
B. 10 năm.
C. 12 năm.
D. 8 năm.
Giải:
12
≈ 10 .
Áp dụng công thức (3), ta có: n = log1+7,56%
6
Vậy sau 10 năm, người đó sẽ có ít nhất 12 triệu đồng.
Chọn B
Bài tập áp dụng 3: Bà Thoa gửi tiết kiệm số tiền 58000000 đồng trong 8
tháng thì thu về được 61329000đồng. Lãi suất hàng tháng mà bà Thoa được
hưởng là bao nhiêu? Biết lãi hàng tháng được nhập vào vốn.
A. 0,8%
B. 0,6%.
C. 0,5%.
D. 0,7%.
Giải:
T
Áp dụng công thức (4), ta có: r = 8 8 -1 = 8 613290000 -1 ≈ 0,7% .
a
58000000
5

5

5


Chọn D
Bài tập áp dụng 4: (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 của Sở
GD&ĐT Hà Nội)
Ông Việt dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5%/năm, lãi
hàng năm được nhập vào vốn. Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng, x ∈ Ν ) ông
Việt gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn máy
30 triệu.
A. 150.
B. 154.
C. 145.
D. 140
Giải:
Áp dụng công thức (2), ta có số tiền cả gốc và lãi ông Việt có được sau 3
3
năm là: T3 = x ( 1 + 0,065 )
3
Theo bài ra: x ( 1 + 0,065) - x = 30 ⇒ x ≈ 144, 3
Do x nguyên dương nên chọn x = 145.
Chọn C
2.3.2.Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức lãi kép để giải
bài toán gửi tiền theo kỳ hạn.
Bài toán tổng quát 2: Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng theo kỳ hạn n
tháng, với lãi suất r% một tháng. Tính cả vốn và lãi T sau m năm.
Giải:
12m
• m năm tương ứng với q =

kỳ hạn
n
• Lãi suất theo định kỳ n tháng là  k = nr %
k
Vậy Tn = a ( 1 + q )      
(6)
Trong đó: T là số tiền cả gốc lẫn lãi sau n kỳ hạn; a là tiền gốc ban đầu; k là
lãi suất theo định kỳ(%); q là số kỳ hạn trong các lần tính.
Bài tập áp dụng 1: (Trích đề thi thử THPTQuốc Gia năm 2017 của trường
THPT chuyên Trần Phú lần 1)
Một bác nông dân vừa bán một con trâu được số tiền là 20000000 (đồng).
Do chưa cần dùng đến số tiền nên bác nông dân mang toàn bộ số tiền đó đi gửi
tiết kiệm loại kỳ hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 8.5% một năm thì sau 5
năm 8 tháng bác nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi. Biết bác
nông dân không rút cả vốn lẫn lãi tất cả các định kỳ trước và nếu rút trước thời
hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kỳ hạn 0,01% một ngày ( một
tháng tính 30 ngày )
A. 31803311(đồng)
B. 32833110(đồng)
C. 33883311(đồng)
D. 30803311(đồng)
Giải:
Một kì hạn 6 tháng có lãi suất là

8,5%
.6 = 4,25% .
12

6

Sau 5 năm 6 tháng (có nghĩa là 66 tháng tức là 11 kỳ hạn), áp dụng công
thức (6) ta có số tiền cả vốn lẫn lãi bác nông dân nhận được là:
11
T1 = 20000000. ( 1 + 4, 25% ) (đồng) .
Vì 5 năm 8 tháng thì có 11 kỳ hạn và dư 2 tháng hay dư 60 ngày nên số tiền
T1 được tính lãi suất không kỳ hạn trong 60 ngày là: T2=T1.0,01%.60 (đồng).
Suy ra sau 5 năm 8 tháng số tiền bác nông dân nhận được là:
T= T2+T1=31803311 (đồng).
Chọn A
Bài tập áp dụng 2: Cô Mai gửi 350 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo
phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,3% một
quý trong thời gian 24 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất
0,69% một tháng trong thời gian 14 tháng. Tổng lợi tức đạt được ở hai ngân
hàng là 47,1841059 triệu đồng (chưa làm tròn). Hỏi số tiền cô Mai lần lượt gửi ở
ngân hàng X và ngân hàng Y là bao nhiêu?
A.120 triệu và 230 triệu.
B. 230 triệu và 120 triệu.
C.100 triệu và 250 triệu.
D. 250 triệu và 100 triệu.
Giải:
Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) cô Mai nhận được từ cả hai
ngân hàng là: 350+ 47,1841059 = 397,1841059 triệu đồng.
Gọi x (triệu đồng) là số tiền cô Mai gửi ở ngân hàng X, khi đó (350-x) (triệu
đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng Y.
Áp dụng công thức (6), ta có:

x ( 1 + 2,3% ) + ( 350 - x ) ( 1 + 0,69% ) = 397,1841059
8

14

Giải phương trình trên bằng máy tính ta được x=120.
Vậy cô Mai gửi 120 triệu ở ngân hàng X và 230 triệu ở ngân hàng Y.
Chọn A.
Bài tập áp dụng 3: Cô Thanh Huyền gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân
hàng theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng.
a. Hỏi sau 10 năm, cô Thanh Huyền nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn lẫn
lãi) ở ngân hàng. Biết rằng cô không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó.
A. 214936885,3 B. 214936895,3
C. 214936805,3
D. 214936815,3
b. Nếu với số tiền trên cô Thanh Huyền gửi tiết kiệm theo kỳ hạn 3 tháng với
lãi suất 0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn lẫn
lãi) ở ngân hàng. Biết rằng cô không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó.
A. 211476582,9 B. 211476682,9
C. 211476782,9
D. 211476882,9
Giải:
a. Lãi suất kỳ hạn 6 tháng là : 6.0,65%=0,039.
10 năm tương ứng với 20 kỳ hạn. Áp dụng công thức (5), ta có số tiền người
đó nhận được sau 10 năm là:
T=100000000(1+0,039)20=214936885,3 đồng.
Chọn A
b. Lãi suất kỳ hạn 3 tháng là : 3.0,63%=0,00189.

7


10 năm tương ứng với 40 kỳ hạn. Áp dụng công thức (5), ta có số tiền người

đó nhận được sau 10 năm là:
T=100000000(1+0,0189)40=211476682,9 đồng.
Nhận xét:
1. Ngân hàng bao giờ cũng ưu tiên lãi suất cho kỳ hạn dài ngày hơn. Cùng
một số tiền gửi ngân hàng trong cùng một thời gian nhưng kỳ hạn dài ngày sẽ
nhận được nhiều tiền hơn.
2. Hai bài toán tổng quát trên là hai bài toán cơ bản nhất. Nó là cơ sở giúp
chúng ta hình thành các bài toán tổng quát phức tạp hơn đặc biệt là bài toán về
gửi tiền định kỳ, vay trả góp .
2.3.3.Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức lãi kép để giải
bài toán gửi tiền hàng tháng(hoặc quý hoặc năm).
Bài toán tổng quát 3: Một người gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi
suất hàng tháng là r% .Hỏi sau n tháng người đó có bao nhiêu tiền?
Giải:
Trường hợp1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng
• Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc bắt đầu gửi tiền : T1 = a
• Cuối tháng thứ hai, có số tiền :
T2 = a ( 1 + r ) + a = a ( 1 + r ) + 1 = a ( 1 + r ) 2 -1
r

2
3
a
a
a
• Cuối tháng thứ ba: T3 = ( 1 + r ) -1 ( 1 + r ) + r = ( 1 + r ) -1
r
r
r
………………

n
a
• Cuối tháng thứ n có số tiền: Tn = ( 1 + r ) -1
r
Trường hợp2: Tiền được gửi vào đầu mỗi tháng
• Cuối tháng thứ nhất, có số tiền: T1 = a + a r = a ( 1 + r )
2
a
• Đầu tháng thứ hai, có số tiền:  a ( 1 + r ) + a = a ( 1 + r ) +1 = ( 1 + r ) -1
r
• Cuối tháng thứ hai, có số tiền:
2
2
2
a
a
a
 T2 = ( 1 + r ) -1 +  ( 1 + r ) -1 r = ( 1 + r ) -1 ( 1 + r )
 r


r
r
………………
n
a
• Cuối tháng thứ n có số tiền: Tn =  ( 1 + r ) -1 ( 1 + r )
(7)
r
Tn .r

⇒a =
n
(8)
( 1 + r ) ( 1 + r ) -1





Tn .r
+1 + r ÷
a
 -1
(9)
⇒n = 
ln ( 1 + r )
Bài tập áp dụng 3.1: (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 của trường
THPT Yên Hòa - Hà Nội)
ln 

8


Bác Bình cần sửa lại căn nhà với chi phí 1 tỷ đồng. Đặt kế hoạch sau 5 năm
phải có đủ số tiền trên thì mỗi năm bác Bình cần gửi vào ngân hàng một khoản
tiền gần như nhau gần nhất bằng giá trị nào sau đây, biết lãi suất của ngân hàng
là 7%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
A. 162 triệu đồng.
B. 162,5 triệu đồng.
C. 162,2 triệu đồng.

D. 162,3 triệu đồng.
Giải:
Giả sử bác Bình gửi số tiền vào đầu mỗi năm.
Áp dụng công thức (8), ta có:
T5 .r
1000000000.7%
a =
=
≈ 162500000
5
5




( 1 + r ) ( 1 + r ) -1 ( 1 + 7% ) ( 1 + 7% ) -1








Chọn B
Bài tập áp dụng 3.2: Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một
khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết sau 15
tháng người đó có số tiền 10 triệu. Hỏi số tiền T gần nhất với số nào trong các số
sau?
A. 535000

B. 635000
C. 613000
D. 643000
Giải:
Giả sử người đó gửi tiền vào đầu mỗi tháng.
Áp dụng công thức (7), ta có :
15
T 
10000000 =
( 1 + 0,6% ) -1 ( 1 + 0,6% )
0,6%
Giải phương trình tìm được T = 635000.
Chọn B.
Bài tập áp dụng 3.3: Đầu mỗi tháng cô Lệ gửi ngân hàng 3 triệu đồng, lãi
suất 0,6%/tháng theo hình thức lãi kép. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi
ngân hàng đã tính lãi) thì cô Lệ có được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu đồng
trở lên.
A. 30 tháng
B. 31 tháng
C. 40 tháng
D. 35 tháng
Giải:
3.0,6%
ln 
+ 1 + 0,6% ÷
 -1 ≈ 30,3 .
Áp dụng công thức (9), ta có: n =  100
ln ( 1 + 0,6% )
Vậy cô Lệ phải gửi ít nhất 31 tháng.
Chọn B

Bài tập áp dụng 3.4: Đầu mỗi tháng cô Lan gửi ngân hàng 3 triệu đồng theo
hình thức lãi kép, sau một năm cô nhận được cả gốc và lãi là 40 triệu. Hỏi lãi
suất ngân hàng là bao nhiêu % mỗi tháng?
A. 1,60%
B. 1,61%
C. 1,80%
D. 1,5%
Giải:
12
3
Áp dụng công thức (7), ta có: 40 = ( 1 + r ) -1 ( 1 + r )
r

9


Giải phương trình tìm được r ≈ 1,61
Chọn B
Bài tập áp dụng 3.5: (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 của
trường THPT Phan Đình Phùng-Hà Nội)
Biết rằng khi đỗ vào trường đại học X, mỗi sinh viên cần nộp một khoản tiền
lúc đầu là 5 triệu đồng. Bố mẹ Minh tiết kiệm để đầu mỗi tháng đều gửi một số
tiền như nhau vào ngân hàng theo hình thức lãi kép. Hỏi mỗi tháng, họ gửi một
số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn) để sau 9 tháng, rút cả gốc và lãi
thì được 5 triệu đồng, biết lãi suất hiện tại là 0,5%/tháng.
A. 542000 đồng B. 555000 đồng
C. 556000 đồng
D. 541000 đồng
Giải:
Áp dụng công thức (8), ta có:

T9 .r
5000000.0,5%
a =
=
≈ 542000
9
5
( 1 + r ) ( 1 + r ) -1 ( 1 + 0,5% ) ( 1 + 0,5% ) -1








Chọn A
2.3.4.Giải pháp 4: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức lãi kép để giải
bài toán trả góp.
Bài toán tổng quát 4: Vay ngân hàng a đồng, lãi suất r%/tháng. Cứ sau đúng
một tháng trả x đồng. Định x để sau n tháng là hết nợ.
Giải:
• Sau tháng thứ 1, còn nợ: a ( 1 +r ) - x
• Sau tháng thứ 2, còn nợ:  a ( 1 + r ) - x  ( 1 + r ) - x = a ( 1 + r ) - ( 1 + r ) + 1 x
• Sau tháng thứ 3, còn nợ:
2
3
2
  a ( 1 + r ) - ( 1 + r ) +1 x ( 1 + r ) - x = a ( 1 + r ) - ( 1 + r ) + ( 1 + r ) +1 x



2

{

}

...
• Sau tháng thứ n hết nợ, nên:

a ( 1 + r ) -  ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + ... + 1 x = 0
n
ar (1 + r )n
n
⇔ a ( 1 + r )   - (1 + r ) -1 .x = 0 ⇔ x = (1 + r )n -1
r
n −1

n

n− 2

(10)

Bài tập áp dụng 1: (Trích đề minh họa THPT Quốc Gia năm 2017 lần 1)
Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông
muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay,
ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền
hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay.
Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng theo cách đó là bao

nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn
nợ.

100.( 1,01)
A. m =
triệu đồng
3
3

( 1,01)
B. m =
triệu đồng
3
( 1,01) -1
3

10


120.( 1,12 )
D. m =
triệu đồng
1,123 -1

100.( 1,03)
C. m =
triệu đồng
3

3

3

Giải:
Lãi suất 12%/năm tương ứng 1%/tháng nên r = 0,01.
100.0,01(1 + 0,01)3 1,013
≈ 34,002 triệu.
Áp dụng CT (10), m =
=
1,013 −1
(1 + 0,01)3 − 1
Chọn B
Bài tập áp dụng 2: (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 của trường
THPT Triệu Sơn 2 lần 2)
Bạn Minh trúng tuyển vào trường đại học A nhưng vì lý do không đủ tiền
nộp học phí nên Minh quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm vay 3
triệu đồng để nộp học phí với lãi suất 3%/năm. Sau khi tốt nghiệp đại học bạn
Minh phải trả góp hàng tháng số tiền T(không đổi) cùng với lãi suất
0,25%/tháng trong vòng 5 năm. Số tiền T hàng tháng mà bạn Minh phải trả cho
ngân hàng (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị) là :
A. 309604 đồng
B.232289 đồng
C.232518 đồng
D.215456 đồng
Giải:
Sau 4 năm bạn Minh nợ ngân hàng số tiền là :
4
3
2
S = 3000000 ( 1 + 3% ) + ( 1 + 3% ) + ( 1 + 3% ) + ( 1 + 3% )  = 12927407,43





đồng
Lúc này, coi như Minh nợ ngân hàng số tiền: 12927407,43 đồng, số tiền này
được tính lãi và trả góp trong 5 năm.
Áp dụng công thức (10), ta có:

ar (1 + r )n 12927407,4.( 1 + 0,25% ) .0,25%
=
≈ 232289
T=
60
(1 + r )n -1
( 1 + 0,25% ) -1
60

Chọn B
Bài tập áp dụng 3: (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 trường
THPT chuyên Hạ Long)
Ông A vay một ngân hàng 300 triệu đồng mua nhà theo phương thức trả
góp, lãi suất 0,5% /tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất ông
hoàn nợ cho ngân hàng 5,6 triệu và chịu lãi số tiền chưa trả thì sau bao nhiêu
tháng ông trả hết số tiền vay cho ngân hàng?
A. 62
B. 63
C. 64
D. 65
Giải:

Áp dụng công thức (10), ta có phương trình:
300.0,5% (1 + 0,5%)n
5,6
⇔ n = log
≈ 62,5
5,6 =
n
1,005
5,6 - 300.0,005
(1 + 0,5%) - 1
Vì n nguyên dương nên chọn n = 63
Chọn B

11


Bài tập áp dụng 4: (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 của Sở
GĐ&ĐT Thanh Hóa)
Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0,7%/tháng theo
thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả
hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu).
Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng.
A. 21.
B. 22.
C. 23.
D. 24.
Giải:
100.0,7%(1 + 0,7%) n
Áp dụng công thức (10), ta có phương trình: 5 =
(1 + 0,7%)n -1

Giải phương trình tìm được: n ≈ 21,6 . Do đó số tháng để trả hết nợ là 22
tháng.
Chọn B.
Nhận xét:
1. Bài toán trả góp là bài toán khá hay và khó trong các bài toán về lãi suất
ngân hàng.
2. Bài toán trả góp có ứng dụng rộng rãi trong thực tế cuộc sống.
2.3.5.Giải pháp 5: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức lãi kép để giải
bài toán gửi và rút tiền tiết kiệm theo định kỳ.
Bài toán tổng quát 5: Gửi ngân hàng số tiền a đồng, lãi suất r%/tháng. Mỗi
tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền x đồng. Tính số tiền còn lại sau
n tháng.
Giải:
• Cuối tháng thứ 1, khi ngân hàng tính lãi thì số tiền có được là:
T1 = a ( 1 + r ) và sau khi rút lãi số tiền còn lại:  S2 = a ( 1 + r ) - x = a ( 1 + r ) - x  
• Cuối tháng thứ 2, khi ngân hàng tính lãi thì số tiền có được là :
T2 =  a ( 1 + r ) - x  ( 1 + r ) và sau khi rút lãi số tiền còn lại:
 S2 = a ( 1 + r ) - x  ( 1 + r ) - x = a ( 1 + r ) - x  
2

...

(1 + r ) n -1
• Số tiền còn lại sau n tháng: Sn = a ( 1 + r ) - x
r
n
r
Suy ra : x = [a ( 1 + r ) - Sn ] (1 + r )n -1
(11)
Nhận xét :

Thực chất bài toán này giống bài toán tổng quát 4 vay trả góp, trong bài toán
vay trả góp người vay nợ ngân hàng, còn trong bài toán rút tiền thì ngân hàng nợ
người vay nên về bản chất thì hai bài toán này là giống nhau.
Bài tập áp dụng 1: Ông A gửi vào ngân hàng 20 triệu đồng, với lãi suất 0,6%
một tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, ông A rút một số tiền như
nhau để chi tiêu. Hỏi số tiền mỗi tháng ông A rút ra là bao nhiêu để sau 5 năm
thì số tiền vừa hết .
A. 397913896 đồng
B. 397813896 đồng
n

12


C. 397613896 đồng
Giải:

D. 397713896 đồng

n
r
Áp dụng công thức (10): x = [a ( 1 + r ) - Sn ] (1 + r )n - 1 , với Sn=0, n=60

Ta có: x = [20 ( 1 + 0,6% ) - 0]
60

0,6%
≈ 397913896
(1 + 0,6%)60 -1

Chọn B
Bài tập áp dụng 2: (Trích đề thi học sinh giỏi Quốc Gia năm 2013)
Một anh sinh viên được gia đình gửi vào sổ tiết kiệm số tiền là 8 triệu đồng,
lãi suất 0,9%/tháng. Nếu mỗi tháng anh sinh viên đó rút ra một số tiền như nhau
vào ngày ngân hàng trả lãi thì hàng tháng anh ta rút ra bao nhiêu tiền (làm tròn
đến 1000đồng) để sau đúng 4 năm sẽ vừa hết số tiền cả vốn lẫn lãi?
A. 206013 đồng
B. 205877 đồng
C. 205988 đồng
D. 206111 đồng
Giải:
n
r
Áp dụng công thức (10): x = [a ( 1 + r ) - Sn ] (1 + r )n - 1 , với Sn=0,n=48
48
0,9%
Ta có: x = [8 ( 1 + 0,9% ) - 0] (1 + 0,9%)48 - 1 ≈ 205988
Chọn C.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
2.4.1. Kết quả thực nghiệm
Sau khi áp dụng đề tài nhằm rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm môn Toán
trong chủ đề bài toán về lãi suất ngân hàng cho học sinh lớp 12B2 trường THPT
Triệu Sơn 3, kết quả thu được như sau:
2.4.1.1. Kết quả từ các phiếu thăm dò:
Thăm dò ý kiến học sinh( Phụ lục 2).
Kết quả khảo sát thăm dò ý kiến học sinh về việc rèn luyện kỹ năng giải trắc
nghiệm Toán cho học sinh 12B2 thông qua một số bài toán về lãi suất ngân
hàng. Qua kết quả thăm dò cho thấy:
+ Đa số học sinh hiểu bài, phát hiện và vận dụng nhanh công thức để giải và

đưa ra đáp án đúng.
+ 100% học sinh đều thích học chủ đề này và nhận thấy các bài tập áp dụng
hoàn toàn phù hợp với khả năng của các em.
+ Một số em thường xuyên tự tìm thêm tài liệu và các bài tập tương tự để
luyện giải đề trắc nghiệm. Điển hình là các em học sinh: Hà Thị Hòa, Hà Thị
Lan Phương, Hà Thị Phương, Nguyễn Thị Vân, Nguyễn Thị Huyền Trang, Đỗ
Thị Nhung, Nguyễn Thị Yến.
2.4.1.2. Kết quả từ quan sát thực tế
Năm học 2016 – 2017 tôi đã áp dụng các giải pháp nêu trong đề tài vào thực
tiễn dạy học, cụ thể:

13


Lớp đối chứng 12B3 năm học 2016- 2017, sĩ số 45: tôi dạy chủ đề trên
nhưng không sử dụng các giải pháp như đã nêu trong đề tài.
Lớp thực nghiệm 12B2 năm học 2016- 2017, sĩ số 49: tôi dạy chủ đề trên
bằng cách sử dụng các giải pháp như đã nêu trong đề tài.
Qua quan sát thực tế từ việc trực tiếp giảng dạy, tôi thấy học sinh lớp 12B2
giải khá nhanh và thuần thục các bài toán về lãi suất ngân hàng được tôi sưu tầm
từ các đề thi thử của các trường THPT năm học 2016-2017 trong cả nước. Còn
lớp 12B3 đa số các em học sinh kỹ năng giải còn chậm, chưa linh hoạt. Hai lớp
được chọn tham gia nghiên cứu cho đề tài có nhiều điểm tương đồng nhau về ý
thức học tập, đặc biệt là năng lực học tập và kết quả điểm kiểm tra môn Toán
trước khi tác động.
2.4.2. Kết quả kiểm tra
Sau nội dung ôn thi THPT Quốc Gia tôi cho 2 lớp làm bài kiểm tra (nội dung
về chủ đề “Bài toán về lãi suất ngân hàng”).
Đề kiểm tra (Phụ lục 3): Các bài tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách
tham khảo, đề thi thử THPT Quốc Gia của một số trường THPT năm học 2016 2017. Kết quả bài khảo sát kiến thức bài toán lãi suất ngân hàng được thống kế

như sau:
Bảng 1: Lớp thực nghiệm
Điểm
Số bài
0-2
3- 4
5-6
7-8
9-10
sl
0
9
29
11
0
Trước tác động 49
%
0,0
18,4
59,2
22,4
0,0
sl
0
1
25
16
7
Sau tác động
49

%
0,0
2,0
51,0
32,7
14,3
Bảng 2: Lớp đối chứng
Điểm
Số bài
0-2
3-4
5-6
7-8
9-10
sl
0
10
27
8
0
Trước tác động 45
%
0,0
22,2
60,0
17,8
0,0
Sau tác động

45

sl

%
Bảng 3: Trước tác động

0

7

28

0,0

15,6

62,2

Lớp đối chứng
Điểm trung bình
Chênh lệch điểm trung bình

10
22,2

0
0,0

Lớp thực nghiệm

5,41

5,58
0,17

14


Bảng 4: Sau tác động
Lớp đối chứng
Điểm trung bình
Chênh lệch điểm trung bình

Lớp thực nghiệm

5,63

6,68
1,05

Kết quả cho thấy điểm trung bình của lớp đối chứng và lớp thực nghiệm đã
có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động 12B2 có điểm trung bình cao hơn lớp
đối chứng 12B3.
Những kết quả trên đây cùng với những kết quả định tính khi thăm dò, điều
tra từ học sinh tôi mạnh dạn khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra là
hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡ
đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề tài đã hoàn

thành và đạt được những kết quả chính sau đây:
+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Bài toán về lãi
suất ngân hàng” hiện nay.
+ Đề tài đã đề xuất một số giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện kĩ năng
vận dụng kiến thức lãi đơn và lãi kép để giải các bài toán lãi suất ngân hàng cho
học sinh.
+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp.
+ Đề tài đã đưa ra một số bài tập áp dụng trên cơ sở bài tập tổng quát và hệ
thống các bài tập luyện tập được trích từ các đề thi thử THPT Quốc Gia của các
trường THPT, của Sở giáo dục ở một số tỉnh, thành phố trên cả nước (phụ lục 1)
để học sinh được rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm Toán.
3.2. Kiến nghị
- Đối với giáo viên:
Cần tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo hướng dạy học Toán gắn
liền thực tiễn nhằm giúp các em hứng thú học tập, tự giác học tập môn Toán
hơn. Trang bị cho học sinh thật vững vàng về những kiến thức cơ bản, hệ thống
các bài tập luyện tập theo từng chủ đề, luyện cho các em giải thật nhiều đề trắc
nghiệm của nhiều trường để rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm Toán cho các
em.
- Đối với nhà trường:
Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong trào đổi mới phương pháp
dạy học theo hướng dạy học Toán gắn liền với thực tiễn, viết và áp dụng sáng
kiến kinh nghiệm.
Mặc dù tôi đã nhiều cố gắng song thiếu xót, hạn chế của đề tài là không thể
tránh khỏi tôi rất mong nhận được những góp ý của các thầy cô giáo, các bạn

15


đồng nghiệp. Những góp ý đó sẽ là cơ sở để tôi hoàn thiện hơn đề tài nghiên cứu

này.
Cuối cùng xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn,
trong nhà trường và các em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến kinh
nghiệm này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị
…………………………………….
…………………………………….
…………………………………….
…………………………………….
…………………………………….
…………………………………….
…………………………………….
…………………………………….

Thanh Hóa, ngày 15/05/2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người thực hiện

Nguyễn Thị Lan Hương

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1].
[2].
[3].

SGK Giải tích 12 CB, SGK Giải tích 12 NC NXB GD, 2008.
Đề thi thử THPT Quốc Gia của một số trường THPT.
Đề thi thử THPT Quốc Gia của Sở GD&ĐT một số tỉnh, thành phố.

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Lan Hương
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường THPT Triệu Sơn 3

TT

1.

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh
giá xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Rèn luyện kỹ năng giải toán Sở GD&ĐT
cho học sinh lớp 10 thông qua Thanh Hóa
một số bài toán khoảng cách
và góc.

Kết
quả

đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)
C

Năm học
đánh giá xếp
loại
2013-2014

17