Rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu tỉ cho học sinh phổ thông miền núi lai châu

Trường Đại học Sư phạm Hà Nôi

ĐỀ TÀI:
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỬU TỈ
CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG MIỀN NÚI LAI CHÂU

Hà Nội, năm 2015
1


MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học mơn Tốn
nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện
nay. Để thực hiện yêu cầu này, nhất thiết phải đổi mới nội dung và phương
pháp dạy học các môn học. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học
đãđược chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nước và
ngành Giáo dục nước ta.
Rèn luyện kĩ năng là một mục tiêu quan trọng trong dạy học mơn Tốn.
Đặc biệt là đối với thực tiễn dạy học toán hiện nay ở trường phổ thông miền
núi. Vấn đề rèn luyện kĩ năng luôn luôn được sự quan tâm của các nhà nghiên
cứu và giáo viên phổ thông.
Tuy nhiên, trong thực tế dạy học Tốn ở Lai Châu, một số giáo viên vẫn
gặp khó khăn, lúng túng khi thực hiện rèn luyện kĩ năng cho học sinh. Trong
những nguyên nhân, có thể kể đến cịn có những giáo viên chưa thật sự nắm
vững lý luận dạy học Tốn, nói riêng là vấn đề dạy học mơn Tốn như thế nào
để rèn luyện tốt những kĩ năng toán học cần thiết cho học sinh. Mặt khác
trong thực tế vẫn cần thiết những kĩ thuật cụ thể để giáo viên tiến hành rèn
luyện kĩ năng cho học sinh qua mơn Tốn, nói riêng là trong dạy học phương
trình, bất phương trình hữu tỉ ở bậc trung học.

Với đặc điểm của học sinh ở Lai Châu, chúng tơi thấy cần thiết phải có
giải pháp phù hợp để rèn luyện cho các em kĩ năng giải phương trình, hữu tỉ một trong những kĩ năng cơ bản làm nền tảng để giải các phương trình, hệ
phương trình, bất phương trình ở trường phổ thơng.
Từ những lí do trên chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện kĩ
năng giải phương trình hữu tỉ cho học sinh phổ thơng miền núi Lai Châu".

2


2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

a. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng một giải pháp để rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu tỉ
cho học sinh phổ thơng miền núi tỉnh Lai Châu.
b. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Nghiên cứu tổng hợp những lý luận liên quan đến vấn đề nghiên cứu;
+ Tì
m hiểu thực tiễn rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu tỉ ở trường phổ thơng
miền núi;
+ Xây dựng biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải phương trình
hữu tỉ cho học sinh phổ thông miền núi Lai Châu;
+ Thử nghiệm sư phạm.
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xây dựng và thực hiện những biện pháp sư phạm đề xuất trong đề
tài thì có thể rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu tỉ cho học sinh phổ
thông miền núi ở Lai Châu.

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu lý luận về

phương pháp dạy và học.
+ Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn: Tiến hành dự giờ, trao đổi,
tham khảo ý kiến đóng góp của đồng nghiệp có kinh nghiệm, tìm hiểu thực
tiễn giảng dạy phần phương trình, bất phương trình trong chương trình mơn
tốn phổ thông.
+ Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Thử nghiệm thiết kế và dạy học
một số giáo án nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đề xuất.
+ Phương pháp thống kê toán học: Xử lý kết quả điều tra thực trạng và
thực nghiệm sư phạm.
3


5. CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luậnvà tài liệu tham khảo, dự kiến luận văn được
trình bày trong 3 chương:
Chương 1 - Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2 - Những biện pháp sư phạm rèn luyện kĩ năng giải phương
trình hữu tỉ cho học sinh trung học ở Lai Châu
Chương 3 - Thử nghiệm sư phạm

4


CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ KĨ NĂNG TRONG DẠY HỌC TỐN

1.1.1. Khái niệm về kĩ năng
Có nhiều quan niệm khác nhau về kĩ năng:
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kĩ năng là khả năng

vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một
nhiệm vụ mới” [19, tr.131].
Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các
dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát
hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những
nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[31, tr.149].
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định “Kĩ năng là khả năng vận dụng
những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [44,
tr.426]
“Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” trong
đó khả năng được hiểu là sức đã có về mặt nào đó để có thể làm tốt một việc
gì [1]. “Kĩ năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo, linh
hoạt sáng tạo, phù hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau” [6].
Theo từ điển trên mạng Wikipedia: Kĩ năng là sự thành thạo, sự dễ
dàng, hoặc khéo léo có được thơng qua đào tạo hoặc trải nghiệm. Có 3 thành
tố cơ bản của kĩ năng là kết quả (effectivienss), sự chắc chắn/ ổn định
(consistency) và hiệu quả (efficency).
Từ các quan niệm về kĩ năng cho ta thấy có hai loại quan niệm về kĩ
năng: (1) Xem xét nghiêng về mặt kỹ thuật của hành động, coi kĩ năng là một
phương tiện thực hiện hành động mà con người đã nắm vững, theo đó người
có kĩ năng là người nắm vững tri thức về hành động và thực hiện hành động
theo đúng yêu cầu đặt ra; (2) Xem xét kĩ năng nghiêng về năng lực của con
5


người, là biểu hiện của năng lực con người chứ không đơn thuần là mặt kỹ
thuật của hành động. Loại quan niệm này chú ý tới kết quả của hành động.
Coi kĩ năng là năng lực thực hiện một công việc có kết quả với chất lượng cần
thiết trong một thời gian nhất định, trong những điều kiện, tình huống mới.
Từ những quan niệm trên có thể hiểu: Kĩ năng là sự thực hiện thành

thạo và có kết quả một hành động nào đó bằng cách vận dụng những tri thức,
những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với ngữ cảnh và điều kiện cụ
thể.
Tri thức là cơ sở của kĩ năng khi tri thức đó phản ánh đầy đủ thuộc tính
bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách là
công cụ của hành động. Tức là “Kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một
hành động nào đó theo mục đích nào đó, trong những điều kiện nhất định”.
Nếu tạm thời tách tri thức và kĩ năng để xem xét riêng biệt thì tri thức thuộc
phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết”, còn kĩ năng thuộc phạm vi hành
động, thuộc về khả năng “biết làm”. Khơng phải có tri thức là tự khắc có kĩ
năng tương ứng. Con đường đi từ chỗ có tri thức “biết” đến chỗ có kĩ năng
tương ứng “biết làm” là con đường tập luyện hay rèn luyện.
Rèn luyện kĩ năng có vai trị đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển trí
tuệ “Khó có thể phân biệt rạch rịi đâu là rèn luyện kĩ năng, đâu là phát triển
trí tuệ”.
Kĩ năng có tính ổn định nhưng khơng bền vững như kỹ xảo. Trong quá
trình hoạt động, qua thời gian, kĩ năng có thể được bổ sung hoặc rút ngắn đi
hoặc thay đổi. Kĩ năng thực hiện một hoạt động nào đó có thể mất đi sau một
thời gian đồng thời cũng có thể được tái hình thành (thường thì sau một thời
gian ngắn hơn thời gian hình thành kĩ năng đó).
Theo như đã trình bày, kiến thức là cơ sở của kĩ năng, do đó tuỳ theo
nội dung kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện
6


kĩ năng tương ứng. Con đường đi từ kiến thức đến kĩ năng là rất phong phú và
nó phụ thuộc vào nhiều tham số như: kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn
luyện kĩ năng, mức độ chủ động, tích cực của học sinh.. vv. Con đường tốt
nhất và đảm bảo tính sư phạm là sự tham gia hoạt động và bằng hoạt động
chủ động, tích cực, độc lập của học sinh. Muốn kiến thức là cơ sở của kĩ năng

thì kiến thức đó phải phản ánh đầy đủ thuộc tính bản chất, được thử thách
trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động.
Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng: Sự dễ dàng hay khó
khăn trong sự vận dụng kiến thức là tuỳ thuộc ở khả năng nhận dạng kiểu
nhiệm vụ, dạng bài tập tức là tìm kiếm phát hiện những thuộc tính và quan hệ
vốn có trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một mục đích nhất định. Cho
nên sự hình thành kĩ năng ảnh hưởng của các yếu tố sau đây:
• Nội dung của bài tập, nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hoá hay bị che
phủ bởi những yếu tố phụ làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng tới sự hình
thành kĩ năng.
• Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng. Vì
thế tạo tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp học sinh trong việc hình thành
kĩ năng.
• Có khả năng khái qt đối tượng một cách tồn thể.
Sự hình thành kĩ năng:
Thực chất của việc hình thành kĩ năng là hình thành cho học sinh nắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những
thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với
những hoạt động cụ thể. Muốn vậy khi hình thành kĩ năng chủ yếu là kĩ năng
học tập cần:
• Giúp học sinh biết cánh tìm tịi để nhận xét ra yếu tố đề cho, yếu tố
phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.
7


• Giúp học sinh hình thành mơ hình khái qt để giải quyết các bài tập
cùng dạng, các đối tượng cùng loại.
• Xác lập được mối quan hệ giữa bài tập mơ hình khái qt và các kiến
thức tương xứng.
1.1.2. Kĩ năng trong mơn Tốn ở trường phổ thơng.

a. Vai trị của kĩ năng trong mơn Tốn
Trong các mục đích riêng của mơn Tốn ở trường phổ thơng thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kĩ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn
thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức về một mặt nào đó
sẽ khơng được củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như vào các
ngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kĩ năng thực hiện
các hoạt động tương ứng.
Việc rèn luyện kĩ năng hoạt động nói chung, kĩ năng tốn học nói riêng
là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều này
đã được nhiều tác giả đề cập như:
“ Suy nghĩ tức là hành động ” ( J. Piaget)
“ Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant)
“ Học để hành, học và hành phải đi đơi” ( Hồ Chí Minh)
Dạy học sẽ khơng đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng khơng thành
thạo vào việc giải bài tập.
Dạy tốn là dạy kiên thức, kĩ năng tư duy và tính cách cho học sinh
(Nguyễn Cảnh Tồn). Việc hình thành và rèn luyện kĩ năng giải toán cho học
sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán,
giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức tốn trong trường phổ thơng, đồng thời
rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi
dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh.
8


Sự hình thành kĩ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các thao
tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập,
trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đường khác nhau như:
Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri

thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài tốn
liên quan theo mức độ tăng dần.
Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định
hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng tốn đó.
Con đường thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với
việc vận dụng tri thức.
Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần được tiến hành trên các
bình diện khác nhau.
- Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dưới dạng giải
bài tập toán.
- Kĩ năng vận dụng tri thức tốn học vào những mơn học khác như vật
lý, hoá học.
- Kĩ năng vận dụng vào đời sống.
b. Một số kĩ năng trong mơn Tốn
Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Tốn là học sinh
phải nắm vững kiến thức,có kĩ năng, kỹ xảo vận dụng trong thực hành giải
toán. Tuỳ theo nội dung kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu
cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng.
Trong phạm vi mơn Tốn ở trường phổ thơng, có thể đề cập đến những
kĩ năng cần thiết của học sinh khi giải tốn là:
1. Kĩ năng tính tốn và biến đổi đồng nhất: Bên cạnh việc rèn luyện tư
duy, khả năng suy luận độc lập, sáng tạo, không xem nhẹ việc rèn luyện
9


kĩ năng tính tốn vì nó có vai trị quan trọng đối với học sinh trong việc
học tập hiện tại và cuộc sống thực tiễn. Trong hoạt động thực tế ở bất
kỳ các lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kĩ năng tính tốn: tính đúng, tính
nhanh, tính hợp lý.
2. Kĩ năng tiến hành những hoạt động hình học (đọc và vẽ hình, đo đạc,

...): Đây là kĩ năng cần thiết và cần phải rèn luyện cho học sinh một
cách cẩn thận. Đặc biệt với kĩ năng vẽ hình, vẽ đồ thị, học sinh phải
hình thành và rèn luyện thói quen vẽ chính xác theo quy ước và phù
hợp với quy tắc biểu diễn hình, vẽ cẩn thận đẹp.
3. Kĩ năng nhận dạng và thể hiện khái niệm và định lý: Học sinh được
rèn luyện kĩ năng này trong quá trình họ tìm tịi lời giải bài tốn. Nên
hướng dẫn học sinh thực hiện giải tốn theo quy trình giải tốn của
Pơlya: Tìm hiểu nội dung bài tốn; Xây dựng chương trình giải; Thực
hiện chương trình giải; Kiểm tra, nghiên cứu lời giải.
4. Kĩ năng vận dụng các quy tắc, phương pháp tốn học: Về mặt kĩ
năng này thì u cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy
móc.
5. Kĩ năng thực hiện các thao tác tư duy trí tuệ: chuyển từ tư duy thuận
sang tư duy nghịch, kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều: là một
điều kiện quan trọng để học sinh nắm vững và vận dụng tri thức, đồng
thời nó cũng là một thành phần tư duy quan trọng của Tốn học. Bên
cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều và
ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên
tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng
thuận.
6. Kĩ năng suy luận và chứng minh: Theo Hồng Chúng, để học sinh có
kĩ năng chứng minh Toán học, giáo viên cần phải tiến hành: Hình
10


thành động cơ chứng minh; Truyền thụ những tri thức phương pháp về
chứng minh, các phép suy luận; Rèn luyện những hoạt động thành
phần trong chứng minh.
7. Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá, tìm sai lầm trong lời giải: “Con người
phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” (Polya).

Trong học tập giải tốn việc phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm của
lời giải là một thành cơng của người học Tốn. Trên thực tế, có nhiều
học sinh kể cả học sinh khá giỏi vẫn mắc sai lầm khi giải toán. Do vậy
mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen phát hiện
những sai lầm (nếu có) sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích
được những nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó. Qua đó học sinh
cũng cần được rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải chẳng hạn như: câu
chữ, ký hiệu, vẽ hình chính xác,….Việc hình thành và rèn luyện kĩ
năng tự kiểm tra, đánh giá và biết tự điều chỉnh góp phần nâng cao kết
quả học tập.
1.1.3. Vai trò của kĩ năng giải tốn
Có thể nói, bài tập tốn chính là "mảnh đất" để rèn luyện kĩ năng tốn.
Do đó, để rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt
động giải tốn (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy tốn). Cụ thể
hơn thơng qua hoạt động giải toán, rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh cần
quan tâm chú trọng những vấn đề sau:
*Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tịi để nhận xét ra yếu tố đã cho,
yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học
sinh biết cách phân tích đặc điểm bài tốn.
*Hướng cho học sinh hình thành mơ hình khái qt để giải quyết các bài
tập, các đối tượng cùng loại.
*Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mơ hình khái qt và các kiến
11


thức tương ứng.
Ngồi ra, cịn tạo nhu cầu hướng thú cho học sinh, khắc phục ảnh hưởng
tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau:
+ Nhìn bài tốn dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ dó so sánh các cách
giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.

+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán 
Như vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từng
bài. Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm
ẩn sâu trong bài tốn.
+ Tích cực suy nghĩ, tìm tịi cách giải ngắn gọn trong khi giải tốn. Học
sinh khơng chỉ gặp những bài tốn đơn giản, tuân theo phương pháp và các
bước làm rõ ràng mà cịn gặp khá nhiều bài phức tạp, khơng có phương pháp
sẵn. Địi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo.
Ví dụ: Giải phương trình
( x 2 − 5 x + 3)(2 x 2 + 5 x − 1) = ( x 2 + 5 x + 3)(2 x 2 − 5 x + 1)
Khi gặp bài tốn này, thơng thường học sinh sẽ nhân các số hạng với
nhau, sau đó đơn giản rồi giải, như vậy sẽ rất phiền phức. Chăm suy nghĩ, chú
ý đến đặc điểm phương trình, các hệ số có mặt ở hai vế của phương trình,
nghĩ tới cách giải phương trình, dùng phương pháp xác định hệ số để giải.
Đặt a = x 2 − 5 x + 3; b = 2 x 2 + 5 x − 1
Phương trình trở thành:

ab = (a + 10 x)(b − 10 x)

Rút gọn được: −100 x 2 + 10 x(b − a ) = 0
x = 2
2
Suy ra: x = 0; b − a = 10 x ⇒ x − 4 = 0 ⇔ 
 x = −2
Hoặc cũng có thể đặt a = x 2 + 3; b = 2 x 2 − 1
Không dừng lại ở cách giải này, tiếp tục suy nghĩ, xem xét phân tích
12


đặc điểm phương trình. Phương trình ở dạng tích nên có thể biến đổi thành

dạng tỷ lệ:
x2 − 5x + 3 2 x2 − 5x − 1
=
x2 + 5x + 3 2 x2 + 5x − 1

(2)

Vậy có thể dùng tính chất tỷ lệ thức để giải phương trình này được
khơng? Với hướng suy nghĩ này, ta có thể có lời giải bài toán khá độc đáo:
a+b c+d 
b c
2 x2 + 6 4 x2 − 2
x2 + 3 2 x2 − 1
=
=
⇔
=
 = ⇒
÷ được
b−a c−d 
10 x
−10 x
x
x
a d
Giải ra được: x = 0; x = 2; x = −2
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức tốn học thì việc rèn
luyện kĩ năng đóng một vai trị hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng khả
năng tư duy giải tốn cho học sinh.
Ngồi ra Tốn học có vai trị rất quan trọng trong đời sống và các đối với

các nghành khoa học “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử
dụng được phương pháp của Tốn học” (K. Marx).
Mơn Tốn có vị trí rất quan trọng trong nhà trường phổ thơng. Nó có khả
năng to lớn góp phần thực hiện nhiệm vụ chung mà bất kì mơn học nào cũng
có, thơng qua đặc điểm của bộ mơn mình, phối hợp với các bộ môn khác và
các hoạt động khác trong nhà trường mà góp phần thực hiện mục tiêu giáo
dục phổ thơng, trong đó “Mục tiêu giáo dục phổ thơng là giúp học sinh phát
triển tồn diện về đạo, đức trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, và các kĩ năng cơ bản
phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách
con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công
dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động
tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.(Chương 2. Điều 27. mục 1- Luật
Giáo Dục, 2005)
Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kĩ
13


năng. bởi vì mơn Tốn là mơn học cơng cụ, có đặc điểm và vị trí đặc biệt
trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách học sinh trong nhà trường
phổ thơng, vì vậy cần hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kĩ
năng, bởi vì kĩ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động.
Trong mơn tốn, tiến hành phát triển kĩ năng của học sinh có những tác
dụng sau đây:
Kĩ năng tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyện các
kĩ năng toán học. Khi các hoạt động được tách bạch các bước, được thực hiện
qua quy tắc có cấu trúc điều khiển thuật tốn, học sinh sẽ thấy rõ hơn tri thức
cần học, ghi nhớ tốt hơn, thực hiện vận dụng cũng thuận lợi và có kết quả
hơn.
Tiến hành các hoạt động kĩ năng có thể dẫn đến hình thành thói quen,
tri thức phương pháp để giải quyết mọi vấn đề, góp phần hình thành năng lực

giải quyết vấn đề ở học sinh trong học tập cũng như trong cuộc sống.
1.2. Tình hình dạy và học phương trình hữu tỉ ở trường phổ thơng miền
núi
1.2.1. Nội dung mạch kiến thức về phương trình hữu tỉ ở trường phổ
thơng
Trong chương trình tốn ở trường phổ thơng, phương trình hữu tỉ được
đưa ra xuyên suốt từ cấp tiểu học đến hết bậc phổ thông. Tuy nhiên ở tiểu
học, học sinh được làm quen một cách ẩn tàng với việc giải chúng.
Ví dụ 1: Điền số thích hợp vào ô trống:
4 +W 9
=
10 −W 7
=
2 +W 3 = 8
+
W3− 4 = 9
−
Tìm số tự nhiên a, biết a + 2 = 7 .
14


Tìm 2 số khi biết tổng và hiệu.
Các bài tốn về vận tốc, quãng đường.
Ở trường trung học cơ sở, lớp 6, lớp 7 học sinh được giải các bài tốn
giải phương trình dạng phức tạp hơn tiểu học.
Ví dụ 2: Tìm x biết:
x :12 = 345
875 : x = 25
5 − (6 − x) = 15

26 × x = 832
x + 22 = 30 − 3 x
12 + ( x − 3) = 0

x 2 = 16
x3 = 8
Lớp 8: Học sinh được học khái niệm phương trình, ẩn số, nghiệm của
phương trình, tập xác định, hai phương trình tương đương, nhưng chưa được
học phương trình hệ quả. Các dạng phương trình đã được học:
Phương trình bậc nhất một ẩn.
Phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức.
Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Lớp 9: Học sinh được học về phương trình bậc nhất hai ẩn số, hệ hai
phương trình bậc nhất hai ẩn. Tiếp đó học sinh được học phương trình bậc hai
và một số phương trình quy về bậc hai, giải bài tốn bằng cách lập phương
trình. Đồng thời, học sinh cịn được củng cớ hoạt động giải phương trình hữu
tỉ khi học phương trình vơ tỷ ở dạng đơn giản.
Lớp 10: Tổng kết và nâng cao các kiến thức về phương trình đã được
học ở trung học cơ sở, cụ thể:
Học sinh được học định nghĩa phương trình và các khái niệm có liên
quan, định nghĩa phương trình tương đương, phương trình hệ quả, các phép
biến đổi tương đương. Các dạng phương trình được học:
- Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn.
15


Phương trình quy về bậc nhất, bậc hai một ẩn.(phương trình chứa ẩn
trong dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức)
Mặt khác học sinh còn được làm việc với phương trình hữu tỉ khi giải

phương trình vơ tỷ.
Lớp 11: Tuy học sinh khơng trực tiếp học về phương trình hữu tỉ,
nhưng các em vẫn phải giải những phương trình hữu tỉ khi học giải phương
trình lượng giác:
Phương trình bậc nhất,phương trình đưa về bậc nhất đối với một hàm
số lượng giác.
Phương trình bậc hai, phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với
một hàm số lượng giác.
Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x .
Lớp 12: Tuy học sinh không trực tiếp học về phương trình hữu tỉ,
nhưng các em vẫn phải giải những phương trình hữu tỉ khi học giải phương
trình mũ, phương trình lơgarit.
1.2.2. Đặc điểm của học sinh phổ thồng miền núi Lai Châu
Về đặc điểm tâm lý:
Học sinh ở miền núi Lai Châu ln có tính thẳng thắn, thật thà và tự
trọng. Các em học sinh miền núi Lai Châu có gì khơng vừa ý thường tỏ thái
độ ngay.
Đặc điểm thẳng thắn và thật thà cộng với khả năng diễn đạt bằng tiếng
phổ thơng cịn hạn chế, có những lúc làm cho giáo viên cảm thấy khó chịu;
nếu như giáo viên thiếu am hiểu tường tận và thơng cảm sâu sắc thì dễ kết
luận đó là những hành vi “thiếu lễ độ”. Vì vậy, giáo viên cần thận trọng suy
xét trong quá trình đánh giá phẩm chất đạo đức của từng em.
Các em học sinh miền núi thường có lịng tự trọng cao, nếu các em gặp
phải những lời phê bình nặng nề, gay gắt hoặc khi kết quả học tập kém, quá
16


thua kém bạn bè một vấn đề nào đó trong sinh hoạt hàng ngày, bị dư luận, bạn
bè chê cười, dẫn đến các em dễ xa lánh thầy, cô giáo nhà trường và bạn bè
hoặc bỏ học.

Nếu giáo viên không hiễu rõ thì có thể cho rằng các em hay tự ái. Từ đó
giáo viên phải nhiệt tình và cần thiết để tìm ra phương hướng và đưa ra những
biện pháp giải quyết những thắc mắc của các em.
Về mặt nhận thức:
Học sinh miền núi Lai Châu chủ yếu là học sinh thuộc những dân tộc
thiểu số vùng cao (Thái, Mơng, Dao, Hà Nhì, Giáy, ...). Do điều kiện đặc biệt
khó khăn về giao thơng, điều kiện học tập khó khăn, kéo theo hạn chế lớn về
phát triển kinh tế, văn hóa, .... Chính vì vậy, học sinh miền núi Lai Châu bị
hổng kiến thức và yếu cả kĩ năng ngay từ các lớp dưới (ở Tiểu học và trung
học cơ sở). Mặt khác khả năng nhận thức và kĩ năng tư duy của các em cũng
còn nhiều hạn chế. Điều đó ảnh hưởng khơng nhỏ tới kĩ năng giải tốn của
các em nói chung, nói riêng là đối với việc giải phương trình hữu tỉ.
1.2.3. Tình hình dạy học phương trình ở các trường phổ thơng miền núi
Lai Châu
Thơng qua khảo sát thực tiễn tình hình học tập của học sinh và sự trao
đổi trực tiếp với các thầy cơ giảng dạy mơn tốn ở các trường trung học miền
núi Lai Châu về việc dạy và học phương trình hữu tỉ, tơi nhận thấy việc dạy
phương trình có một số vấn đề sau:
Về phía giáo viên:
Giáo viên có nhiều cố gắng trong việc tìm hiểu để nắm vững các kiến
thức về phương trình. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy do phải đảm bảo
sự cân đối về thời gian giảng dạy cho từng mục tiêu nên việc rèn luyện
năng lực tìm đốn cho học sinh trong việc giải bài tập nói chung, giải
phương trình nói riêng có rất ít thời gian thực hiện.
17


Tuy nhiên, có một bộ phận khơng nhỏ giáo viên chưa thấy hết được
tầm quan trọng, vai trò của việc rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu tỉ
đối với kĩ năng phương trình, hệ phương trình, bất phương trình nói chung.

Đối với phương trình khơng có thuật tốn, phần lớn giáo viên chỉ đưa
ra lời giải chứ không dạy cho học sinh cách tìm ra lời giải. Đồng thời hầu hết
giáo viên chỉ dừng lại ở những phương trình khơng có thuật tốn trong sách
giáo khoa. Việc mở rộng ra các dạng tốn khác có, nhưng rất hạn chế.
Việc dạy những phương trình khơng có thuật tốn phong phú hơn rất
nhiều. Tuy nhiên việc trang bị tri thức phương pháp về năng lực tìm đốn
chưa được đầy đủ và chưa mang tính quy mơ.
+) Về phía học sinh:
Do kiến thức về phương trình đã được học ở lớp dưới và được rèn
luyện ít, nên với chủ đề này phần lớn các em học sinh hứng thú học tập.
Nhiều em rất thành thạo giải những phương trình có thuật tốn, song với
những phương trình khơng có thuật tốn thì các em gặp phải những khó khăn:
- Trong việc tìm lời giải (thể hiện cụ thể ở việc các em không nhận ra được
dạng phương trình và khơng thể hiện được quy tắc, phương pháp giải chúng).
- Trong việc áp dụng quy tắc giải cũng còn những lúng túng,dẫn đến sai lầm
trong lời giải.
Vì vậy việc rèn luyện năng lực tìm đốn cho học sinh trong việc dạy
học tốn nói chung và dạy học giải phương trình hữu tỉ nói riêng là một trong
những nhiệm vụ quan trọng của nhà trường phổ thơng. Điều đó góp phần đào
tạo các em học sinh trở thành những người lao động có năng lực giải quyết
vấn đề, tự chủ, sáng tạo trong công việc, đáp ứng được những yêu cầu về
nhân lực trong thời kì cơng nghiệp hố, hiện đại hố đất nước và hội nhập
quốc tế.
18


1.2.4. Những kĩ năng cơ bản của học sinh trong giải phương trình hữu tỉ
Có nhiều kiểu phân chia kĩ năng phù hợp với từng “mảng” kiến thức,
từng nội dung môn học. Nhưng tập trung lại cần rèn cho học sinh các kĩ năng
cơ bản như: kĩ năng nhắc lại, kĩ năng nhận thức, kĩ năng hoạt động chân tay,

kĩ năng xử sự (theo cách phân loại của De Ketele). Đây là những kĩ năng
không chỉ được rèn luyện khi giải tốn phương trình mà cịn được rèn luyện
trong suốt chương trình phổ thơng, ở tất cả các nội dung và tất cả các môn
học. Tất nhiên sự phân chia này chỉ có tính chất tương đối, khi dạy học ta
thường rèn luyện kĩ năng ở dạng “phức hợp’ tức là trên một nội dung kiến
thức cụ thể, ta không chỉ rèn một loại kĩ năng cơ bản đơn lẻ, vì một kĩ năng có
thể là hỗn hợp của nhiều loại kĩ năng cơ bản. Chẳng hạn kĩ năng vẽ đồ thị bao
gồm cả kĩ năng nhận thức, kĩ năng hoạt động chân tay và kĩ năng xử sự. Vì để
vẽ được đồ thị người ta không những cần phải biết vẽ như thế nào (kĩ năng
nhận thức) mà còn phải biết những động tác để vẽ được đồ thị (kĩ năng hoạt
động chân tay) và cần vẽ đồ thị chính xác, đẹp (kĩ năng xử sự). Đối với chủ
đề phương trình ta cần rèn luyện cho học sinh những kĩ năng thuộc về nhóm
kĩ năng nhận thức và vận dụng.
Căn cứ vào những kĩ năng giải toán đã phân tích ở mục trên, vận dụng
đối với nội dung phương trình hữu tỉ, chúng tơi quan tâm đến những kĩ năng
sau đây:
Kĩ năng 1: Kĩ năng tính tốn với các số và biến đổi biểu thức:
Trước hết cần phải nói rằng học tốn gắn liễn với tính tốn, tính chính
xác nhanh và ngắn gọn là những yêu cầu cơ bản, đầu tiên để học tốt mơn
Tốn. Đồng thời kĩ năng này có ý nghĩa vơ cùng quan trọng trong thực tế của
đời sống, trong sản xuất kinh doanh, trong kỹ thuật.
Khi giải phương trình, nói riêng là phương trình hữu tỉ, học sinh cần phải
tính tốn với các số và biến đổi biểu thức (cộng, trừ, nhân, chia, rút gọn các
19


đa thức, phân thức, ...).
Đặc biệt đối với các bài tốn phương trình bất phương trình chứa tham
số mức độ yêu cầu cao, vừa khó vừa trừu tượng, tầng lớp nhiều, chỉ cần tính
tốn, biến đổi sai một bước sẽ dẫn đến kết quả sai. Do đó cần rèn luyện cho

học sinh có khả năng tính tốn với số, biến đổi biểu thức một cách thành thạo.
Tham khảo những tài liệu về rèn luyện kĩ năng trong mơn Tốn, chúng
tơi thấy cần rèn luyện khả năng tính tốn theo những hướng sau:
+ Đặc biệt chú ý những yêu cầu nào của kĩ năng tính tốn cần thiết cả
trong trường hợp khơng máy tính lẫn bằng máy tính: tính nhẩm, tính ước
chừng...
+ Về mặt tính viết, tập trung vào những kĩ năng biến đổi, tính tốn cơ
bản, mà khơng cần thiết phải bỏ cơng sức cho học sinh tập luyện tính toán
trên những số liệu quá cồng kềnh, phức tạp.
+ Từ bỏ việc tính tốn với những phương tiện đã lỗi thời (bàn tính, bảng
số, thước tính, ...)
+ Rèn kĩ năng tính nhẩm và tính nhanh: việc tính nhẩm và tính nhanh rất
phù họp với những bài có số liệu đơn giản (trực tiếp nhẩm ra đáp số không
cần viết ra giấy) hoặc những bài chứa căn thức biến đổi đưa về hằng đẳng
thức (tính nhanh)...
Ví dụ 1: Giải phương trình
2013 x2 - 2012x -1 = 0
Nhận thấy: a + b + c = 0, không cần giải kết luận phương trình có 2
nghiệm: x = 1 hoặc x = - 1 / 2013.
Kĩ năng 2: Tìm tập xác định của những biểu thức hữu tỉ
Trong giải phương trình hữu tỉ, việc tìm tập xác định (cịn gọi là miền
xác định) của phương trình chẳng qua chính là việc đi tìm tập hợp các giá trị
của ẩn làm cho những biểu thức hữu tỉ có trong phương trình là có nghĩa. Đây
20


là một trong những kĩ năng cơ bản và quan trọng trong quá trình giải phương
trình hữu tỉ.
Để học sinh có kĩ năng tìm tập xác định, giáo viên phải thường xuyên đặt
ra yêu cầu, hướng dẫn các em tiến hành hoạt động tìm tập xác định của những

biểu thức hữu tỉ có trong phương trình đã cho. Từ đó tạo ra thói quen và khả
năng để học sinh khi giải phương trình thì bước đầu tiên là tìm tập xác định.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
3 − x2 =

x
x−2

Hướng dẫn hocj sinh tìm tập xác định:
Đây là một phương trình chứa ẩn ở mẫu, có rất nhiều học sinh khi tiến
hành giải phương trình này lại khơng chú ý đến tập xác đinh của phương
trình. Dẫn đến việc kết luận nghiệm của phương trình bị sai. Vì vậy giáo viên
cần hướng dẫn học sinh tìm tập xác định của phương trình. Trong phương
trình đã cho thì tập xác định chính là điều kiện xác định của phương trình.
x−2≠0⇔ x≠2

Điều kiện xác định của phương trình:

Vậy tập xác định của phương trình: D = ¡ \ {2}
Kĩ năng 3: Kĩ năng giải những phương trình hữu tỉ cơ bản
Nhận dạng và giải thành thạo các phương trình đã ở dạng cơ bản:
1. Phương trình bậc nhất;
Phương trình dạng ax + b = 0(a ≠ 0), (1) được gọi là phương trình đa thức bậc
nhất.
Phương trình này có nghiệm duy nhất x = −
Ví dụ: Giải phương trình
(c − 1) x + 2 = c + 1 (2)
(2) ⇔ (c − 1) x = c − 1
21

b
a


Nếu c ≠ 1 thì (2) có nghiệm duy nhất
x=

c −1
= 1, ( M = {1}).
c −1

Nếu c = 1 thì (2) có dạng 0 x + 2 = 2
Mọi x ∈ R = (−∞, +∞) đều là nghiệm của (2) nghĩa là M=R
2. Phương trình bậc hai;
Đối với phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cần rèn
luyện cho học sinh tính và thực hiện thành thạo cơng thức tính ∆ hoặc ∆ ' và
biết kết luận các trường hợp xảy ra ∆ hoặc ∆ '
+) Nếu ∆ < 0 hoặc ∆ ' < 0 phương trình vơ nghiệm
+) Nếu ∆ = 0 hoặc ∆ ' = 0 phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =
x1 = x2 =

−b
(
2a

−b
)
a

+) Nếu ∆ > 0 hoặc ∆ ' > 0 phương trình có nghiệm hai nghiệm phân biệt

x1 =

−b − ∆
−b + ∆  x = −b '− ∆ ' , x = −b '+ ∆ ' 
; 1
, x2 =
÷
2
a
a
2a
2a


Đặc biệt các trường hợp nhẩm được nghiệm (a + b + c = 0 phương

trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1, x2 =
hai nghiệm phân biệt x1 = 1, x2 =

c
; a – b + c = 0, phương trình có
a

−c
a

3. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu cần rèn luyện cho học sinh các kĩ
năng như: Tìm tập xác định (điều kiện xác định của phương trình), Quy đồng
khử mẫu, biến đổi đưa về dạng quyen thuộc đã có cách giải

22


4. Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối (đối với những biểu thức
hữu tỉ)
Đối với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối cần rèn luyện
cho học sinh thành thạo cách khử dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa.
Khi học phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai, tác giả
nhận thấy cần rèn cho học sinh các kĩ năng như:
+ Giải và biện luận thành thạo phương trình bậc nhất, phương trình bậc
hai.
+ Giải được các phương trình quy về bậc nhất, bậc hai. Phương trình có
ẩn ở mẫu số, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa
căn, phương trình đưa về phương trình tích.
Ví dụ :
Khi học về “phương trình bậc hai”, có thể yêu cầu học sinh theo các
mức độ sau:
1. Nhắc lại dạng và các bước giải phương trình bậc hai theo cơng thức
nghiệm tổng qt (kĩ năng nhớ - tái hiện tri thức)
2. Thực hiện giải phương trình (kĩ năng thể hiện quy tắc, phương pháp)
x2 - 8x – 9 = 0
x4 – 4x2 + 3 = 0
3. Giải và biện luận phương trình: (kĩ năng nhận dạng và thể hiện)
x4 – (a - 3)x2 + 3a = 0
4. Kiểm tra quá trình giải trước khi kết luận nghiệm (kĩ năng kiểm tra
lời giải, phát hiện sai lầm).
Mặc dù những kĩ năng này yêu cầu học sinh vận dụng khi giải phương
trình theo dạng mẫu, đã có sẵn thuật giải nhưng giáo viên không được coi nhẹ
việc rèn luyện kĩ năng này vì:
Thứ nhất: đây là những kiến thức cơ bản, yêu cầu học sinh cần nắm

23


được.
Thứ hai: đây là nền tảng, là bài toán gốc để giải bài toán ở mức độ cao
hơn .
Kĩ năng 4: Kĩ năng nhận dạng phương trình
Để học sinh có thể giải được phương trình hữu tỉ thì trước hết các em
phải nhận dạng được phương trình đã cho thuộc loại nào?
Ở những dạng quen thuộc là việc rèn luyện kĩ năng có những phương
trình quen thuộc mà học sinh đã được biết cách giải nhưng cần phải rèn luyện
kĩ năng biến đổi phương trình, có thể biến đổi tương đương hoặc biến đổi hệ
quả. Cần lưu ý khi biến đổi hệ quả sau khi tìm nghiệm của phương trình thì
cần phải thử lại nghiệm rồi mới kết luận nghiệm của phương trình đã
cho. Chẳng hạn khi học về phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc
hai. Thì cần rèn cho học sinh các kĩ năng như:
+ Giải và biện luận thành thạo phương trình bậc nhất, phương trình bậc
hai.
+ Giải được các phương trình quy về bậc nhất, bậc hai. Phương trình
chứa ẩn ở mẫu, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình đưa
về phương trình tích.
Ví dụ: Khi học về “phương trình bậc hai”, có thể yêu cầu học sinh theo
các mức độ sau:
1. Nhắc lại dạng và các bước giải phương trình bậc hai theo công thức
nghiệm tổng quát (kĩ năng nhắc lại)?
2. Thực hiện giải phương trình x 4 − 5 x 2 − 6 = 0 (kĩ năng thể hiện quy tắc,
phương pháp)
3. Giải và biện luận phương trình 2 x 4 − ( m − 3) x 2 + 3m = 0
Có thói quen kiểm tra khi kết luận nghiệm (kĩ năng kiểm tra lời giải,
phát hiện sai lầm).

24


4. Quá trình giải phương trình phần lớn là biến đổi để đưa về các phương
trình ở dạng đơn giản, cơ bản mà đã có sẵn cách giải.
Kĩ năng 5: Kĩ năng áp dụng những quy tắc, phép biến đổi tương
đương
Kĩ năng thực hiện các phép biến đổi, đặc biệt là các phép biến đổi đồng
nhất, các phép biến đổi tương đương.Các phép biến đổi đồng nhất các biểu
thức là thao tác tư duy nhằm xác định sự đồng nhất giữa các đối tượng là biểu
thức. Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức liên quan chặt chẽ với phân tích,
tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản nhưng
vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng.
Ngồi ra để giải một phương trình hữu tỉ, thong thường ta biến đổi
phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các
phép biến đổi như vậy được gọi là phép biến đổi tương đương. [ 55]
x2 − x − 6
=0
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2 x2 + 3x − 2

(1)

Một học sinh đã giải như sau :
 x = −2
x2 − x − 6
2
=0 ⇔ x −x−6=0⇔ 
2 x2 + 3x − 2
x = 3

Nguyên nhân sai: Khi giải phương trình học sinh đã khơng tìm tập xác đinh
của phương trình dẫn đến các em đã lấy cả nghiệm x=-2
Lời giải đúng:
 x = 3

x − x − 6 = 0

  x = −2(lo¹i)
x2 − x − 6
⇔ 
⇔ x=3
=0 ⇔ 2
2
2 x + 3x − 2
2 x + 3x − 2 ≠ 0 
1

 x ≠ −2; x ≠ 2

2

Nhận xét: Như vậy thơng qua các ví dụ này, giáo viên giúp học sinh rèn
25