Tuyển tập 50 bài toán câu hỏi trắc nghiệm có đáp án môn toán

CẨM NANG CHO MÙA THI

TUYỂN CHỌN
50 BÀI TOÁN

GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)

NGUYỄN HỮU BIỂN
/>bienEmail:


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

Bài 1: Giải bất phương trình

x + 1 − x 2 ≥ 2 − 3x − 4 x 2 .

Hướng dẫn
x ≥ 0
0 ≤ x ≤ 1

−3 + 41

2
⇔  −3 − 41
.
- Điều kiện: 1 − x ≥ 0
−3 + 41 ⇔ 0 ≤ x ≤
8
≤x≤



2
8
8

2 − 3x − 4 x ≥ 0

- Bất phương trình đã cho tương đương với
x + 1 − x 2 + 2 x(1 − x 2 ) ≥ 2 − 3 x − 4 x 2 ⇔ 3( x 2 + x) − (1 − x) + 2 ( x + x 2 )(1 − x) ≥ 0


−5 + 34
x≥

x +x
x +x
x +x 1
9
⇔3
+2
−1 ≥ 0 ⇔
≥ ⇔ 9 x 2 + 10 x − 1 ≥ 0 ⇔ 
1− x
1− x
1− x
3

−5 − 34
.

x ≤
9

−5 + 34
−3 + 41
- Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là
≤x≤
.
9
8
2

2

2

Bài 2: Giải bất phương trình x − 1 + 2 3x − 2 + 9 x 2 − 24 x 2 + 10 x − 1 ≥ 0, ( x ∈ R)
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ 1
- Bất phương trình đã cho tương đương với
x − 1 − 1 + 2 3 x − 2 − 4 + 9 x 2 − 24 x 2 + 10 x + 4 ≥ 0
⇔ ( x − 1 − 1) + 2( 3 x − 2 − 2)( x − 2)(9 x 2 − 6 x − 2) ≥ 0
x−2
2(3 x − 6)
+
+ ( x − 2) (3 x − 1) 2 − 3 ≥ 0
x −1 + 1
3x − 2 + 2

[

⇔

]


1
6

⇔ ( x − 2) 
+
+ (3 x − 1) 2 − 3 ≥ 0(1)
3x − 2 + 2
 x −1 + 1

1
6
2
- Dễ thấy
+
+ (3 x − 1) − 3 > (3.1 − 1) 2 − 3 = 1 > 0, ∀x ≥ 1
x −1 + 1
3x − 2 + 2
- Hơn nữa (1) ⇔ x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2. Kết hợp điều kiện thu được x ≥ 2.

Bài 3: Giải bất phương trình sau: 1 + log 2 x + log 2 ( x + 2 ) > log

2

(6 − x)

Hướng dẫn: ĐK: 0 < x < 6 .
2

2

⇔ log 2 2 x 2 + 4 x > log 2 ( 6 − x ) ⇔ 2 x 2 + 4 x > ( 6 − x ) ⇔ x 2 + 16 x − 36 > 0

(

)

Vậy: x < −18 hay 2 < x
So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 < x < 6 .
Bài 4: Giải bất phương trình

9 x 3 − 22 x 2 + 19 x + x − 1 − 7
> 1, ( x ∈ R )
x3 + 2x 2 + 2x − 4

x ≥ 1

Hướng dẫn: Điều kiện 

3
2
x + 2x + 2x − 4 ≠ 0
- Nhận xét x 3 + 2 x 2 + 2 x − 4 ≥ 1 + 2 + 2 − 4 = 1 > 0, ∀x ≥ 1 .

- Bất phương trình đã cho tương đương với
9 x 3 − 22 x 2 + 19 x − x − 1 − 7 > x 3 + 2 x 2 + 2 x − 4 ⇔ x − 1 − 1 + 8 x 3 − 24 x 2 + 17 x − 2 > 0

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 1


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

⇔

- Rõ ràng

1
x−2


+ ( x − 2)(8 x 2 − 8 x + 1) > 0 ⇔ ( x − 2) 
+ 2(2 x − 1) 2 − 1 > 0(1)
x −1 + 1
 x −1 + 1

1
+ 2(2 x − 1) 2 − 1 > 2(2 − 1) 2 − 1 = 1 > 0, ∀x ≥ 1 nên (1) ⇔ x − 2 > 0 ⇔ x > 2
x −1 + 1

Bài 5: Giải bất phương trình: log 5 ( 4 x + 1) − log 5 ( 7 − 2 x ) ≤ 1 + log 1 ( 3x + 2 )
5

1

7
4
2
⇔ log 5 ( 4 x + 1) + log 5 ( 3x + 2 ) ≤ 1 + log 5 ( 7 − 2 x )

Hướng dẫn: + Điều kiện: − < x <

⇔ log 5 ( 4 x + 1)( 3 x + 2 ) ≤ log 5 5 ( 7 − 2 x )
⇔ ( 4 x + 1)( 3 x + 2 ) ≤ 5 ( 7 − 2 x )
⇔ 12 x 2 + 21x − 33 ≤ 0
⇔−

33
≤ x ≤1
12
1
4

1
4

Giao với điều kiện, ta được: − < x ≤ 1 . Vậy: nghiệm của BPT đã cho là − < x ≤ 1
Bài 6: Giải bất phương trình ( x − 1) x 2 − 2 x + 5 ≥ 4 x x 2 + 1 + 2 x + 2( x ∈ R)
Hướng dẫn: Điều kiện: x ∈ R. Khi đó :
⇔ ( x + 1)(2 + x 2 − 2 x + 5 ) + 2 x(2 x 2 + 1 − x 2 − 2 x + 5 ) ≤ 0
2 x(4 x 2 + 4 − x 2 + 2 x − 5)
⇔ ( x + 1)(2 + x 2 − 2 x + 5 ) +
≤0
2 x2 +1 + x 2 − 2x + 5
2 x( x + 1)(3 x − 1)

⇔ ( x + 1)(2 + x 2 − 2 x + 5 ) +
≤0
2 x2 +1 + x2 − 2x + 5
2 x(3 x − 1)
⇔ ( x + 1)(2 + x 2 − 2 x + 5 +
)≤0
2
2 x +1 + x2 − 2x + 5

 4 x 2 + 1 + 2 x 2 − 2 x + 5 + 2 ( x 2 + 1)( x 2 − 2 x + 5) + 7 x 2 − 4 x + 5 
≤0
⇔ ( x + 1)
2
2


2 x +1 + x − 2x + 5


2
2
2
- Do 7 x − 4 x + 5 = ( x − 2) + 6 x + 1 > 0 nên (2) ⇔ x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ −1 ⇔ x ∈ (−∞;−1)

Bài 7: Giải bất phương trình : ( x − 1) x 2 + 5 + x > x 2 + 1
Hướng dẫn:
+ x ≤ 1 : loại
x2 − x +1
1
1

+ x > 1: x + 5 >
⇔ x2 + 5 > x +
⇔ x2 + 5 − x >
x −1
x −1
x −1
5
1
⇔
>
⇔ 5 ( x − 1) > x 2 + 5 + x ⇔ 4x − 5 > x 2 + 5
2
x + 5 + x x −1
2

5

x >
⇔
⇔x>2
4
15x 2 − 40x + 20 > 0

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 2


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

)

(

Bài 8: Giải bất phương trình: x 2 + 5 x < 4 1 + x( x 2 + 2 x − 4) (x∈ R).

(

)

Hướng dẫn: x 2 + 5 x < 4 1 + x( x 2 + 2 x − 4) (*)

 −1 − 5 ≤ x ≤ 0
- ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0 ⇔ 
 x ≥ −1 + 5
- (*) ⇔ 4 x( x 2 + 2 x − 4) > x 2 + 5 x − 4 ⇔ 4 x( x 2 + 2 x − 4) > ( x 2 + 2 x − 4) + 3x (**)

x2 + 2 x − 4 x2 + 2x − 4
TH 1: x ≥ −1 + 5 , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒ 4
>
+3
x
x
x2 + 2 x − 4
Đặt t =
, t ≥ 0 , ta có bpt: t 2 − 4t + 3 < 0 ⇔ 1 < t < 3
x
 x 2 − 7 x − 4 < 0
−1 + 17

7 + 65
x2 + 2 x − 4
1<
<3⇔ 2
⇔
2
2
x
 x + x − 4 > 0
TH 2: −1 − 5 ≤ x ≤ 0 , x 2 + 5 x − 4 < 0 , (**) luôn thỏa mãn
 −1 + 17 7 + 65 
Vậy tập nghiệm BPT (*) là S =  −1 − 5;0  ∪ 
;

2
2 

Bài 9: Giải bất phương trình sau : 2 x + 5 + 3x − 2 > 4 x + 1 + 5 x − 6
Hướng dẫn:
BPT ⇔ 2 x + 5 − 4 x + 1 + 3 x − 2 − 5 x − 6 > 0

⇔ (−2 x + 4)[

1
1
+
]>0
2x + 5 + 4x + 1
3x − 2 + 5 x − 6

⇔ x<2

Bài 10: Giải bất phương trình (x +2)(x −2 2x +5) −9 ≤(x +2)(3 x2 +5 −x2 −12) + 3 5x2 +7
Hướng dẫn: Điều kiện xác định: x ≥ −

5
. Khi đó ta có
2

(1) ⇔ x 3 + 3x 2 + 14x + 15 − 2(x + 2) 2x + 5 − 3(x + 2) x 2 + 5 − 3 5x 2 + 7 ≤ 0
⇔ x 3 + 3x 2 − x − 18 − 2(x + 2)( 2x + 5 − 3) − 3(x + 2)( x 2 + 5 − 3) + 3 − 3 5x 2 + 7 ≤ 0

⇔ (x − 2)(x2 + 5x + 9) −

2(x + 2)(2x − 4) 3(x + 2)(x 2 − 4)
5(4 − x2 )
−
+
2x + 5 + 3
x2 + 5 + 3
9 + 33 5x2 + 7 + 3 5x2 + 7

(



4(x + 2)
3(x + 2)2
5(x + 2)

⇔ (x − 2)  x 2 + 5x + 9 −
−
−

2x + 5 + 3
x 2 + 5 + 3 9 + 3 3 5x 2 + 7 + 3 5x 2 + 7



(

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
)

2

)

≤0



≤ 0(*)

2




Trang 3


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

 4(x + 2)
4
3(x + 2)2
3
≤ (x + 2);
< (x + 2)2

2
x +5 +3 5
 2x + 5 + 3 3
5
- Ta có với x ≥ − ⇒ 
5(x + 2)
5(x + 2)
2
<

2
9
 9 + 3 3 5x 2 + 7 + 3 5x 2 + 7

4(x + 2)
3(x + 2)2
5(x + 2)

⇒ x 2 + 5x + 9 −
−
−
>
2
2x + 5 + 3
x 2 + 5 + 3 9 + 3 3 5x 2 + 7 + 3 5x 2 + 7

)

(

)

(

18x 2 + 57x + 127
5
> 0, ∀x ≥ −
45
2

- Do đó (*) ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2 , kết hợp với điều kiện x ≥ −
trình đã cho có nghiệm là −

5
ta suy ra bất phương
2

5

≤x ≤2
2

Bài 11: Giải bất phương trình
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −

2( x + 2)
+ 2( x + 1) 2 ≥ x + 6 + 7( x ∈ R )
2x + 5 +1

5
2

Bất phương trình đã cho tương đương với
⇔ 2 x + 5 − 1 + 2 x 2 + 4 x + 2 ≥ x + 6 + 7 ⇔ 2 x + 5 − x + 6 + 2( x 2 + 2 x − 3) ≥ 0
x −1
1


+ 2( x − 1)( x + 3) ≥ 0 ⇔ ( x − 1) 
+ 2( x + 3) ≥ 0(1)
2x + 5 + x + 6
 2x + 5 + x + 6

1
5
Chú ý rằng
+ 2( x + 3) > 0, ∀x ≥ − nên (1) ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
2
2x + 5 + x + 5

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1

Bài 12: Giải bất phương trình

2 1−

2
8
+ 2x − ≥ x
x
x

 x ≥ 2
 2

1
−
≥
0
 −2 ≤ x < 0
 x
 x < 0
Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình: 
⇔
⇔
x ≥ 2
2 x − 8 ≥ 0
 x ≥ 2



x
  −2 ≤ x < 0

- Với −2 ≤ x < 0 ⇒ bất phương trình đã cho luôn đúng
- Với x ≥ 2 ⇒ bất phương trình đã cho ⇔ 2 x − 2 + 2( x − 2)( x + 2) ≥ x x
⇔ 4( x − 2) + 2( x 2 − 4) + 4 ( x − 2) 2 ( x + 2) ≥ x 3
⇔ x 3 − 2 x 2 − 4 x + 16 − 4 2( x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8) ≤ 0
⇔ 2( x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8) − 8 2( x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8) + 16 ≤ 0

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 4


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

(

2( x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8) − 4

)

2

≤ 0 ⇔ 2( x3 − 2 x 2 − 4 x + 8) = 4

x = 0

⇔ x 3 − 2 x 2 − 4 x = 0 ⇔  x = 1 + 5 ⇔ x = 1 + 5 (do x ≥ 2 )

 x = 1− 5


{

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là [ −2; 0 ) ∪ 1 + 5

}

Bài 13: Giải bất phương trình sau : log 2 ( x 2 − 1) ≥ log 1 ( x − 1) .
2

Hướng dẫn: ĐK: x >1. BPT
log 2 ( x 2 − 1) ≥ log 1 ( x − 1) ⇔ log 2 ( x 2 − 1) + log 2 ( x − 1) ≥ 0
2
2

⇔ ( x − 1)( x − 1) ≥ 1
⇔ x3 − x 2 − x + 1 ≥ 1 ⇔ x( x 2 − x − 1) ≥ 0

⇔ x≥

1+ 5
(do x >1).
2
1 + 5

; +∞  .
 2


Vậy tập nghiệm của BPT là S= 

Bài 14: Giải bất phương trình 2log 3 ( x − 1) + log 3 (2 x − 1) ≤ 2
Hướng dẫn: ĐK: x > 1 . BPT ⇔ 2log3 ( x − 1) + log 1 (2 x − 1) ≤ 2
32

⇔ log3 ( x − 1) + log 3 (2 x − 1) ≤ 1 ⇔ log3 ( x − 1)(2 x − 1) ≤ 1
⇔ ( x − 1)(2 x − 1) ≤ 3 ⇔ 2 x 2 − 3x − 2 ≤ 0

1
⇔ − ≤ x ≤ 2 . Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm là S = (1;2]
2
Bài 15: Giải bất phương trình ( x − 3)( 2 x − 1 + x ) 2 ≥ ( x − 1) 2 , ( x ∈ R)
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥

1
2

- Nhận xét x = 1 không thỏa mãn bài toán, do đó
- Bất phương trình đã cho tương đương với

2 x −1 ≠ x

( x − 1) 2
x−3≥
⇔ x − 3 ≥ ( 2 x − 1 − x ) 2 ⇔ x − 3 ≥ 3x − 1 − 2 2 x 2 − x
2
( 2x −1 + x )
⇔ 2 x 2 − x ≥ x + 1 ⇔ 2 x 2 − x ≥ x 2 + 2 x + 1 ⇔ x 2 − 3x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥

3 + 13
3 − 13
,x ≤
2
2

13 + 3
2

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm x ≥

Bài 16: Giải bất phương trình 4 x 3 − (4 x 2 − 12 x + 5) x 2 − 2 x ≤ 12 x 2 − 9 x + 2
x ≥ 2
x ≤ 0

Hướng dẫn: +) Điều kiện: x 2 − 2 x ≥ 0 ⇔ 
NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 5


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

+) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với
4 x 3 − 12 x 2 + 9 x − 2 − (4 x 2 − 12 x + 5) x 2 − 2 x ≤ 0
⇔ (2 x − 1)(2 x 3 − 5 x + 2) − (2 x − 1)(2 x − 5) x 2 − 2 x ≤ 0

[

]

⇔ (2 x − 1) 2 x 2 − 5 x + 2 − (2 x − 5) x 2 − 2 x ≤ 0 ⇔ (2 x − 1) f ( x) ≤ 0(1)
2

2

+) Với f ( x) = 2 x − 5 x + 2 − (2 x − 5) x − 2 x .Đặt t = x 2 − 2 x ; (t ≥ 0) ⇒ t 2 = x 2 − 2 x
- Khi đó 2 x 2 − 5 x + 2 − (2 x − 5) x 2 − 2 x = 2( x 2 − 2 x) − (2 x − 5)t − x + 2 = 2t 2 − (2 x − 5)t − x + 2
- Ta có ∆ = (2 x − 5) 2 − 8(2 − x) = 4 x 2 − 20 x + 25 + 8 x − 16 = 4 x 2 − 12 x + 9 = (2 x − 3) 2
t = x − 2
Do vậy phương trình f ( x) = 0 ⇔ 
t = − 1
2


Do vậy ta có phân tích
f ( x) = 2 x 2 − 5 x + 2 − (2 x − 5) x 2 − 2 x = ( x 2 − 2 x − x + 2)(2 x 2 − 2 x + 1

Khi đó (1) ⇔ (2 x − 1)( x 2 − 2 x − x + 2)(2 x 2 − 2 x + 1) ≤ 0
⇔ (2 x − 1)( x 2 − 2 x − x + 2) ≤ 0, (2)

(Do 2 x 2 − 2 x + 1 > 0 với mọi x thuộc miền xác định)
Ta xét một số trường hợp sau:
1
(không thỏa mãn)
2
x ≥ 2
+) TH2) x 2 − 2 x = x − 2 ⇔  2

⇔ x = 2 (thỏa mãn)
2
x − 2x = x − 4x + 4
2 x − 1 > 0
x > 2
+) TH3  2
⇔ 2
⇒ Hệ phương trình vô nghiệm
2
 x − 2 x < x − 2
x − 2x < x − 4x + 4

+) TH1: 2 x − 1 = 0 ⇔ x =

2 x − 1 < 0
1
⇔
x
<
2
 x 2 − 2 x > x − 2

+) TH4 

Kết hợp với đk ta được x ≤ 0
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=2;x ≤ 0
Bài 17: Giải bất phương trình: log 5 ( 4 x + 1) − log 5 ( 7 − 2 x ) ≤ 1 + log 1 ( 3x + 2 )
5

1

7
4
2
+ BPT ⇔ log 5 ( 4 x + 1) + log 5 ( 3x + 2 ) ≤ 1 + log 5 ( 7 − 2 x )

Hướng dẫn: + Điều kiện: − < x <

⇔ log 5 ( 4 x + 1)( 3 x + 2 ) ≤ log 5 5 ( 7 − 2 x )
⇔ ( 4 x + 1)( 3 x + 2 ) ≤ 5 ( 7 − 2 x )
⇔ 12 x 2 + 21x − 33 ≤ 0
⇔−

33
≤ x ≤1
12

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 6


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

1
4

1
4

Giao với điều kiện, ta được: − < x ≤ 1 . Vậy: nghiệm của BPT đã cho là − < x ≤ 1

Bài 18: Giải bất phương trình: (4 x 2 − x − 7) x + 2 > 10 + 4 x − 8 x 2
Hướng dẫn: ĐK: x ≥ -2
(4 x 2 − x − 7) x + 2 > 10 + 4 x − 8 x 2 ⇔ (4 x 2 − x − 7) x + 2 + 2(4 x 2 − x − 7) > 2[( x + 2) − 4]
⇔ (4 x 2 − x − 7)( x + 2 + 2) > 2( x + 2 − 2)( x + 2 + 2)
⇔ 4 x2 − x − 7 > 2 x + 2 − 4 ⇔ 4 x2 > x + 2 + 2 x + 2 + 1
⇔ (2 x) 2 − ( x + 2 + 1) 2 > 0 ⇔ (2 x + x + 2 + 1)(2 x − x + 2 − 1) > 0

 x + 2 > 2 x − 1
⇔
hoặc
 x + 2 < −2 x − 1

 x + 2 > −2 x − 1

 x + 2 < 2 x − 1
 5 + 41

; +∞ 
 8


Giải các hệ bất pt trên được tập nghiệm là: T = [ −2; −1) ∪ 

Bài 19: Giải bất phương trình 8 x 3 − 2 x ≥ (4 + x − 1)( x + 14 + 8 x − 1) .
Hướng dẫn: Điều kiện : x ≥ 1
(1) ⇔ 8 x3 − 2 x ≥ (4 + x − 1)( x − 1 + 8 x − 1 + 16 − 1) ⇔ 8 x3 − 2 x ≥ (4 + x − 1)3 − (4 + x − 1) (2)

- Xét hàm số f (t ) = t 3 − t ; f '(t ) = 3t 2 − 1 > 0∀t ≥ 1 ⇒ f(t) đồng biến trên [1;+ ∞ ) mà (2) có

f (2 x) ≥ f (4 + x − 1) và 2 x, 4 + x − 1 ∈ [1; +∞) nên (2) ⇔ 2 x ≥ 4 + x − 1
2 x − 4 ≥ 0

⇔ 2 x − 4 ≥ x − 1 ⇔ (2 x − 4)2 ≥ x − 1
x −1 ≥ 0

x ≥ 2
x ≥ 2
17 + 17

⇔ 2
⇔
17 − 17
17 + 17 ⇔ x ≥
8
;x ≥
 4 x − 17 x + 17 ≥ 0
x ≤
8
8


(

)

Bài 20: Giải bất phương trình: (x + 2) 2x + 3 − 2 x + 1 + 2x 2 + 5x + 3 ≥ 1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1
x + 2 = a 2 − b 2
 2x + 3 = a




Đặt  x + 1 = b ⇒  2x 2 + 5x + 3 = ab .


a, b ≥ 0
1 = a 2 − 2b 2



Bất phương trình trở thành: (a 2 − b 2 )(a − 2b ) + ab ≥ a 2 − 2b 2
⇔ (a 2 − b 2 )(a − 2b) + b(a + b) − (a 2 − b 2 ) ≥ 0
⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) ≥ 0 (do a + b > 0)
⇔ (a − 2b)(a − b − 1) ≥ 0

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 7


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA


x ≥ −1
x ≥ −1


1

1

TH1:  2x + 3 − 2 x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≥ −
⇔− ≤x ≤3


2
2
 2x + 3 − x + 1 − 1 ≤ 0
−1 ≤ x ≤ 3


x ≥ −1

x ≥ −1

1

TH2:  2x + 3 − 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≤ −
⇔ x = −1


2
 2x + 3 − x + 1 − 1 ≥ 0
x ≤ −1; x ≥ 3


 1 
Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3
 2 




Bài 21: Giải bất phương trình 10 x 2 − 50 x − 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 2 − 3 x − 5
10 x 2 − 50 x − 3 ≥ 0

25 + 745
Hướng dẫn: Điều kiện 2 x 2 − 5 x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥
10
x ≥ 5

2 x 2 − 14 x + 47
- Nhận xét 2 x 2 − 5 x + 2 − 3 x − 5 =
>0
2x 2 − 5x + 2 + 3 x − 5

- Bất phương trình đã cho tương đương với
10 x 2 − 50 x − 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 2 + 9 x − 45 − 6 (2 x − 1)( x − 2)( x − 5)
⇔ 4 x 2 − 27 x + 20 + 3 (2 x − 1)( x − 5) . x − 2 ≥ 0
⇔ 2(2 x 2 − 11x + 5) − 5( x − 2) + 3 2 x 2 − 11x + 5. x − 2 ≥ 0

- Đặt

2 x 2 − 11x + 5 = a; x − 2 = b, (a > 0; b > 0) ta thu được
2a 2 − 5b 2 + 3ab ≥ 0 ⇔ (a − b)(2a + 5b) ≥ 0 ⇔ a ≥ b
⇔ 2 x 2 − 11x + 5 ≥ x − 2 ⇔ 2 x 2 − 12 x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥



Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm S = 3 +



Bài 22: Giải bất phương trình

6 + 22
6 − 22
;x ≤
2
2


22
;+∞ 
2


3x 2 − 12 x + 5 ≤ x 3 − 1 + x 2 − 2 x

3 x 2 − 12 x + 5 ≥ 0

Hướng dẫn: Điều kiện  x ≥ 1
⇔ x≥2
 x ( x − 2) ≥ 0


Bất phương trình đã cho tương đương với
3 x 2 − 12 x + 5 ≤ x 3 + x 2 − 2 x − 1 + 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1) x( x − 1)

⇔ x 3 − 2 x 2 + 10 x − 6 + 2 ( x − 1)( x − 2 . ( x 2 + x + 1) x ≥ 0
⇔ ( x 3 + x 2 + x) − 3( x 2 − 3 x + 2) + 2 x 2 − 3 x + 2 . x 3 + x 2 + x ≥ 0

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 8


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

x 2 − 3x + 2
x 2 − 3x + 2
⇔ 1 − 3. 3
+2 3
≥ 0(1)
x + x2 + x
x + x2 + x
x 2 − 3x + 2
Đặt
= t (t ≥ 0) thì (1)
x3 + x 2 + x
1
⇔ 1 − 3t 2 + 2t ≥ 0 ⇔ − ≤ t ≤ 1 ⇒ x 2 − 3 x + 2 ≤ x 3 + x 2 + x ⇔ x 3 + 4 x + 2 ≥ 0(2)
3
Nhận thấy (2) nghiệm đúng với x ≥ 2 . Kết luận nghiệm S = [2;+∞ )

Bài 23: Giải bất phương trình:

x + 3 x2 + x + 4
+
≥ 2 2 +3

x +1
x +1

Hướng dẫn: ĐK: x > -1
x2 + x + 4
≥ 3, ∀x > −1 .
x +1
x+3
2
- Lại có
= x +1 +
x +1
x +1

(1)

- Theo câu a ta có:

- Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số

x + 1,

2
ta được:
x +1

2
≥ 2 2, ∀x > −1 (2)
x +1
x + 3 x2 + x + 4

Từ (1) và (2), cộng vế với vế ta có:
+
≥ 2 2 + 3 , ∀x > −1
x +1
x +1
x +1 +

Suy ra mọi giá trị x > -1 đều thỏa mãn bất phương trình.
Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm là

Bài 24: Giải bất phương trình sau:

S = ( −1; +∞ )

1 + 2 x − 2 x 2 + 3x + 1
2

1− 2 x − x +1

>1

x ≥ 0

Hướng dẫn: Điều kiện:  x 2 + 3x + 1 ≥ 0
⇔ x≥0

2
1 − 2 x − x + 1 ≠ 0
2

1 3

- Ta có 2 x − x + 1 = 2  x −  + ≥ 3 > 1 (∀x ≥ 0) ⇒ 1 − 2 x 2 − x + 1 < 0
2 4

- BPT
2

⇔ x + x2 − x + 1 < x 2 + 3x + 1
1
1
⇔ 1 + x + − 1 < x + + 3 (Vì x = 0 không thỏa mãn bất phương trình)
x
x
1
- Đặt x + = t ⇒ t ≥ 2 vì x > 0 .
x
13
- Ta có 1 + t − 1 < t + 3 ⇔ 2 t − 1 < 3 ⇔ t <
4
NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 9


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

- Suy ra 2 ≤ t <

13
1 13
⇒2≤ x+ <
4
x 4

1

2
 x + x ≥ 2
13 − 105
13 + 105
( x − 1) ≥ 0
⇔
⇔
⇔
2
8
8
4 x − 13 x + 4 < 0
 x + 1 < 13

x 4
Bài 25: Giải bất phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ 1
Bất phương trình đã cho tương đương với

x + 3 x 2 + x − 2 < 11x 2 + 12 x − 10

x + 9( x 2 + x − 2) + 6 x( x − 1)( x − 2) < 11x 2 + 12 x − 10
⇔ 6 ( x 2 − x)( x + 2) < 2 x 2 + 2 x + 8 ⇔ 3 ( x 2 − x)( x + 2) < x 2 + x + 4
⇔ 3 x 2 − x . x + 2 < x 2 − x + 2( x + 2)
a = x 2 − x

Đặt 

b = x + 2

(a, b ≥ 0) ta được BPT 3ab < a 2 + 2b 2 ⇔ (a − b)(a − 2b) > 0

 5 + 57
2
2
x >


>
2
2
2
0
a
b
x
−
x
>
x
+

x
−
x
−
>



2 ⇔ x > 5 + 57 (do x ≥ 1)
- TH1: 
⇔ 2
⇔ 2
⇔
2
 5 − 57
a > 2b x − x > 4 x + 8 x − 5x − 8 > 0
x <
2

2
2
x − x < x + 2
x − 2x − 2 < 0
a < b
- TH2: 
⇔ 2
⇔ 2
⇔ 1 − 3 < x < 1 + 3 ⇔ 1 ≤ x < 1 + 3 (do x ≥ 1 )
a < 2b x − x < 4x + 8 x − 5x − 8 < 0
 5 + 57


;+∞  ∪ 1;1 + 3
2



[

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = 

)

Bài 26: Giải bất phương trình log 1 ( 4 x + 4 ) ≥ log 1 ( 2 x +1 − 3) − log 2 2 x .
2

2

Hướng dẫn:
log 1 ( 4 x + 4 ) ≥ log 1 ( 2 x +1 − 3) − log 2 2 x
2

2

⇔ log 1 ( 4 + 4 ) ≥ log 1 ( 2 x +1 − 3) + log 1 2 x
x

2

2

⇔ log 1 ( 4 + 4 ) ≥ log 1 ( 2
x

2

2
2 x +1

− 3.2

x

)

2

⇔ 4 x + 4 ≤ 22 x +1 − 3.2 x
⇔ 4 x − 3.2 x − 4 ≥ 0
 2 x ≤ −1( L )
⇔ x
⇔x≥2
2
≥
4

Vậy BPT có tập nghiệm: S = [ 2; +∞ )
NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 10

TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

Bài 27: Giải bất phương trình 2.14 x + 3.49 x − 4 x ≥ 0
x

2x

7
7
Hướng dẫn: Chia cả hai vế của bpt cho 4 được bpt ⇔ 2   + 3   − 1 ≥ 0
2
2
t ≤ −1
x
1
7
2
Đặt t =   (với t > 0). BPT trở thành 3t + 2t – 1 ≥ 0 ⇔ 
1⇒t≥
t ≥
2
3
3

x

x



7 1
⇔   ≥ ⇔ x ≥ − log 7 3 . KL: BPT có tập nghiệm S = − log 7 3 ; + ∞ 
2 3
2
2



Bài 28: Giải bất phương trình 4 x 2 x − 1 + 45 x 3 − 75 x 2 + 30 x < 4( x ∈ R )
1
. Bất phương trình đã cho tương đương với
2
4 x 2 x − 1 − 4 x + 45 x 3 − 75 x 2 + 34 x − 4 < 0

Hướng dẫn: Điều kiện x ≥

⇔ 4 x( 2 x − 1 − 1) + ( x − 1)(45 x 2 − 30 x + 4) < 0
⇔

4 x ( 2 x − 2)
+ ( x − 1) 5(3 x − 1) 2 − 1 < 0
2x −1 + 1

[

]

4x



⇔ ( x − 1) 
+ 5(3 x − 1) 2 − 1 < 0(1)
 2x −1 +1

4x
1
1
- Nhận xét
+ 5(3 x − 1) 2 − 1 > 5(3. − 1) 2 − 1 > 0, ∀x ≥ nên (1) ⇔ x − 1 < 0 ⇔ x < 1
2
2
2x −1 + 1
1 
- Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm S =  ;1
2 

Bài 29: Giải bất phương trình: log 2 ( x − 2) + log 0,5 x < 1 .
Hướng dẫn: Điều kiện: x > 2 .
⇔ log 2 ( x − 2 ) − log 2 x < 1 ⇔ log 2

x−2
x−2
<1⇔
<2
x
x

⇔ x − 2 < 2 x ⇔ x > −2 .
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bpt là x > −2 .

Bài 30: Giải bất phương trình: x − x − 2 > x3 − 4 x 2 + 5 x − x3 − 3 x 2 + 4 .
Hướng dẫn:
Cách 1: BPT
2
⇔ x − x − 2 > x ( x − 2 ) + 1 −


⇔ ( x − 2)+ | x − 2 | x + 1 > x 1 +


( x − 2)

2

( x − 2)

2

( x + 1)
+ 1 .


( x ≥ 0) .
(1)

* x = 2 : (1) ⇔ 0 > 2 2 (loại).
* x = 0 : (1) ⇔ −2 > −2 (loại).

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 11


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

* x > 2 : (1) ⇔ ( x − 2) 1 + x + 1 > x 1 +


(

)

( x − 2)

x .( x − 2) > 0 ta được: (1) ⇔

- Chia 2 vế cho

- Xét hàm f (t ) = t + 1 + t 2 , t > 0 ⇒ f '(t ) = 1 +

2

+ 1


1
1
1
1

.
+ 1+ >
+ 1+
2
x x−2
x
( x − 2)
t
1+ t2

> 0 ∀t > 0 ⇒ f (t ) đồng biến

1
1
>
⇔ x − 2 > x ⇔ x 2 − 5 x + 4 > 0 ⇔ x > 4; x < 1 .
x x−2
- Kết hợp x > 2 ⇒ x > 4 .
* 0 < x < 2:
2
(1) ⇔ ( x − 2) 1 − x + 1 > x 1 + ( x − 2 ) + 1  .


1
1
1
1
.
- Chia 2 vế cho x .( x − 2) < 0 ta được: (1) ⇔
− 1+ <

− 1+
2
x x−2
x
x
−
2
(
)

∀t > 0 , (1) ⇔

(

)

2

- Xét hàm f (t ) = t − 1 + t , t ∈ R ⇒ f '(t ) = 1 −
biến ∀t . Từ đó (1) ⇔

t
1+ t2

=

1+ t2 − t
1+ t2

> 0 ∀t ⇒ f (t ) đồng

1
1
1
<
. Trường hợp này vô nghiệm vì
< 0.
x−2
x x−2

Đáp số: x > 4 .
Cách 2: ĐK x ≥ 0
+ x = 0 không là nghiệm. Xét x > 0 :
+ (1) ⇔

(

x −2

)(

)

x +1 >

x2 − 5x + 4

x3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3 x 2 + 4
 x +1


x −1
⇔ f ( x) = ( x − 4 ) 
+
> 0.

x3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3x 2 + 4 
 x +2
x +1
x −1
+ Xét g ( x) =
+
3
2
x +2
x − 4 x + 5 x + x3 − 3x 2 + 4
Nếu x ≥ 1 thì g ( x) > 0 .
+ Nếu 0 < x < 1: x + 1 > 1 ⇒ x + 1 > 1 . Ta có:

x3 − 3x 2 + 4 =

( x + 1)( x − 2 )

2

x +1
x +1 1
>
=
x +2 2 x +2 2

(1)

= x − 2 x +1 > x − 2 = 2 − x

⇒ x3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3x 2 + 4 > 2 − x
1− x
1− x
1− x
1− x
1
⇒
<
=
<
=
x3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3x 2 + 4 2 − x 2 − 2 x + x 2 − 2 x 2
x −1
1
⇒
>−
(2) .
2
x3 − 4 x2 + 5 x + x3 − 3x2 + 4
NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 12


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

Từ (1) và (2) suy ra g ( x) > 0 ∀x > 0 .
+ f ( x) > 0 ⇔ x − 4 > 0 ⇔ x > 4 . Kết hợp ĐK suy ra đáp số: x > 4 .

Bài 31: Giải bất phương trình

x 3 − 8 ≤ x 3 − 2 x 2 − 9 + x + 1( x ∈ R )

x3 − 8 ≥ 0

x ≥ 2
Hướng dẫn: Điều kiện:  x 3 − 2 x 2 − 9 ≥ 0 ⇔ 
⇔ x≥3
2
( x − 3)( x + x + 3) ≥ 0
x + 1 ≥ 0


Bất phương trình đã cho tương đương với
x 3 − 8 ≤ x 3 − 2 x 2 − 9 + x − 1 + 2 ( x − 3)( x 2 + x + 3)( x + 1)
⇔ 2 x 2 − x ≤ 2 ( x − 3)( x + 1) . x 2 + x + 3
⇔ x 2 − 2 x − 3 − 2 x 2 − 2 x − 3. x 2 + x + 3 + x 2 + x + 3 ≤ 0
⇔ ( x 2 − 2x − 3 − x 2 + x + 3) 2 ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = x 2 + x + 3
⇔ x 2 − 2 x − 3 = x 2 + x + 3 ⇔ x = −2

Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 32: Giải bất phương trình : log 1 log 2 (2 − x 2 )  > 0 ( x ∈ R) .
2

Hướng dẫn:

- Điều kiện: log 2 (2 − x 2 ) > 0 ⇔ 2 − x 2 > 1 ⇔ −1 < x < 1
 −1 < x < 1
−1 < x < 1 −1 < x < 1
- Khi đó ⇔ log 2 (2 − x 2 ) < 1 ⇔ 
⇔
⇔
 2
2
 x≠0
2 − x < 2
x > 0
Vậy tập nghiệm bpt là S = (−1;0) ∪ (0;1)

(

)

Bài 33: Giải bất phương trình: x 2 + 5 x < 4 1 + x( x 2 + 2 x − 4) (x∈ R).

 −1 − 5 ≤ x ≤ 0
Hướng dẫn: ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0 ⇔ 
 x ≥ −1 + 5
⇔ 4 x( x 2 + 2 x − 4) > x 2 + 5x − 4 ⇔ 4 x( x 2 + 2 x − 4) > ( x 2 + 2 x − 4) + 3x (**)
+ TH 1: x ≥ −1 + 5 , chia hai vế cho x > 0, ta có:
(**) ⇒ 4

x2 + 2 x − 4 x2 + 2x − 4
>
+3
x

x

x2 + 2 x − 4
, t ≥ 0 , ta có bpt: t 2 − 4t + 3 < 0 ⇔ 1 < t < 3
x
 x 2 − 7 x − 4 < 0
x2 + 2 x − 4
−1 + 17
7 + 65
1<
<3⇔ 2
⇔
x
2
2
 x + x − 4 > 0
+ TH 2: −1 − 5 ≤ x ≤ 0 , x 2 + 5 x − 4 < 0 , (**) luôn thỏa

- Đặt t =

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 13


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

 −1 + 17 7 + 65 

Vậy tập nghiệm bpt (*) là S =  −1 − 5;0  ∪ 
;

2
2 

Bài 34: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x ∈  0; 1 + 3  :





m ( x 2 − 2 x + 2 + 1) + x( 2 − x ) ≤ 0
Hướng dẫn: Đặt t = x2 − 2x + 2 do x ∈ [0;1 + 3] nên t ∈ [1;2]
- Bất phương trình trở thành: m ≤
- Khảo sát hàm số g(t) =
- Ta có: g'(t) =

t 2 + 2t + 2
(t + 1)2

⇒ Maxg (t ) = g (2) =

- Từ đó: m ≤

t2 − 2
t +1

t2 − 2
với t ∈ [1;2]

t +1

> 0 . Vậy g(t) =

t2 − 2
đồng biến trên [1; 2]
t +1

2
3

2
t2 − 2
2
có nghiệm t ∈ [1,2] ⇔ m ≤ max g(t ) = g(2) = . Kết luận: m ≤
t +1
3
3
t∈[1;2]

Bài 35: Giải bất phương trình 2 x 2 + 5 x + 6 + 7 x + 11 < 4 x + 9( x ∈ R)
Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −

6
5

+ Bất phương trình đã cho tương đương với
2 x 2 − 2 x − 4 + 5 x + 6 − ( x + 2) + 7 x + 11 − ( x + 3) < 0
− x2 + x + 2
− x2 + x + 2

+
<0
5x + 6 + x + 2
7 x + 11 + x + 3
1
1
⇔ ( x 2 − x − 2)(
+
− 2) > 0(1)
5x + 6 + x + 2
7 x + 11 + x + 3
1
1
1
1
6
+ Nhận xét
+
<
+
< 2, ∀x ≥ −
5
5x + 6 + x + 2
7 x + 11 + x + 3 2 − 6
6
13
3− +
5
5
5

2
+ Do đó (1) ⇔ x − x − 2 < 0 ⇔ ( x + 1)( x − 2) < 0 ⇔ −1 < x < 2 . Kết luận nghiệm -1⇔ 2( x 2 − x − 2) +

Bài 36: Giải bất phương trình x 2 + x + 2 + x 3 + 2 x 2 + x ≥ ( x 2 + 1) 3x + 6 ( x ∈ R)
Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −2
+ Nhận xét x = -2 thỏa mãn bất phương trình đã cho
+ Xét trường hợp x >-2 thì bất phương trình đã cho tương đương
x 2 + x + 2 − 2 + x 3 + 2 x 2 + x + 2 − ( x 2 + 1) 3 x + 6 ≥ 0

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 14


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

⇔ x 2 + x + 2 − 2 + ( x 2 + 1)( x + 2 − 3 x + 6
⇔

x2 + x − 2

( x 2 + 1)( x 2 + x − 2)
+
≥0
x + 2 + 3x + 6
x2 + x + 2 + 2




1
x2 +1
⇔ ( x − 1)( x + 2) 
+
 ≥ 0(1)
2
x
+
2
+
3
x
+
6
2
2
x
+
x
+
+


2


1
x +1
Ta có ( x + 2)  2

+
 > 0, ∀x > −2 ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 .
 x + x + 2 + 2 x + 2 + 3x + 6 
Kết luận x ≥ 1

Bài 37: Giải bất phương trình sau
Hướng dẫn:

2 x + 5 + 3x − 2 > 4 x + 1 + 5 x − 6

⇔ 2 x + 5 − 4 x + 1 + 3x − 2 − 5 x − 6 > 0
⇔ (−2 x + 4)[

1
1
+
]>0
2x + 5 + 4x + 1
3x − 2 + 5 x − 6

⇔ x<2
3x

Bài 38: Giải bất phương trình

1 − x2

−1 <

1

.
1 − x2

Hướng dẫn: Điều kiện x < 1 . Bất phương trình đã cho tương đương với:
x2
1 − x2 + x2
3x
3x
>
−
⇔
−
+ 2 > 0 (1)
1
2
2
2
1− x
1− x
1− x
1 − x2

+ Đặt t =

x
1 − x2

+ Với t < 1 thì

t < 1

t > 2

, khi đó bất phương trình (1) trở thành: t 2 − 3t + 2 > 0 ⇔ 
x
1− x

2

< 1 ⇔ x < 1 − x 2 (2)

* −1 < x ≤ 0 : bất phương trình (2) đúng
* 0 < x < 1: bất phương trình (2) ⇔ x 2 < 1 − x 2 ⇔ 0 < x <

2
2



Tập nghiệm của bất phương trình (2) là S1 =  −1;


+ Với t > 2 thì

x
1− x

2

2


2 

> 2 ⇔ x > 2 1 − x 2 (3)

x > 0

* Bất phương trình (3) ⇔ 

2

2

 x > 4(1 − x )

⇔x>

2 5
5
2 5



Tập nghiệm của bất phương trình (3) là S2 = 
;1
 5

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 15

TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA



2

2 5



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 ∪ S2 =  −1;
;1
∪
2   5



Bài 39: Giải bất phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −

(3 x + 1) 3 > 2 x 2 + 5 x + 1( x ∈ R )

1
3

+ Bất phương trình đã cho tương đương với
(3 x + 1)( 3 x + 1 − 2 x) > 2 x 2 + 5 x + 1 − 2 x(3 x + 1)
⇔ (3 x + 1)( 3 x + 1 − 2 x) > −4 x 2 + 3 x + 1

⇔ (3 x + 1)( 3 x + 1 − 2 x) > ( 3 x + 1 − 2 x)( 3 x + 1 + 2 x)

+ Ta có

⇔ ( 3 x + 1 − 2 x)( 3 x + 1 − x − 1) < 0(1)
1
3 x + 1 + x + 1 > 0, ∀x ≥ − nên
3
( 3 x + 1 − 2 x) x( x − 1)
> 0 ⇔ ( 3 x + 1 − 2 x) x( x − 1) > 0(2)
(1) ⇔
3x + 1 + x + 1

Xét hai trường hợp xảy ra
x < 0
x > 1
x < 0

+) Với x( x − 1) > 0 ⇔ 
thì (2) ⇔ 3x + 1 > 2 x ⇔  x ≥ 0
⇔
⇔ x <1
0 ≤ x <1

x < 0

2
 4 x − 3x − 1 < 0

0 < x < 1

+) Với x( x − 1) < 0 ⇔ 0 < x < 1 thì (2) ⇔ 3x + 1 < 2 x ⇔  2
⇔ x ∈φ
4 x − 3 x − 1 > 0
 1 

Kết luận nghiệm S = − ;1
 3 

Bài 40: Giải bất phương trình

2 x( 3x − 5 + 4 x − 3 )
+ 15 < 5 2 x + 9 , ( x ∈ R )
2x + 9 + 3

5
3
2 x( 3 x − 5 + 4 x − 3 ) < 5( 2 x + 9 + 3)( 2 x + 9 − 3)

Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ . Lúc này bất phương trình đã cho tương đương với

⇔ 2 x ( 3 x − 5 + 4 x − 3 ) < 5 .2 x ⇔ 3 x − 5 + 4 x − 3 < 5
⇔ 7 x − 8 + 2 12 x 2 − 29 x + 15 < 25 ⇔ 2 12 x 2 − 29 x + 15 < 33 − 7 x
33
33
33
5
5
5
≤x<
5

 ≤x≤
 ≤x<

⇔ 3
⇔ 3
⇔ 3
⇔ ≤ x<3
7
7
7

3
4(12 x 2 − 29 x + 15) < (33 − 7 x) 2
 x 2 − 346 x + 1029 > 0
 x > 343 ∪ x < 3


5
Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm là ≤ x < 3
3

Bài 41: Giải bất phương trình : ( x − 1) x 2 + 5 + x > x 2 + 1
Hướng dẫn:
+ x ≤ 1 : lo ạ i

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 16

TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

x2 − x +1
1
1
⇔ x2 + 5 > x +
⇔ x2 + 5 − x >
x −1
x −1
x −1
5
1
⇔
>
⇔ 5 ( x − 1) > x 2 + 5 + x ⇔ 4x − 5 > x 2 + 5
2
x
−
1
x +5 + x
5

x >
⇔
⇔x>2
4
2
15x − 40x + 20 > 0


+ x > 1: x 2 + 5 >

Vậ y : x > 2

Bài 42: Giải bất phương trình : ( x 2 − x ) . 2 x + 1 ≤ x3 − 2 x − 1
Hướng dẫn: ĐK: x ≥ −

1
2
BPT ⇔

(

)(

)

2 x + 1 − x x2 + 2x + 1 ≤ 0

(
2; +∞ )

⇔ 2 x + 1 − x ≤ 0 vi x 2 + 2 x + 1 ≥ 0
⇔ x ∈ 1 +

)

Bài 43: Giải bất phương trình: log 0,2 x + log0,2 (x + 1) < log0,2 (x + 2) .
Hướng dẫn: Điều kiện: x > 0 (*).

log 0,2 x + log0,2 (x + 1) < log0,2 (x + 2) ⇔ log0,2 (x 2 + x) < log 0,2 (x + 2)
⇔ x 2 + x > x + 2 ⇔ x > 2 (vì x > 0).
Vậy bất phương trình có nghiệm x >

2.

Bài 44: Giải bất phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện: x 0 (*)
+ x = 0 là nghiệm bpt (1)
+ x > 0 chia 2 vế BPT cho
- Đặt t = x +

x ta được:

x+

x 2 + 20 x + 4 + x ≤ 2 x + 4

4
2 

+ 20 + 1 ≤ 2  x +

x
x


2
4
⇒ x + = t2 − 4

x
x

Bất phương trình thành:
Với t ≥ 3 ta có:

x+

 1
t ≥
t + 16 ≤ 2t − 1 ⇔  2
⇔ t≥3
 t 2 + 16 ≤ 4t 2 − 4t + 1

2

2
≥ 3 ⇔ x ≥ 4;0 < x ≤ 1
x

Kết hợp với điều kiện (*) và nghiệm x = 0 ta được tập nghiệm bpt là S = [0;1] ∪[4; +∞]

Bài 45: Giải bất phương trình:

NGUYỄN HỮU BIỂN -

300 x 2 − 40 x − 2 − 10 x − 1 − 3 − 10 x
≤0
1+ x + 1− x − 2

/>
Trang 17


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

1
3
≤x≤
10
10
1 3
1 + x + 1 − x < 2, ∀x ∈  ;  (Theo BĐT Bunhia)
 10 10 

Hướng dẫn: Điều kiện:
- Ta có:

Bpt ⇔ 300 x 2 − 40 x − 2 − 10 x − 1 − 3 − 10 x ≥ 0
⇔ ( 10 x − 1 − 1) + ( 3 − 10 x − 1) ≤ 300 x 2 − 40 x − 4
10 x − 2
2 − 10 x
⇔
+
≤ (10 x − 2)(30 x + 2)
10 x − 1 + 1
3 − 10 x + 1
1
1



⇔ (10 x − 2) 
−
− 30 x − 2  ≤ 0 (*)
3 − 10 x + 1
 10 x − 1 + 1

1
1
f ( x) =
−
− 30 x − 2
10 x − 1 + 1
3 − 10 x + 1
5
5
1 3
f '( x ) = −
−
− 30 < 0, ∀x ∈ ( ; )
2
2
10 10
10 x − 1( 10 x − 1 + 1)
3 − 10 x ( 3 − 10 x + 1)
1 3
1 3
- Mặt khác f ( x ) liên tục trên [ ; ] nên f ( x ) nghịch biến trên [ ; ]
10 10
10 10

3
1
⇒ f ( ) ≤ f ( x ) ≤ f ( ) < 0 ( Hs có thể đánh giá)
10
10
1
- Do đó bất phương trình (*) ⇔ 10 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥
5
1
3
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: ≤ x ≤
5
10

(

)

Bài 46: Giải bất phương trình: (x + 2) 2x + 3 − 2 x + 1 + 2x 2 + 5x + 3 ≥ 1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1
x + 2 = a 2 − b 2
 2x + 3 = a



Đặt  x + 1 = b ⇒  2x 2 + 5x + 3 = ab .


a, b ≥ 0
1 = a 2 − 2b 2




Bất phương trình trở thành: (a 2 − b 2 )(a − 2b ) + ab ≥ a 2 − 2b 2
⇔ (a 2 − b 2 )(a − 2b) + b(a + b) − (a 2 − b 2 ) ≥ 0
⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) ≥ 0 (do a + b > 0)
⇔ (a − 2b)(a − b − 1) ≥ 0
x ≥ −1
x ≥ −1



1
1

TH1:  2x + 3 − 2 x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≥ −
⇔− ≤x ≤3


2
2
 2x + 3 − x + 1 − 1 ≤ 0
−1 ≤ x ≤ 3



NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 18

TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

x ≥ −1

x ≥ −1

1

TH2:  2x + 3 − 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≤ −
⇔ x = −1


2
 2x + 3 − x + 1 − 1 ≥ 0
x ≤ −1; x ≥ 3


 1 
Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3
 2 



Bài 47: Giải bất phương trình

x + 1 − x 2 ≥ 2 − 3x − 4 x 2 .

Hướng dẫn:

x ≥ 0
0 ≤ x ≤ 1
−3 + 41


2
Điều kiện: 1 − x ≥ 0
⇔  −3 − 41
.
−3 + 41 ⇔ 0 ≤ x ≤
8
≤x≤


2
8
8

2 − 3x − 4 x ≥ 0

(*)

Bất phương trình đã cho tương đương với

x + 1 − x 2 + 2 x(1 − x 2 ) ≥ 2 − 3 x − 4 x 2 ⇔ 3( x 2 + x) − (1 − x) + 2 ( x + x 2 )(1 − x) ≥ 0

−5 + 34
x ≥
x +x
x +x

x +x 1
9
⇔3
+2
−1 ≥ 0 ⇔
≥ ⇔ 9 x 2 + 10 x − 1 ≥ 0 ⇔ 
1− x
1− x
1− x
3

−5 − 34
.
x ≤
9

−5 + 34
−3 + 41
Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là
≤x≤
.
9
8
2

2

2

Bài 48: Giải bất phương trình ( 5 x 2 − 5 x + 10 ) x + 7 + ( 2 x + 6 ) x + 2 ≥ x 3 + 13x 2 − 6 x + 32 .

Hướng dẫn:
Điều kiện x ≥ −2 . Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
(5 x 2 − 5 x + 10)

(

)

x + 7 − 3 + (2 x + 6)

⇔ (5 x 2 − 5 x + 10)

(

)

(

)

x + 2 − 2 + 3(5 x 2 − 5 x + 10) + 2(2 x + 6) ≥ x 3 + 13x 2 − 6 x + 32

x + 7 − 3 + (2 x + 6)

(

)

x + 2 − 2 − x 3 + 2 x 2 − 5 x + 10 ≥ 0

 5 x 2 − 5 x + 10
⇔ ( x − 2) 
+
 x+7 +3


2x + 6
− x 2 − 5  ≥ 0 (*)
x+2 +2

1
1
+ Do x ≥ −2 ⇒ x + 2 + 2 ≥ 2 ⇒
≤ và vì 2 x + 6 > 0
x+2 +2 2
2x + 6
2x + 6
⇒
≤
= x + 3 (1)
2
x+2+2
1
1
+ Do x ≥ −2 ⇒ x + 7 + 3 ≥ 5 + 3 > 5 ⇒
< và vì 5 x 2 − 5 x + 10 > 0 ∀x ∈ ℝ
x+7 +3 5
2
2
5 x − 5 x + 10 5 x − 5 x + 10

5 x 2 − 5 x + 10 2
2
⇒
<
= x −x+2⇒
− x − 5 < − x − 3 (2)
5
x+7 +3
x+7 +3
5 x 2 − 5 x + 10
2x + 6
Từ (1) và (2) ⇒
+
− x 2 − 5 < 0 . Do đó (*) ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2
x+7 +3
x+2+2
Kết hợp điều kiện x ≥ −2 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2 .
NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
Trang 19


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
x +1
x+2
Bài 49: Giải bất phương trình sau log 3 (2 − 8) + log 1 (24 − 2 ) ≤ 0
3

Hướng dẫn:

x +1
2 − 8 > 0
Điều kiện: 
x+2
24 − 2 > 0

(1)
⇔ log 3 ( 2 x +1 − 8 ) ≤ log 3 ( 24 − 2 x + 2 )
2 x +1 − 8 > 0
 2 x > 4
 2 x > 4
⇔  x +1
⇔ x
⇔ x
x+2
x
 2.2 − 8 ≤ 24 − 4.2
2 − 8 ≤ 24 − 2
6.2 ≤ 32

⇔ 4 < 2x ≤

16
 16 
⇔ 2 < x ≤ log 2  
3
 3

Bài 50: Giải bất phương trình 2( x + 3 − 3 − 2 x ) + 2 x 2 + 3x − 7 ≥ 0
Hướng dẫn:

Điều kiên : −3 ≤ x ≤

3
2

⇔2

(

)

x + 3 − 2 + 1 − 3 − 2x + 2x 2 + 3x − 5 ≥ 0

 x + 3 − 4 1 − ( 3 − 2x ) 
⇔ 2
+
 + ( x − 1)( 2x + 5 ) ≥ 0
x
+
3
+
2
1
+
3
−
2x


2

4


⇔ ( x − 1) 
+
+ 2x + 5  ≥ 0 (*)
 x + 3 + 2 1 + 3 − 2x


Do −3 ≤ x ≤

3
4
⇒ 3 − 2x ≤ 9 ⇒
≥ 1 và 2x + 5 ≥ −1 nên
2
3 − 2x + 1
2
4
3

+
+ 2x + 5 > 0, ∀x ∈  −3; 
2
x + 3 + 2 1 + 3 − 2x


- Từ (*) ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 . Kết hợp với điều kiện ⇒ tập nghiệm của bất phương
 3

trình là T = 1; 
 2
NGUYỄN HỮU BIỂN -

NGUYỄN HỮU BIỂN -

/>
/>
Trang 20


CẨM NANG CHO MÙA THI

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
(LỚP 11 & ÔN THI THPT QUỐC GIA)

NGUYỄN HỮU BIỂN
/>Email:


LỜI GIỚI THIỆU
Các em học sinh thân mến, bài tập giải phương trình lượng giác là một trong nhưng nội
dung thường xuyên xuất hiện trong đề thi đại học, kiến thức về giải phương trình lượng giác
các em được học trong chương trình giải tích lớp 11 kết hợp với các công thức và kiến thức nền
tảng của lớp 10. Để giải phương trình lượng giác, điều đầu tiên các em cần là phải biết cách
học thuộc các công thức biến đổi lượng giác cơ bản, tiếp theo các em cần học tập siêng năng,
chuyên cần để đúc rút kinh nghiệm cho bản thân, từ đó biết phân chia các dạng toán và kỹ
thuật giải tương ứng để “đối phó” tốt với mọi loại bài về giải phương trình lượng giác trong đề

thi.
Cuốn tài liệu CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC được chắt lọc, đánh máy công phu, trình bày đẹp. Nội dung rất hữu ích cho học sinh lớp
11, học sinh ôn thi đại học môn Toán và quý thầy cô giáo dạy Toán THPT. Tài liệu được biên
soạn tỉ mỉ, phân chia dạng toán rõ ràng, công thức đầy đủ, mỗi phần đều có ví dụ minh họa và
hướng dẫn. Học sinh bị mất gốc kiến thức về lượng giác cũng có thể học lại từ đầu không mấy
khó khăn. Hy vọng rằng với cuốn tài liệu hữu ích này, các em học sinh sẽ có một “cẩm nang”
để chinh phục phương trình lượng giác trong thi cử.
Tài liệu rất có thể vẫn còn một vài khiếm khuyết, rất mong nhận được ý kiến từ các em
học sinh và độc giả.

Liên hệ tác giả: NGUYỄN HỮU BIỂN
Fb: />Email:

ÔN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN: />

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phần 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Hàm số y = sinx
+ TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính được y)
+ Tập giá trị: [ -1 ; 1 ]
(Vì các giá trị tính được của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa là −1 ≤ s inx ≤ 1 )
+ Hàm y = sinx là hàm số lẻ
(Vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D và sin(-x) = - sinx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O).
+ Chu kỳ T = 2π (Vì sin(x + 2 π) = s inx - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2π thì giá trị hàm
số trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2π - tính chất này giúp vẽ đồ thị
được thuận tiện)

+ Bảng biến thiên trên đoạn [0;π] (trên nửa chu kỳ)
π
0

x
y = sinx

2

π

1
0

0

+ Đồ thị hàm số
Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên R, tuần hoàn với chu kỳ 2π . Do đó muốn khảo
sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên R, ra chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số trên đoạn [0;π] (nửa chu kỳ) sau đó lấy đối xứng qua gốc tọa độ O ta được đồ thị
trên đoạn [ −π; π] (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái, sang phải
theo trục hoành những đoạn có độ dài 2π;4π;6π;...

*Nhận xét:
Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - />
1


CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 π
 2

π
2




+ Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng  − + k.2π; + k.2π 
π

3π



+ Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng  + k.2π; + k.2π  , k ∈ Z
2
2

2. Hàm số y = cosx
+ TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính được y)
+ Tập giá trị: [ -1 ; 1 ] (Vì các giá trị tính được của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa
là −1 ≤ cosx ≤ 1 )
+ Hàm y = cosx là hàm số chẵn (Vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D và cos(-x) = cosx: đồ thị đối xứng qua
trục tung Oy).
+ Chu kỳ T = 2π (Vì cos(x + 2 π) = cos x - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2π thì giá trị
hàm số trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2π - tính chất này giúp vẽ đồ
thị được thuận tiện: )
+ Bảng biến thiên trên đoạn [0;π] (trên nửa chu kỳ)

π
x
y = cosx

0

2

π

1
-1

+ Đồ thị hàm số
Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên R, tuần hoàn với chu kỳ 2π . Do đó, muốn
khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số trên đoạn [0;π] (nửa chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy ta được đồ
thị trên đoạn [ −π; π] (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái, sang
phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 2π;4π;6π;...

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - />
2