Tính ổn định của một số lớp 2 chiều rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN
———————o0o——————–

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP
HỆ HAI CHIỀU RỜI RẠC
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS. Lê Văn Hiện
Sinh viên thực hiện:
Lớp:

Lê Thị Bích
4A - K62

HÀ NỘI-2016


MỤC LỤC
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Hệ hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Mơ hình hệ hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 2. Tính ổn định của hệ 2-D rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1. Khái niệm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Tính ổn định của lớp hệ 2-D mơ hình FM-II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Tính ổn định của lớp hệ 2-D trong mơ hình Roesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

1


MỞ ĐẦU

Hệ hai chiều (two-dimensional systems 2-DSs) nảy sinh trong rất nhiều mơ
hình vật lí, kỹ thuật ở dó sự lan truyền thông tin/trạng thái xảy ra theo hai
hướng độc lập (xem [?, ?, ?]). Mơ hình hệ hai chiều đã được ứng dụng để mơ
tả và phân tích tính chất của nhiều lớp hệ trong thực tiễn kỹ thuật như các hệ
trong mạng viễn thơng, xử lí ảnh, xử lí và truyền tín hiệu và đặc biệt trong việc
thiết kế các lọc tín hiệu số đa chiều [?, ?, ?, ?].
Trong việc mơ tả các q trình vật lí, các hệ hai chiều thường được biễu
diễn bằng mơ hình các phương trình trạng thái (state-space model). Một số lớp
mơ hình trạng thái thường được sử dụng như mơ hình Roesser [?], mơ hình
Fornasini–Marchesini (FM) thứ nhất và thứ hai [?, ?], mơ hình Attasi hay mơ
hình Kurek [?]. Trong đó, mơ hình Roesser và mơ hình FM-II được quan tâm
nghiên cứu và ứng dụng nhiều do tính chất đặc thù và sự tổng qt của các
mơ hình đó. Các mơ hình này khơng độc lập nhau và trong một số điều kiện
nhất định các mơ hình đó có thể chuyển đổi qua lại lẫn nhau, chẳng hạn, trong
trường hợp hệ khơng có trễ và các đại lượng nhiễu. Tuy vậy, vấn đề gặp phải
khi chuyển đổi mơ hình là sự tăng đáng kể số chiều, và đo đó dẫn đến việc gia
tăng giá tính tốn (computational cost) trong các mơ hình ứng dụng. Vì vậy,
mơ hình Roesser và mơ hình FM-II vẫn được nghiên cứu một cách song song.
Tính chất ổn định là một trong những tính chất phổ dụng của các hệ động
lực ứng dụng. Nghiên cứu các tính chất định tính nói chung, tính chất ổn định
nói riêng cho các hệ 2D là một trong những chủ đề nhận được nhiều sự quan
tâm nghiên cứu trong hai thập kỉ gần đây, đặc biệt từ khoảng 2010 trở lại đây
(xem [?, ?, ?, ?] và các trích dẫn ở đó).

Nội dung chính của Khóa luận này là trình bày một số kết quả nghiên cứu
trong bài báo [?] của Neha Agarwal và Haranath Kar công bố trên Digital Signal
Processing năm 2015. Trong bài báo đó, hai tác giả đã đưa ra mối liên hệ giữa
tiêu chuẩn ổn định đề xuất bởi Singh [?] năm 2014 và các tiêu chuẩn ổn định
đề xuất trước đó bởi Hinamoto [?, ?] và Lu [?] cho tính ổn định tiệm cận của
mơ hình rời rạc 2D FM-II tuyến tính. Cụ thể, đối với mơ hình 2-D FM-II, mặc
dù sử dụng một dạng tổng quát hơn của ma trận Lyapunov, tiêu chuẩn ổn định
trong [?] thực ra là tương đương với với tiêu chuẩn Hinamoto [?]. Agarwal and
2


Kar chỉ ra cũng tiêu chuẩn của [?] chỉ cải tiến trong trường hợp của mơ hình
Roesser.
Nội dung của Khóa luận được trình bày trong 2 chương.
Chương 1 giới thiệu sơ lược về hệ hai chiều và một số kiến thức cơ bản về
giải tích ma trận và một số khái niệm về ổn định nghiệm bổ trợ cho việc trình
bày nội trong chương 2.
Chương 2 nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của một số lớp 2-D rời rạc dựa
trên bài báo [?]. Tác giả trình bày chi tiết kết các quả được giới thiệu trong [?].
Một số ví dụ được chúng tơi đưa thêm để minh họa tính hiệu quả của các điều
kiện ổn định đưa ra.

3


MỘT SỐ KÍ HIỆU
R+
Rn

Tập tất cả các số thực khơng âm.

Khơng gian Euclide n−chiều với tích vơ hướng
 12
P
n
T
2
.
hx, yi = x y và chuẩn vectơ kxk =
i=1 xi

Rn×r

λmax (A)

Tập hợp các ma trận kích thước n × r.
Ma trận chuyển vị của ma trận A.
Ma trận đơn vị trong Rn×n .
Tập tất cả các giá trị riêng của A.
= max{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)}.

λmin (A)

= min{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)}.

A>0

Ma trận A xác định dương, tức là
hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0.
Ma trận A nửa xác định dương, tức là
hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn .

Ma trận A − B xác định dương.
Tập các ma trận đối xứng xác định dương n × n chiều.
Bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
Mơ hình Fornasini–Marchesini.
Vectơ trạng thái ngang (horizontal state vector).
Vectơ trạng thái dọc (vertical state vector).
Điều khiển đầu vào.
Vectơ đầu ra.

AT
In
λ(A)

A≥0
A>B

S+
n
LMIs
FM
xh (i, j) ∈ Rnh
xv (i, j) ∈ Rnv
u(i, j) ∈ Rm
y(i, j) ∈ Rp

4


Chương 1
HỆ HAI CHIỀU

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu sơ lược về các mơ hình hệ hai chiều,
một số khái niệm liên quan về tính ổn định và nhắc lại một vài kiến thức cơ sở
dùng trong trình bày các kết quả ở chương sau.

1.1. Mơ hình hệ hai chiều
1.1.1. Ví dụ mở đầu
Chúng tơi mở đầu mục này bằng một ví dụ được sử dụng phổ biến. Xét mơ hình
điều khiển mơ tả bởi phương trình đạo hàm riêng cấp 1 sau (Hình 1.1)
( ∂T (x,t)
∂T (x,t)
∂x

=−

∂t

− aT (x, t) + bu(x, t),

(1.1)

y(x, t) = cT (x, t),

ở đó T (x, t) là hàm ẩn (chẳng hạn hàm nhiệt độ) tại tọa độ x ∈ [0, xf ] (không
gian) và thời t ∈ [0, ∞), u(x, t) là hàm điều khiển và y(x, t) là tín hiệu đo được
đầu ra và a, b, c là các hằng số.
Mô hình (??) được sử dụng trong một số quá trình nhiệt trong các phản
ứng hóa học hay trong các ống nhiệt của lị hấp [?]
Trong thực tế, các tín hiệu điều khiển thường được tổng hợp thơng qua
q trình rời rạc hóa. Đặt

T (i, j) = T (i∆x, j∆t),

u(i, j) = u(i∆x, j∆t)

∂T (x, t)
T (i, j) − T (i − 1, j)
≈
,
∂x
∆x

∂T (x, t)
T (i, j + 1) − T (i, j)
≈
∂t
∆t

khi đó (??) có thể viết được dưới dạng


T (i, j + 1) =

1−

∆t
∆t
− a∆t T (i, j) +
T (i − 1, j) + b∆tu(i, j)
∆x
∆x

5

(1.2)


Pipe
ܶ(‫ݔ‬, ‫)ݐ‬

‫ݔ(ݑ‬, ‫)ݐ‬

‫ݔ(ݕ‬, ‫)ݐ‬

‫ݔ‬

Steam (or water)

Hình 1.1: Heat exchanger control

Hàm điều khiển theo tín hiệu đầu ra (output feedback control) được thiết
kế dạng u(i, j) = ky(i, j) = kcT (i, j). Đặt xh (i, j) = T (i − 1, j) và xv (i, j) = T (i, j).
Khi đó hệ đóng (closed-loop system) tương ứng của (??) có dạng
# "
"
#"
#
xh (i + 1, j)

=

xv (i, j + 1)

0

xh (i, j)

1

∆t
∆x

1−

∆t
∆x

xv (i, j)

− a∆t + bkc∆t

,

i, j ∈ N.

(1.3)

Hệ (??) diễn tả một mơ hình hệ 2-D dạng Roesser.
"
#
T (i − 1, j)

Mặt khác, từ (??) ta đặt x(i, j) =

T (i, j)

, khi đó (??) trở thành
(1.4)

x(i + 1, j + 1) = A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j),

ở đó

"
A1 =

0 1
0 0

#

"
,

A2 =

0

0

∆t
∆x

1−

∆t
∆x

#

− a∆t + bkc∆t

.

Hệ (??) diễn tả mơ hình hệ 2-D dạng FM-II.
Tổng quát, dưới đây chúng tôi giới thiệu một số mơ hình hệ hai chiều. Nội
dung này được trình bày từ Chương 1 trong chun khảo [?].

1.1.2. Mơ hình hệ 2D
• Mơ hình Roesser
6


Trong các mơ hình hệ hai chiều, mơ hình Roesser (RM) được sử dụng một
cách rộng rãi do cấu trúc tự nhiên và đơn giản. Mơ hình 2-D Roesser được mơ
tả bởi hệ phương trình
"
# "
#"
# " #
xh (i + 1, j)
xv (i, j + 1)

=

A11 A12

xh (i, j)

A21 A22

xv (i, j)

h

y(i, j) = C1 C2

"
#
i xh (i, j)
xv (i, j)

+

B1

B2

u(i, j),

(1.5)

+ Du(i, j),

ở đó i, j ∈ Z+ là các biến thời gian rời rạc theo tọa độ ngang và dọc, xh (i, j) ∈ Rn1
là vectơ trạng thái ngang, xv (i, j) ∈ Rn2 là vectơ trạng thái dọc, u(i, j) ∈ Rm là
điều khiển đầu vào, y(i, j) ∈ Rp là vectơ đầu ra và A11 , A12 , A21 , A22 , B1 , B2 , C1 , C2 , D
là các ma trận hằng với số chiều thích hợp.
Điều kiện đầu đối với (??) được xác định bởi các dãy ϕ(j) và ψ(i)
xh (0, j) = ϕ(j),

j ∈ N; xv (i, 0) = ψ(i),

i ∈ N.

(1.6)

Thơng thường ϕ(.), ψ(.) được giả thiết có giá hữu hạn, tức là tồn tại các số
nguyên dương T1 , T2 sao cho ϕ(j) = 0, ∀j ≥ T1 , ψ(i) = 0, ∀i ≥ T2 , hoặc tổng quát
hơn, ϕ(.), ψ(.) ∈ l2 (N), tức là
X0 = lim

T →∞

T
X

ϕ2 (k) + ψ 2 (k) < ∞.




k=0

• Mơ hình Attasi

Mơ hình Attasi (AM) có nhiều triển vọng trong các ứng dụng xử lí ảnh và
tín hiệu số [?]. Nó được mơ tả bởi phương trình sau
x(i + 1, j + 1) = A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j) − A2 A1 x(i, j) + B0 u(i, j),

(1.7)

y(i, j) = Cx(i, j),

ở đó A1 A2 = A2 A1 .
Mơ hình Attasi (??) là trường hợp đặc biệt của mơ hình Roesser (??).
• Mơ hình Fornasini–Marchesini (FM)

Các mơ hình FMs được ứng dụng rộng rãi và rất thành cơng trong lĩnh
vực xử lí tín (signal processing) và điều khiển. Mơ hình FM-I của hệ 2-D được
mơ tả bởi phương trình
x(i + 1, j + 1) = A0 x(i, j) + A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j) + Bu(i, j),
y(i, j) = Cx(i, j),
7

(1.8)


và mơ hình FM-II được cho bởi hệ
x(i + 1, j + 1) = A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j) + B1 u(i, j + 1) + B2 u(i + 1, j),

(1.9)

y(i, j) = Cx(i, j).

Mơ hình FM tổng qt được mơ tả bởi
x(i + 1, j + 1) = A0 x(i, j) + A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j) + B0 u(i, j)

(1.10)

+ B1 u(i, j + 1) + B2 u(i + 1, j),
y(i, j) = Cx(i, j).

1.1.3. Mối liên hệ giữa các mơ hình 2-D
Rõ ràng mơ hình Attasi là trường hợp đặc biệt của mơ hình FM-I khi A0 = −A1 A2
và B0 = B . Hơn nữa, sử dụng phép biến đổi
xh (i, j) = x(i, j + 1) − A2 x(i, j),

xv (i, j) = x(i, j).

(1.11)

Từ (??) ta có
xh (i + 1, j) = x(i + 1, j + 1) − A2 x(i + 1, j)
= A1 x(i, j + 1) − A2 A1 x(i, j) + B0 u(i, j)
= A1 (x(i, j + 1) − A2 x(i, j)) + B0 u(i, j) = A1 xh (i, j) + B0 u(i, j)

và
xv (i, j + 1) = x(i, j + 1) = xh (i, j) + A2 xv (i, j).

Do đó (??) ln viết được dưới dạng
"
# "

#"
xh (i + 1, j)
xv (i, j + 1)

=

#

A1 0n

xh (i, j)

In A2

xv (i, j)

h

y(i, j) = 0p×n C

"
+

B0

#

0n×m

u(i, j),

(1.12)

"
#
i xh (i, j)
xv (i, j)

là trường hợp đặc biệt của mơ hình Roesser (??).
Mặt khác, với phép biến đổi (??), hệ (??) được viết dưới dạng
"
# "
#"
# "
#
xh (i + 1, j)
xv (i, j + 1)

=

h

A1 A0 + A1 A2

xh (i, j)

In

xv (i, j)

y(i, j) = 0p×n C

A2

"
#
i xh (i, j)
xv (i, j)
8

+

+ Du(i, j).

B

0n×m

u(i, j),

(1.13)


Do đó, với phép biến đổi (??), mơ hình FM-I có thể đưa về mơ hình Roesser
(??).
Bây giờ ta đặt
xˆ(i, j) =

h

xT (i, j)

Khi đó hệ (??) trở thành

A2

xT (i, j

− 1)



"

02n 


xˆ(i + 1, j + 1) =  In

 xˆ(i + 1, j) +

+

02n×n

− 1) .

B

02n

02n×m

#
xˆ(i, j + 1)

(1.14)

#
u(i, j + 1) + 03n×m u(i, j + 1),

In

h

i

A1 A0

0n 0n×2n

"

uT (i, j

i

y(i, j) = C 0p×2n xˆ(i, j).

Vì vậy mơ hình FM-I nhúng được vào lớp mơ hình FM-II.

h
iT
Xét mơ hình Roesser (??). Kí hiệu vectơ x(i, j) = xhT (i, j) xvT (i, j) . Khi
đó (??) viết được dưới dạng
"
A11

x(i + 1, j + 1) =

A12

0n2 ×n1 0n2 ×n2

"

B1

#

"
x(i, j + 1) +

#

0n2 ×m

"
u(i, j + 1) +

0n1 ×m

B2

0n1 ×n2 0n2 ×n2
A21

#
u(i + 1, j),

A22

#
x(i + 1, j)

(1.15)

y(i, j) = Cx(i, j),

h

i

ở đó C = C1 C2 . Do đó mơ hình Roesser (??) có thể biểu diễn được bằng mơ
hình FM-II. Đối với các mơ hình hệ 2-D cơ bản như trên, mơ hình FM-II có
dạng tổng qt hơn các mơ hình khác. Mối liên hệ giữa các mơ hình nói trên
được minh họa như trong Hình 1.2 dưới đây.
Tuy nhiên: (i) Đối với các lớp hệ 2-D có cấu trúc phức tạp hơn, chẳng hạn
hệ 2-D có trễ, có nhiễu dạng tất định và ngẫu nhiên, mơ hình Roesser khơng
biến đổi được về mơ hình FM-II. (ii) Như đã đề cập phần trước, việc biến đổi
mơ hình thường dẫn đến các điều kiện ngặt hơn khi nghiên cứu định tính và
điều khiển các lớp hệ đó. Vì vậy, mơ hình Roesser và mơ hình FM-II thường vẫn

được nghiên cứu song song và được sử dụng rộng rãi trong các ứng dụng thực
tiễn.
9


FM-I
RM

AM

FM-II

Hình 1.2: Mơ hình hệ 2-D

1.2. Một số kiến thức bổ trợ
1.2.1. Giải tích ma trận
Mục này giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản về phép tính ma trận
(xem [?]).
Cho ma trận A = (aij ) ∈ Rn×m . Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu bởi AT
xác định bởi AT = (aji ) ∈ Rm×n . Với mọi ma trận A, B với số chiều phù hợp, ta
có
(A + B)T = AT + B T ,

(cA)T = cAT , c ∈ R,

(AB)T = B T AT ,

(A−1 )T = (AT )−1 .

Ma trận A ∈ Rn là ma trận đối xứng nếu A = AT . Ma trận đối xứng A là

nửa xác định dương, viết A ≥ 0, nếu xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn , và A là xác định dương,
viết A > 0, nếu xT Ax > 0 với mọi x ∈ Rn , x 6= 0. Kí hiệu Sn , S+
n là tập các ma
trận đối xứng và ma trận đối xứng xác định dương trong Rn×n . Chẳng hạn, xét
2


ma trận A = 1
x = (x1 , x2 , x3

)T

1
2

2 −2
∈ R3 ,

2

−2. Khi đó dễ thấy A là ma trận đối xứng. Với bất kì
0

xT Ax = 2x21 + 2x22 + 2x1 x2 + 4x1 x3 − 4x2 x3 = (x1 + x2 )2 + (x1 − 2x3 )2 + (x2 − x3 )2 .

Do đó xT Ax > 0, ∀x 6= 0 nên A ∈ S+
3.
Một số tính chất của ma trận đối xứng, xác định dương:
10

• Nếu A ∈ Sn thì λ(A) ⊂ R. Tức là mọi giá trị riêng của ma trận đối xứng

đều thực.
• Ma trận A ∈ S+
n khi và chỉ khi mọi giá trị riêng λj (A) > 0.
• Ma trận A ∈ Sn xác định dương khi và chỉ khi mọi định thức con chính
Dk (A) > 0, ở đó Dk là định thức con chính cấp k của A (Điều kiện Sylvester).
• Nếu A ∈ S+
n thì
λmin (A)kxk2 ≤ xT Ax ≤ λmax kxk2 ,

∀x ∈ Rn .

+
T
• Nếu A ∈ S+
n thì tồn tại ma trận Q ∈ Sn sao cho Q Q = A. Ma trận Q gọi
1

là căn bậc hai của ma trận dương A, viết Q = A 2 .
Bổ đề 1.2.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận) Cho X ∈ Rn×n là ma trận đối
xứng xác định dương. Khi đó với mọi x, y ∈ Rn ta có
2xT y ≤ xT Xx + y T X −1 y.
1

1

Chứng minh. Kí hiệu a = X 2 x, b = X − 2 y , ta có
0 ≤ ka − bk2 = ha − b, a − bi = kak2 + kbk2 − 2aT b.

Từ đó có 2xT y ≤ xT Xx + y T X −1 y.
Bổ đề 1.2.2. (Bổ đề Schur) Với các ma trận bất kì X, Y, Z với số chiều thích
hợp và Z = Z T > 0 ta có




T
X Y 

 < 0 ⇔ X + Y T Z −1 Y < 0.

Y

−Z

Chứng minh. Chứng minh Bổ đề Schur dựa trên phân tích Schur sau



 

−1
In −Y Z   X



0

In

YT

Y 
Z

In



−Z −1 Y T

11

X − Y Z
=

0
In

0

−1 Y T

0
Z

.

Bổ đề 1.2.3. (Completing of Square) Cho P, Q là các ma trận với số chiều thích
hợp và Q là đối xứng xác định dương. Khi đó
2hP y, xi − hQy, yi ≤ hP Q−1 P T x, xi,

∀x, y ∈ Rn .

Chứng minh. Ta có
1

1

2hP y, xi = 2xT P Q− 2 Q 2 y
1

1

1

1

≤ hQ− 2 P T x, Q− 2 P T xi + hQ 2 y, Q 2 yi
1

1

1

1

= xT P Q− 2 Q− 2 P T x + y T Q 2 Q 2 y
= xT P Q−1 P T x + y T Qy
= hP Q−1 P T x, xi + hQy, yi.

Do đó 2hP y, xi ≤ hP Q−1 P T x, xi + hQy, yi.

1.2.2. Hệ rời rạc một chiều (1-D)
Trong mục này, chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan đối
với lớp hệ rời rạc một chiều (one-dimensional systems 1-D). Nội dung mục này
tác giả thực hiện dựa trên gợi ý của người hướng dẫn.
Để bắt đầu, chúng tơi xét phương trình điều khiển cấp hai nảy sinh từ mơ
hình điều khiển các hệ cơ học
y(k + 2) − a1 y(k + 1) − a0 y(k) = b2 u(k + 2) + b1 u(k + 1),

k ∈ N,

ở đó a0 , a1 , b1 , b2 là các hằng số.
Sử dụng phép biến đổi (phương pháp hàm truyền)
x1 (k) = y(k) − b2 u(k),
x2 (k) = y(k + 1) − a1 y(k) − b2 u(k + 1) + (a1 b2 − b1 )u(k).

12

(1.16)


Khi đó phương trình (??) được biễu diễn dạng
"
#
"

a1 1

x(k + 1) =

x(k) +

a0 0

h

b 1 + a1 b 2

#

a0 b 2

u(k),

(1.17)

i

y(k) = 1 0 x(k) + b2 u(k),

ở đó x(k) = (x1 (k), x2 (k))T .
Hệ (??) diễn tả một mơ hình hệ điều khiển tuyến tính rời rạc. Tổng qt
hóa (??) (phương trình điều khiển cấp cao), ta có lớp hệ rời rạc sau
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),
y(k) = Cx(k) + Du(k),

(1.18)

k ∈ N,

ở đó x(k) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ, u(k) ∈ Rm là vectơ điều khiển,
A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m là các ma trận hằng số.
Với mỗi vectơ ban đầu x0 = x(0) ∈ Rn và một hàm điều khiển u(k), hệ (??)
có nghiệm duy nhất xác định bởi
k

x(k) = A x0 +

k−1
X

Ak−j−1 Bu(j),

k ≥ 1.

(1.19)

j=0

Trường hợp đặc biệt, hệ (??) khơng có điều khiển (hệ mở), coi u(k) = 0,
khi đó nghiệm của hệ mở tương ứng cho bởi x(k) = |{z}
Ak x0 . Ma trận Φ(k) gọi là
Φ(k)

ma trận cơ bản của hệ mở (??). Một số tính chất của ma trận cơ bản:
Φ(0) = In ,

Φ(j + k) = Φ(j)Φ(k).

Khi đó, nghiệm của (??) có thể biễu diễn dưới dạng
x(k) = Φ(k)x(0) +

k−1
X

Φ(k − j − 1)Bu(j),

k ≥ 1.

j=0

Giả sử λ1 , λ2 , . . . , λn là các giá trị riêng của A. Khi đó tồn tại ma trận M
khơng suy biến (lập từ cơ sở các vectơ riêng của A) sao cho A = M ΛM −1 , ở đó
Λ = diag(λ1 , . . . , λn ). Khi đó


k
−1 k
k −1
Φ(k) = A = M ΛM

= MΛ M

= M diag(λk1 , λk2 , . . . , λkn )M −1 .
13

Định nghĩa 1.2.1. Hệ tuyến tính rời rạc
x(k + 1) = Ax(k),

k∈N

(1.20)

được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục (GAS) nếu với mọi điều kiện đầu x(0) ∈ Rn
lim x(k) = lim Ak x(0) = 0.

k→∞

k→∞

Rõ ràng hệ (??) là GAS khi và chỉ khi limk→∞ Φ(k) = 0. Nếu mọi giá trị
riêng của A nằm trong đĩa đơn vị D = {λ ∈ C : |λ| < 1} thì bán kính phổ của A
xác định bởi
ρA = max{|λj | : λj ∈ λ(A)} < 1.
1

Khi đó, từ cơng thức Gelfand, ρA = limk→∞ kAk k k , suy ra hệ (??) là GAS. Nếu
ρA > 1 thì nghiệm của (??) tăng cấp mũ. Nếu A có giá trị riêng thỏa mãn |λj | = 1
thì λj = ±1 hoặc cặp đối ngẫu λj , λj+1 = e±iω sinh ra một thành phần trong
vectơ nghiệm có mơđun 1. Vì vậy hệ (??) khơng GAS. Tóm lại ta có mệnh đề
sau.
Mệnh đề 1.2.1. Hệ (??) là GAS khi và chỉ khi λ(A) ⊂ D.
Để xét tính ổn định nghiệm của hệ (??), vấn đề đặt ra là làm sao kiểm tra
điều kiện phổ λ(A) ⊂ D. Với sự phát triển nhanh của các công cụ giải số hiện
nay, việc giải lặp bằng các thuật toán lồi được thực hiện dễ dàng và hiệu quả
hơn. Nhờ đó, ta chuyển điều kiện tương đương sang một dạng bất đẳng thức ma

trận tuyến tính (linear matrix inequality-LMI) sau đây.
Mệnh đề 1.2.2 ( [?]). Các khẳng định sau là tương đương
(i) Hệ (??) là GAS.
(ii) Tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương P ∈ S+
n sao cho
AT P A − A < 0.
+
(iii) Với mọi ma trận Q ∈ S+
n , tồn tại ma trận P ∈ Sn sao cho

AT P A − A + Q = 0.
14

(1.21)


LMI (??) là dạng bất đẳng thức Lyapunov đối với hệ rời rạc. Việc thiết
lập (??) có thể thực hiện bằng cách dựng hàm Lyapunov toàn phương V (k) =
xT (k)P x(k). Khi đó, sử dụng tính chất của ma trận đối xứng xác định dương ta
có
λmin (P )kx(k)k2 ≤ V (k) ≤ λmax (P )kx(k)k2 ,

∀k ≥ 0.

Mặt khác, sai phân của V (k) được cho bởi
∆V (k) , V (k + 1) − V (k) = xT (k + 1)P x(k + 1) − xT (k)P x(k)
= xT (k) AT P A − P x(k).

Do đó ∆V (k) xác định âm khi và chỉ khi AT P A − P < 0. Và khi đó, kí hiệu
λ0 = λmin (−AT P A + P ) > 0, ta có
V (k + 1) − V (k) ≤ −λ0 kx(k)k2 .

(1.22)

Lấy tổng hai vế (??) ta được
N
X

kx(k)k2 ≤

k=0

λmax (P )
1
V (0) ≤
kx(0)k2 .
λ0
λ0

Cho N → ∞ ta được
∞
X

kx(k)k2 ≤

k=0

λmax (P )

kx(0)k2 < 0
λ0

và đó đó limk→∞ kx(k)k2 = 0 với mọi x(0) ∈ Rn . Điều này chứng tỏ hệ (??) là
GAS. Thực tế, điều kiện (??) đảm bảo tính chất mạnh hơn, đó là tính ổn định
mũ tồn cục của hệ (??), tức là tồn tại các hằng số α ∈ (0, 1), β > 0 sao cho mọi
nghiệm của (??) thỏa mãn đánh giá mũ
kx(k)k ≤ βkx(0)kαk ,

∀k ≥ 0.

Thật vậy, tồn tại α ∈ (0, 1) thỏa mãn
1 > α2 ≥ 1 −

λ0
.
λmax (P )

Khi đó, từ (??) ta có
V (k + 1) − α2 V (k) = ∆V (k) + (1 − α2 )V (k)
≤ −λ0 kx(k)k2 + (1 − α2 )λmax (P )kx(k)k2
15

(1.23)


= [−λ0 + (1 − α2 )λmax (P )]kx(k)k2 ≤ 0.

Do đó

V (j + 1) V (j)
− 2j ≤ 0,
α
α2(j+1)

j ≥ 0.

Lấy tổng hai vế bất đẳng thức theo j từ 0 đến k ≥ 1 ta được
V (k) ≤ V (0)αk ≤ λmax (P )kx(0)k2 α2k .

Từ đó có

r
kx(k)k ≤

λmax (P )
kx(0)kαk ,
λmin (P )

k ≥ 0.

Cách tiếp cận trên đối lớp hệ 1-D có thể mở rộng được cho lớp hệ 2-D cơ
bản với điều kiện đầu phù hợp và việc xây dựng lớp hàm kiểu Lyapunov có cấu
trúc đặc thù.

1.2.3. Ổn định hóa hệ rời rạc 1-D
Để kết thúc mục này, chúng tôi trở lại hệ điều khiển (??) để minh họa cho các
điều kiện nêu trong Mệnh đề ??.
"
#

• Điều kiện ổn định: Cho a0 = 0.3, a1 = 0.5, và do đó A =

0.5 1
0.3 0

. Theo Mệnh

đề ??, hệ mở của (??) là GAS khi và chỉ khi (??) có nghiệm P ∈ S+
2 . Dùng gói
cơng cụ LMI trong Matlab, với ma trận A như trên, (??) thỏa mãn với
#
"
P =

1.0908 0.1693
0.1693 1.9608

.

Do đó hệ mở của (??) là GAS.
"
• Điều khiển phản hồi: Bây giờ cho a0 = 0.6, a1 = 0.9. Khi đó A =

0.9 1
0.6 0

#
có

λ(A) = {1.3458, −0.4458}. Theo Mệnh đề ??, hệ mở của (??) không ổn định tiệm

cận. Bây giờ ta thiết kế một hàm điều khiển u(k) sao cho khi thay vào (??)

nhận được hệ (đóng) tương ứng là GAS. Có nhiều phương pháp thiết kế hàm
điều khiển. Một trong những phương pháp phổ biến là thiết hàm điều khiển
phản hồi theo trạng thái (state-feedback controller SFC) dạng u(k) = Lx(k), ở

16


đó L ∈ Rm×n là ma trận đạt được (controller gain) cần thiết kế. Hệ đóng tương
ứng cho bởi
x(k + 1) = (A + BL) x(k).
(1.24)
| {z }
Ac

Theo Mệnh đề ??, hệ (??) là ổn định hóa được theo SFC, tức là tồn tại
SFC dạng u(k) = Lx(k) sao cho hệ đóng (??) là GAS, khi và chỉ khi tồn tại ma
trận P ∈ S+
n sao cho
T
AT
c P Ac − P = (A + BL) P (A + BL) − P < 0.

(1.25)

Vấn đề khó ở (??) là có sự kết hợp giữa các biến ma trận P, L (tức là (??)
khơng phải là một LMI). Do đó, sử dụng Bổ đề Schur 1.2.2 để chuyển (??) về
dạng
"

#
−P (A + BL)T P
∗

−P

(1.26)

< 0.

Nhân trái và phải của (??) với diag(P −1 , P −1 ) và đặt X = P −1 ta được
"

#
T
T T
−X X A + L B
∗

< 0.

−X

Từ đó ta có kết quả sau
Mệnh đề 1.2.3. Hệ (??) là ổn định hóa được theo SFC nếu tồn tại ma trận
m×n sao cho
X ∈ S+
n và ma trận Z ∈ R





T
T T
−X XA + Z B 

 < 0.

∗

(1.27)

−X

Hàm điều khiển phản hồi được cho bởi
u(k) = ZX −1 x(k).

"
Cho b1 = b2 = 0.5, khi đó B =
thấy (??) thỏa mãn với
"
X=

#

0.95
0.3

#

87.5350

4.9901

4.9901

87.5350

,

. Dùng LMI toolbox trong Matlab, ta

h

i

Z = −96.0598 −88.9904 .
17


Vậy hệ (??) là ổn định hóa được theo SFC. Hàm điều khiển phản hồi cho
bởi
h

i

u(k) = −1.0428 −0.9572 x(k).
• Điều khiển phản hồi đầu ra (OFC): Trong thực tế, không phải mọi trạng thái

đều đo được, tức là vectơ x(k) khơng có sẵn để thiết kế điều khiển SFC dạng

u(k) = Lx(k). Chẳng hạn, như biểu diễn ở (??), đầu ra y(k) chỉ đo được x1 (k)
(giả thiết b2 = 0). Khi đó, việc thiết điều khiển nói chung chỉ được sử dụng các
thông tin đầu ra dạng
u(k) = Ly(k) = LCx(k)
(1.28)
ở đó L ∈ Rm×p là ma trận đạt được cần thiết kế. Với điều khiển (??), hệ đóng
của (??) trở thành
x(k + 1) = (A + BLC) x(k).
(1.29)
| {z }
Aco

Theo Mệnh đề ??, hệ (??) ổn định hóa được theo OFC (??) khi và chỉ khi
tồn tại ma trận P ∈ S+
n sao cho
c
T
AcT
o P Ao − P = (A + BLC) P (A + BLC) − P < 0.

(1.30)

Khó khăn cơ bản với bài tốn thiết kế điều khiển OFC là sự kết dính giữa
các biến ma trận P, L và ma trận chữ nhật C . Ta phân tích ma trận P dạng
#
"
p1 p2
p2 p3

P =

h

i

h

i

và kí hiệu R1 = p1 p2 , R2 = p2 p3 là các dịng trong P . Khi đó
P BLC =

1 T
R LC,
b1 1

(BLC)T P (BLC) = p1 C T LT LC.

Do đó
c
T
AcT
o P Ao − P = A P A − P +



1
AT R1T LC + C T LT R1 A + p1 C T LT LC
b1


1
1
= A PA − P +
R1 A + p1 LC
p 1 b1
1 T T
−
A R1 R1 A.
p1 b21
T

18

T 

1
R1 A + p1 LC
b1




Mặt khác, để ý rằng
#

"

"

p1 p2

0
1 T
R1 R1 =
=
P
+
2
p
p1
p2 p12
0

và

p22
p1

#

0
p22
p1

− p3

≥ 2p2 − p1 . Do đó

"

−

"
ở đó E =

#

0
0
1 T
R1 R1 ≤ −P +
= −P + E T P E
p1
0 p1 + p3 − 2p2

#

0 −1
0

1

.

Áp dụng Bổ đề Schur, LMI (??) đúng nếu
"
#
Ω11 ΩT
12

ở đó

Ω11 = AT P A −



1
1+ 2
b1


P+

(1.31)

< 0,

Ω12 −p1

1 T
E P E,
b21

Ω12 =

1
R1 A + p1 LC.
b1

Cuối cùng, ma trận đạt được L được thiết kế ở dạng L =
h
i

rằng R1 = 1 0 P , ta có kết quả sau.
| {z }

1
p1 Γ

và chú ý thêm

F

Mệnh đề 1.2.4. Hệ (??) là ổn định hóa được theo OFC nếu tồn tại ma trận
P ∈ S+
2 và ma trận Γ thỏa mãn bất đẳng thức sau


Ω11

∗

1
b1 F P A + ΓC

−F P F T


T



 < 0.

(1.32)

Hàm điều khiển phản hồi đầu ra được cho bởi
u(k) =

1
ΓCx(k).
p1

Áp dụng kết
" quả#thu được cho trường hợp hệ mở không ổn định, ma trận
A cho bởi A =

0.9 1
0.6 0

. Cho b1 = 0.5 (và b2 = 0). Bất đẳng thức (??) thỏa mãn

với

"
P =

#

0.2166 0.0969
0.0969 1.2875
19

,

Γ = −0.4023.


Do đó, hệ (??) là ổn định hóa được theo OFC. Hàm điều khiển phản hồi
đầu ra cho bởi
h
i
u(k) = −0.0871 0 x(k).

Kết luận chương 1
Trong chương này đã giới thiệu một số mơ hình cơ bản của hệ hai chiều (2-D
systems) và mối liên hệ giữa các mơ hình đó. Nội dung này là những tìm hiểu
ban đầu về những mơ hình suy rộng có nhiều tiềm năng trong ứng dụng thực
tiễn.
Tiếp theo chúng tôi nhắc lại sơ lược một số kiến thức cơ bản về giải tích ma
trận. Đây là những kết quả được sử dụng thường xuyên trong lĩnh vực nghiên
cứu định tính, tính ổn định và điều khiển của các lớp hệ rời rạc dựa trên cách
tiếp cận bằng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
Một nội dung quan trọng khác của chương này là chúng tơi nghiên cứu và
trình bày một cách tiếp cận cơ bản đối với bài toán ổn định và ổn định hóa lớp
hệ tuyến tính rời rạc, cả phương pháp điều khiển phản hồi trạng thái và điều
khiển phản hồi đầu ra. Các kết quả này có thể mở rộng nghiên cứu cho lớp hệ
2-D.

20


Chương 2
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ 2-D RỜI RẠC

Như đã đề cập trong phần mở đầu, nghiên cứu tính ổn định các hệ động
lực nói chung, lớp hệ 2-D nói riêng là một trong những chủ đề quan trọng, góp
phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tiễn ứng dụng trong kĩ thuật.
Đối với lớp hệ 2-D cơ bản, phương pháp đặc trưng tương tự cho hệ 1-D
đã được các tác giả phát triển (chẳng hạn, xem trong [?]). Theo phương pháp
đặc trưng, tính ổn định của hệ được đặc trưng bởi sự phân bố nghiệm của một
dạng đa thức đặc trưng hai biến của cặp ma trận. Tuy nhiên, phương pháp này
thường khó kiểm tra khi áp dụng cho các mơ hình thực tiễn.
Bên cạnh đó, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov 2-D, các điều kiện ổn
định được đặc trưng bởi các bất đẳng thức ma trận tuyến tính LMIs (Mục 1.2.2
trong Chương 1). Các điều kiện đó có thể giải số bằng nhiều cơng cụ tính toán
hiệu quả hiện, đặc biệt các thuật toán lồi như trong gói cơng cụ LMI toolbox
Matlab.
Trong chương này chúng tơi nghiên cứu và trình bày một số điều kiện ổn
định cho một số lớp hệ 2-D rời rạc trong mô hình Roesser và mơ hình FM-II.

2.1. Khái niệm ổn định
Mục này giới thiệu một số khái niệm về ổn định nghiệm các hệ 2-D rời rạc.
Xét hệ tuyến tính rời rạc 2-D được mơ tả bởi mơ hình Roesser
"
# "
#"
#
xh (i + 1, j)
A11 A12
=
v
x (i, j + 1)
A21 A22

|

{z

xh (i, j)
,
xv (i, j)

i, j ∈ N,

(2.1)

}

A

ở đó xh (i, j) ∈ Rnh , xv (i, j) ∈ Rnv là các vectơ trạng thái theo chiều ngang
(horizontal state) và chiều dọc (vertical state) của hệ, A ∈ Rn×n , n = nh + nv , là
ma trận hằng cho trước.
21


Kí hiệu x(i, j) =

h

xhT (i, j)

iT

xvT (i, j)

là vectơ trạng thái của hệ. Điều kiện

đầu của (??) được cho bởi các dãy φ, ψ ∈ l2 (N)
xh (0, j) = φ(j), j ≥ 0,
kxh0 k22

=

∞
X

xv (i, 0) = ψ(i), i ≥ 0,

2

kxv0 k22

kφ(j)k < ∞,

=

∞
X

kψ(i)k2 < ∞.

(2.2)

i=0

j=0

Định nghĩa 2.1.1. Hệ (??) được gọi là ổn định tiệm cận nếu mọi nghiệm x(i, j)
của (??) với điều kiện đầu (??) thỏa mãn
lim χr = lim

r→∞



r→∞



sup kx(i, j)k = 0.

(2.3)

i+j=r

Nhận xét 2.1.1. Trường hợp đặc biệt, khi hệ (??) suy biến thành hệ 1-D, Định
nghĩa 2.1.1 trở thành Định nghĩa 1.2.1 cho hệ tuyến tính rời rạc 1-D.
Bây giờ ta xét lớp hệ tuyến tính rời rạc 2-D được mơ tả bởi mơ hình FM-II
x(i + 1, j + 1) = A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j),

(2.4)

ở đó x(i, j) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ, A1 , A2 ∈ Rn×n là các ma trận cho
trước.
Tương tự mơ hình (??), điều kiện đầu của (??) cũng được xác định bởi các
dãy φ, ψ ∈ l2 (N)
x(0, j) = φ(j), i ≥ 0,

x(i, 0) = ψ(i), j ≥ 0.

(2.5)

Định nghĩa ổn định tiệm cận cho hệ (??) được phát biểu tương tự trong
Định nghĩa 2.1.1.

2.2. Tính ổn định của lớp hệ 2-D mơ hình FM-II
2.2.1. Một số tiêu chuẩn ổn định
Xét hệ 2-D dạng (??). Đa thức đặc trưng của (??) được xác định bởi
L(z1 , z2 ) = det (In − z1 A1 − z2 A2 ) ,
22

z1 , z2 ∈ C.

(2.6)


Kết quả dưới đây cho một tiêu chuẩn ổn định của hệ (??) dựa trên phương
pháp đa thức đặc trưng.
Mệnh đề 2.2.1 ( [?]). Hệ (??) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi L(z1 , z2 ) 6= 0
với mọi (z1 , z2 ) ∈ U , ở đó U là đĩa đóng đơn vị trong C2 xác định bới U =


(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 | ≤ 1, |z2 | ≤ 1 .
Từ tiêu chuẩn đặc trưng cho trong Mệnh đề ?? ta có điều kiện ổn định dựa
trên các tiếp cận bằng bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau.
Định lí 2.2.1 ( [?]). Với các hằng số dương α, β > 0 cố định, α + β = 1, giả sử
tồn tại một ma trận P ∈ S+
n thỏa mãn LMI
 


T
A1 
  P A1 A2 − I(α, β)P < 0,

(2.7)

AT
2

ở đó I(α, β) = diag(αIn , βIn ). Khi đó hệ (??) là ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Phản chứng, giả sử hệ không ổn định tiệm cận. Theo Mệnh đề ??,
tồn tại (z1 , z2 ) ∈ U sao cho
det(In − z1 A1 − z2 A2 ) = 0.

Khi đó, tồn tại vectơ x ∈ Rn×n , x 6= 0, sao cho (In − z1 A1 − z2 A2 )x = 0, và do đó




z1 In 
x = A1 A2 

 x.
z2 In





Kí hiệu A = A1 A2 và Q = I(α, β)P − AT P A > 0. Gọi x∗ , z ∗ lần lượt là
liên hợp phức của x và z = (z1 , z2 ). Khi đó




z1 In 
x∗ P x = x∗ z1∗ In z2∗ In AT P A 

z2 In

23










z1 In 

αP 0 
= x∗ z1∗ In z2∗ In 
 x
 − Q
0 βP
z2 In








z1 In 
= (α|z1 |2 + β|z2 |2 )x∗ P x − x∗ z1∗ In z2∗ In Q 
x
z2 In




< (α|z1 |2 + β|z2 |2 )x∗ P x.

Từ đó suy ra α|z1 |2 + β|z2 |2 > 1. Điều này mâu thuẫn với giả thiết (z1 , z2 ) ∈ U .
Định lí được chứng minh.
Ví dụ 2.2.1. Xét phương trình vơ hướng (n = 1) dạng (??). Lúc đó các ma
trận A1 , A2 và P trở thành các giá trị vô hướng a1 , a2 , p. Điều kiện LMI (??) trở
thành





 




− a21

−a1 a2 
αp 0 
a1 
α
Q=
 − p   a1 a2 = p 
 > 0.
2
0 βp
a2
−a1 a2 β − a2





(2.8)

Với bất kì p > 0, điều kiện (??) thỏa mãn khi và chỉ khi




α − a21 > 0


(α − a2 )(β − a2 ) − a2 a2 > 0.
1

2

1 2

Điều kiện trên tương đương với

U1 =

a2 a2
a1 , a2 : 1 + 2 < 1 .
α
β



Mặt khác, theo Mệnh đề ??, hệ ổn định tiệm cận khi và chỉ khi (1 − z1 a1 −
z2 a2 ) 6= 0 với mọi |z1 ≤ 1, |z2 | ≤ 1. Từ đó ta nhận được miền ổn định theo dấu

hiệu đặc trưng là
U2 = {(A1 , a2 ) : |a1 | + |a2 | < 1} .

24