một vài tiêu chuẩn mới cho tính ổn định và ổn định vững của các phương trình vi phân tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THẾ PHƯƠNG
MỘT VÀI TIÊU CHUẨN MỚI
CHO TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG
CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
CHUYÊN NGÀNH LÝ THUYẾT TỐI ƯU
Mã số: 60 46 20
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC
Tp. Hồ Chí Minh - 2012
Lời cảm ơn
Lời cảm ơn đầu tiên tôi xin chân thành gởi tới TS. Phạm Hữu Anh Ngọc, Thầy đã
hướng dẫn nhiệt tình, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận
văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Lý Thuyết Tối Ưu Khoa Toán –
Tin học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã giảng dạy, truyền thụ kiến thức và
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu tại trường.
Tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học Lý Thuyết Tối Ưu khóa 20 đã có những
đóng góp, trao đổi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình, những người đã luôn ở bên
cạnh động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng, trong quá trình thực hiện, luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, rất
mong nhận được sự góp ý của quý Thầy Cô và bạn đọc để bổ sung và hoàn thiện đề
tài tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Tp.HCM, ngày 11 tháng 06 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thế Phương
2

Mục lục
Lời cảm ơn 2
Bảng kí hiệu 3
Lời nói đầu 6
1 Kiến thức chuẩn bị 8
1.1 Nhắc lại một số kiến thức trong giải tích cổ điển và giải tích hàm . . . 8
1.2 Ma trận Metzler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Hệ dương và ổn định tiệm cận mũ của hệ dương . . . . . . . . . . . . . 16
2 Ổn định và ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính
phụ thuộc thời gian 22
2.1 Ổn định tiệm cận mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ
thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịu
nhiễu bội phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịu
nhiễu affine phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
KẾT LUẬN 35
Tài liệu tham khảo 36
5
Bảng kí hiệu
N tập hợp số tự nhiên;
R tập hợp số thực;
C tập hợp số phức;
K tập hợp số thực R hoặc tập hợp số phức C;
m {1, 2, , m} với m ∈ N;
m
0
{0, 1, 2, , m} với m ∈ N;
C
+

{z = a + bi ∈ C|Rez = a > 0};
R
n
tập hợp tất cả các vectơ cột n chiều có các thành phần là số
thực;
R
n
+
tập hợp tất cả các vectơ cột n chiều có các thành phần là số
thực không âm;
x, y ∈ R
n
, x ≥ y x −y ∈ R
n
+
với n ∈ N;
x, y ∈ R
n
, x > y x − y ∈ R
n
+
\{0} với n ∈ N;
x ∈ R
n
, x
T
vectơ hàng n chiều có các thành phần là số thực;
x ∈ R
n
, x  0 vectơ cột n chiều có các thành phần là số thực dương;

x ∈ R
n
, x ≥ 0 vectơ cột n chiều có các thành phần là số thực không âm;
x ∈ R
n
, x > 0 vectơ cột n chiều có các thành phần là số thực không âm
trong đó có ít nhất một thành phần khác 0;
e
i
∈ R
n
, i ∈ n
vectơ cột n chiều có thành phần thứ i bằng 1 và các thành
phần khác đều bằng 0;
R
m×n
tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n có các phần tử là số
thực;
C
m×n
tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n có các phần tử là số
phức;
R
m×n
+
tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n có các phần tử là số
thực không âm;
I
n
ma trận thực cấp n ×n có các phần tử nằm ngoài đường chéo

chính bằng 0 và các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng
1;
A ≥ B A, B ∈ R
m×n
và A − B ∈ R
m×n
+
với m, n ∈ N;
σ (A) phổ của ma trận A (tập hợp tất cả các giá trị riêng của A)
σ (A) = {z ∈ C|det (zI
n
− A) = 0};
3
µ (A) hoành độ phổ của ma trận A, µ (A) =
max {Reλ : λ ∈ σ (A)};
ρ (A) bán kính phổ của ma trận A, ρ (A) = max {|λ| : λ ∈ σ (A)};
x = (x
i
) ∈ R
n
, |x| (|x
i
|) ∈ R
n
+
, i ∈ n;
P = (p
ij
) ∈ R
l×q

, |P | (|p
ij
|) ∈ R
l×q
+
, i ∈ l, j ∈ q;
P = (p
ij
) ∈ R
l×q
, P
T
ma trận chuyển vị của P , P
T
= (p
ji
) , i ∈ l, j ∈ q;
C([a, b], K
n
) không gian Banach các hàm liên tục trên đoạn [a, b], nhận
giá trị trong K
n
;
C(R
+
, R
n
) không gian vectơ các hàm liên tục trên [0, +∞), nhận giá
trị trong R
n

;
C(R, R
n×n
) không gian vectơ các hàm liên tục trên R, nhận giá trị
trong R
n×n
.
4
Lời nói đầu
Lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân có lịch sử hơn 100 năm và bắt
đầu với những công trình của nhà Toán học nổi tiếng người Nga Aleksandr Lyapunov
(1857-1918):
- On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid (in 1884,
Russian);
- General problem of the stability of motion (1892, in Russian).
Hơn 100 năm qua, được thúc đẩy bởi các ứng dụng trong các ngành kĩ thuật, các
bài toán ổn định và ổn định vững của các hệ động lực luôn là những vấn đề trung tâm
trong lí thuyết điều khiển của các hệ động lực và được các nhà Kĩ thuật, Toán học, Cơ
học, quan tâm nghiên cứu, xem [1]-[4], [9]-[21], [38]-[39], [41], [43]-[44].
Nói riêng, lí thuyết ổn định tổng quát của các hệ tuyến tính đã phát triển một cách
gần như hoàn chỉnh. Khác với các bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phân
tuyến tính dừng (khá đơn giản), các bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phân
tuyến tính phụ thuộc thời gian khá phức tạp. Các tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn
định và ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian
không có nhiều và thường được cho bởi các điều kiện dưới dạng bất đẳng thức ma trận
tuyến tính (Linear matrix inequalities) phức tạp và khó sử dụng, xem [1]-[2], [20]-[21],
[26]-[27], [38]-[39]. Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu các điều kiện đủ đơn
giản cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời
gian và tìm các biên ổn định cho các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịu
nhiễu phụ thuộc thời gian.

Các vấn đề được đặt ra trong luận văn này là mở và có ý nghĩa khoa học. Các kết
quả mong đợi là mới và là một đóng góp có ý nghĩa trong lí thuyết ổn định của các hệ
phương trình vi phân.
Luận văn gồm lời mở đầu và hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
6
Chương này nhắc lại một vài kiến thức trong giải tích cổ điển và giải tích hàm được
sử dụng trong luận văn. Đồng thời, chương này giới thiệu khái niệm ma trận Metzler,
các tính chất của ma trận Metzler, hệ dương, khái niệm ổn định tiệm cận mũ và một
số điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định tiệm cận mũ của hệ dương.
Chương 2. Ổn định và ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ
thuộc thời gian
Chương này trình bày các kết quả chính của luận văn. Chúng tôi cho một vài điều
kiện đủ đơn giản cho tính ổn định tiệm cận mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến
tính phụ thuộc thời gian (Định lý 2.1.3). Ngoài ra, một vài điều kiện đủ đơn giản cho
tính ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịu nhiễu phụ
thuộc thời gian cũng được trình bày (Định lý 2.2.1 và 2.3.1). Bên cạnh đó, một vài ví
dụ cũng được cho để minh họa các kết quả thu được (Ví dụ 2.1.4, 2.2.2 và 2.3.2).
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Nhắc lại một số kiến thức trong giải tích cổ
điển và giải tích hàm
Phần này giới thiệu một vài định nghĩa và định lý trong giải tích như khái niệm không
gian định chuẩn, tính đơn điệu của chuẩn trong K
n
, chuẩn toán tử, chuẩn toán tử của
các ma trận, hàm số liên tục tuyệt đối trên một đoạn, Các định nghĩa và định lý này
sẽ được sử dụng thường xuyên trong các phép chứng minh tính ổn định và ổn định
vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính ở chương 2.

Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn
Cho E là một không gian vectơ trên K, cho . là một ánh xạ từ E vào R, ta nói
. là chuẩn trên E, nếu nó có các tính chất sau
(i) x ≥ 0 với mọi x ∈ E, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
(ii) tx = |t|x với mọi x ∈ E và t ∈ K.
(iii) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ E.
Nếu . là một chuẩn trên E, ta nói (E, .) là một không gian vectơ định chuẩn.
Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể viết tắt (E, .) là E.
Không gian R
2
hay R
3
với chuẩn là độ dài vectơ, không gian các hàm số khả tích
trên [0, 1] với chuẩn f =

1

0
|f (t)|
2
dt

1
2
là các không gian định chuẩn. Ngoài ra, ta
còn có thể kể đến p - chuẩn trên R
n
với chuẩn
x
p

= (|x
1
|
p
+ |x
2
|
p
+ + |x
n
|
p
)
1
p
, 1 ≤ p < ∞
8
và x
∞
= max
i=1,2, ,n
|x
i
|. Chuẩn Euclide hay còn được gọi là chuẩn l
2
thường được
sử dụng trong toán học chính là 2 - chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2 Tính đơn điệu của chuẩn trong K
n
Một chuẩn . trên K

n
được gọi là đơn điệu nếu x ≤ y với mọi x, y ∈ K
n
, |x| ≤
|y|.
Định nghĩa 1.1.3 Chuẩn toán tử của các ma trận
Cho ma trận A ∈ K
l×q
, giả sử trên K
l
, K
q
lần lượt được trang bị hai chuẩn đơn điệu
.
l
, .
q
thì chuẩn của ma trận A được định nghĩa là
A = max

Ay
l
: y
q
= 1

.
Chuẩn toán tử của một ma trận gọi tắt là chuẩn của ma trận có một tính chất quan
trọng sẽ được sử dụng thường xuyên trong các chứng minh ở chương 2. Tính chất đó
được phát biểu như sau:

Định lý 1.1.4 [42]Nếu A ∈ K
l×q
, B ∈ R
l×q
+
, |A| < B thì A ≤ |A| ≤ B.
Định nghĩa 1.1.5 Hàm số liên tục tuyệt đối
Một hàm số F (x) được gọi là liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b] nếu với mọi ε > 0
cho trước đều có δ > 0 để cho với một số hữu hạn các khoảng con (a
1
, b
1
), ,(a
n
, b
n
)
rời nhau của đoạn [a, b] thỏa
n

i=1
(b
i
− a
i
) < δ thì
n

i=1
|F (b

i
) −F (a
i
)| < ε.
Định lý 1.1.6 [40]Nếu F (x) là một hàm số liên tục tuyệt đối thì F (x) có đạo hàm hầu
khắp nơi. Đồng thời, đạo hàm F

(x) của nó khả tích và ta có F (x) = F (a) +
x

a
F

(t).
1.2 Ma trận Metzler
Định nghĩa 1.2.1 Một ma trận thực cấp n × n được gọi là ma trận Metzler nếu
các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều không âm. Điều đó có nghĩa là ma
trận A := (a
ij
) ∈ R
n×n
, i, j ∈ n được gọi là ma trận Metzler nếu a
ij
≥ 0 với mọi
i, j ∈ n, i = j.
Từ định nghĩa hàm mũ của một số thực, chúng ta phát biểu một định nghĩa tương tự
cho ma trận mũ.
9
Định nghĩa 1.2.2 Cho A là một ma trận thực cấp n × n, khi đó
e

A
=
∞

n=0
A
n
n!
.
Chú ý rằng chuỗi được cho trong định nghĩa 1.2.2 hội tụ tuyệt đối.
Định nghĩa 1.2.3 Hai ma trận A và B được gọi là giao hoán nếu AB = BA.
Từ định nghĩa 1.2.2 và 1.2.3, ta có nhận xét sau đây
Nhận xét 1.2.4 (i) Nếu A, B là các ma trận giao hoán thì e
A+B
= e
A
.e
B
.
(ii) A ∈ R
n×n
+
⇒ e
A
≥ I
n
.
Định lý 1.2.5 [5] Cho A := (a
ij
) ∈ R

n×n
, i, j ∈ n là ma trận Metzler thì
(i) Tồn tại s ∈ R và p > 0 sao cho e
A
= pe
A−sI
n
;
(ii) Tồn tại p > 0 sao cho e
A
≥ pI
n
;
(iii) e
A
x  0 nếu x  0 và e
A
x ≥ 0 nếu x ≥ 0;
Chứng minh.
(i) Gọi s là số thực thỏa s ≤ min
1≤i≤n
{a
ii
, 0} thì A − sI
n
≥ 0. Rõ ràng, theo định nghĩa
1.2.3, sI
n
giao hoán với bất kì ma trận nào có thể nhân được với nó nên sI
n

giao hoán
với A −sI
n
. Do đó,
e
A
= e
[sI
n
+(A−sI
n
)]
= e
sI
n
.e
(A−sI
n
)
.
Hơn nữa, theo định nghĩa 1.2.2, e
sI
n
= e
s
I
n
. Vì vậy, chọn p = e
s
> 0, ta có e

A
= pe
A−sI
n
.
(ii) Với s ≤ min
1≤i≤n
{a
ii
, 0} thì A − sI
n
≥ 0. Từ 1.2.4 (ii), thay thế A bởi A − sI
n
, ta
có e
A−sI
n
≥ I
n
. Điều này kéo theo e
A
≥ e
s
I
n
. Chọn p sao cho 0 < p ≤ e
s
, chúng ta có
ngay điều phải chứng minh.
(iii) Dễ dàng kiểm tra (iii) đúng khi nhân x vào bên phải hai vế bất đẳng thức e

A
≥ pI
n
trong (ii).
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính
(1) ˙x(t) = Ax(t) + b, t ≥ 0,
trong đó
A ∈ R
n×n
, b ∈ R
n
, x(·) ∈ C(R
+
, R
n
).
10
Với x
0
∈ R
n
cho trước, hệ (1) có duy nhất nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu
(2) x (0) = x
0
.
Nghiệm của hệ được cho bởi công thức
x (t) = e
At
x
0

+
t

0
e
Au
bdu, t ≥ 0.
Giả sử A ∈ R
n×n
là ma trận Metzler, b ≥ 0 và x (0)  0. Theo định nghĩa 1.2.1,
At là ma trận Metzler với mọi t ≥ 0. Vì vậy, từ Định lý 1.2.5 (iii), ta có định lý sau
Định lý 1.2.6 Nếu A ∈ R
n×n
là ma trận Metzler, b ≥ 0 và nghiệm của hệ phương
trình vi phân tuyến tính (1) thỏa điều kiện đầu x(0) = x
0
 0 thì x (t)  0 với mọi
t ≥ 0.
Định nghĩa 1.2.7 Ma trận A ∈ R
n×n
được gọi là ổn định Hurwitz nếu nghiệm x (t)
của hệ phương trình vi phân tuyến tính ˙x (t) = Ax (t) thỏa mãn x (t) → 0 khi t → ∞.
Từ Định lý 1.2.6 và định nghĩa 1.2.7, chúng ta đưa ra hai định lý về ma trận Metzler
ổn định. Một định lý trình bày tính chất của ma trận Metzler ổn định và một định lý
trình bày điều kiện đủ đơn giản để ma trận Metzler A là ổn định.
Định lý 1.2.8 [5]Nếu A ∈ R
n×n
là ma trận Metzler ổn định và Ay ≤ 0 với y ∈ R
n
thì

y ≥ 0.
Chứng minh.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ˙x (t) = A (x (t) − y) có điều kiện đầu
x (0)  0. Vì A là ma trận Metzler ổn định nên theo định nghĩa 1.2.7, lim
t→∞
(x(t)−y) = 0
kéo theo lim
t→∞
x (t) = y. Mặt khác, theo giả thiết Ay ≤ 0 nên −Ay ≥ 0. Lúc đó, vận
dụng Định lý 1.2.6 với A là ma trận Metzler và b = −Ay ≥ 0, ta có x (t)  0 với mọi
t ≥ 0. Vì vậy, y = lim
t→∞
x (t) ≥ 0.
Định lý 1.2.8 có thể mở rộng như sau
Nhận xét 1.2.9 (i) A là ma trận Metzler ổn định và Ay < 0 thì y > 0.
(ii) A là ma trận Metzler ổn định và Ay  0 thì y  0.
Câu hỏi đặt ra ở đây là mệnh đề đảo của Định lý 1.2.8 có đúng hay không? Định lý
sau đây sẽ cho chúng ta câu trả lời
11
Định lý 1.2.10 [5]Nếu A ∈ R
n×n
là ma trận Metzler và tồn tại y > 0 sao cho Ay  0
thì ma trận A ổn định.
Chứng minh.
Xét hàm số f(y) = Ay. Hàm f liên tục theo y nên từ giả thiết của định lý, ta suy
ra tồn tại y  0 sao cho Ay  0. Với mỗi y thỏa y  0 và Ay  0, ta luôn chọn được
m < 0 sao cho
(3) Ay ≤ my.
Gọi x(t) là nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng
(4) ˙x (t) = A

T
x (t) ,
với điều kiện đầu x(0)  0. Do A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.2.6, x(t)  0
với mọi t ≥ 0. Đặt
(5) ξ (t) = y
T
x (t) .
Từ (3), (4) và (5), ta suy ra
(6)
˙
ξ(t) = y
T
˙x(t) = y
T
A
T
x(t) = (Ay)
T
x(t) ≤ my
T
x(t) = mξ(t)
với mọi t ≥ 0.
Đặt
f (t) := ξ (t) e
−mt
, t ≥ 0,
ta có
(7)
df
dt

=
˙
ξ (t) e
−mt
− mξ (t) e
−mt
=

˙
ξ (t) − mξ (t)

e
−mt
.
Từ (6) và (7), ta suy ra
df
dt
≤ 0 với mọi t ≥ 0. Vì vậy, hàm f nghịch biến trên [0, +∞)
kéo theo f (t) ≤ f (0) với mọi t ≥ 0. Điều này tương đương với ξ (t) e
−mt
≤ ξ (0) với
mọi t ≥ 0. Ngoài ra, y  0 và x(t)  0 với mọi t ≥ 0 nên ξ (t) > 0 với mọi t ≥ 0. Do
đó,
0 < ξ (t) ≤ ξ (0) e
mt
với mọi t ≥ 0 và m < 0. Vì vậy, ξ (t) → 0 khi t → ∞. Trong khi đó, y (t)  0 và
x (t)  0 với mọi t ≥ 0 nên từ (5) ta có x (t) → 0 khi t → ∞.
Vậy A là ma trận ổn định.
12
Từ các định nghĩa và định lý đã trình bày trên đây, chúng ta đưa ra một định lý

tổng hợp những tính chất cơ bản và quan trọng nhất của ma trận Metzler. Những tính
chất được được xem là nền tảng và sẽ được sử dụng thường xuyên trong các chứng
minh của luận văn này.
Định lý 1.2.11 Cho A ∈ R
n×n
là ma trận Metzler thì
(i) [5] µ(A) là một giá trị riêng của A và tồn tại vectơ x ∈ R
n
+
\{0} sao cho Ax = µ(A)x
(Định lý Perron - Frobenius).
(ii) Với mỗi số thực α, tồn tại vectơ x ∈ R
n
+
\{0} sao cho Ax ≥ αx khi và chỉ khi
µ (A) ≥ α.
(iii) (tI
n
− A)
−1
tồn tại và không âm khi và chỉ khi t > µ (A).
(iv) Cho t
1
, t
2
∈ R thỏa t
1
≥ t
2
> µ (A) thì (t

2
I
n
− A)
−1
≥ (t
1
I
n
− A)
−1
.
(v) [42] Cho B ∈ R
n×n
+
, C ∈ C
n×n
và nếu |C| ≤ B thì µ (A + C) ≤ µ (A + B).
Chứng minh.
(i) Với mỗi s > µ (A), A −sI
n
là ma trận Metzler, không suy biến và
µ (A −sI
n
) = µ (A) −µ (sI
n
) = µ (A) −s < 0.
Vì vậy, A − sI
n
là ma trận Metzler và ổn định. Ứng với mỗi vectơ cố định cho trước

c  0 và với mỗi s > µ (A), ta định nghĩa y (s) thỏa
(8) (A −sI
n
) y (s) = c
Theo 1.2.9, ta có y (s) ∈ R
n
+
\{0} với mọi s > µ (A). Gọi e ∈ R
n
là vectơ có tất cả các
thành phần đều bằng 1 thì e
T
y (s) > 0 với y (s) ∈ R
n
+
\{0}. Đặt
(9) η (s) := [e
T
y (s)]
−1
, x (s) := η (s) y (s) .
Từ (8) và (9), ta có
(10) (A −sI
n
) x (s) = η (s) c, s > µ (A) .
Lúc đó, tồn tại dãy {s
n
} sao cho lim
n→∞
s

n
= µ (A) và lim
n→∞
x (s
n
) = x với x ∈ R
+
n
\{0}.
Rõ ràng, với dãy {s
n
} được chọn thì lim
n→∞
η (s
n
) = η ≥ 0. Trong (10), thay thế s bởi s
n
và lấy giới hạn hai vế khi n → ∞, ta được
(11) [A −µ (A) I
n
] x = ηc.
13
Giả sử η > 0 thì [A − µ (A) I
n
] x  0 với A − µ (A) I
n
là ma trận Metzler và
x ∈ R
+
n

\{0}. Do đó, ma trận A −µ (A) I
n
ổn định theo Định lý 1.2.10. Mâu thuẫn xảy
ra vì
0 > µ [A −µ (A) I
n
] = µ (A) −µ (A) = 0.
Vậy η = 0 nên từ (11), ta có [A − µ (A) I
n
] x = 0. Điều này kéo theo Ax = µ (A) x.
(ii) Cho α ∈ R và µ (A) ≥ α thì với mọi vectơ x ∈ R
+
n
\{0}, ta có
(12) µ (A) x ≥ αx.
Theo Định lý 1.2.11 (i), µ (A) là một giá trị riêng của A và tồn tại x ∈ R
+
n
\{0} sao cho
(13) Ax = µ (A) x.
Từ (12) và (13), ta có Ax ≥ αx với x ∈ R
+
n
\{0} là vectơ riêng tương ứng với giá trị
riêng µ (A) của ma trận A.
Ngược lại, với mỗi số thực α, tồn tại vectơ x ∈ R
+
n
\{0} sao cho Ax ≥ αx. Giả sử
phản chứng rằng µ (A) < α thì với mọi vectơ x ∈ R

+
n
\{0}, ta có
(14) µ (A) x < αx.
Theo Định lý 1.2.11 (i), tồn tại vectơ x

∈ R
+
n
\{0} sao cho
(15) Ax

= µ (A) x

.
Từ (14) và (15), ta có Ax

< αx

. Ax ≥ αx kéo theo −(A −αI
n
) x ≤ 0, Ax

< αx

kéo
theo (A −αI
n
) x


< 0. Vì vậy,
(16) (A −αI
n
) (x

− x) < 0.
Trong khi đó, µ(A − αI
n
) = µ(A) − µαI
n
= µ(A) − α < 0 nên ma trận A − αI
n
ổn
định. Vì vậy, từ (16) và 1.2.9 (i), ta có (x

− x) > 0 kéo theo x

> x. Mâu thuẫn xảy ra
vì αx ≤ Ax < Ax

< αx

với x

> x > 0.
(iii) Khi t > µ (A), t không phải là giá trị riêng của ma trận A. Vì vậy, Ax = tx với
mọi x ∈ R
n
\{0}. Điều này đồng nghĩa với
(tI

n
− A) x = 0, ∀x ∈ R
n
\{0}
Vậy ma trận (tI
n
− A) khả nghịch nên (tI
n
− A)
−1
tồn tại. Giả sử
(tI
n
− A)
−1
:= (a
ij
), i, j ∈ n
14
và giả sử tồn tại i
0
, j
0
∈ n sao cho a
i
0
j
0
< 0.
Đặt

y := (b
j
) ∈ R
n
, j ∈ n
là vectơ có thành phần thứ j
0
bằng −1 và tất cả các thành phần khác đều bằng 0. Rõ
ràng, y < 0 và
µ(A −tI
n
) = µ(A) −t < 0
nên theo 1.2.9 (i), tồn tại x ∈ R
n
+
\{0} sao cho (A − tI
n
)x = y. Điều này kéo theo
x = (A −tI
n
)
−1
y. Mâu thuẫn xảy ra vì 0 > −a
i
0
j
0
b
j
0

= x
i
0
≥ 0.
Ngược lại, giả sử (tI
n
− A)
−1
tồn tại, không âm và t ≤ µ (A). Khi t = µ (A),
theo Định lý 1.2.11 (i), tồn tại x ∈ R
+
n
\{0} sao cho Ax = tx. Điều này kéo theo
(tI
n
− A) x = 0. Ma trận (tI
n
− A) vì vậy là ma trận suy biến nên mâu thuẫn với giả
thiết của phản chứng. Khi t < µ (A), theo Định lý 1.2.11 (ii), tồn tại vectơ x ∈ R
n
+
\{0}
sao cho tx < Ax kéo theo
(17) (tI
n
− A) x < 0.
Trong khi đó, theo giả thiết, (tI
n
− A)
−1

tồn tại và không âm nên từ (17), ta có
x = (tI
n
− A)
−1
(tI
n
− A) x ≤ 0.
Mâu thuẫn xảy ra vì x ∈ R
+
n
\{0}.
(iv) Vì t
1
≥ t
2
nên t
1
− t
2
≥ 0. Điều này kéo theo
(18) (t
1
I
n
− A) −(t
2
I
n
− A) ≥ 0.

Do t
1
≥ t
2
> µ (A) nên theo Định lý 1.2.11 (iii), (t
1
I
n
− A)
−1
và (t
2
I
n
− A)
−1
tồn tại
và không âm. Lúc đó, nhân (t
1
I
n
− A)
−1
vào bên trái hai vế (18) ta được
(19) I
n
− (t
1
I
n

− A)
−1
(t
2
I
n
− A) ≥ 0.
Nhân (t
2
I
n
− A)
−1
vào bên phải hai vế (19), ta được
(20) (t
2
I
n
− A)
−1
− (t
1
I
n
− A)
−1
≥ 0.
Vậy (t
2
I

n
− A)
−1
≥ (t
1
I
n
− A)
−1
nếu t
1
≥ t
2
> µ (A) .
(v) Giả sử A := (a
ij
) ∈ R
n×n
và giả sử các giả thiết của định lý đều được thỏa mãn.
Đặt
A
d
:= diag (a
11
, a
22
, , a
nn
)
15

và
c (A) := − min
1≤i≤n
{a
ii
; 0} = min {t ≥ 0 : tI
n
+ A ≥ 0}.
Gọi λ là giá trị riêng của ma trận A+C thì tồn tại x ∈ R
n
\{0} sao cho (A + C) x = λx.
Lúc đó, với mọi t > c (A
d
), ta có
(Reλ + t) |x| ≤ |(λ + t) x|
= |(tI
n
+ A + C) x|
= |(tI
n
+ A
d
+ A − A
d
+ C) x|
≤ (tI
n
+ A
d
) |x| + (A − A

d
) |x| + |C||x|
≤ (tI
n
+ A
d
) |x| + (A − A
d
) |x| + B |x|
= t |x| + (A + B) |x|.
Từ chuỗi bất đẳng thức trên, ta có
(Reλ + t) |x| ≤ t |x| + (A + B) |x|.
Điều này kéo theo Reλ |x| ≤ (A + B) |x|, với λ là giá trị riêng bất kì và x ∈ R
n
\{0}
là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ của ma trận A + C. Do đó, theo Định lý
1.2.11 (ii), Reλ ≤ µ (A + B), với λ là giá trị riêng bất kì của ma trận A + C.
Vậy µ (A + C) ≤ µ (A + B).
1.3 Hệ dương và ổn định tiệm cận mũ của hệ dương
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng
(21) ˙x (t) = Ax (t) , t ≥ 0,
trong đó A ∈ R
n×n
cho trước.
Với bất kỳ x
0
∈ R
n
cho trước, hệ (21) có duy nhất nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu
(22) x (0) = x

0
.
Nghiệm này được cho bởi công thức
(23) x (t, x
0
) = e
At
x
0
, t ≥ 0.
Định nghĩa 1.3.1 Hệ (21) được gọi là hệ dương nếu với mỗi x
0
∈ R
n
+
, nghiệm duy
nhất x(t
0
, x
0
), t ≥ 0 của bài toán giá trị đầu (21)-(22) thỏa mãn điều kiện: x(t
0
, x
0
) ≥
0, ∀t ≥ 0. Điều này có nghĩa là hệ (21) là hệ dương nếu
∀x
0
∈ R
n

+
⇒ x (t, x
0
) ≥ 0, ∀t ≥ 0.
16
Định lý 1.3.2 Hệ (21) là một hệ dương khi và chỉ khi A là ma trận Metzler.
Chứng minh.
Giả sử A là ma trận Metzler thì A − sI
n
≥ 0 với s = min
1≤i≤n
{a
ii
, 0}. Điều này kéo
theo (A −sI
n
) t ≥ 0 với mọi t ≥ 0. Vì vậy từ 1.2.4(ii), ta có e
(A−sI
n
)t
≥ 0 với mọi t ≥ 0.
Lúc đó,
(24) e
At
= e
(A−sI
n
+sI
n
)t

= e
(A−sI
n
)t
e
st
≥ 0,
với mọi t ≥ 0. Từ (23) và (24), ta có nghiệm x (t, x
0
) của hệ (21) thỏa x (t, x
0
) =
e
At
x
0
≥ 0 với mọi t ≥ 0 và x (0) = x
0
≥ 0. Vậy (21) là hệ dương.
Giả sử (21) là hệ dương. Điều đó có nghĩa là với bất kỳ điều kiện đầu x
0
≥ 0 thì
nghiệm x (t, x
0
) của hệ thỏa x (t, x
0
) = e
At
x
0

≥ 0 với mọi t ≥ 0. Chọn điều kiện đầu
x
0
≥ 0 lần lượt là e
1
, e
2
, , e
n
, chúng ta thu được kết quả e
At
≥ 0. Vậy ma trận A là
ma trận Metzler.
Định nghĩa 1.3.3 Hệ (21) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại các số dương
K, β sao cho với bất kì x
0
∈ R
n
cho trước, nghiệm duy nhất x (t, x
0
) của bài toán giá
trị đầu (21) - (22) thỏa mãn điều kiện
x (t, x
0
) ≤ Ke
−βt
x
0
, ∀t ≥ 0.
Định lý 1.3.4 Hệ (21) là ổn định tiệm cận mũ khi và chỉ khi

det (λI
n
− A) = 0, ∀λ ∈ C
+
.
Định lý 1.3.5 Giả sử rằng hệ (21) là dương. Khi đó, các mệnh đề sau đây là tương
đương.
(i) Hệ (21) ổn định tiệm cận mũ;
(ii) µ (A) < 0;
(iii) Tồn tại p ∈ R
n
, p  0 sao cho Ap  0;
(iv) Tồn tại p, r ∈ R
n
, p  0, r  0 sao cho Ap + r = 0;
(v) A
−1
≤ 0;
(vi) Với bất kì x ∈ R
n
+
\{0}, vectơ hàng x
T
A có ít nhất một thành phần âm;
17
(vii) Tồn tại ma trận đường chéo dương P ∈ R
n×n
sao cho P
T
A + A

T
P xác định âm;
(viii) Cho ma trận Q ∈ R
n×n
xác định âm, tồn tại ma trận xác định dương P ∈ R
n×n
sao cho P
T
A + A
T
P = Q.
Chứng minh.
(i) ⇔ (ii)
Giả sử hệ (21) ổn định tiệm cận mũ và giả sử phản chứng rằng µ (A) ≥ 0. Xét hàm
thực liên tục f (t) = t −µ (A) , t ≥ 0. Khi đó, f (0) = −µ (A) ≤ 0 và lim
t→+∞
f (t) = +∞
nên tồn tại t
0
≥ 0 để f (t
0
) = 0. Điều này kéo theo t
0
= µ (A) ≥ 0. Hơn nữa, A là
ma trận Metzler nên theo Định lý 1.2.11(i), t
0
= µ (A) là giá trị riêng của A, tức là
det (t
0
I

n
− A) = 0. Theo Định lý 1.3.4, hệ (21) không ổn định tiệm cận mũ. Điều này
mâu thuẫn với giả thiết của chứng minh.
Giả sử µ (A) < 0 và giả sử phản chứng rằng hệ (21) không ổn định tiệm cận mũ
tức là tồn tại λ
0
∈ C
+
sao cho det (λ
0
I
n
− A) = 0 . Theo định nghĩa của µ(A), ta có
Reλ
0
≤ µ(A). Mâu thuẫn xảy ra vì 0 ≤ Reλ
0
≤ µ (A) < 0.
Các tiểu chuẩn từ (ii) đến (v) là tương đương theo Định lý 1.2.11.
(i) ⇔ (vi)
Giả sử µ (A) < 0 và giả sử phản chứng rằng tồn tại x ∈ R
n
+
\{0} sao cho vectơ hàng
x
T
A ≥ 0. Do A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.3.5 (iv), tồn tại p, r ∈ R
n
, p 
0, r  0 sao cho Ap = r. Điều này kéo theo x

T
Ap = x
T
r. Tuy nhiên, do x ∈ R
n
+
\{0},
x
T
A ≥ 0, p, r ∈ R
n
, p  0, r  0 nên 0 > x
T
r = x
T
Ap ≥ 0. Mâu thuẫn xảy ra.
Ngược lại, giả sử với mọi x ∈ R
n
+
\{0}, vectơ hàng x
T
A có ít nhất một thành phần
âm và µ (A) ≥ 0. Do A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.2.11 (i), tồn tại p ∈
R
n
+
\{0} sao cho Ap = µ (A) p. Với µ (A) ≥ 0 và p ∈ R
n
+
\{0}, ta có Ap = µ (A) p ≥ 0.

Điều này kéo theo p
T
A ≥ 0 nên mâu thuẫn với giả thiết của phản chứng.
(i) ⇔ (vii)
Giả sử tồn tại ma trận đường chéo dương P ∈ R
n×n
sao cho P
T
A + A
T
P xác định
âm và giả sử phản chứng rằng µ (A) ≥ 0. Ma trận P
T
A + A
T
P xác định âm nên với
mọi x ∈ R
n
\{0}, ta có x
T

P
T
A + A
T
P

x < 0. Hơn nữa, do A là ma trận Metzler nên
theo Định lý 1.2.11(i), tồn tại x ∈ R
n

+
\{0} sao cho Ax = µ (A) x. Do đó,
x
T

P
T
A + A
T
P

x = x
T
P Ax + x
T
A
T
P x = 2µ (A) x
T
P x < 0.
Tuy nhiên, theo giả thiết P là ma trận đường chéo dương kéo theo P cũng là ma trận
xác định dương, tức là x
T
P x > 0 với mọi x ∈ R
n
\{0}. Điều này mâu thuẫn với kết
18
quả thu được ở trên là 2µ (A) x
T
P x < 0 khi µ (A) ≥ 0.

Giả sử µ (A) < 0 và giả sử phản chứng rằng với mọi ma trận đường chéo dương
P ∈ R
n×n
thì P
T
A + A
T
P không xác định âm, tức là tồn tại vectơ x ∈ R
n
\{0} sao
cho x
T

P
T
A + A
T
P

x ≥ 0. Vì A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.2.11(i), tồn
tại x ∈ R
n
+
\{0} sao cho Ax = µ (A) x. Do đó,
x
T

P
T
A + A

T
P

x = x
T
P Ax + x
T
A
T
P x = 2µ (A) x
T
P x ≥ 0.
Tuy nhiên, theo giả thiết, P là ma trận đường chéo dương kéo theo P cũng là ma trận
xác định dương, tức là x
T
P x > 0 với mọi x ∈ R
n
\{0}. Vì vậy, 0 > 2µ (A) x
T
P x ≥ 0
khi µ (A) < 0. Mâu thuẫn xảy ra.
Chú ý rằng trong phát biểu (vii), ta có thể mở rộng điều kiện P là ma trận đường
chéo dương thành điều kiện P là ma trận xác định dương với chứng minh hoàn toàn
tương tự.
(i) ⇔ (viii)
Cho ma trận Q ∈ R
n×n
xác định âm và µ (A) < 0. Giả sử với mọi ma trận P ∈ R
n×n
xác định dương thì P

T
A + A
T
P = Q, có nghĩa là P
T
A + A
T
P −Q = 0. Điều này kéo
theo
x
T

P
T
A + A
T
P −Q

x = x
T
P
T
Ax + x
T
A
T
P x −x
T
Qx = 0
với mọi vectơ x ∈ R

n
\{0}. Do A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.2.11(i), tồn tại
x ∈ R
n
+
\{0} sao cho Ax = µ (A) x. Vì vậy,
x
T
P
T
Ax + x
T
A
T
P x −x
T
Qx = 2µ (A) x
T
P x −x
T
Qx = 0.
Chọn P =
1
2µ(A)
Q, rõ ràng P là ma trận xác định dương vì µ (A) < 0 và Q là ma trận
xác định âm. Mâu thuẫn xảy ra vì
0 = 2µ (A) x
T
P x −x
T

Qx = 2µ (A) x
T
1
2µ (A)
Qx −x
T
Qx = 0
.
Ngược lại, cho Q ∈ R
n×n
là ma trận xác định âm, giả sử tồn tại ma trận xác định
dương P ∈ R
n×n
sao cho P
T
A + A
T
P = Q và giả sử phản chứng rằng µ (A) ≥ 0. Từ
giả thiết P
T
A + A
T
P = Q, ta có P
T
A + A
T
P −Q = 0. Do đó, với ∀x ∈ R
n
, ta có
x

T

P
T
A + A
T
P −Q

x = x
T
P Ax + x
T
A
T
P x −x
T
Qx = 0.
Do A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.2.11(i), tồn tại x ∈ R
n
+
\{0} sao cho
Ax = µ (A) x. Vì vậy,
x
T
P
T
Ax + x
T
A
T

P x −x
T
Qx = 2µ (A) x
T
P x −x
T
Qx = 0.
19
Trong khi đó, µ (A) ≥ 0 và P là ma trận xác định dương tức là x
T
P x > 0 với mọi
x ∈ R
n
\{0}, Q là ma trận xác định âm tức là x
T
Qx < 0 với mọi x ∈ R
n
\{0} nên ta có
2µ (A) x
T
P x −x
T
Qx > 0.
Mâu thuẫn xảy ra vì
0 = 2µ (A) x
T
P x −x
T
Qx > 0.
Ví dụ 1.3.6 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng

(25) ˙x (t) = Ax (t) , t ≥ 0,
với
A =

−1 0
4 −2

, x(t) ∈ R
2
, t ≥ 0.
Rõ ràng, A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.3.2, (25) là hệ dương.
Đặt
p :=

1
3

 0,
ta có
Ap =

−1 0
4 −2

1
3

=

−1

−2

 0.
Vì vậy, theo Định lý 1.2.11, hệ (25) ổn định tiệm cận mũ.
Điều kiện A là ma trận Metzler là không thể thiếu khi vận dụng các tiêu chuẩn khá
đơn giản trong Định lý 1.2.11 để kiểm tra tính ổn định tiệm cận mũ của hệ phương
trình vi phân tuyến tính dừng. Thật vậy, ta xét ví dụ sau đây để minh chứng cho nhận
định trên.
Ví dụ 1.3.7 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng
(26) ˙x (t) = Ax (t) , t ≥ 0,
với
A =

−1 −1
−6 −2

, x(t) ∈ R
2
, t ≥ 0.
20
Đặt p :=

1
3

 0, ta có
Ap =

−1 −1
−6 −2


1
3

=

−4
−12

 0.
Rõ ràng, A không phải là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.2.11, hệ đã cho không
phải là hệ dương. Tiêu chuẩn Ap  0 với p  0 vừa được kiểm tra vì vậy không đủ để
kết luận hệ (26) ổn định tiệm cận mũ. Thật vậy, hệ (26) không ổn định tiệm cận mũ
vì µ (A) = 1 > 0.
21
Chương 2
Ổn định và ổn định vững của các hệ
phương trình vi phân tuyến tính
phụ thuộc thời gian
2.1 Ổn định tiệm cận mũ của các hệ phương trình
vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian
(27) ˙x (t) = A (t) x (t) , t ≥ t
0
,
trong đó
A(·) = (a
ij
(·)) ∈ C


R
+
, R
n×n

, i, j ∈ n, x(·) ∈ C(R
+
, R
n
).
Với t
0
∈ R
+
và x
0
∈ R
n
cho trước, hệ (27) có duy nhất nghiệm thỏa điều kiện ban đầu
(28) x (t
0
) = x
0
.
Nghiệm này được kí hiệu là x (t, t
0
, x
0
) , t ≥ t
0

≥ 0.
Định nghĩa 2.1.1 Hệ (27) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại các số dương
K, β sao cho với bất kì t
0
∈ R
+
và x
0
∈ R
n
cho trước, nghiệm duy nhất x (t, t
0
, x
0
) , t ≥
t
0
≥ 0 của bài toán giá trị đầu (27) - (28) thỏa mãn điều kiện
x (t, t
0
, x
0
) ≤ Ke
−β(t−t
0
)
x
0
, ∀t ≥ t
0

≥ 0.
22
Khác với các hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng (21), ổn định tiệm cận mũ của
các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian (27) không được quyết định
bởi phổ của các ma trận A (t) , t ≥ t
0
≥ 0. Ngay cả điều kiện µ (A (t)) < 0, t ≥ t
0
≥ 0
cũng không phải là điều kiện đủ để hệ (27) ổn định tiệm cận mũ. Thật vậy, chúng ta
xét ví dụ sau để chứng minh cho nhận xét trên.
Ví dụ 2.1.2 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian
(29) ˙x(t) = A (t) x (t) , t ≥ 0,
trong đó
A (t) =

−α e
αt
0 −α

∈ R
2×2
, α > 0, x(t) ∈ R
2
, t ≥ 0.
Hệ (29) có nghiệm
x
1
(t, 0) =
x

2
(0)
α
+

x
1
(0) −
x
2
(0)
α

e
−αt
, x
2
(t, 0) = e
−αt
x
2
(0) .
Rõ ràng rằng x
1
(t, 0) →
x
2
(0)
α
= 0 khi t → ∞ và x

2
(0) = 0. Vì vậy, mặc dù ma trận
A (t) có các giá trị riêng là λ
1
= λ
2
= −α < 0, tức là µ(A (t)) = −α < 0 nhưng hệ
(29) vẫn không ổn định tiệm cận mũ.
Thông qua ví dụ trên, ta nhận thấy điều kiện µ (A (t)) < 0, t ≥ t
0
≥ 0 là không
đủ để kết luận hệ (27) ổn định tiệm cận mũ. Định lý sau đây là một trong những kết
quả chính của luận văn này. Định lý cung cấp một điều kiện đủ đơn giản để hệ (27)
ổn định tiệm cận mũ.
Định lý 2.1.3 Giả sử A(t) := (a
ij
(t)) ∈ R
n×n
, t ≥ t
0
≥ 0. Nếu tồn tại một ma trận
Metzler A := (a
ij
) ∈ R
n×n
sao cho
(H
1
) |a
ij

(t)| ≤ a
ij
, ∀t ≥ 0, ∀i, j ∈ n, i = j;
a
ii
(t) ≤ a
ii
, ∀t ≥ 0, i ∈ n;
(H
2
) µ (A) < 0;
thì hệ (27) ổn định tiệm cận mũ.
Chú ý: Điều kiện (H
2
) có thể được thay thế bằng một trong các mệnh đề tương
đương trong Định lý 1.3.5.
23
Chứng minh.
Trước tiên, chúng ta chứng minh tồn tại K > 0, β > 0 sao cho với mọi t
0
∈ R
+
và
mọi x
0
∈ R
n
thỏa x
0
 ≤ 1 thì x (t, t

0
, x
0
) ≤ Ke
−β(t−t
0
)
với mọi t ≥ t
0
. Trong đó,
K, β độc lập với t và t
0
.
Từ (H
2
), ta có µ (A) < 0. Do đó, theo Định lý 1.2.11, tồn tại
p ∈ R
n
, p := (α
1
, α
2
, , α
n
)
T
 0
sao cho Ap  0. Do tính chất liên tục, tồn tại β > 0 đủ bé sao cho
(30) Ap  −βp.
Chọn K > 0 sao cho |x

0
|  Kp với mọi x
0
∈ R
n
và x
0
 ≤ 1. Đặt
u (t) := Ke
−β(t−t
0
)
p, x (t) := x (t, t
0
, x
0
) , t ≥ t
0
.
Rõ ràng, |x
0
| = |x (t
0
)|  u (t
0
). Ta sẽ chứng minh |x (t)| ≤ u (t) với mọi t ≥ t
0
.
Giả sử phản chứng rằng tồn tại t
1

> t
0
sao cho |x (t
1
)|  u (t
1
) .
Đặt
t
∗
:= inf {t > t
0
: |x (t)|  u (t)}.
Do |x (t
0
)|  u (t
0
) nên t
∗
> t
0
và tồn tại i
0
∈ n sao cho
(31) |x (t)| ≤ u (t) , ∀t ∈ [t
0
, t
∗
) ; |x
i

0
(t
∗
)| = u
i
0
(t
∗
) ,
|x
i
0
(t)| > u
i
0
(t) , ∀t ∈ (t
∗
, t
∗
+ ε) ,
với ε > 0 đủ bé.
Chú ý rằng với mỗi i ∈ n, |x
i
(·)| là hàm liên tục tuyệt đối trên bất kì đoạn [a, b] trong
R. Vì vậy, ta có
d
dt
|x
i
(t)| = sgn(x

i
(t)) ˙x
i
(t)
≤ a
ii
(t)|x
i
(t)| +
n

j=1,j=i
|a
ij
(t)||x
j
(t)|
(H
1
)
≤ a
ii
|x
i
(t)| +
n

j=1,j=i
a
ij

|x
j
(t)|
với hầu khắp t ∈ [t
0
, ∞).
Do đó, với hầu khắp t ∈ [t
0
, ∞),
D
+
|x
i
(t)| := lim
h→0
+
sup
|x
i
(t + h)| − |x
i
(t)|
h
24
= lim
h→0
+
sup
1
h

t+h

t
d
ds
|x
i
(s)|ds
≤ a
ii
|x
i
(t)| +
n

j=1,j=i
a
ij
|x
j
(t)|.
Đặc biệt, chúng ta có
D
+
|x
i
0
(t
∗
)|

(31)
≤ a
i
0
i
0
Ke
−β(t
∗
−t
0
)
α
i
0
+
n

j=1,j=i
0
a
i
0
j
Ke
−β(t
∗
−t
0
)

α
j
= Ke
−β(t
∗
−t
0
)

n

j=1
a
i
0
j
α
j

(30)
< −βKe
−β(t
∗
−t
0
)
α
i
0
= D

+
u
i
0
(t
∗
).
Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với (31) nên
|x (t, t
0
, x
0
)| ≤ u (t) = Ke
−β(t−t
0
)
p, ∀t ≥ t
0
; ∀x
0
∈ R
n
, x
0
 ≤ 1.
Do tính đơn điệu của chuẩn vectơ,
x (t, t
0
, x
0

) ≤ Ke
−β(t−t
0
)
p, ∀t ≥ t
0
; ∀x
0
∈ R
n
, x
0
 ≤ 1.
Nếu chúng ta chọn K
1
:= K p > 0 thì
x (t, t
0
, x
0
) ≤ K
1
e
−β(t−t
0
)
, ∀t ≥ t
0
; ∀x
0

∈ R
n
, x
0
 ≤ 1.
Trong trường hợp tổng quát, với bất kỳ x
0
∈ R
n
thì
x

t, t
0
,
x
0
x
0


, t ≥ t
0
là nghiệm của hệ (27) với điều kiện đầu x(t
0
) =
x
0
x
0


. Vì vậy, chúng ta có
x

t, t
0
,
x
0
x
0


≤ K
1
e
−β(t−t
0
)
, ∀t ≥ t
0
, ∀x
0
∈ R
n
.
Do tính chất tuyến tính, ta có
x

t, t

0
,
x
0
x
0


=
1
x
0

x (t, t
0
, x
0
) ≤ K
1
e
−β(t−t
0
)
, ∀t ≥ t
0
, ∀x
0
∈ R
n
.

Điều này kéo theo
x (t, t
0
, x
0
) ≤ K
1
e
−β(t−t
0
)
x
0
, ∀t ≥ t
0
, ∀x
0
∈ R
n
.
Vậy hệ (27) ổn định tiệm cận mũ theo định nghĩa 2.1.1.
25