Một số phương pháp giải bài toán cực trị

MỤC LỤC
Trang
Phần I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
Phần II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3. Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề
3.1. Cơ sở lý thuyết
3.2. Bài tập vận dụng
a. Phương pháp sử dụng phương trình bậc 2 có nghiệm
b. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cosi
c. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki
d. Phương pháp sử dụng công thức có sẳn của hàm số bậc 2

2
2
2
2

3
3
4
4
5
5
7

9
10

e. Phương pháp từ hệ quy chiếu này chuyển sang hệ quy chiếu khác
f. Phương pháp tìm cực trị thông qua các giá trị cực đại, cực tiểu
của hàm lượng giác.

12

g. Phương pháp tìm cực trị bằng việc khảo sát hàm số
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

15

13

17

Phần III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

18
18
19

1

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy môn Vật Lí khi học sinh gặp bài toán tìm cực trị cực đại hoặc cực tiểu của một đại lượng vật lí các em học sinh thường nghỉ ngay
đến dùng đạo hàm, cụ thể là các em dùng công thức vật lí xây dựng biểu thức cần
tìm sau đó lấy đạo hàm cho đạo hàm bằng không lập bảng xét dấu từ đó tìm được
cực trị với cách giải này phạm vi sử dụng rộng rải. Tuy nhiên đối với lớp dưới các
em học sinh vẫn gặp các bài toán cực trị nhất là trong kì thi học sinh giỏi, mà các
em lại chưa học đạo hàm. Mặt khác nhiều bài toán dùng đạo hàm không phải bao
giờ cũng có lời giải là đẹp nhất.
Chính vì lí do trên tôi chon đề tài “Một số phương pháp giải bài toán cực trị”.
2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh có cách nhìn toàn diện về bài toán cực trị trong vật lí, từ đó
các em học sinh chủ động lựa chọn phương pháp giải hợp lí.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán cực trị trong môn vật lí ở trường THPT từ đó đưa ra phương
pháp giải bài toán tìm giá tri lớn nhất, nhỏ nhất của đại lượng vật lí và
phần nào các em học sinh thấy được việc đưa bài toán lí thuyết áp dụng vào thực
tiễn cuộc sống.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài, tôi sử dụng phương pháp chủ yếu là tham khảo tài liệu,
nhiều đề thi học sinh giỏi của các khối lớp, đề thi đại học, tổng kết rút kinh nghiệm
qua các buổi dạy học sinh giỏi, dạy ôn thi đại học. Căn cứ vào đề thi để hệ thống
biên soạn loại bài tập này thành dạng, đồng thời đưa ra kiến thức cần thiết để phục
vụ cho việc áp dụng, đưa ra phương pháp vận dụng cho dạng bài tập này. Mặt khác
trong quá trình vận dụng đề tài tôi còn dùng nhiều biện pháp tham khảo tài liệu bồi
dưỡng học sinh giỏi, trao đổi với thầy cô giáo giảng dạy bộ môn Vật lí, Toán học,
trao đổi với các em học sinh để tìm ra vướng mắc từ phía các em. Áp dụng kiểm tra
đối chứng, đánh giá và so sánh kết quả trước và sau khi thực hiện sáng kiến kinh
nghiệm đối với học sinh giỏi và học sinh dự thi đại học qua nhiều năm từ đó đúc rút

ra kinh nghiệm này.

2


PHẦN II:

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHỆM

1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Để giúp các em học tốt hơn, giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập,
cần giúp các em làm các bài tập rèn luyện tư duy môn học. Cần cho học sinh thấy
được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri
thức cần phải học hỏi. Đối với môn vật lý thì giáo viên cần biết định hướng, giúp
đỡ từng đối tượng học sinh, quan trọng hơn là phải tạo tình huống giúp các em
nâng cao năng lực tư duy.
Bài tập cực trị là một phương tiện có hiệu quả cao trong việc rèn luyện kỹ
năng giải bài tập và rèn luyện tư duy cho học sinh, rèn luyện cho các em phương
pháp làm việc khoa học, độc lập góp phần hình thành cho học sinh năng lực tư duy
khoa học. Có thể sử dụng bài tập cực trị trong nghiên cứu, hình thành kiến thức
mới; trong luyện tập, rèn luyện kỹ năng cho học sinh; trong kiểm tra, đánh giá kiến
thức, kỹ năng ghi nhớ của học sinh. Khi giải bài tậpj cực tri, học sinh phải biết vận
dụng kiến thức các phương pháp khác nhau đối với từng bài tập.
2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Nghiên cứu đối tượng học sinh năm học: 2013-2014; 2014-2015; 2015- 2016
* Phương pháp quan sát:
Người thực hiện đề tài tự tìm tòi, nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm từ thực
tiễn giảng dạy .
* Phương pháp trao đổi, thảo luận:
Từ kết quả nghiên cứu, khi thực hiện đề tài tôi tiến hành trao đổi, thảo luận

với đồng nghiệp, rút kinh nghiệm để hoàn thiện đề tài.
* Phương pháp thực nghiệm:
Tôi tiến hành dạy thể nghiệm theo phương pháp đã nghiên cứu trong đề tài.
* Phương pháp điều tra:
Tôi ra các bài tập áp dụng để kiểm tra đánh giá kết quả sử dụng phương pháp
mới.
Thực trạng học sinh
- Các em còn lúng túng trong việc tìm hướng giải một bài tập cực trị.
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn vật lý.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó không chỉ
đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức tới
các em. Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa
xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn vật lý
trong đời sống.
3


Qua nghiên cứu trong một vài năm trở lại đây việc học sinh tiếp thu vận
dụng các kỉ năng giải bài tập cực trị còn nhiều hạn chế, kết quả chưa cao. Sự nhận
thức và ứng dụng thực tế cũng như vận dụng vào việc giải quyết các bài tập Vật lý
còn nhiều yếu kém. Để làm tốt được những vấn đề này người giáo viên phải luôn
luôn tìm tòi và đưa ra hướng giải quyết khắc phục sao cho học sinh của mình đạt
kết quả cao nhất trong các kì thi. người thầy phải tìm ra được những cách giải phù
hợp và nhanh cho từng dạng toán cụ thể để truyền thụ cho học sinh. Thực trạng trên
là những động lực giúp tôi nghiên cứu đề tài này.
3. Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3.1. Cơ sở lí thuyết:
a. Sử dụng điều kiện phương trình bậc 2 có nghiệm

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0
+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép.
+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
b. Bất đẳng thức cosi
b.1: Bất đẳng thức cosi viết cho hai số
Cho hai số dương a, b
a + b ≥ 2 ab
+ Dấu bằng xảy ra khi a = b.
+ Khi tích 2 số không đổi tổng nhỏ nhất khi 2 số bằng nhau.
+ Khi tổng 2 số không đổi, tích 2 số lớn nhất khi 2 số bằng nhau.
b.2: Bất đăng thức cosi viết cho ba số
Cho ba số dương a, b,c
a + b + c ≥ 3 3 abc
+ Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
c. Bất đẳng thức Bunhia côpxki
Cho các số dương a1, b1, a2, b2.
(a1b1 + a2b2)2 ≤ (a1 + a2)2 . (b1 + b2)2.
a1 b1
=
Dấu bằng xảy ra khi
a2 b2
d. Hàm số bậc 2 (Tam thức bậc 2)
Cho hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c.
+ a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol.
+ a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol.
b
−∆
+ Toạ độ đỉnh: x = - ; y =
(∆ = b2 - 4ac)
2a

4a
2
2
→
Hoặc: y = ax + bx + c = f(x) + C0
Từ đây có thể biện luận được cực đại hoặc
cực tiểu.
4


Do f(x)2 ≥ 0 nên

C0 > 0 ⇒ ymin = C0
C0 < 0 ⇒ ymax = C0
e. Tính tương đối trong chuyển động
uuu
r uuu
r uuu
r
Chuyển động có tính tương đối ⇒ Vận tốc có tính tương đối ⇒ v13 = v12 + v 23 .
Các bài toán sau đây có thể tìm cực trị bằng nhiều phương pháp khác nhau. Tuy
nhiên nếu ta sử dụng phương pháp này bài toán được giải quyết một cách đơn giản
hơn bằng cách chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác.
f. Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm lượng giác.
Khi góc α thay đổi
- 1 ≤ cos α ≤ 1
- 1 ≤ sin α ≤ 1
Từ đây ta có thể tìm được các giá tri cực trị.
h. Khảo sát hàm số
- Lập biểu thức thông số cần tìm cực trị.

- Tính đạo hàm
- Cho biểu thức đạo hàm bằng không sau đó tìm nghiệm
- Lập bảng biến thiên từ bảng biến thiên tìm được cực trị.
3.2. Bài tập vận dụng
a. Phương pháp sử dụng phương trình bậc 2 có nghiệm
Bài tập 1: Tìm khoảng cách cực tiểu giữa một vật thật và một ảnh thật của nó qua
một thấu kính hội tụ có tiêu cự f.
Lời giải
TK
Sơ đồ tạo ảnh:
AB
A ' B'
d'

d

khoảng cách vật ảnh là

L = |d / + d|

(1)

Do vật thật và ảnh thật nên L = d + d'
Mặt khác:

1 1 1
d. f
+ =
⇒ d'=
d d' f

d− f

(2)

d. f

L = d + d − f ⇔ d2 - df + Lf = 0
Để Lmin thì phương trình có nghiệm ⇒ ∆ ≥ 0 ⇔ L2 - 4Lf ≥ 0
Thay (2) vào (1)

⇒ L ≤ 0 hoặc L ≥ 4f

5


Do L không âm nên Lmin = 4f
Bài tập 2: Cho mạch điện như hình vẽ: UAB = 120 2 Cos 100 π t (v)
1
1
(H) ; C = .10−4(F) . R là một biến trở. Tìm R để công suất trong mạch
L=
10π
π
cực đại. Tính công suất cực đại .
C
R
Lời giải
L
A

Từ UAB = 120 2 Cos 100 π t (v) ⇒
Cảm kháng: ZL = ωL = 10 ( Ω )
1
= 25Ω
Dung kháng: ZC =
ωC

•

•

B

U = 120 (V)
ω = 100 π (rad/s)

R

2
Công suất tiêu thụ của mạch: P = U.I.Cos ϕ = U 2
2
R + (ZL − ZC)
⇔ PR2 - U2.R + (ZL - ZC)2.P = 0
(*)
Để có công suất cực đại thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là tồn tại R
⇒ ∆≥ 0
⇔ U4 - 4P2 .(ZL - ZC)2 ≥ 0
U4
U2
⇒ p≤

⇔ P2 ≤
2 ZL − ZC
4(ZL − ZC)2
U2
= 480(W)
Ta có PR(Max) =
2 ZL − ZC
Khi đó phương trình: PR2 - U2.R + (ZL - ZC)2.P = 0
U2
có nghiệm : R = R1 = R2 =
= 15( Ω )
2Pmax

Lưu ý:
+Với bài toán này để tìm Pmax ta có thể dùng bất đẳng thức cosi hoặc khảo sát
hàm số. tuy nhiên với phương pháp này ta có thể nhận xét như sau:
Nếu P < Pmax thì phương trình (*) có ∆ > 0 khi đó tồn tại 2 giá trị của R ( R1; R2 )
cho cùng một giá trị công suất, và R1; R2 thỏa mãn hệ thức
b U2
U2
=
⇒P=
R1 + R 2 = −
2a
P
R1 + R 2

6

( Z − Z C ) ( Z L − Z C ) =1 ⇒
c
2
= ( Z L − Z C ) ⇒ tan ϕ1 tan ϕ 2 = L
a
R1
R2
π
= Trong đó ϕ 1 , ϕ 2 là độ lệch pha giữa u và i khi R = R1 và R = R2
2

R1R 2 =

ϕ +ϕ
1

2

+ Với nhận xét trên trong đề thi trắc nghiệm khách quan vật lí lớp 12 các em
hoc sinh giải quyết nhiều bài toán mà không tồn nhiều thời gian.
b. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cosi
Bài tập 1: Nhúng một phần thước thẳng AB vào bể nước trong suốt có chiết suất n
= 4/3 sao cho thước tạo với mặt nước một góc α , đầu A chạm đáy bể, I là giao
điểm của mặt nước và thước. Khi nhìn xuống đáy bể theo phương thẳng đứng
người ta thấy điểm A được nâng lên đến vị trí A' cách mặt nước 15cm.
1. Tính chiều cao của nước trong bể.
2. Gọi β là góc tạo bởi A'I và AI. Hãy xác định α để β đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
1. Xác định chiều cao của lớp nước trong bể.
Sơ đồ ảnh:

A

LC
F

h (n, no)
h' no
Áp dụng công thức
=
h n
' n
⇒h = h .
=20cm
no

B
'

A

h'

H

α

- - - - - - - - - - -- - - I- - - - - - --A- - β
---- ----- - - --- -- -- -- --------------------------Vậy chiều sâu của nước trong bể : h = AH = 20cm
A

----------------------------α
β
2. Tìm để đạt giá trị lớn nhất.
Xét ∆ AIH : AH = h = HI tan α
Xét ∆ A'IH : A'H = h' = HI tan( α - β )
'

H
⇒ A =h

'

----------------------

'

tan(α − β )
AH
h
tan α
tan α − tan β
3
=
⇔
tan α (1 + tan α tan β ) 4
⇔ 4tan α - 4tan β = 3tan α + 3tan2 α tan β
⇔ tan α = tan β = (4 + 3tan2 α )
tan α
1
Ta n β =

=
(*)
⇔
4
4 + 3tan 2α
+ 3 tan α
tan α
α
β
Do ; là góc nhọn nên khi β cực đại thì tan β cực đại.
=

7


4
+ 3 tan α cực tiểu .
tan α
4
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số 3tan α và
ta có
tan α

Từ (*) ta thấy tan β cực đại khi

4
4
+ 3 tan α ≥ 2 3 tan α .
=4 3
tan α

tan α
 4

4
+ 3 tan α ÷ = 4 3 xảy ra khi
= 3 tan α

tan α
 tan α
 min
⇒ Tan α =

4
⇒ α = 490 ⇒ β ≈ 80
3

vậy α = 490 ⇒ β max ≈ 80
Bài tập 2: Có hai điện tích điểm q1 = q2 = q > 0 đặt tại hai điểm A, B trong không
khí ( ε = 1). Cho biết AB = 2d. Hãy xác định cường độ điện trường tại M trên
đường trung trực AB cách đường thẳng AB một khoảng x. Tìm x đểurEM đạt cực đại.
EM
Lời giải
ur
ur
ur
* Xác định E M :
E
E
2M
1M

ur ur
ur
+ E M = E 1M + E 2M
• M
α
q
Với E1M = E2M = k 2 2
B x
d +x
q
1

•

d

A

ur
+ Dùng quy tắc tổng hợp vectơ ⇒ E M ⊥ AB hướng ra xa AB.
2kq
x
x
+ EM = 2E1M cos α = d2 + x2 . 2 2 = 2kq. 2 2 32
d +x
(d + x )
* Tìm vị trí M:
+ Áp dụng BĐT Côsi cho ba số

•

H

d

•

(*)

3
d2 d2 2 3 d4x2
3 3 2
Ta có: d + x =
+ + x ≥3
⇒ d2 + x2 2 ≥
.d .x (**)
2 2
4
2
4kq
4kq
d
+ Từ (*) và (**) ⇒ EM ≤
.
Vậy
E
=
khi
x
=

.
M(Max)
3 3d2
3 3d2
2
Lưu ý: phương pháp này giúp cho các em học sinh chưa học khảo sát hàm số
nhưng vẫn giải được các bài toán cực trị thuộc loại khó trong phần điện, điện
trường…
2

2

(

)

c. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki

8


Bài tập1: Một cái hòm có khối lượng m đặt trên mặt bàn nằm
ngang với hệ số ma
ur
µ
sát . Để xê dịch hòm cần phải tác dụng lên nó một lực F . Xác định giá trị nhỏ
nhất của lực F.
Lời giải
ur
Gọi α là góc tạo bởi lực F vả phương ngang.

Áp dụng
u
r định
uu
r luật
uuII
r Niu
u
r Tơn. uu
r

F + P + N + F ms = ma

ChiÕu lªn Ox: F cosα − F ms= ma (1)

⇒ Fms = µ (P-Fsin α )
ChiÕu lªn Oy: Fsinα + N − P = 0
Thay (2) vào (1) F cosα − µ(P − Fsinα) = ma

r

(2)
α

M

⇔ F(cosα − µ sinα ) = µP + ma
⇔ F=

F

µP + ma
cosα +µ sinα

a= 0
(cosα+µsinα)min
Áp dụng BĐT Bunhia-CốpXki ta có
Để lực kéo F nhỏ nhất thì

cosα +µsinα ≤ 1+ µ 2. cos2α + sin2α = 1+ µ 2
µP
F
=
⇔ Tan α = µ .
Vậy Fmin =
2
1+ µ
Bài tập 2: Một người muốn qua một con sông rộng 750m. Vận tốc của anh ta đối
với nước là v1 = 1,5(m/s). Nước chảy với vận tốc v2 = 1 (m/s). Vận tốc chạy bộ trên
bờ là v3 = 2,5 (m/s). Tìm đường đi ( kết hợp giữa chạy bộ và bơi) để anh này đến
điểm bên kia sông đối diện xuất phát trong thời gian ngắn nhất.
Lời giải:
Giả sử người này chạy bộ từ A đến B rồi bắt đầu bơi theo hướng hợp với AC một
góc α .
C
Thời gian bơi qua sông:
AC
t1 =
(1)
v1cosα

ur
v1
Mặt khác: AB = (v2 - v1sin α )t1 (2)
2
Thời gian người này chay bộ :
α
AB
t2 =
(3)

ur
v

v

3

A

B'

9


Thời gian người này chuyển động:
t = t1 +t2 (4)
AC  v3 + v2 − v1sinα 
Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ t =

÷

cos
α

v1v3 
750  2,5 + 1− 1,5sinα 
 3,5 − 1,5sinα 
= 200
=

÷
÷
1,5.2,5
cosα
cosα



3,5 − 1,5sinα
Do t > 0 ⇒ Đặt X =
>0
cosα
⇔ Xcos α + 1,5sin α = 3,5
Áp dụng BĐT Bunhia-KoopsKi cho vế trái.
Xcos α + 1,5sin α ≤

2

X +1,5 . cos α + sin α = X +1,5
⇒ X +1,5 ≥ 3,5
2

2

2

2

2

2

2

⇔ X2 +1,52 ≥ 3,52
⇔ X ≥ 3,16

⇒ Xmin = 3,16 ⇒ tmin = 632(s)
x cosα ⇒ tanα = 1,5 = 0,475
Xảy ra khi : min =
1,5 sinα
xmin

⇒ α = 25,40
AC
Thay vào : t1 =
= 556(s)
v1cosα

⇒ t2 = tmin - t1 = 76(s)
⇒ AB = t2.v3 = 190(m)

Vậy tmin = 632(s) .
Lưu ý : Phương pháp này áp dụng nhiều cho bài toán động học và động lực hoc ở
lớp 10.
d. Phương pháp sử dụng công thức có sẳn của hàm số bậc 2(Tam thức bậc 2)
Bài tập1: Một con lắc đơn lý tưởng có chiều dài l, khối lượng m. Từ vị trí cân bằng
kéo vật m để dây treo lập với phương thẳng đứng góc 450 rồi thả nhẹ.
Tìm độ lớn cực tiểu của gia tốc trong quá trình dao động. Biết gia tốc trọng
trường là g.
Lời giải
Trong quá trình dao động của con lắc đơn.
Gia tốc tiếp tuyến : at = gsin α

10


2
2
Gia tốc hướng tâm: an = v = v = 2 g (cosα -cosα 0)
R
l

r uu
r uur
mặt khác: a = a t + a n
Do

uu
r
uur
a t vuông góc với a n

⇒a=

2

2

t

n

a +a

= g 2sin 2α + 4 g 2(cosα -cosα 0) 2
= g sin 2α + 4cosα -8sinα cosα 0 + 4cos 2α
= g 1 − cos 2α + 4cos 2α − 4 2cosα + 2
= g 43cos 2α − 4 2cosα + 3
=g

( )

2


6
2 1
cosα +  2
÷
3 cos α − 2.2
÷ +3

3
3


2

2

2


2 1
g
= g  3cosα − 2 ÷÷ + ≥
3 3
3


g
2 2
xảy ra khi: cos α =
3
3
2
Hoặc đặt cos α = t ( 0 ≤ t ≤
)
2

Vậy amin =

khi đó a = g. 3t 2 − 4 2.t + 3
Đặt y = 3t2 - 4 2 t +3 đẻ amin thì ymin
⇒ Sử dụng đỉnh của paraboll ⇒ amin

g
.
3

Bài tập 2: Hai vật chuyển động từ A và B cùng hướng về điểm 0 với cùng vận tốc.
Biết AO = 20km; BO = 30km; Góc a = 60 0. Hãy tìm khoảng cách ngắn nhất giữa
chúng trong quá trình chuyển động.
Lời giải
A
Chọn hệ quy chiếu như hình vẽ.
A'
•
0
Giả sử tàu 1 chạy trên trục ox, tàu 2 chạy trên trục oy.
γ
α
Phương trình chuyển động của hai tàu.
x = 60 -v.t
y = 40 - v.t
β
Tại thời điểm t khoảng cách giưa hai tàu là d.
Áp dụng hàm số sos trọng tam giác ta có:
B'
2
2
2

0
•
d = x + y - 2x.y.cos60
B

11


= ( 60 - v.t)2 + (40 - v.t)2 - 2. (60 - vt)(40 - vt).

1
2

= (v.t)2 -100vt + 2800.
Đặt y = d2 ⇒ y = (vt)2 -100.vt +2800
'
Do vt > 0 ⇒ ymin = − ∆ = − ∆ = 300
4a

⇒ dmin =

y

min

a

= 300 ≈ 17,32(km)

Xảy ra khi vt = 50 ⇒ t =

50
( h)
v

Hoặc:
d2 = (v.t)2 -100vt + 2800.
= (v.t - 50)2 + 300 ≥ 300
⇒ dmin = 300 ≈ 17,32( km)
Xảy ra khi: vt = 50 ⇒ t =

50
( h)
v

Lưu ý : Phương pháp này sử dụng khá rộng rải cho các bài toán vật lí, phương
pháp này phù hợp với các bài toán trắc nghiệm khách quan khi các em chưa học về
khảo sát hàm số.
e. Phương pháp từ hệ quy chiếu này chuyển sang hệ quy chiếu khác.
Bài tập1: Một xe ô tô tới gần một địa điểm A với tốc độ v 1 = 80km/h. Tại thời điểm
khi còn phải đi L = 10km nữa, thì từ A một xe tải đi ra theo phương vuông góc với
tốc độ v2 = 60km/h. Hỏi khoảng cách ngắn nhất giữa xe ô tô và xe tải bằng bao
nhiêu?
Lời giải
Từ hệ quy chiếu (HQC) gắn với mặt
đất, rta u
chuyển
xang HQC gắn với ô tô.
uuu
r uuu

uu
r
x
Áp dụng công thức cộng vận tốc: v13 = v12 + v 23
⇔

uu
r uuu
r uur

v =v +v
1

12

uuu
r uur uu
r
⇔
=
−
v
v
v
2
21
2
1

Từ hình vẽ ta có :

uuu
r

v 2 + ( −v 1 ) =
2

v 21 =

2

y
2

H

2

v1 + v 2

uuur

⇒ v 21 có độ lớn không đổi và có hướng Ay.
Khoảng cách ngắn nhất giữa ô tô và xe tải:
d = BH AB.sin α

v2
= L. = L.
v

1

v
v +v
2

2

2

1

2

= 6km/h

•
B

v
uur

v

21

uur

−v

uur

α

•
A

v

2

1
Bài tập 2: Khi một hành khách còn phải đi một khoảng
1 L = 25m nữa mới tới cửa
toa tàu của mình thì tàu bắt đầu chuyển bánh với gia tốc a = 0,5m/s 2.. Hành khách
chạy với vận tốc không đổi là v. Hỏi v tối thiểu bằng bao nhiêu để người đó đuổi
kịp toa tàu của mình?
12


r
v

r
a

Lời giải
Từ hệ quy chiếu (HQC) gắn với mặt đất,
ta chuyển sang hệ quy chiếu gắn với người chạy bộ
⇒ khi đó người đứng yên cò tàu chuyển động chậm dần đều với gia tốc a và vận
tốc ban đầu v0 = v.

Áp dụng công thức: vt2 - v02 = 2as
Khi doàn tàu dừng lại: vt = 0 ⇒ 0 - v2 = -2as
⇒S =v

2

2a

.

Điều kiện để người này đuổi kịp toa tàu thì trong HQC này thì đoàn tàu phải dừng
lại sau khi đã gặp người chạy bộ (đứng yên) tức là:
S ≥L⇔ v

2

≥L
2a
⇒ v ≥ 2aL
Vậy vmin = 2aL = 2.0, 5.25 = 5(m/s).

Lưu ý : Phương pháp này một số bài toán cho kết quả nhanh và gọn tuy nhiên
phạm vi áp dụng không được rộng và đòi hỏi học sinh tư duy tốt.
f. Phương pháp tìm cực trị thông qua các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm
lượng giác.
Bài tập 1: Một người đứng ở mặt đất ném một hòn đá theo phương hợp với phương
ngang một góc α . Tìm a để tầm xa trên mặt đất là lớn nhất.
Lời giải
+ Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Gốc ở mặt đất.

+ Chuyển động của vật chia làm 2 thành phần
y
α
- Theo phương Ox: Vật có vận tốc ban đầu vox = vocos
và không chịu tác dụng của lực nào nên chuyển động thẳng đều
uu
r
Phương trình chuyển động : x = vocos α .t (1)
V
0

α

0

x
13


- Theo phương Oy: Vật có vận tốc ban đầu voy = vosin α và
chịu tác dụng của trọng lực p = mg ngược hướng với voy chuyển động nên chuyển
động chậm dần đều.
gt2
Phương trình chuyển động: y = vosin α .t (2)
2
Tầm bay xa là khoảng cách từ vị trí ném đến khi chạm đất.
L Max
Khi chạm đất thì x = L lúc đó t =
v0 cosα
gL

Thay t vào (2) ta được y = L.tgα - 2 2 = 0
2v0 cos α
2

2 sinα v0
⇒ L = v0cosα. v0
= .2sinα.cosα
g
g
2

=

v .sin2α
0

g

2

Do sin2 α ≤ 1 ⇒ L ≤

v

0

2

⇒ Lmax =

v

0

g
g
0
Xảy ra khi: sin2 α = 1 ⇒ 2 α = 90 ⇒ α = 450
Vậy với v0 không đổi, khi góc ném α = 450 thì tầm bay xa cực đại:
2

Lmax =

v

0

g
Bài tập 2: Một người đứng ở A cách đường quốc lộ h = 100m, nhìn thấy một xe ôtô
vừa chạy đến điểm B cách mình d = 500m đang chạy trên đường với vận tốc v 1 =
50km/h. Đúng lúc nhìn thấy xe thì người ấy chạy theo hướng AC
( BAC = α ) với vận tốc v2 . Tìm α để v2 cực tiểu, tính giá trị cực tiểu.
Lời giải
A
uur
Gọi t là thời gian là người và xe đi dến C .
Từ hình vẽ ta có:
α
2
AC = v2.t ; BC = v1t

h
AC BC
v
v
2
1
β
=
⇔
=
uur
sinβ sinα sinβ sinα
C
v1
B
H
sinβ
⇒ v2 = v1
(1)
sinα
AH h
=
Mặt khác: sinβ =
(2)
AB d

v

14

Thay (2) vào (1) ta được

h

v = v d.sinα
2

1

Do v1; h; d không đổi và sin α ≤ 1
⇒ (v2)min khi sin α = 1 ⇒ α = 900
h
100
= 10(km/ h)
Lúc đó : (v2)min = v1. = 50.
d
500
Vậy: α = 900 (v2)min = 10(km/h).
Lưu ý : Với phương pháp này ta có thể giải được nhiều bài toán cực trị trong phần
động học, điện học như tìm C để (Uc)max; L để (UL)max từ hình vẽ trong bài toán điện
xoay chiều đưa ra các hệ quả giúp học sinh áp dụng vào bài toán trắc nghiệm khách
quan.
g. Phương pháp tìm cực tri bằng việc khảo sát hàm số
Bài tập1: Cho mạch điện như hình vẽ
R
•
•
UAB = 200 2 Cos 100 π t (v)
A

C B
L
1
.10−4(F) .
R = 100 Ω ; C =
2π
Cuộn dây thuần cảm và có L thay đổi.
Tìm L để UAM đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
Lời giải
1
= 200Ω
+ Dung kháng:
ZC =
ωC
+ Tổng trở:
Z = R2 + (ZL − ZC )2 ; ZAM = R 2 + Z2L
U
U
I=
; U AM = I.ZAM =
Z
Z2C − 2ZC ZL
+
1+
R2 + Z2L

Z2C − 2ZC ZL
Đặt y = 1 +
R2 + Z2L
UAM cực đại khi y = ymin.

2ZC (Z2L − ZC ZL − R2)
* y' =
(R 2 + Z2L )2

ZC + ZC2 + 4R2 = 241(Ω)
 ZL =
2
2
2
+ y' = 0 ⇔ ZL − ZC ZL − R = 0⇒ 

2
2
 Z = ZC − ZC + R < 0 (lo¹i)
 C
2

15


Bảng biến thiên
ZL
0
y'

∞

241
-

0

y

+

ymin

Vậy khi ZL = 241 Ω tức
là L = 0,767(H) thì UAM
cực đại.
UAM(Max)
=

U( 4R2 + ZC2 + ZC )
= 482(V)
2R
Bài tập 2: Một Mol khí lý tưởng thực hiện biến đổi theo quy luật.
a. P = P0 - aV2
Tìm nhiệt độ cực đại TMax của khí
2
b. T = T0 + aV
Tìm áp suất cực tiểu Pmin của khí, biết P0, a, T0 là hằng số.
Lời giải
PV P0
α
a. Ta có PV = RT ⇒ T =
= V − V3.
R R
R

Đạo hàm T theo V.
P 3α
P
T' = 0 − V 2 ⇒ T '= 0 khi V = 0 = V0
R R
3α
V

V0

T'

+

0

-

Tmax

T

2 P P0
Vậy nhiệt độ cực đại TMax = . 0
3 R 3α
RT RT0
b. Ta có:
PV = RT ⇒ P =
=
+ RαV

V
V
Đạo hàm P.
RT
T
P' = R.a - 20 ⇒ P'= 0 khi V = V0 = 0
V
α
V
P'
P

-

V0
0
Pmin

+
16


Vậy áp suất cực tiểu PMin =2R α .T0
Lưu ý: Phương pháp khảo sát hàm số được vận dụng rộng rải trong các bài toán
cực trị đặc biệt trong phần điện xoay chiều. Phương pháp này không những tìm
được giá trị cực mà còn tìm được miền đồng biến, nghịch biến từ đó ta vẽ được đồ
thị biễu diễn sự biến thiên.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này cho học sinh trong những năm

gần đây và thu được những kết quả khả quan. Trước hết những kinh nghiệm này rất
phù hợp với chương trình SGK vật lý THPT. Học sinh có hứng thú học tập hơn,
tích cực hoạt động trong các giờ học, đồng thời cũng rất linh hoạt trong từng bài tập
cụ thể. Không khí học tập sôi nổi, nhẹ nhàng. Học sinh có cơ hội để khẳng định
mình, không còn lúng túng, lo ngại khi gặp dạng bài tập này vì nội dung sáng kiến
kinh nghiệm có thể áp dụng cho tất cả các bài toán vật lí của khối 10, 11,12.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy kết quả học sinh khá, giỏi tăng lên rõ rệt
còn học sinh yếu, kém thì giảm so với những năm khi chưa đưa ý tưởng này vào áp
dụng.
Tỉ lệ và kết quả học sinh khi chưa áp dụng sáng kiến
Năm học

Tổng số
học sinh
được đem
so sánh

Học sinh yếu

Học
sinh
Trung bình

2010 -2011
90
3
3,3% 35 38,9%
2011 - 2012
90
2

2,2% 35 38,9%
2012 - 2013
90
2
2.2% 34 34%
Tỉ lệ và kết quả học sinh khi áp dụng sáng kiến
Năm học

2013 - 2014
2014 - 2015
2015 - 2015

Tổng số
HS được
đem
so
sánh

90
90
90

Học
yếu

0
0
0

sinh

0
0
0

Học
Khá

50
49
51

sinh

55,6%
54,4%
56,%7

Học
Giỏi

2
3
3

sinh

2,2%
3,3%
3,3%

Học
sinh
Trung bình

Học sinh Khá

Học
Giỏi

30
27
26

54
55
56

6
8
8

33,33%
30%
28%

60%
61,1%
60%

Số học sinh lớp 12
thi ĐHđạt điểm lý
từ 7 trở lên

25
29
31
sinh

6,67%
8,9%
8,9%

Số học sinh
lớp 12 thi đại
học đạt điểm
lý từ 7 trở lên

36
37
44

Qua kết quả tổng hợp ta thấy sau khi áp dụng sáng kiến vào trong công tác
dạy và học của học sinh thì đã nâng chất lượng giáo giục đại trà và giáo dục mũi
nhon lên một cách đáng kể và đặc biệt là kết quả học sinh đạt điểm khá trong kì thi
17


đại học và cao đẳng đạt kết quả rất dáng khích lệ. Rất mong được sự ủng hộ và nếu
có thể phổ biến phương pháp này trong ngành để góp phần vào nâng cao chất lượng

giáo dục, đáp ứng một phần vào sự phát triển nguồn nhân lực của nước nhà.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận.
Trên đây là một số suy nghĩ, tìm tòi của Tôi khi giảng dạy cho học sinh về
phần này và đã thu nhận được những kết quả khả quan, gây hứng thú cho học sinh
trong học tập và đã nhận được những phản ứng tích cực của học sinh. Tuy nhiên do
điều kiện về thời gian nên vấn đề đưa ra sẽ có những chỗ còn hạn chế. Rất mong
được sự quan tâm đọc góp ý và vận dụng của các đồng nghiệp.
2. Kiến nghị.
Xuất phát từ cơ sở lý luận, thực tiễn, mục đích dạy học cũng như những
thành công và hạn chế trong khi thực hiện đề tài, để góp phần vào việc giảng dạy
bộ môn đạt kết quả tốt, tôi có những kiến nghị sau:
* Về phía cơ sở: Đối với các tổ chuyên môn cần tăng cường hơn nữa hoạt
động trao đổi, thảo luận nội dung chuyên môn trong các buổi sinh hoạt tổ, cần
chuẩn bị và đưa những nội dung mới và khó để thảo luận, bàn phương pháp giải
quyết trước khi truyền đạt vấn đề cho học sinh.
* Về phía lãnh đạo cấp trên: Cần tạo điều kiện cho giáo viên có cơ hội giao
lưu, học hỏi và rút kinh nghiệm qua các hội thảo chuyên đề.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thọ Xuân, ngày 06 tháng 6 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết
không sao chép nội dung của người khác.
( Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Văn Sáu

TÀI LIỆU THAM KHẢO

18


1. 432 Bài toán vật lý 10
– Tác giả Trần Trung Hưng
2. Bài tập vật lý 10 nâng cao
- Tác giả Lưu Đình Tuấn
3. Bài tập vật lý phân tử và nhiệt học
- Tác giả Dương Trọng Bái – Đoàn Trung Đôn
4. Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4
- Sở giáo dục và đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh
5. Giải toán vật lý 11 – Tập 1 Điện và điện tử
- Tác giả: Bùi Quang Hân, Đào Văn Cư, Phạm Ngọc Tiến, Nguyễn Thành
Tương.
6. Tuyển chọn những bài ôn luyện thi vào Đại học, Cao đẳng tập 1 và 2.
- Tác giả Nguyễn Quang Hậu, Trần Ngọc Hợi, Ngô Quốc Quýnh
7. Vật lý và tuổi trẻ số tháng 9 + tháng 10 năm 2015.

19