Phân loại và hướng dẫn giải các bài tập tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN LOẠI VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI
CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG
ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG

Người thực hiện :
Chức vụ:
SKKN mơn:

Hồng Thị Thúy
Giáo Viên
Vật lí

Thanh hóa , năm 2016


MỤC LỤC
Nội Dung

Trang

A .Đặt vấn đề

1

B. Giải quyết vấn đề

2

1. Phân loại các dạng bài tập

2

2. Cơ sở lý thuyết

3

3. Phương pháp giải

6

4. Nhận xét

18

C. Kết luận

19

Tài liệu tham khảo

20


CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu
HS

THPT

Tên Tiếng Việt
Học sinh
Trung học phổ thơng

VD

Ví dụ

SL

Số lượng


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hiện nay, trong xu thế đổi mới của ngành giáo dục về phương pháp giảng dạy
cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả giảng dạy và thi tuyển. Cụ thể là
phương pháp kiểm tra đánh giá bằng phương tiện trắc nghiệm khách quan. Trắc
nghiệm khách quan đang trở thành phương pháp chủ đạo trong kiểm tra đánh giá chất
lượng dạy và học trong nhà trường THPT. Điểm đáng lưu ý là nội dung kiến thức kiểm
tra tương đối rộng, đòi hỏi học sinh phải học kĩ, nắm vững tồn bộ kiến thức của
chương trình, tránh học tủ, học lệch và để đạt được kết quả tốt trong việc kiểm tra, thi
tuyển học sinh không những phải nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi học sinh phải có
phản ứng nhanh đối với các dạng tốn, đặc biệt các dạng tốn mang tính chất khảo sát
mà các em thường gặp.
Đối với môn vật lý cũng là môn thi trắc nghiệm. Trong thi trung học phổ thông
quốc gia : số lượng câu tương đối lớn, lượng kiến thức giàn chải cả chương trình, số
câu tính tốn chiếm hơn 2/3 tổng số câu. Mà thời gian làm bài tương đối ít, mỗi câu
chỉ dành thời gian 1,5 phút. Vì vậy địi hỏi học sinh phải nắm vững các phương pháp

giải toán cho từng dạng, biết được phương pháp giải nhanh cho từng dạng bài tập
đặc biệt .
Trong các bài tốn về tổng hợp hai dao động điều hịa với những bài tốn đơn
giản học sinh có thể nhớ cơng thức để áp dụng. Bên cạnh đó có một số bài chỉ “ biến
tướng” đi một chút như: khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa hai vật dao động điều,
hịa tìm vận tốc, li độ dao động và thời điểm khi hai vật gặp nhau lần thứ N, bài toán
về hai dao động khác tần số, bài toán cho hệ thức liên hệ như x1 + x 2 = x 3 ... Ngồi ra
v1

v2

v3

cịn mở rộng các bài tốn liên quan về điện tích và cường độ dịng điện trong mạch dao
động LC , các bài toán về giao thoa sóng, sóng dừng, bài tốn điện xoay chiều. Với
loại bài tốn khác nhau có phương pháp giải riêng do đó tơi mạnh dạn đưa ra sáng kiến
“ Phân loại và hướng dẫn giải các bài tập tổng hợp hai dao động điều hịa cùng
phương”. Trong sáng kiến của mình tơi cố gắng phân loại từ dễ đến khó, từ dạng
cùng tần số tới dạng không cùng tần số và đưa ra phương pháp giải cho từng loại bài
toán cụ thể và mỗi loại có ví dụ và bài tập vận dụng để học sinh có thể hiểu rõ phương
pháp và vận dụng để có kĩ năng, kĩ xão giải nhanh mỗi dạng.
1


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP
1.1. Loại 1: Các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
Đối với bài toán này chia làm rất nhiều dạng từ cơ bản đến nâng cao tôi chia làm các
dạng sau:
Dạng 1: Tổng hợp các dao động điều hịa cùng phương cùng tần số.

Đây là bài tốn đơn giản nhất trong loại bài toán về dao động điều hịa cùng phương
cùng tần số, học sinh có thể sử dụng máy tính để tổng hợp hai, ba, bốn dao động cùng
phương cùng tần số. Và dựa vào dao động tổng hợp có tính tốn tiếp như cơ năng của
vật dao động, vận tốc, lực hồi phục ...
Dạng 2: Tìm dao động thành phần khi biết dao động tổng hợp
Đây là bài tốn địi hỏi sự vận dụng cao hơn loại một, hay nói cách khác đó là một bài
tốn ngược bài tốn trên. Trong dạng này ngồi bài đơn thuần là cho dao động tổng
hợp và một dao động thành phần tìm dao động cịn lại, cịn có các bài tốn tìm dao
động thành phần khi có giới hạn về pha dao động thành phần, hoặc bài toán cho năng
lượng dao động tổng hợp tìm dao động thành phần ...
Dạng 3: Bài tốn tìm biên độ thành phần hoặc biên độ tổng hợp cực đại, cực tiểu khi
có điều kiện ràng buộc.
Với bài tốn này có nhiều cách giải khác nhau song vẫn dựa vào phương pháp cơ bản
để biến đổi .
Dạng 4: Bài toán liên quan đến khoảng cách giữa hai dao động điều hòa cùng phương
cùng tần số
Đây là dạng bài toán vận dụng kiến thức của tổng hợp hai dao động điều hòa cùng
phương cùng tần số . Dạng này có rất nhiều dạng và đơn giản nhất khoảng cách cực
đại, cực tiểu, khoảng cách hai dao động ở thời điểm đã cho, tìm thời điểm để khoảng
cách của hai vật cách nhau một khoảng cho trước, hoặc gặp nhau. Hoặc cho khoảng
cách cực đại giữa hai dao động cùng pha tìm tỉ số động năng ,thế năng ở thời điểm cho
2


trước. Ngoài vận dụng kiến thức tổng hợp hai dao động cịn có các kiến thức trước đó
về dao động điều hịa để làm.
Dạng 5: Bài tốn liên quan đến hệ thức li độ, vận tốc của hai dao động hoặc li độ của
các dao động.
Loại bài toán này khá phức tạp và đòi hỏi các kiến thức đạo của tốn học, các biến đổi
nhanh nhạy linh hoạt thì học sinh mới giải quyết được, nếu chưa gặp lần nào thì học

sinh cảm thấy rất khó khăn và mất rất nhiều thời gian để giải quyết.
Dạng 6: Đồ thị hai dao động điều hòa
Dạng này dễ song học sinh thường ngại làm, và kêu khó.
1.2. Loại 2: Hai dao động điều hòa cùng phương khác tần số
Dạng 1: Hai dao động điều hòa cùng phương, khác tần số cùng biên độ gặp nhau và tỉ
số vận tốc giữa hai dao động khi chúng gặp nhau.
Dạng 2: Thời gian gặp nhau của hai con lắc trùng phùng
Dạng 3: Cho hệ thức liên hệ giữa li độ và vận tốc của các dao động tìm li độ dao động
hoặc tốc độ khi biết li độ hoặc tốc độ của dao động khác
2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Để giải quyết hai loại bài toán trên ta dùng các phương pháp “chuyên biệt” cho từng
dạng dựa trên cơ sở lý thuyết sau
2.1. Tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số
2.1.1. Dao động điều hòa , biểu diễn dao động điều hòa
Dao động điều hòa là dao động mà li độ dao động được biểu diễn dưới dạng sin hoặc
cosin theo thời gian x = Acos(ωt + ϕ) với A, ω, φ là hằng số
Trong đó :
A>0 là biên độ dao động
ω là tần số góc mà ω= 2πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo ω=
con lắc đơn ω=

k
,
m

g
với f là tần số dao động, T là chu kì dao động.
l

ωt+φ là pha ban dao động, φ là pha ban đầu

uuuuu
r
-Biểu diễn dao động điều hịa bằng véc tơ quay OMuucó:
uuu
r
+ Gốc: tại O.
+ Độ dài OM = A.
+ (OM,Ox) = ϕ
M

+

ϕ
O

x

3


(Chọn chiều dương là chiều dương của đường tròn lượng giác).
2.1.2. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
Xét vật thực hiện đồng thời hai DĐĐH cùng phương cùng tần số
y
x1 = A1cos(ωt+ϕ1) và x2 = A2cos(ωt+ϕ2)
khi đó dao động tổng hợp của vật là : x = x1 + x2
2.1.2.1. Phương pháp giản đồ Fre-nen
uuuuu
r uuuuu
r

M1
Biểu diễn x1, x2 bằng các vecto quay OM1 , OM 2
y1
trên
trục rOxy,
hợp
với Ox góc tương ứng là φ1, φ2
A
uuuu
r uuuuu
uuuuu
r
y2
OM=OM1 +OM 2
uuuu
r
Vectơ OM là một vectơ quay với tốc độ góc ω quanh O.
uuuu
r
→ OM biểu diễn phương trình dao động điều hoà tổng hợp:
O

A

1

ϕ1

x = Acos(ωt + ϕ)
Từ giản đồ Fre-nen ta chiếu lên hai trục tọa độ

A cosφ=A1 cosφ1+ A2 cosφ2
A sin φ= A1 sin φ1 + A2 sin φ2
Từ đó tính ra

M

ϕ2

M2

A2

ϕ

x1

x

x2

(2.1)

A sinϕ1+A 2sinϕ2
tanϕ = 1
A 1cosϕ1+A 2cosϕ2

(2.2)

Dựa vào định lý hàm số cos trong tam giác ta có biên độ dao động
A 2 =A12 +A 22 +2A1A 2cos(ϕ 2 -ϕ1)

(2.3)

Ảnh hưởng của độ lệch pha
TH1: Nếu các dao động thành phần cùng pha
∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 = 2nπ
(n = 0, ± 1, ± 2, …) Suy ra
TH2: Nếu các dao động thành phần ngược pha
∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 = (2n + 1)π
(n = 0, ± 1, ± 2, …) Suy ra
TH3: Nếu các dao động thành phần vuông pha
∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 = (2n + 1)π/2 Suy ra
A = A12 + A22

A = A 1 + A2
A = |A1 - A2|

Từ đó suy ra : Amin ≤ A ≤ Amax
⇔ |A1 - A2| ≤ A ≤ A1 + A2
Ngoài cách tổng hợp dao động điều hịa theo giản đồ Fre-nen ta có thể sử dụng số
phức
2.1.2.2 Phương pháp số phức
Ta đã biết một đại lượng biến thiên điều hòa theo thời gian x = A cos ( ωt + ϕ ) có thể biểu
diễn dưới dạng số phức .
Số phức x = a + bi với a là phần thực; b là phần ảo và i là dơn vị ảo i 2 = −1
Biểu diễn số phức x = a + bi trên mặt phẳng phức:
b
mođun của số phức r = a 2 + b 2 ; acgumen số phức là ϕ với tan ϕ =

a

Dạng lượng giác của số phức
x = a + bi = r ( cos ϕ + isinϕ ) với a = r cos ϕvà b = r sin ϕ
Theo cơng thức ole ta có x = a + bi = r ( cos ϕ + isinϕ ) = reiϕ = A∠ϕ
Biểu diễn dao động điều hòa bằng số phức

y
r
b

ϕ

4
O


x

r

A
r  = OA = A
A
x
=
A
cos
ω
t
+

ϕ
(
)
ur
Hàm dao động điều hòa
khi t = 0 thì = 
 Ox, A = ϕ
Ta thấy a = A cos ϕ và b = A sin ϕ

(

)

=> tại t = 0 biểu diễn x bằng số phức x = a + bi = A ( cos ϕ + isinϕ ) = Aeiϕ = A∠ϕ
Vậy một hàm dao động diều hòa (xét tại t = 0) có thể viết dưới dạng số phức như sau:
x = A cos ( ωt + ϕ ) => tại t = 0 : x = a + bi = A ( cos ϕ + isinϕ ) = Aeiϕ = A∠ϕ
Với a = A cos ϕvà b = A sin ϕ ; A = a 2 + b 2 ; tan ϕ =

b
a

Để tổng hợp các dao động điều hòa
x= x1 +x2+x3... suy ra
Acos(ωt+ϕ)= A1cos(ωt+ϕ1)+ A2cos(ωt+ϕ2) + A3cos(ωt+ϕ3) ...
Áp dụng số phức ta có
x=x1 +x 2 +x 3 ...= a+b.i với a=a1+a2+a3 ... và b=b1+b2+b3 ...
x=A1eiφ1 +A 2 .eiφ2 +A 3eiφ3 ...=Aeiφ

Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad (R)
(fx 500ES)

Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ Rad (R)
(fx 570 MS)
nhập A1 shift ∠ϕ1 +A2 shift ∠ϕ2 +...
Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A và ϕ
Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A cịn Shift = thì ra φ
2.1.3 Mở rộng
2.1.3.1 Phương pháp giản đồ Fren-nen
+ Tổng hợp nhiều dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
từ hệ thức (2.1)
A cosφ=A1 cosφ1+ A2 cosφ2+ A3 cosφ3+...
A sin φ= A1 sin φ1 + A2 sin φ2 + A3 sin φ3 +...
Từ đó ta tính

A sinϕ1+A 2sinϕ 2 + A3 sinϕ3 + ...
tanϕ = 1
A 1cosϕ1+A 2cosϕ 2 + A3 cosϕ3 + ...

(2.4)
(2.5)

Tính được φ thay vào một trong hai phương trình của (2.4) tính được A
+ Tìm dao động thành phần khi biết dao động tổng hợp
Giả sử biết được dao động x1= A1 cos(ωt+φ1) và x= A cos (ωt+φ) tìm dao động thành
phần thứ 2
Từ (2.1)
A2 cosφ2 = A cosφ - A1 cosφ1
A2 sin φ2 =A sin φ- A1 sin φ1
(2.6)
từ đó ta tính được

Asinϕ − A 2sinϕ1
tanϕ2 =
Acosϕ − A 2cosϕ1

(2.7)

Tính A2 theo biểu thức (2.5) hoặc đựa vào định lý hàm số cosin cho tam giác OMM 1 ta
A 22 =A 2 +A12 -2A.A1cos(φ-φ1 )
có
(2.8)
+ Tìm khoảng cách giữa hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
x1 = A1cos(ωt+ϕ1) và x2 = A2cos(ωt+ϕ2)
5


Đặt khoảng cách giữa hai dao động là x = x1 -x 2 vì đây là hiệu của hai dao động điều
hịa cùng phương cùng tần số do đó là một dao động điều hòa cùng tần số với dao
động trên nên x = Acos(ωt+φ)
(2.9)
2
2
2
áp dụng các kiến thức trên ta dễ dàng suy ra A =A 2 +A1 -2A 2 .A1cos(φ2 -φ1 )
(2.10)
Asinϕ2 − A 2sinϕ1
tanϕ =
Acosϕ2 − A 2cosϕ1

độ lêch pha

(2.11)

từ biểu thức (2.9) ta tìm ra được khoảng cách min, max,khoảng cách giữa hai dao động
bất kì chú ý ở đây là ta vẫn biểu diễn nó giống dao động điều hòa rồi lấy trị tuyệt đối.
2.1.3.2 Phương pháp số phức
Tìm dao động thành phần khi biết dao động tổng hợp và các dao động thành phần
khác
Ví dụ: Một vật thực hiện ba dao động điều hòa tìm dao động điều hịa thứ hai biết dao
động tổng hợp và hai dao động thành phần là x1 = A1 cos ( ωt + ϕ1 ) , x3 = A3 cos ( ωt + ϕ3 )
x = A cos ( ωt + ϕ )

Dựa vào phương pháp số phức ta có
x2 = x − x1 − x3 = A2 cos ( ωt + ϕ2 )
Thao tác máy tính
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad (R)
(fx 500ES)
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ Rad (R)
(fx 570 MS)
nhập A,shift ∠ φ - A1 shift ∠ϕ1 -A3 shift ∠ϕ3
Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A2 và ϕ2
Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A2 cịn Shift = thì ra φ2
2.2. Dao động điều hịa cùng phương khác tần số
2.2.1.Bài tốn hai dao động điều hòa cùng phương cùng biên độ gặp nhau
Dạng 1 : Giả sử cho hai dao động điều hòa cùng phương
x1 = Acos(ω1 t+ϕ1) và x2 = A cos(ω2 t+ϕ2)
Khi hai dao động gặp nhau thì x1=x2
Tỉ số vận tốc của các dao động

v1 x'1
=

v 2 x'2

Dạng 2 : Bài toán hai con lắc trùng phùng là bài toán mở rộng trường hợp trên khi hai
con lắc đơn ở thời điểm ban đầu đều cùng ở vị trí cân bằng và chuyển động cùng chiều
sau thời gian Δt thì hai con lắc lại gặp nhau.
Khi đó Δt=n1.T1=n2.T2 với T1 và T2 là chu kì dao động của hai dao động
Dạng 3 : Thơng thường ta có hệ thức liên hệ sau
x1 x 2 x 3
+ =
hoặc x1v 2 v3 +x 2 v1v3 =x 3 v1v 2
v1 v 2 v3

đối với những bài toán này ta sẽ đạo hàm hai vế và tìm ra hệ thức cuối cùng.
3. Phương pháp giải
Dựa trên cơ sở lý thuyết trên tôi đưa ra phương pháp giải cho từng bài toán sao
cho giải quyết bài tốn đơn giản nhất và cơng thức ngắn gọn dễ nhớ nhất, để khi gặp
học sinh giải quyết bài tốn trắc nghiệm khơng đầy 30s.
6


3.1 Phương pháp giải loại 1 hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
3.1.1 Dạng 1 : Tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
Giả sử cho bài toán : Một vật thực hiện đồng thời các dao động điều hòa sau :
x1 = A1cos(ωt+ϕ1), x2 = A2cos(ωt+ϕ2), x3 = A3cos(ωt+ϕ3), x4 = A4cos(ωt+ϕ4)...
Hãy viết phương trình dao động tổng hợp
Để giải quyết bài toán này cách đơn giản nhất là dùng phương pháp số phức
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad (R)
(fx 500ES)
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ Rad (R)
(fx 570 MS)

nhập A1 shift ∠ϕ1 +A2 shift ∠ϕ2 +...
Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A và ϕ
Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A cịn Shift = thì ra φ
VÍ DỤ MINH HỌA
VD 1 Tổng hợp hai dao động cùng phương ,cùng tần số sau
a. x1=3.cos(5t+ π /2) cm ,
x2=3.cos5.t
cm
b. x1=5.cos( π .t − π / 6) cm ,
x2=5.sin( π .t − π / 3) cm
Giải
Đối với những bài toán này ta nên dùng máy tính là nhanh nhất tức sử dụng cách 2
π
π
+3shift ∠0 =3 2 ∠
2
4
Phương trình dao động tổng hợp là x = 3 2 cos(5t + π / 4)
5π
b. Đổi x2 sang hàm số cos ta có x2=5 cos(π.t)
6
π
5π
5shift ∠ − +5shift ∠ −
=5 ∠-π/2
6
6
Phương trình dao động tổng hợp là x = 5cos(π t − π / 2)

a. 3shift ∠

VD 2 Tổng hợp 3 dao động sau
a. x1=8 cos3.t cm, x2=4 2 cos(3.t+3 π / 4) cm và
b. x1=1,5 cos( 100π t ) cm , x2=

x3=3. 2. cos(3.t+ π / 4) cm

5.π
3
) cm
cos(100π t + π / 2) cm và x3= 3 cos(100π t +
6
2

Dùng máy tính ta có

3π
+3 2 shift ∠π / 4 =7 2 ∠π/4
4
Phương trình dao động tổng hợp là x = 7 2 cos(3t + π / 4)
π
b. 1,5shift ∠0 +0,5 3 shift ∠ + 3 shift ∠5π / 6 = 3 ∠π/2
2
Phương trình dao động tổng hợp là x = 3 cos(100π t + π / 2)

a. 8shift ∠0 +4 2 shift ∠

VD 3. Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hồ cùng pha, cùng tần số có
phương trình lần lượt là: x1 = A1cos(2 π t +

2π
) cm; x2 = A2cos(2 π t)cm; x3 = A3cos(2 π
3

2π
)cm.Tại thời điểm t1 các giá trị ly độ x 1 = - 20cm, x2 = 80cm, x3 = -40cm, thời
3
điểm t2 = t1 + T/4 các giá trị ly độ x1 = - 20 3 cm, x2 = 0cm,x3 = 40 3 cm. Tìm phương

t-

trình của dao động tổng hợp.
Định hướng cách giải :
7


- Dựa vào hai thời điểm của một dao động ta tính được A
- Tổng hợp ba dao động điều hịa bằng máy tính
Giải
Vì t2 = t1 + T/4 nên dao động ở thời điểm t 2 lệch pha so với dao động ở thời điểm t 1 là
π/2. Do đó ta có :

(

x112 x122
( − 20) 2 + − 20 3
+
=
1
⇒

A12 A12
A12
A12

)

2

= 1 => A1 = 40cm

2
2
x 21
x 22
( 80) 2 + 0 = 1
+
=
1
⇒
=> A2 = 80cm
A22 A22
A22
A22

(

2
2
x31
x32

( − 40) 2 + − 40 3
+
=
1
⇒
A32 A32
A32
A32

)

2

= 1 => A3 = 80cm

Dao động tổng hợp : x = x1 + x2 + x3
2π
Dùng máy tính ta có 40shift ∠( ) +80 shift ∠0 +80 shift ∠ − 2π / 3 =40 ∠ − π / 3
3

Phương trình dao động tổng hợp là : x = 40cos(2 π t - π/3)
(cm)
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hịa với phương trình:
x1 = 10 cos(2π t − 2π / 3)cm ; x2 = 10 cos(2π t − π / 3)cm . Phương trinh dao động tổng hợp là:
A. x = 10 2cos(2π t − π / 2)cm .
B. x = 10 3cos(2π t − π / 2)cm .
C. x = 10 3cos(2π t + π / 2)cm .
D. x = 10 2cos(2π t + 2π / 3)cm .
Câu 2. Một vật tham gia đồng thời vào hai dao động điều hồ có phương trình:

x 1 = 4 3 cos10πt (cm) và x 1 = 4 sin 10πt (cm) . Vận tốc của vật khi t = 2s là bao nhiêu?
A. 125cm/s
B. 120,5 cm/s
C. -125 cm/s
D. 125,7 cm/s
3.1.2 Dạng 2 : Tìm dao động thành phần
* Giả sử cho bài toán : Cho phương trình dao động tổng hợp của hai dao động là x=
Acos(ω.t+φ) và phương trình dao động thành phần x1= A1 cos(ω.t+φ1) và x3= A3
cos(ω.t+φ3) tìm dao động thứ 2
Phương pháp giải dùng máy tính
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad (R)
(fx 500ES)
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ Rad (R)
(fx 570 MS)
nhập A,shift ∠ φ - A1 shift ∠ϕ1 -A3 shift ∠ϕ3
Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A2 và ϕ2
Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A2 cịn Shift = thì ra φ2
* Giả sử cho bài tốn Cho vật thực hiện hai dao động điều hòa, cho biết các thơng số
thành phần cịn thơng số A2 chưa biết. Song có các giá trị cơ năng, hoặc vận tốc cực
đại ... của vật dao động để tìm ra biên độ tổng hợp từ đó tìm biên độ A2.
Định hướng cách giải :
- Dựa vào giữ liệu ban đầu ta tính được A
- Để làm bài tốn này ta khơng thể dùng số phức ta dùng giản đồ Fren-nen
A 2 =A 12 +A 22 +2A 1A 2cos(ϕ 2 -ϕ1)
*Giả sử cho bài toán Một vật thực hiện hai dao động điều hịa cùng phương cùng tần
số có phương trình x1 = A1cos(ωt+ϕ1) , x2 = A2cos(ωt+ϕ2) và phương trình tổng hợp
8


x= Acos(ω.t+φ) với A1, ω, A2 , A,φ đã biết góc giớ hạn của hai dao động là

Sử dụng phương pháp giản đồ Fren-nen ta có
A sinϕ1+A 2sinϕ2
tanϕ = 1
A 1cosϕ1+A 2cosϕ2

A 2 =A 12 +A 22 +2A 1A 2cos(ϕ 2 -ϕ1)

VÍ DỤ MINH HỌA
VD1: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hịa cùng phương có biểu thức
π
π


x = 5 3cos  6πt + ÷cm . Dao động thứ nhất có biểu thức là x1 = 5cos  6πt + ÷cm .
2
3



Tìm biểu thức của dao động thứ hai.
Giải
Để giải bài toán này ta dùng phương pháp số phức hay máy tính
π
π
2π
nhập 5 3 shift ∠ ( ) - 5 shift ∠( ) =5 ∠
2

3

3

Phương trình dao động thứ hai là x2=5 cos(6π.t+π/3) cm
VD2: Một vật thực hiện đồng thời được hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần
số là : x1=A1cos(20.t+ π / 6) và x2=3cos(20t+

5.π
) cm. Biết vận tốc cực đại của vật là
6

140cm/ s .Tìm A1.
Định hướng cách giải
- Tìm A theo cơng thức vận tốc cực đại
- Sử dụng cơng thức tính biên độ tổng hợp để tính A1
Giải:
Ta có vmax=Aω suy ra A=7 (cm)
áp dụng A 2 =A12+A 22 +2A 1A 2cos(ϕ 2 -ϕ1) thay vào ta được 72 =A 12 +32 +2A 13cos(

5π π
- )
6 6

giải ra ta có A1= 8 và A1= -5 ta lấy kết quả A1= 8 cm
VD3: Một vật thực hiện đồng thời được hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần
số là : x1=2 cos(4.t+φ1) và x2=2cos(4t+φ2) cm với 0 ≤ ϕ2 − ϕ1 ≤ π . Biết phương trình
π
dao động tổng hợp là x=2 cos (4.t+ ) cm .Hãy xác định φ1.
6

Giải:

Từ công thức A =A +A +2A1A 2cos(ϕ 2 -ϕ1) suy ra φ2-φ1= 2π/3 (*)
Áp dụng các công thức giản đồ Fren-nen để tìm mối liên hệ đưa ra góc φ1
2

2
1

2
2

ϕ +ϕ
ϕ −ϕ
sin( 1 2 )cos( 1 2 )
2
2
=
=
Từ công thức tanϕ =
ϕ +ϕ
ϕ −ϕ
A 1cosϕ1+A 2cosϕ 2 2cosϕ1 + 2cosϕ2
cos( 1 2 )cos( 1 2 )
2
2
A 1sinϕ1+A 2sinϕ 2

2sinϕ1 + 2sinϕ2

π
(ϕ + ϕ2 )

= tan 1
suy ra φ1+φ2=π/3
6
2
giải (*) và (**) ta có φ1=- π/6

thay vào ta có tan

(**)

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1 (ĐH 2010) Dao động tổng hợp của hai dao động điều hồ cùng phương ,cùng
tần số có phương trình li độ x=3cos( π .t −

5.π
) cm.Biết dao động thứ nhất có phương
6

trình li độ x1=5.cos( π .t + π / 6) cm.Dao động thứ hai có phương trình li độ là

9


π
6
C: x2=2 cos(π .t − 5π / 6) cm

B: x2= 2.cos( π .t + π / 6) cm

A: x2=8.cos( πt + ) cm

D: x2=8 cos(π .t − 5π / 6) cm
Câu 3: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động trên trục Ox có phương trình x 1
= A1cos10t; x2 = A2cos(10t +ϕ2). Phương trình dao động tổng hợp x = A 1 3 cos(10t
ϕ
π
+ϕ), trong đó có 2 - = . T s
bng
2

6

A: ẵ hoc ắ B: 1/3 hoặc 2/3
C: ¾ hoặc 2/5
D: 2/5 hoặc 4/3
3.1.3 Tìm biên độ dao động thành phần, tổng hợp cực đại hoặc cực tiểu
2
2
2
- Đối với bài toán này dựa vào công thức A =A 1 +A 2 +2A 1A 2cos(ϕ 2 -ϕ1) nếu đề bài cho
rõ hai góc pha ban đầu
2
2
2
- Áp dụng công thức A 2 =A +A1 -2A.A1cos(φ-φ1 ) nếu cho biết pha thành phần và tổng

hợp.Từ đó ta đánh giá theo hàm bậc 2 để đưa ra
VÍ DỤ MINH HỌA
VD1: Một vật có khối lượng khơng đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có
π


phương trình dao động lần lượt là x 2 = 10 cos ( 2πt + ϕ ) cm ; x1 = A1 cos  2πt − ÷cm thì





2

π

dao động tổng hợp là x = A cos  2πt − ÷cm . Khi năng lượng dao động của vật cực đại
3


thì biên độ dao động A1 có giá trị là bao nhiêu?
Định hướng giải:
- Để năng lượng dao động của vật cực đại thì biên độ tổng hợp phải cực đại
- Xem bài tốn cho biết góc nào ?
- Viết biểu thức biên độ theo các góc đã cho
- Biện luận theo Δ
Giải :
Bài cho φ và φ1 do đó ta viết biểu thức tính A2
π π
A 22 =A 2 +A12 -2A.A1cos(φ-φ1 ) suy ra 102 =A 2 +A12 -2AA1cos(- - )
3 2
π
π
ta coi hàm bậc 2 của A1 ta viết lại như sau A12 -2AA1cos(- - )-10 2 +A 2 = 0
3 2

2
A
A2
≤ 100 ⇒ A ≤ 20
Tính ∆ ' = A2 .cos 2 (−5π / 6) − (A 2 − 100) ≥ 0 suy ra − + 100 ≥ 0 ⇒
4
4
b ' A cos(5π / 6)
khi đó Amax= 20 cm khi đó Δ’=0 nên A1=- − =
=10 3 (cm)
a
1

BÀI TẬP VẬN DỤNG
π

x1 = A1cos  ωt − ÷cm và
6

x 2 = A 2 cos ( ωt − π ) cm có phương trình dao động tổng hợp là x = 9 cos ( ωt + ϕ ) . Biết

Câu1:

Hai

dao

động

điều

hòa

cùng

tần

số

biên độ A2 có giá trị cực đại tìm giá trị của A1.
A: 9 3 (cm)
B: 9 (cm)
C: 18 (cm)
D: 9 (cm)
Câu 2: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đơng điều hồ cùng phương:

10


π
π


x1 = A1cos 10πt + ÷cm ; x 2 = A 2 cos 10πt − ÷cm Phương trình dao động tổng hợp là
3
2


x = 5cos ( 10πt + ϕ ) cm .Biết biên độ dao động A2 có giá trị lớn nhất

A: 5cm

B: 6 cm

C: 2,5 5 cm

D: 2,5 3 cm

3.1.4: Khoảng cách giữa hai dao động điều hịa
Tìm khoảng cách giữa hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
x1 = A1cos(ωt+ϕ1) và x2 = A2cos(ωt+ϕ2)
Đặt khoảng cách giữa hai dao động là d= x = x1 -x 2 vì đây là hiệu của hai dao động
điều hịa cùng phương cùng tần số do đó là một dao động điều hòa cùng tần số với dao
động trên nên x = Acos(ωt+φ)
Từ biểu thức (2.9) ta coi khoảng cách của hai dao động điều hòa là một hàm biến thiên
tuần hồn theo thời gian với chu kì T’=π/ω.
Dựa vào tính chất trên ta đưa ra khoảng cách lớn nhất d max= A, khoảng cách nhỏ nhất
dmin=0.
Để lập được biểu thức (2.9)ta dùng hai cách, giản đồ Fren-nen hoặc máy tính, xong để
giải nhanh ta dùng máy tính
A shiftφ
∠ -A shift φ
∠ =A φ
∠
2
2 1
1

VÍ DỤ MINH HỌA
VD1: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục Ox theo phương trình:

x1 = 4 cos( 4t + π/ 3) cm và x 2 = 4 2 cos( 4t + π /12) cm. Coi rằng trong quá trình dao
động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Hỏi trong quá trình dao động khoảng
cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai chất điểm là bao nhiêu ?
Giải
Khoảng cách giữa hai vật là d = x = A cos(4t + ϕ )
Bấm máy tính

π

π

4 2shift∠( )-4shift∠( )=4∠− 0, 5236
12
3

Phương trình khoảng cách là

d = x = 4 cos(4t − 0,5235)

Suy ra khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là 4cm, khoảng cách nhỏ nhất là 0 cm
VD 2 : Có hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hoà trên mặt phẳng nằm
ngang dọc theo hai đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox. Biên
độ của con lắc một là A1 = 4cm, của con lắc hai là A2 = 4 3 cm, con lắc hai dao động
sớm pha hơn con lắc một. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật
dọc treo trục Ox là 4 cm. Khi động năng của con lắc một cực đại là W thì động năng
của con lắc hai là bao nhiêu W?
Giải:
Khoảng cách giữa hai vật là d = x = A cos(ωt + ϕ )
Khi đó khoảng cách lớn nhất của hai vật là dmax= A= 4cm
A 2 =A 22 +A12 -2A 2 .A1cos(φ2 -φ1 ) thay vào ta có φ2-φ1=±π/6

Ta coi φ1=0 thì φ2=±π/6 phương trình dao động của hai vật có dạng là
x1= 4 cos(ω.t) và x2= 4 3 cos(ω.t± π/6)
11


Khi con lắc 1 có động năng cực đại tức x1=0 khi đó x2=±2 3 cm .
mω 2 2 mω 2
mω 2
A1 =
(0, 04) 2 =
.16.10−4
Tại đó động năng của vật 1 là W1 = W =
2

Động năng của vật 2 lúc đó là
mω 2 2 mω 2 2 mω 2
Wd 2 =

2

A2 −

2

x2 =

2

(0, 04 2.3 − 0, 02 2.3) =

2

2

mω 2
.36.10 −4 . Từ đó Wd2 =2,25W
2

VD 3: Hai chất điểm M, N dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề
nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một
đường thẳng qua gốc tọa độ và vng góc với Ox. Phương trình dao động của chúng
lần lượt là x1 = 10cos4πt cm và x2 = 5 cos(4πt ) cm . Hai chất điểm gặp nhau khi
chúng đi qua nhau trên đường thẳng vng góc với trục Ox. Khoảng thời gian giữa ba
lần hai vật gặp nhau liên tiếp là bao nhiêu?
Giải
Để hai vật gặp nhau ta có x1=x2 suy ra cos(4πt)=0 suy ra 4πt=

π
+kπ
2

1 k
8 4

Ta có thời điểm hai vật gặp nhau là t= +

Gặp nhau lần 1 khi k=0 ở thời điểm t0=1/8 (s)
Gặp nhau lần 2 khi k=1 ở thời điểm t1=3/8 (s)
Gặp nhau lần 3 khi k=2 ở thời điểm t2=5/8 (s)
Khoảng thời gian giữa ba lần gặp nhau liên tiếp là t2-t0=4/8=1/2( s)

Nhận xét : sau thời gian Δt=t1-t0=2/8 =1/4 (s)=T/2 thì hai vật lại gặp nhau.
Do đó ta kết luận đối với bài tốn hai vật có cùng tần số dao động điều hịa gặp nhau
-Thời gian liên tiếp hai dao động gặp nhau là T/2
-Khoảng thời gian n lần liên tiếp hai con lắc gặp nhau là Δt=(n-1)T/2
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và
song song với trục tọa độ Ox sao cho khơng va chạm vào nhau trong q trình dao
động. Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vng
góc với Ox. Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là x1 = 4 cos ( 4π t + π 3) cm
và x2 = 4 2 cos ( 4π t + π 12 ) cm . Tính từ thời điểm t1 = 1 24 s đến thời điểm t2 = 1 3 s
thì thời gian mà khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox không nhỏ hơn 2 3 cm là
bao nhiêu ? A. 1 3 s B. 1 8 s
C. 1 6 s
D. 1 12 s
Câu 2: Hai chất điểm M và N cùng dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox
( O là vị trí cân bằng của chúng ), coi trong q trình dao động hai chất điểm không va
chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của chúng lần lượt là x1 = 10Cos( 4πt
+π/3) và x2 = 10 2 Cos( 4πt +π/12)cm. Hai chất điểm cách nhau 5cm ở thời điểm đầu
tiên kể từ lúc t = 0 là A. 1 8 s B. 1 9 s C. 5 24 s
D. 11 24 s
Câu 3: Hai chất điểm M, N có cùng khối lượng dao động điều hòa cùng tần số dọc
theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của
M, N đều trên cùng một đường thẳng qua gốc tọa độ và vng góc với Ox. Biên độ
của M là 6cm, của N là 6cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất của M
và N theo phương Ox là 6cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm M có động
12


năng gấp 3 lần thế năng tỉ số động năng của M và thế năng của N là:
A. 4 hoặc 3 B. 3 hoặc 4 C. 3 hoặc 3

D. 4 hoặc 4
4
3
4
3
Câu 4: Hai chất điểm M, N dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề
nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một
đường thẳng qua gốc tọa độ và vng góc với Ox. Phương trình dao động của chúng
π
2

lần lượt là x1 = 10cos2πt cm và x 2 = 10 3 cos(2πt + ) cm . Hai chất điểm gặp nhau
khi chúng đi qua nhau trên đường thẳng vng góc với trục Ox. Thời điểm lần thứ
2013 hai chất điểm gặp nhau là bao nhiêu?
A. 16 phút 46,42s
B. 16 phút 46,92s C. 16 phút 47,42s D. 16 phút 45,92s
3.1.5 Dạng các dao động điều hịa có biểu thức liên hệ giữa các li độ, hoặc li độ
vận tốc
Vì đây là dạng tốn đặc biệt nên tơi trình bày cách giải dựa trên bài tập cụ thể
để hs dễ hiểu có thể nắm bắt được phương pháp làm
VD 1: Cho hai chất điểm dao động điều hịa cùng phương, cùng tần số, có phương
trình dao động lần lượt là: x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) ; x 2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 ) Cho biết:
4 x12 + x 22 = 13(cm2) . Khi chất điểm thứ nhất có li độ x 1 =1 cm thì tốc độ của nó bằng 6
cm/s. Khi đó tốc độ của chất điểm thứ hai là bao nhiêu ?
Giải:
2
2
2
Từ 4 x1 + x 2 = 13(cm ) . Đạo hàm hai vế theo thời gian ta có ( v1 = x’1 ; v2 = x’2)
8x1v1 + 2x2v2 = 0 -------> v2 = -

4 x1v1
x2

Khi x1 = 1 cm thì x2 = ± 3 cm. ------> v2 = ± 8 cm/s. .
Tốc độ của chất điểm thứ hai là 8 cm/s.
Đối với các bài toán này chú ý : ta đạo hàm theo thời gian của tọa độ và vận tốc
x’=v ; v’=a =-ω2x
VD 2: Hai vật dao động điều hịa có cùng tần số góc là ω (rad/s). Tổng biên độ dao
động của hai vật là 10 cm. Trong quá trình dao động vật một có biên độ A 1 qua vị trí x1
( cm ) với vận tốc v1 ( cm/s ), vật hai có biên độ A 2 qua vị trí x2 ( cm ) với vận tốc v2
( cm/s ). x1v2 + x2v1 = - 9 (cm2/s). Giá trị nhỏ nhất của ω là bao nhiêu?
Giải
Giải: Giả sử

x1 = A1cosωt. ( cm)---> v1 = - ωA1sinωt ( cm/s)
x2 = A2cos(ωt + φ) ( cm); ------> v2 = - ωA2sin(ωt + φ) (cm/s)
Khi đó x1v2 + x2v1 = - ωA1A2 [ cosωt. sin(ωt + φ) + ( sinωt. cos(ωt + φ)]
= - ωA1A2 sin(2ωt + φ) = - 9
9
9
----> ω =
≥
(*)
A1 A2 sin( 2ωt + ϕ ) A1 A2

A2 + A2
( A + A2 ) 2
≥ A1 A2 -------> A1 A2 ≤ 2
= 25 (**)

2
4
9
Từ (*) và (**) ta thấy ω ≥
= 0,36rad .
25

A1 + A2 = 10 = hằng số thì

VD 3: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hịa cùng phương cùng tần số có

13


π
phương trình là x1, x2, x3. Biết x12 = 6cos( πt + )cm ;
6
2π
π
x 23 = 6cos( πt + )cm ; x13 = 6 2 cos( πt + )cm . Độ
3
4
lệch pha của dao động x1, x2 là:
Giải
Để tìm độ lệch pha của dao động một và hai ta tìm
phương trình của hai dao động
điều hịa đó .Ta có x12= x1+x2, x23=x2+x3 và x13=x1+x3 từ
đó ta có
x1 =

x12 + x13 − x23
x +x −x
x2 = 12 23 13
và
2
2

Sử dụng phương pháp số phức ( máy tính)
π
π
2π
3shift ∠( ) + 3 2shift ∠( ) − 3shift ∠( ) = 7,348∠π /12
Phương trình x1
6
4
3
A1=7,348 và φ1=π/12
Phương trình x2

π
2π
π
5π
3shift ∠( ) + 3shift ∠( ) − 3 2shift ∠( ) = 2,196∠
6
3
4
6

A2= 2,196 và φ2=5π/6

Độ lệch pha của hai dao động là Δφ=φ2-φ1=3π/4
VD 4: Ba con lắc lò xo 1,2,3 đặt thẳng đứng cách đều nhau theo thứ tự 1,2,3. Ở vị trí cân
π
bằng ba vật có cùng độ cao. Con lắc thứ nhất dao động có phương trình x 1 = 3cos(20πt + )
2
(cm), con lắc thứ hai dao động có phương trình x2 = 1,5cos(20πt) (cm). Hỏi con lắc thứ ba dao
động có phương trình nào thì ba vật ln ln nằm trên một đường thẳng?
Giải
Để ba vật luôn nằm trên một đường thẳng theo tính chất đường trung bình của hình thang
x +x
vng thì x2 = 1 3
2
hay x3 = 2x2 – x1
→ Bấm máy tính của dạng tổng hợp hai dao động ta có
2.1,5shift∠0-3shift∠(π/2)=3 2∠-π/4

Phương trình dao động của con lắc thứ 3 là x 3 =3 2cos(20πt-π/4)
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hịa cùng phương cùng tần số có
π
2π
phương trình là x1, x2, x3. Biết x12 = 6cos( πt + )cm ; x 23 = 6cos( πt + )cm ;
6
3
5π
x13 = 6 2 cos( πt + )cm . Tính x biết x 2 = x12 + x 32
12
A. 6 2 cm

B. 12cm

C. 24cm

D. 6 3 cm

14


Câu 2 :Hai vật dao động điều hòa dọc theo các
trục song song với nhau. Phương trình dao động
của các vật lần lượt là x = Acosωt (cm) và x =
Asinωt (cm). Biết
16x + 9x = 24 (cm). Tốc độ cực đại của vật thứ
nhất là 12 cm/s. Tốc độ cực đại của vật thứ hai là:
A: 20 cm/s
B: 16 cm/s
C: 9 cm/s
D:
15 cm/s

x(cm
8 )
6

x1

x2
t(s)

0

-6
-8

0,1

0,05

3.1.6. Dạng đồ thị dao động
Đối với dạng đồ thị của dao động điều hòa, đầu tiên
các học sinh phải đọc được đồ thị, viết được phương
trình dao động của từng đồ thị mới có thể tổng hợp
hai dao động

x(c
4 m)
x1

2
0

0,25

1,25

X2
VÍ DỤ MINH HỌA
VD1 : Giả sử cho hai dao động điều hòa cùng phương -2
x1 = A1 cos(ω t+ϕ1) và x2 = A2 cos(ω t+ϕ2) có đồ thị
biến thiên như hình vẽ . Một vật dao động điều hòa -4
thực hiện hai dao động trên

a. Tính độ lệch pha của hai dao động
b. Tìm phương trình dao động tổng hợp
Giải
Trước tiên ta lập phương trình dao động của mỗi dao động
x1=2cos(2πt+π/2) cm
x2=4 cos(2πt-π/2) cm
a. Độ lệch pha của hai dao động là Δφ=φ2-φ1=-π
b. Phương trình dao động của hai vật : nhận thấy hai dao động ngược pha nên
x=x1+x2= 2cos(2πt-π/2) (cm)
Nhận xét : Dựa vào tính tuần hồn của hàm sin ta đưa ra được chu kì của vật
Dựa vào thời điểm ban đầu để đưa ra pha ban đầu của mỗi dao động, nếu
hai dao động xuất phát cùng một li độ ở thời điểm ban đầu thì có pha cùng độ lớn
VD2 Cho hai dao động điều hòa x1 và x2 dao động cùng phương
có đồ thị như hình vẽ.
Tổng tốc độ của hai dao động ở cùng một thời điểm có giá trị lớn nhất là bao nhiêu

Giải
Tương tự như VD1 ta lập phương trình của mỗi dao động
x1=8cos(20πt-π/2) cm
x2=6 cos(20πt+π) cm
Vì bài cho tổng tốc độ của hai dao động chứ khơng phải tốc độ tổng hợp của hai dao
động
Từ đó suy ra phương trình vận tốc của hai dao động v=v 1+v2 với v1 và v2 là phương
trình vận tốc của từng dao động
v1=-160π sin( 20πt-π/2) =160π cos(20πt-π/2)

cm/s
15

t(s)

v2=-120π sin(20πt+π) =120π cos(20πt+π)
cm/s
Dùng máy tính tổng hợp ta được v=200π cos(20πt-3π/2) cm/s
Tốc độ tổng cộng lớn nhất là vmax= 200π (cm/s)
Nhận xét : Bài tốn này có bẫy, là tổng tốc độ lớn nhất tại một thời điểm chứ không
phải tốc độ lớn nhất của dao động tổng hợp
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: Đồ thị của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số được vẽ như
sau:Phương trình nào sau đây là phương trình dao động tổng hợp của chúng:
π
2

π
2

π
2

π
2

B. x = cos t −  (cm)

A. x = 5cos t (cm)


C. x = 5cos t + π  (cm)


π
2



D. x = cos t − π  (cm)


3.2. Loại hai dao động điều hòa khác tần số
3.2.1. Hai dao động điều hòa cùng phương cùng biên độ khác tần số gặp nhau
Giả sử cho hai dao động điều hòa cùng phương
x1 = Acos(ω1 t+ϕ1) và x2 = A cos(ω2 t+ϕ2)
x(c
(2.12)
x1
Khi
hai
dao
động
gặp
nhau
thì
x 1=x2 3 m)
2
(2.13)
2
ta thay hệ (2.12) vào (2.13) và giải lượng giác ta được hệ hai
tập nghiệm
1

3

x2
4 t(s
)

0
–
2–
3

(ω1. t+φ1 )+(ω2 .t+φ 2 )=2.k.π
(ω1.t+φ1 )-(ω1.t+φ 2 )=2.l.π

(2.14)
Dựa vào (2.15) ta sẽ đưa được lần đầu tiên hai vật gặp nhau, lần thứ N hai vật gặp
nhau để tìm ra thời điểm t
Tỉ số vận tốc của các dao động
v1 x1' -Aω1sin(ω1 t+φ1 ) ω1sin(ω1 t+φ1 )
=
=
=
v 2 x '2 -Aω2 sin(ω2 t+φ2 ) ω2 sin(ω2 t+φ2 )

(2.15)

ta thay t tìm được vào (2.15) sẽ được tỉ số vận tốc cần tìm
VÍ DỤ MINH HỌA
VD 1. Hai vật dao động điều hoà cùng biên độ , cùng phương với các tần số góc lần
lượt là: ω1 =

π
π
(rad/s); ω2 = (rad/s). Chọn gốc thời gian lúc hai vật đi qua vị trí cân
6
3

bằng theo chiều dương. Thời gian ngắn nhất mà hai vật gặp nhau là bao nhiêu?
Giải:
Phương trình dao động của hai vât:
Từ (2.13) ta có (ω1t -

x1 = Acos(ω1t -

π
π
). = - (ω2t - )
2
2

π
).
2

x2 = Acos(ω2t -

π
).
2

(ω1 + ω2 ).t = π ---- t = π/( ω1 + ω2 ). = 2s.

16


VD 2: Hai vật dao động điều hoà cùng pha ban đầu, cùng phương và cùng thời điểm
với các tần số góc lần lượt là: ω1 =

π
π
(rad/s); ω2 = (rad/s). Chọn gốc thời gian lúc hai
6
3

vật đi qua vị trí cân bằng . Thời gian ngắn nhất mà hai vật gặp nhau là bao nhiêu?
Giải
TH1: Hai dao động xuất phát ở VTCB cùng chiều dương chính là VD1 ta có thời gian
ngắn nhất gặp nhau là 2s
TH2: Hai vật dao động xuất phát ở VTCB theo hai chiều ngược nhau
π
). VTCB theo chiều dương
2
π
Phương trình của vật 1: x2 = Acos(ω1t + ). VTCB theo chiều âm
2
π
π
(ω1. t- )+(ω2 .t+ )=2.k.π
2
2

Khi hai vật gặp nhau x1=x2 suy ra
π
π
(ω1.t- )-(ω2 .t+ )=2.l.π
2
2

Phương trình của vật 1: x1 = Acos(ω1t -

Thời gian ngắn nhất trong từng trường hợp
k=1 thì t=4s
l=-1 thì t=6s
Vậy dựa vào hai trường hợp ta thấy thời gian ngắn nhất để hai vật gặp nhau là t=2s
Nhận xét: Khi hai dao động điều hòa cùng biên độ khác tần số cùng vị trí ban đầu ,
thì thời điểm ngắn nhất hai vật gặp nhau được xác định
 x0 
÷
A

-1
(ω1 + ω2 ).t = 2φ0 với φ0 =cos 

VD 3: Hai chất điểm dao động điều hoà cùng biên độ , cùng phương với các tần số góc
lần lượt là: ω1 =

π
π
(rad/s); ω2 = (rad/s). Lúc đầu hai chất điểm đều đi qua li độ A/2
6
3

chất điểm 1 đi qua theo chiều âm, chất điểm 2 đi qua theo chiều dương.Tìm thời điểm
hai chất điểm gặp nhau lần thứ 26 và tỉ số vận tốc của hai chất điểm lúc đó?
Giải
Phương trình dao động của các chất điểm có dạng
π

 x1 = A cos(6π t + )

3

 x = A cos(12π t − π )
 2
3

Khi hai chất điểm gặp nhau x1=x2 hay cos(6πt+π/3)=cos(12πt-π/3)
π
π
1 3n

(12π t − ) − (6π t + ) = k 2π ⇒ t = +


3
3
9
(12π t − π ) + (6π t + π ) = l 2π ⇒ t = n

3
3

9

Suy ra 

9

n

Nhận thấy hai họ nghiệm nhập làm 1 nên ta có t = 9
lần 1: với n=1 ta có t1=1/9
lần 2 với n=2 ta có t2= 2/9

17


……
Lần 26 với n=26 ta có t=26/9
Vậy hai vật gặp nhau lần thứ 26 tại thời điểm t=26/9 s
v1 x1' -Aω1sin(ω1 t+φ1 ) ω1sin(ω1 t+φ1 )
Khi đó tỉ số vận tốc của hai vật là v = x ' = -Aω sin(ω t+φ ) = ω sin(ω t+φ )
2
2
2
2
2
2
2
2

Thay vào ta có

v1 x1'
6πsin(6πt+π/3)
1
= ' =
=−
v 2 x 2 12πsin(12πt-π/3)
2

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Có hai vật dao động điều hịa trên hai đoạn thẳng song song và gần nhau với
cùng biên độ A, tần số 3 Hz và 6 Hz. Lúc đầu hai vật xuất phát từ vị trí có li độ

A
.
2

Khoảng thời gian ngắn nhất để hai vật có cùng li độ là?
A.

1
s
4

B.

1
s
18

C.

1
s
26

D.

1
s
27

Câu 2: Hai chất điểm dao động điều hịa trên trục Ox theo các phương trình lần lượt là
x1= Acos(πt+π/2) cm và x2= A cos(πt+π/6) cm. Thời điểm lần thứ 2013 hai chất điểm
đó gặp nhau và tính tỉ số vận tốc của vật 1 và của vật 2 khi đó là
A: t=0,3s và v1/v2= 2
B: t=2/3 s và v1/v2= -1
C: t=0,4s và v1/v2=-1
D: t=2/3 s và v1/v2= -2
3.2.2: Dạng bài toán hai con lắc trùng phùng
Bài toán hai con lắc trùng phùng là bài toán mở rộng trường hợp trên khi hai con lắc
đơn ở thời điểm ban đầu đều cùng ở vị trí cân bằng và chuyển động cùng chiều sau
thời gian Δt thì hai con lắc lại gặp nhau tại vị trí cân bằng và theo cùng một chiều.
Khi đó Δt=n1.T1=n2.T2 với T1 và T2 là chu kì dao động của hai dao động
từ đó

T1 n1 a
= = với a/b là phân số tối giản
T2 n 2 b

suy ra n1=a.n và n2=b.n do đó Δt=a.n.T1=b.n.T2
Δtmin khi n=1
*Đối với hai con lắc có chu kì gần bằng nhau thì chúng hơn kém nhau 1 dao động
T.T'

trong khoảng thời gian Δt, do đó chu kì trùng phùng là Δt= T-T'
VÍ DỤ MINH HỌA
VD 1 :Cho một con lắc đồng hồ có chu kì T 0 = 2s và một con lắc đơn dài 1m và có chu
kì T chưa biết. Con lắc đơn dao động nhanh hơn đồng hồ một chút. Dùng phương pháp
trùng phùng thì người ta thấy rằng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp bằng 8
phút 20s. Hãy tính chu kì T ?
Giải
Vì khi đưa lên cao chu kì con lắc đơn tăng do đó T>T 0. Thời gian giữa hai lần trùng
phùng liên tiếp Δt=

T.T0
từ đó suy ra T= 2,008 s
T-T0

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Hai con lắc đơn treo cạnh nhau có chu kì là T 1=4s và T2=4,8 s kéo hai con lắc
lệch nhau một góc nhỏ dồng thời buông nhẹ .Thời gian ngắn nhất để hai con lắc lại trở
về vị trí này là
18


A: 24 s

B: 12s

C: 6s

D: 3s

3.2.3 Dạng biểu thức của li độ và vận tốc của các dao động
Đối với dạng tốn này tơi thấy có các bài tập điển hình , tơi đưa ra cách giải cụ
thể để rút ra được hệ thức đáng nhớ cho học sinh
VD 1. Cho ba vât dao động điều hòa cùng biên độ A = 10cm nhưng khác tần số. Biết
rằng tại mọi thời điểm, li độ và vận tốc của các vật liên hệ với nhau bởi biểu thức
x1 x 2 x 3
+ = . Tại thời điểm t, các vật cách vị trí cân bằng của chúng lần lượt là 6cm,
v1 v 2 v3

8cm và x3. Khi đó li độ dao động của vật thứ 3 là bao nhiêu?
Giải
Từ biểu thức ta đạo hàm hai vế ta có

x1'.v1 -x1.v1' x 2 '.v 2 -x 2 .v 2' x 3'.v3 -x 3 .v3'
+
=
v12
v 22
v32
2

Theo tính chất của dao động điều hịa x’=v, v’=a=-ω .x vì ba tỉ số giống nhau do đó tôi
chỉ biến đổi 1 biểu thức suy ra tương tự
x1'.v1 -x1.v1' v12 +ω12 x12
ω12 A 2 cos 2 (ω1t+φ1 )
1

=
=1+
=
2
2
2 2
2
2
v1
vω
sin
(ω
1 A sin (ω1 t+φ )
1
1 t+φ )
1
A 32
A12
A 22
+
=
Tương tự ta có biểu thức A 2 -x 2 A 2 -x 2 A 2 -x 2
1
1
2
2
3
3

=

1

1
A12
x12
1- 2 = A12 -x12
A1

thay x1=6 cm và x2= 8cm ta tính

được x3=8,7 cm
x1
x1
A12
(
)'
=
Nhận thấy : khi có tỉ số v1 đạo hàm ta có v
A12 -x12
1
Khi cho hệ thức x1v 2 v3 +x 2 v1v3 =x 3 v1v 2 ta chia cả hai vế cho v1v2v3 thì ta có hệ thức sau
x1 x 2 x 3
+ =
v1 v 2 v3

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Cho ba vât dao động điều hòa cùng biên độ A = 5cm nhưng khác tần số. Biết
rằng tại mọi thời điểm, li độ và vận tốc của các vật liên hệ với nhau bởi biểu thức
x1v 2 v3 +x 2 v1v3 =x 3 v1v 2 . Tại thời điểm t, các vật cách vị trí cân bằng của chúng lần lượt
là 3 cm, 4cm và x3. Giá trị của x3 gần bằng là

A: 4 cm
B: 4,38 cm
C: 5cm
D: 0 cm
4. Nhận xét
Trong các bài tổng hợp hai dao động cùng phương cùng tần số ta luôn sử dụng hai
phương pháp chủ đạo là dùng giản đồ Fren-nen hoặc số phức tùy từng bài toán ta áp
dụng phương pháp thích hợp để giải nhanh nhất. Đến hai dao động điều hịa cùng
phương khác tần số cần kiến thức tốn rộng hơn giải lượng giác, đạo hàm xong tơi
ln có kết luận cuối cùng để HS có thể vận dụng nhanh nhất làm trắc nghiệm.
C. KẾT LUẬN:
1. Kết quả nghiên cứu:
Kết quả khảo sát chất lượng môn vật lý 12 đầu năm:
19


Số
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Kém
bài
kiểm
SL
%
SL
%
SL
%
SL

%
SL
%
tra
12 C 41
2
4,9
8
19,5 22
53,7 5
12,1 4
9,8
12D 44
2
4,5
9
20,5 22
50
6
13,5 5
11,5
- Sau khi tiến hành nghiên cưú trên lớp 12D còn lớp 12 C để đối chứng, khi kiểm tra
kết thúc phần tổng hợp dao động cơ tôi đã thu được kết quả sau:
Số
Số
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Kém
liệu bài

Lớp kiểm
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
tra
12C 41
3
7,3
10
24,4 23
56,1 3
7,3
2
4,9
12D 44
7
15,9 16
36,4 19
43,2 2
4,5
0
0
Dựa vào kết quả thu được ta thấy số lượng học sinh giỏi tăng lên, học sinh yếu,

kém giảm đi rõ rệt.
Học sinh phản ứng nhanh được các bài toán từ cơ bản đến nâng cao các bài tốn
biến tướng, giải nhanh và chính xác đáp ứng nhu cầu làm bài tập trắc nghiệm.
2. Kiến nghị, đề xuất
Do khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm tôi khơng trình bày phần mở rộng
của bài tập dao động điện từ, sóng cơ, điện xoay chiều liên quan đến phần tổng hợp hai
dao động. Nhưng khi tôi dạy các phần dao động điện từ, sóng cơ, điện xoay chiều mà
có kiến thức liên quan đến tổng hợp dao động học sinh luôn nhận xét và đưa ra được
phương pháp giải đúng nhanh và chính xác nhất.
Số
liệu
Lớp

Trên đây là một vài suy nghĩ và những việc tôi đã và đang làm khi tôi giảng
dạy phần tổng hợp hai dao động điều hịa cùng phương của mơn Vật lý tại trường
THPT Thiệu Hóa. Có lẽ cũng chẳng mới lạ gì đối với những việc làm của đồng
nghiệp. Song với sự cố gắng ln tìm tịi học hỏi từ sách vở, từ đồng ngiệp, bạn bè, từ
thầy cô tôi mong muốn được đóng góp một phần nhỏ khi giải quyết các bài tập tổng
hợp hai dao động điều hòa từ bài cơ bản đến các bài tốn nâng cao của nó. Có lẽ cách
phân loại bài tập và hướng dẫn giải của tơi chưa hồn hảo cịn nhiều thiếu sót tơi mong
được sự góp ý của thầy cơ , đồng nghiệp, của đồng chí lãnh đạo để đề tài của tơi được
hồn chỉnh và là một tài liệu hay cho thầy cô giáo và học sinh tham khảo vận dụng.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của Hiệu Trưởng

Thiệu Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan SKKN là do tơi
viết khơng sao chép của người khác

Hồng Thị Thúy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

20


1.Sách giáo khoa vật lý 12, tổng chủ biên Lương Duyên Bình
2. Sách Bài tập vật lý lớp 12 , chủ biên Vũ Quang
3.Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý THPT,
PGS.TS Vũ Thanh Khiết-Vũ Đình Túy
4. www.thuvienvatly.com.vn

trên internet

21


i