Một số phương pháp để xác định khối tâm của vật rắn và mô men quán tính của một số vật đồng chất

MT S PHNG PHP
XC NH KHI TM CA VT RN V Mễ MEN QUN TNH CA
MT S VT NG CHT
1. M u
1.1. Lớ do chn ti
Trong chng trỡnh vt lý bc trung hc ph thụng, khỏi nim v vt rn, tỡm hiu quy
lut cõn bng cng nh chuyn ng ca vt rn l mt khỏi nim tng i tru
tng i vi hc sinh. Bn thõn cỏc em ch nh hỡnh rừ v khỏi nim cht im, tỡm
hiu v quy lut chuyn ng ca cht im, quy lut chuyn ng m chuyn ng
ca cỏc vt xem nh l mt im chuyn ng. Khi tip cn vi khỏi nim vt rn,
c hiu l vt cú kớch thc mt khỏi nim mi hon ton khỏc so vi khỏi nim
cht im m cỏc em ó hc trc ú, vic tỡm hiu quy lut cõn bng ri chuyn
ng ca nú tr nờn khú khn trong tip cn cng nh kho sỏt quy lut chuyn ng
v sau ny. Thc t qua quỏ trỡnh ging dy ti n v, giỳp cho cỏc em hiu rừ
kin thc trong phn ny thỡ mu cht ca vn nm khỏi nim khi tõm ca vt
rn, xõy dng cỏc h thc nh lng v tỡm khi tõm ca cỏc vt ng cht. Trong
quỏ trỡnh tip cn v vn dng gii toỏn cỏc em hiu rừ c khỏi nim khi tõm ca
vt rn bit cỏch xỏc nh c khi tõm vt rn thỡ s tru tng ú tr nờn rừ rng
hn, vic gii quyt cỏc bi toỏn n gin cng nh phc tp tr nờn khoa hc hn.
Trờn c s kin thc v khi tõm ca vt rn ta cú th vn dng xõy dng kin thc v
mụ men quỏn tớnh ca vt rn, tỡm ra quy lut chuyn ng ca vt rn T thc t
trờn, bn thõn l mt giỏo viờn dng lp tụi tỡm tũi v xõy dng giỳp hc sinh hiu rừ
khỏi nim khi tõm, mt s phng phỏp xỏc nh khi tõm ca vt rn thụng qua
vic xõy dng chuyờn MT S PHNG PHP
XC NH KHI TM CA VT RN V Mễ MEN QUN TNH CA
MT S VT NG CHT
1.2. Mc ớch nghiờn cu
- Xõy dng h thng bi tp v cỏch xỏc nh khi tõm v xỏc nh mụ men quỏn
tớnh ca vt rn, h tr cho hc sinh nm vng kin thc v khi tõm v mụ men quỏn
tớnh ca vt rn, hiu rừ kin thc v vt rn kin thc c s hc sinh tỡm hiu quy
lut cõn bng, quy lut chuyn ng ca vt rn.

- Vn dng ủeồ giaỷi nhng baứi tp v khi tõm, nhng bi tp xỏc nh mụ
men quỏn tớnh ca vt rn.
- To ng lc cho cỏc em hc sinh hiu bit vn dng v yờu thớch kin thc b mụn,
t tin trong khi hc v lm bi, ng thi thụi thỳc hc sinh t tỡm ra nhng quy lut
lm bi i vi cỏc chuyờn cũn li ca mụn lý, thm chớ cho cỏc mụn hc khỏc.
1.3. i tng nghiờn cu.
Xõy dng cỏc phng phỏp xỏc nh khi tõm ca vt rn v xỏc nh mụ men quỏn
tớnh ca vt rn da vo cỏch phõn b khi lng, hỡnh dng ca vt rn.
1.4. Phng phỏp nghiờn cu.
Vn dng tng hp kin thc ó hc xỏc nh khi tõm ca vt rn v xỏc nh mụ
men quỏn tớnh ca vt rn
2. Ni dung
2.1. C s lý lun
a. Vt rn:


Trong cơ học, vật rắn, hay đầy đủ là vật rắn tuyệt đối, là một tập hợp vô số các chất
điểm mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ luôn luôn không đổi. Vật thể được xem là
vật rắn tuyệt đối khi biến dạng của nó là quá bé hoặc không đóng vai trò quan trọng
trong quá trình khảo sát.
b. Khối tâm hay trọng tâm của vật rắn
Coi vật rắn là một tập hợp gồm n phần tử và mỗi phần tử có trọng lượng P 1, P2, … Pn.
Các trọng lực trên tạo thành một hệ lực song song, điểm đặt (tâm) của hệ lực song
song này gọi là trọng tâm (khối tâm) của vật rắn.
c. Mômen quán tính của vật rắn
* Khái niệm
Vị trí khối tâm chưa đặc trưng hoàn toàn cho sự phân bố khối lượng của một hệ. Vì
vậy trong cơ học còn có một đặc trưng cho sự phân bố khối lượng là khái niệm
mômen quán tính.
Mômen quán tính của một vật thể đối với một trục là một đại lượng vô hướng bằng

tổng các tích khối lượng của tất cả các điểm thuộc vật thể với bình phương khoảng
cách từ các điểm tới trục đó.
mi ri 2
Biểu thức: I = ∑
i

2
Mômen quán tính có thể biểu thị dưới dạng : I = ∑ ρi ∆vi ri

Với: mi = ρi ∆vi
Với vật thể rắn đặc chứa các phần tử khối lượng gần như liên tục phép tính tổng
được thay bằng phép tính tích phân toàn bộ thể tích của vật thể.
I = ∫ r 2 dm = ∫ ρ r 2 dV
Khi đưa vào hệ trục toạ độ Oxy ta có:
I x = ∫ y 2 dm
I y = ∫ x 2 dm
I 0 = ∫ ( x 2 + y 2 ) dm

Đối với hệ toạ độ Oxyz thì:
I x = ∫ ( y 2 + z 2 )dm
I y = ∫ ( x 2 + z 2 )dm
I z = ∫ ( x 2 + y 2 )dm

* Thứ nguyên và đơn vị của mômen quán tính
Mômen quán tính có thứ nguyên là:
2
I = ∑ mi ri 2 = [ M ] [ L ]
Trong hệ đơn vị SI thì đơn vị mômen quán tính là:

I = kg ×m 2

* ý nghĩa của mômen quán tính
Mômen quán tính của chất điểm đối với một trục đặc trưng cho mức quán tính ( sức ì)
của chất điểm đó đối với chuyển động quay quanh trục đó.


Đối với toàn bộ vật rắn mômen quán tính đặc trưng cho sự phân bố khối lượng của
vật.
* Chú ý
Độ lớn của mômen quán tính không chỉ phụ thuộc vào khối lượng của vật rắn mà còn
phụ thuộc vào khoảng cách r từ phần tử khối lượng đến trục quay.
Mômen quán tính là một đại lượng cộng được tức là mômen quán tính của vật là tổng
các mômen quán tính của các phần tử tạo nên vật.
Khi tính mômen quán tính cần chỉ rõ mômen quán tính với trục nào. Vì đối với các
trục quay khác nhau (nếu vật không có tính đối xứng) thì mômen quán tính có giá trị
khác nhau.
* Định lý trục song song (định lý Huyghen-Steiner)
Mômen quán tính I của một vật rắn đối với một trục bất kì bằng mômen quán tính
của vật đó đối với trục đi qua khối tâm C của vật và song song với trục đó cộng với
tích khối lượng M của vật với bình phương khoảng cách d giữa 2 trục đó.
Biểu thức định lý: I = I O + Ma 2
2.2. Thực trạng vấn đề
Khi tiến hành giảng dạy chương tĩnh học vật rắn (vật lý 10), mặc dù đã xây
dựng chi tiết cho học sinh về khái niệm trọng tâm, cách xác định trọng tâm. Tuy nhiên
khi tiến hành vận dụng cho các bài toán cụ thể như điều kiện cân bằng của vật rắn có
hình dạng không đặc biệt thì đa số các học sinh gặp khó trong giải quyết bài toán.
Việc định hình hướng giải quyết vấn đề đối với các em là rất trừu tượng, học sinh
chưa có khả năng xác định được vị trí khối tâm của vật rắn để áp dụng cho bài toán
thực tế. Ví dụ các vật rắn dạng ghép vật, khối lượng âm, vật phân bố đồng chất không
đối xứng…
Khi dạy chương cơ vật rắn (vật lý 12 – nâng cao) trực tiếp phụ trách ở đội

tuyển học sinh giỏi thì việc vận dụng kiến thức của học sinh giải quyết các bài toán
liên quan đến mô men quán tính của vật rắn. Bản thân các em lại gặp khó khăn trong
việc vận dụng kiến thức đã học để giải quyết bài toán. Trên cơ sở về logic kiến thức,
sự khó khăn bản thân học sinh gặp phải, để trợ giúp cho các em có một công cụ hỗ trợ
đắc lực để giải quyết các bài toán giúp các em hiểu và vận dụng tốt. Tôi đã xây dựng
một số giải pháp sau để hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập.
2.3. Các các giải pháp đã sử dụng
2.3.1 Xác định khối tâm thường gặp và các phương pháp giải
a. Dạng hình học đối xứng: Từ tính chất hình học có thể suy ra khối tâm của vật:
Nếu vật đồng chất có mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng thì khối tâm của vật nằm
tương ứng trên mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng đó.
Ví dụ:
* Khối tâm của đĩa tròn chính là tâm O của đĩa.
* Khối tâm của hình trụ là trung điểm trục đối xứng.
* Nếu vật là hình vuông, chữ nhật, hình bình hành thì khối tâm chính là giao
điểm 2 đường chéo.
* Nếu vật là tam giác phẳng đồng chất thì trọng tâm chính là giao điểm 3
đường trung tuyến.
* Nếu vật là tứ diện đồng chất thì trọng tâm là giao điểm các đoạn nối đỉnh và
trọng tâm đáy đối diện.


b. Dạng ghép vật:
* Chia vật thành nhiều phần nhỏ khối lượng mi đã xác định rõ khối tâm Gi(xi ;
yi; zi). * Đặt vật vào hệ trục tọa độ Oxy (dạng bản mỏng) hoặc Oxyz (dạng khối).
* Tọa độ khối tâm của cả vật được xác định theo công thức:
H1.1
xG =

∑m x

∑m

i i
i

; yG =

∑m y
∑m
i

i

i

; zG =

∑m z
∑m

i i
i

c. Dạng khối lượng âm: Khi vật bị khoét nhiều lỗ có hình thù khác nhau mà trọng
tâm của các lỗ khoét có thể tìm được, thì ta có thể áp dụng phương pháp phân chia ở
trên, với điều kiện là các lỗ khoét đi có khối lượng mang dấu âm.
d. Dạng xác định bằng thực nghiệm
Phương pháp cân chỉ áp dụng cho những vật không đồng chất có hình dạng phức tạp
và có khối lượng lớn ví dụ như là: máy bay, đầu tầu hoả…..
e. Dạng vi - tích phân:

* Phương pháp chia vật tuy khá hiệu quả trong một số trường hợp nhưng
không phải là phương pháp tổng quát nhất, ví dụ nó hoàn toàn “bế tắc” khi gặp những
vật thể có hình thù lạ như dạng hình cong, hình khối liên tục... khi đó ta vận dụng
phương pháp vi - tích phân.
* Ta chia vật rắn thành các vi phân dV(hoặc dS; dL), tọa độ khối tâm của vật
rắn được xác định như sau:
xG =

1
1
1
xdV ; yG = ∫ ydV ; zG = ∫ zdV
∫
VV
VV
VV

Một số bài tập minh họa
a. Phương pháp hình học đối xứng
Từ tính chất hình học của vật thể ta có thể suy ra được khối tâm của vật:
• Nếu vật đồng chất có mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng thì khối tâm của vật
nằm tương ứng hoặc trên mặt phẳng đối xứng, hoặc trục đối xứng, hoặc tâm đối xứng.
+ Khối tâm của đĩa tròn chính là tâm O của đĩa (H 1.1).
+ Khối tâm của hình trụ là trung điểm của trục đối xứng O1O2 (H 1.2).
+ Nếu vật đồng chất là hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành,…. thì khối
tâm của vật trùng với tâm hình học tức là giao điểm của 2 đường chéo (H1.3).

H1.3
H1.2

+ Nếu vật là tam giác phẳng đồng chất thì khối tâm của nó là giao điểm của 3
đường trung tuyến (H 1.4) .
+ Nếu vật có hình là một tứ diện đông chất thì khối tâm là giao điểm các đoạn
nối đỉnh và trọng tâm đáy đối diện (H 1.5).

H1.4

H1.5

b. Phương pháp ghép vật
Cơ sở của phương pháp: ta phân chia vật thành nhiều phần mà vị trí khối tâm
của từng phần đã biết rõ. Sau đó áp dụng công thức:
Bài 1: Xác định khối tâm của một hình đồng chất có kích thước như hình vẽ:
Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (H 1.6).
Chia vật thành 3 hình chữ nhật:
c
2

+ Hình chữ nhật ABCD có tâm O1 (0, ) .
a
2

+ Hình chữ nhật EFGH có tâm O2 (0, c + ) .
+ Hình chữ nhật IKLM có tâm là O3 (0, c + a) .
Do hình có trục Oy đối xứng nên khối tâm của vật sẽ nằm trên trục này và có xC = 0
Gọi d, ρ lần lượt là bề dày và khối lượng riêng của vật.
Khối lượng của vật có dạng hình chữ nhật ABCD là:
m1 = ρ ⋅ d ⋅ a ⋅ c = acρd

Khối lượng của vật có dạng là hình chữ nhật CDEF là:
m2 = ρ ⋅ d ⋅ a ⋅ 2c = 2acρd

Khối lượng của vật có dạng là hình chữ nhật IKLM là:
m3 = ρd ⋅ b.c = bcρd

Toạ độ khối tâm của vật là:

H1.6


yC =

yC =
yC =

m1 y1 + m2 y 2 + m3 y 3
m1 + m2 + m3
c
a
+ 2acρd ⋅ (c + ) + bcρd ⋅ (c + a)
2
2
acρd + 2acρd + bcρd

acρd ⋅

5ac + 2a 2 + 2bc + 2ab
6a + 2b

Toạ độ khối tâm của hình cần tìm là: (0,

5ac + 2a 2 + 2bc + 2ab
).
6a + 2b

Bài 2: Xác định khối tâm của một thanh

y
A

mảnh đồng chất được gập lại thành một tam
giác có độ dài các cạnh như hình vẽ H 1.6.
Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như

b

c

hình (H1.6). Gốc toạ độ O.

a

B

C

O

Toạ độ của các đỉnh A(xA, yA); B(0, 0); C(xC,0). Ta có:

x

H 1.7

c 2 = x A 2 + y A 2
 2
2
2
b = ( x B − x A ) + y A
 2
2
a = x B

Giải hệ trên ta thu được:

a 2 + c 2 − b2
x
=
 A
2a

1

4a 2 c 2 − a 2 + c 2 − b 2
yA =
2a

x
=

a
 B



(

)

2

Gọi ρ là khối lượng riêng của vật. Chia vật thành 3 phần:
+ Phần thứ nhất là đoạn OA có khối lượng m1 = ρ .c và khối tâm của nó nằm tại
trung điểm của đoạn OA có toạ độ
a2 + c2 − b2 1
;
4a 2 c 2 − a 2 + c 2 − b 2
4a
4a

(

(x 1;y1) = (

)

2

).

+ Phần thứ hai là đoạn OB có khối lượng m2 = ρ .a và khối tâm của nó nằm tại
a
2

trung điểm của đoạn OB có toạ độ (x2;y2) = ( ;0 ).
+ Phần thứ ba là đoạn AB có khối lượng m3 = ρ .b và khối tâm của nó nằm tại
trung điểm của đoạn AB có toạ độ (x 3;y3) =
3a 2 + c 2 − b 2 1
;
4a 2 c 2 − a 2 + c 2 − b 2
2a
4a

(

)

2

(

).

Toạ độ khối tâm của thanh cần tìm là:
xC =

m1 x1 + m2 x 2 + m3 x3
m1 + m2 + m3

yC =

m1 y1 + m 2 y 2 + m3 y 3
m1 + m2 + m3

Thay số, ta có:

(

)

(

)

2

(

c a 2 + c 2 − b 2 + 2a 3 + 2b 3a 2 + c 2 − b 2
xC =
4a ( a + b + c )

(

)

c 4a 2 c 2 − a 2 + c 2 − b 2 + b 4a 2 c 2 − a 2 + c 2 − b 2
yC =
4a ( a + b + c )

)

2

Bài 3: Xác định khối tâm của một vật hình vuông cạnh 2a đã bị khoét bởi một hình
có dạng như hình (H 1.8).
Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (H 1.8). Gốc toạ độ tại O.
Do hình có trục Ox đối xứng nên hình có khối tâm nằm trên trục này và có

yC = 0 .
Gọi ρ , d là khối lượng riêng và bề dày của vật.
Ta lắp vào hình vuông đã bị cắt bằng một

y

hình tam giác đã cắt ta sẽ được toàn bộ hình vuông
cạnh 2a và có khối tâm là (0, 0). Khi đó hình vuông
cạnh 2a gồm 2 phần:

2a

+ Phần 1 (hình tam giác) có khối lượng
m1 = ρd

1
2
a ⋅ 2a = ρda 2 và có khối tâm O1 ( a,0) .
2
3

O

2a
H 1.8

O1

x


+ Phần 2 (phần cần tìm) có khối lượng m2 = ρd ⋅ 3a 2 = 3a 2 ρd và có khối tâm là
O2 ( x2 ,0) .

Toạ độ khối tâm của toàn bộ hình vuông cạnh 2a là:
2
ρda 2 ⋅ a + 3a 2 ρd ⋅ x2
3
⇔
=0
ρda 2 + 3a 2 ρd

m x + m2 x2
x0 = 1 1
=0
m1 + m2
⇔

2
2

a + 3 x2 = 0 ⇔ x2 = − a
3
9
2
9

Toạ độ khối tâm của hình cần tìm là: (− a,0) .
Bài 4: Xác định khối tâm của hình đồng chất có dạng như hình vẽ sau:
Gắn hình vào hệ trục tọa độ Oxy như hình (H 1.9).
Do hình có trục Ox đối xứng nên khối tâm của hình sẽ nằm trên Ox và có tung độ

yC = 0 .
Chia hình thành 2 phần:
2
+ Phần 1 (hình vuông) có khối lượng là m1 = ρd ⋅ a ⋅ a = a ρd và có khối tâm

O1 (0,0)

+ Phần 2 ( hình tam giác ) có khối lượng là

y

1
3
3 2
m2 = ρd ⋅ a ⋅
a=
a ρd và có toạ độ
2
2

4

a

khối tâm O2 (a + a,0) = ( a,0) .

O1

Toạ độ khối tâm của hình cần tìm :

a

1
3

4
3

xC =

x
a

m1 x1 + m2 x 2
m1 + m2

H 1.9

Thay số, ta được:
xC =

y

3 2
4
3
a ρd ⋅ a
a
4a
4
3 = 3
=
3 2
3 3+ 4 3
a 2 ρd +
a ρd
1+
4
4

a 2 ρd ⋅ 0 +

Toạ độ khối tâm của hình cần tìm là: (

m1

4a
,0) .
3+ 4 3

m2

O
H 1.10

m3

x


Bài 5: Có 3 quả cầu khối lượng m1 , m2 , m3 được đặt sao cho chúng tạo với nhau
thành một tam giác đều . Xác định khối tâm của hệ 3 quả cầu đồng chất đó.
Gắn hệ 3 quả cầu vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (H 1.12), gốc toạ độ tại O là
trung điểm của đoạn thẳng nối 2 quả cầu có khối lượng m2 và m3.
Toạ độ khối tâm của hệ là:

xC =

m1 x1 + m2 x 2 + m3 x3
m1 + m2 + m3
yC =

m1 y1 + m2 y 2 + m3 y 3
m1 + m2 + m3

Thay số, ta có:
a
a
m1 ⋅ 0 + m2 ⋅ (− ) + m3 ⋅
2

2 = a ( m3 − m 2 )
xC =
m1 + m2 + m3
2(m1 + m2 + m3 )

yC =

m1 ⋅

3
a + m 2 ⋅ 0 + m3 ⋅ 0
am1 3
2
=
m1 + m2 + m3
2(m1 + m2 + m3 )

Vậy toạ độ khối tâm của hình cần tìm là (

a ( m3 − m 2 )
am1 3
;
).
2(m1 + m 2 + m3 ) 2(m1 + m2 + m3 )

Bài 6: Xác định vị trí khối tâm của vật đồng chất, khối lượng phân bố đều là đoạn dây
hình cung tròn AB bán kính R, ·AOB = α .
Giải:
Dễ thấy yG = 0 do Ox là trục đối xứng.
Chia vật ra thành n phần nhỏ, có độ dài ∆lk,

tọa độ xk = Rcosϕk,
Ta có:


n

∑ ∆l x
k

k =1

L

xG =

= ∆Yk ⇒ xG =
2R

k

=

1 n
∆lk R cos ϕ k
∆lk R cos ϕk
∑
L i =1
Mặt khác

1

1
R. AB ⇒ xG =
.R.2 R.sin α =
L
R.2α

sin α
α

Vậy vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn: x =
G

2 R sin

α

α
2

c. Phương pháp khối lượng âm
Khi vật bị khoét nhiều lỗ có hình thù khác nhau mà trọng tâm của các lỗ khoét có thể
tìm được, thì ta có thể áp dụng phương pháp phân chia ở trên, với điều kiện là các lỗ
khoét đi có khối lượng mang dấu âm.
Bài 1: Xác định khối tâm của một bản mỏng độ dày d đồng chất hình tròn bán kính R
bị khoét một mẩu hình vuông cạnh là R/2.
Giải: Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như hình

y

(H 1.10).

Do hình nhận trục Ox làm trục đối xứng
nên khối tâm của hình sẽ nằm trên trục Ox và
có y C = 0 .

R/2

Lấy hình vuông đã khoét lấp vào hình

O

tròn bị khoét ta được hình tròn tâm O và có

x

khối tâm là (0, 0).
Chia hình tròn thành 2 phần:
H 1.10

+ Phần 1 (hình vuông) có khối lượng:
m1 = ρd ⋅

R R 1 2
R
⋅ = R ρd và có toạ độ khối tâm là ( ,0) .
2 2 4
4

R2
1
ρd = R 2 ρd (π − ) và có toạ

+ Phần 2 (phần bị khoét) có khối lượng: m2 = πR ρd −
4
4
2

độ khối tâm là: ( x 2 ,0) .
Hoành độ khối tâm của bản mỏng hình tròn khi chưa bị khoét là:


x0 =

m1 x1 + m2 x2
=0
m1 + m2
R2
R
1
ρd ⋅ + R 2 ρd (π − ) x2
4
⇔ 4 2 4
=0
R
1
2
ρd + R ρd (π − )
4
4
⇔

R

1
+ (π − ) x2 = 0
16
4

R
R
⇒ x 2 = 16 =
1 4(4π − 1)
π−
4

Như vậy toạ độ khối tâm của hình cần tìm là: (

R
,0 ) .
4(4π − 1)

Bài 2: Người ta khoét một lỗ tròn bán kính R/2 trong một
đĩa đồng chất, bán kính R, tìm trọng tâm phần còn lại (vòng
tròn nhỏ tiếp xúc với vòng tròn lớn).
Hướng dẫn giải
Gọi:
- P1, S1 là trọng lượng và diện tích đĩa tròn có bán kính R/2.
- P2, S2 là trọng lượng và diện tích đĩa tròn đã bị khoét.
- P = P1 + P2, S = S1 + S2 là trọng lượng và diện tích đĩa tròn chưa khoét.
- O1, O2, O là trọng tâm các đĩa trên.
P1
π R2
=

=4
R
2
- Ta có: OO1 = và P2
R
2
π ÷
2

+ Theo quy tắc hợp hai lực song song
cùng chiều:
Ta có: P = P1 + P2
OO1 P2
P
= ⇒ OO2 = 1 OO1
OO2 P1
P2
P1
1
⇒ OO2 =
OO1 =
OO1
P
P − P1
−1
P1

Nên: OO2 =

1 R R

 ÷=
4 −1  2  6

Vậy trọng tâm của đĩa bị khoét nằm trên đường nối tâm O1O và cách O một đoạn R/6
(O2 nằm ngoài OO1).
Bài 3: Xác định khối tâm của khối trụ đã bị khoét một phần có dạng là một nửa hình
cầu, bán kính R.


Hình trụ có trục đối xứng là đường thẳng O1O2 nối tâm 2 đường tròn bán kính
R của hình trụ.
Giải: Khối tâm của toàn bộ hình trụ nằm trên
trung điểm trục đối xứng có tung độ y1 =

y

h
.
2

O1

Do khối hình trên nhận trục Oy làm trục đối
xứng nên toạ độ khối tâm của khối hình cần

h

tìm nằm trên Oy và có xC = 0 .
3
8

Ta có khối tâm của nửa khối cầu là y 2 = R .
Tung độ khối tâm của khối hình cần tìm là:
yC =

m1 y1 − m2 y 2
m1 + m2

O2

x

H 1.13

Thay số, ta có:
h 2
3
h2 1 2
πR 2 hρd ⋅ − πR 3 ρd ⋅ R
− R
3 2h 2 − R 2
2
3
8
2
4
yC =
=
=
2

2
4 3h − 2 R
πR 2 hρd − πR 3 ρd
h− R
3
3

Vậy toạ độ khối tâm của hình cần tìm là (0;

3 2h 2 − R 2
).
4 3h − 2 R

d. phương pháp thực nghiệm
Bài toán : Xác định trọng tâm của máy bay( khoảng cách a ), biết khoảng cách AB = l
Hướng dẫn:
M = N 2 a − N1 (l − a ) = 0
→ N 2 a − N1 (l − a) = 0
→a=

r
N1

N1l
N1 + N 2

l

C


N2

Ta có:

N1 + N 2 = P

với P là trọng lượng của máy bay.
Nl
a= 1
P

d. Phương pháp vi - tích phân
* Phương pháp giải:

r
N2

A

B
a

r
P
H 1.27


Với những vật đồng chất, liên tục không thể sử dụng phương pháp chia vật như trên
thì ta có thể dùng phương pháp tích phân.
+ Với những vật có dạng hình khối đồng chất liên tục thì trước hết chia vật thành các

thể tích bé ∆v k nào đó . Khi đó toạ độ khối tâm được xác định theo công thức:

xC =

∑ x ∆v
k

k

V

; yC =

∑y

∆v k

k

V

; zk =

∑z

k

∆v k

V

,

trong đó x k , y k , z k là toạ độ của một điểm nào đó nằm bên trong thể tích ∆v k . Với
những vật đồng chất, liên tục nên ta có thể chuyển phép tính tổng thành tích phân:
xC =

1
xdV
V V∫

yC =

1
ydV
V V∫

zC =

1
zdV
V V∫

trong đó dV = dxdydz , V là thể tích của hình.
+ Tương tự đối với toạ độ khối tâm của những vật hình phẳng (hình thang
cong) bằng cách lấy tích phân ta cũng có:
xC =

1
1

xdS ; yC = ∫ ydS
∫
SS
SS

trong đó dS = ydx , S là diện tích của hình.
+ Đối với toạ độ khối tâm của đường cong phẳng y = f ( x ) với a ≤ x ≤ b thì được xác
định như sau:
b

xC =

b

1
1
xdL; y C = ∫ ydL
∫
La
La

2

dy
trong đó dL = 1 +   dx , còn L là độ dài của cung.
 dx 

* Các bài tập minh họa
Bài 1: Xác định vị trí khối tâm của các vật đồng chất sau
đoạn dây nửa đường tròn bán kính R.

Giải:
Gọi G là khối tâm của đoạn dây, ta có:


xG =

1
∑ xi ρ∆l i (trong đó ρL : khối lượng của đoạn dây; ∆li là phần nhỏ
ρL

của đoạn dây có khối lượng ρ∆li ).

xG =
=

xi
1
.∆l i .cosα i =
∑
L cosα i
1
. R
L

.

∑ ∆y

i

=

R
R
2R
.AB =
2R =
L
πR
π

Bài 2: Xác định khối tâm của một thanh đồng chất (H
1.12).
Chia thanh thành nhiều phần tử nhỏ khối lượng là
dm, chiều dài dx và bề dày là d, khối lượng riêng là ρ .
Ta có: dm = ρ .d.dx
Toạ độ khối tâm của thanh:
1
xC =
M
xC =

L

1
∫0 xdm = M

1 1 2
d x
M 2

L
0

=

H.1.14

L

∫ x ⋅ d ⋅ dx
0

1 L2
d
2 M

Mặt khác diện tích của thanh:
S = L⋅d → d =

S
.
L

Thay vào công thức trên, ta được:
1 S L2
xC =
2LM

Vì thanh đồng chất nên khối lượng tỉ lệ với diện tích:

xC =

1 M L2 1
= L
2 L M 2
1
2

Vậy toạ độ khối tâm của thanh là: C ( L,0) .
Bài 3: Xác định khối tâm của thanh đồng chất có dạng cung tròn góc giới hạn của bán
kính bằng α
Hướng dẫn: Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm (G) của đoạn dây nằm trên
trục Ox (hình vẽ)
Xét phần tử có độ dài dl và khối lượng dm:

dl = Rdϕ
dm = ρ dl = ρ Rdϕ


Vị trí khối tâm (G) cách tâm O:
xG =

xG =

1
m

α
2

α
2

1

∫α dm.R cos ϕ = m ∫α ρ .R

−

−

2

R

2

cos ϕ dϕ

Với: ρ =

m
Rα

dl; dm
dϕ

2

R

∫α α cos ϕ dϕ = α sin ϕ

−

A

α
2

G

O
α
2
−

2

α
2

=

2 R sin

α

α/2

x

R

α
2

B

2 R sin

Vậy vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn: x =
G

α

α
2

Bài 4: Xác định khối tâm của vật đồng chất, khối lượng phân bố đều là đoạn dây nửa
đường tròn bán kính R.
Giải:
Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm (G) của đoạn dây nằm trên trục Ox (hình
vẽ).
Giải tương tự như ví dụ 2.
Xét phần tử có độ dài dl và khối lượng dm:

dl = Rdϕ
dm = ρ dl = ρ Rdϕ

Vị trí khối tâm (G) cách tâm O:
1
xG =
m

xG =

α
2

α
2

1
∫α dm.R cos ϕ = m

−

2

R

R

α
2

∫α ρ .R

−

2

cos ϕ dϕ

Với:

ρ=

m
Rα

x

R

2

∫α α cos ϕ dϕ = α sin ϕ

−

2

G

O

α
2

−

α
2

=

2 R sin

α

α
2

(*)

Vì là đoạn dây nửa đường tròn bán kính R nên: α = π ⇒ sin

α
=1
2

Vậy từ (*) suy ra vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn:

xG =

2R
π

Bài 5: Xác định vị trí khối tâm của vật đồng chất, khối lượng

A

phân bố đều là bản hình quạt bán kính R, ·AOB = α .
Giải:

dr
dϕ
G

O

α/2

x

R
B


Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm (G) của bản hình quạt nằm trên trục Ox
(hình vẽ).
Xét phần tử αS (phần tô đen) giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính r và (r + dr) có
góc chắn cung là dϕ , ta có:
 ds = dl.dr = rdϕ .dr

 dm = ρ ds = ρ r.dr.dϕ
Vị trí khối tâm (G) cách tâm O:
R

xG =

α
2

1
1
dm. r cos ϕ = ∫ ρ r 2 dr. ∫ cos ϕ dϕ
∫
m
m0
α
−

2

Thực hiện phép tính tích phân ở (*) ta thu được: x =
G

1
2

Với: m = ρα R 2

(*)

4 R sin
3α

Vậy vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn: x =
G

α
2
4 R sin
3α

α
2

Bài 6: Xác định vị trí khối tâm của vật đồng chất, khối lượng phân bố đều là bản bán
nguyệt bán kính R.
Giải:
Do tính chất đối xứng nên khối tâm (G) của đoạn dây nằm trên trục Ox (hình).
Xét phần tử αS giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính r và
(r + dr) có góc chắn cung là dϕ Ta có:
 ds = dl.dr = rdϕ .dr

 dm = ρ ds = ρ r.dr.dϕ
Vị trí khối tâm (G) cách tâm O:

A
dr
dϕ

α

−

x
B

(*)

2

1
2
Với: m = ρα R
2

Thực hiện phép tính tích phân ở (*) ta thu được: x =
G
Vì là bản bán nguyệt bán kính R nên:

α/2

R

R

2
1
1
xG = ∫ dm. r cos ϕ = ∫ ρ r 2 dr. ∫ cos ϕ dϕ
m
m0
α

G

O

α = π ⇒ sin

4 R sin
3α

α
2

(**)

α
=1
2

xG =

Vậy từ (**)suy ra vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn:
x
a

4R
3π

Bài 7: Xác định toạ độ khối tâm của cung đường dây xích y = a.ch , − a ≤ x ≤ a .
Giải:


Vì đường cong đối xứng đối với trục Oy nên trọng tâm của nó nằm trên trục Oy, nghĩa

là xC = 0. Ta tìm tung độ yC .
Ta có

dy
x
= sh ; khi đó dL =
dx
a

(1 + sh 2

x
x
)dx = ch dx ; độ dài của cung
a
a

y
2

a

L=

∫

−a

a

x
 dy 
1 +   dx = 2 ∫ ch dx
a
 dx 
0

y=

xa
L = 2ash
= 2ash1
a0

b
x
a

b

Do đó:

0

a
H 1.16

a

yC =

a

1
x
1
x
ach 2 dx =
ch 2 dx
∫
∫
2ash1 −a
a
sh1 0
a
a

1 
2x 
1 
a 2x  a
yC =
1 + ch dx =
 x + sh 
∫
sh1 0 
a 
2 sh1 
2
a 0

yC =

a  1

1 + sh 2  ≈ 1,18a
2 sh1  2


Vậy toạ độ khối tâm của đường dây xích là (0; 1,18a).
2.3.2 Mômen quán tính của vật rắn đối với một trục cố định và một số bài toán
xác định mômen quán tính của vật rắn
a.Mômen quán tính của vật rắn
* Khái niệm
Vị trí khối tâm chưa đặc trưng hoàn toàn cho sự phân bố khối lượng của một hệ. Vì
vậy trong cơ học còn có một đặc trưng cho sự phân bố khối lượng là khái niệm
mômen quán tính.
Mômen quán tính của một vật thể đối với một trục là một đại lượng vô hướng bằng
tổng các tích khối lượng của tất cả các điểm thuộc vật thể với bình phương khoảng
cách từ các điểm tới trục đó.
mi ri 2
Biểu thức: I = ∑
i

2
Mômen quán tính có thể biểu thị dưới dạng : I = ∑ ρi ∆vi ri

Với: mi = ρi ∆vi


Với vật thể rắn đặc chứa các phần tử khối lượng gần như liên tục phép tính tổng

được thay bằng phép tính tích phân toàn bộ thể tích của vật thể.
I = ∫ r 2 dm = ∫ ρ r 2 dV
Khi đưa vào hệ trục toạ độ Oxy ta có:
I x = ∫ y 2 dm
I y = ∫ x 2 dm
I 0 = ∫ ( x 2 + y 2 ) dm

Đối với hệ toạ độ Oxyz thì:
I x = ∫ ( y 2 + z 2 )dm
I y = ∫ ( x 2 + z 2 )dm
I z = ∫ ( x 2 + y 2 )dm

b. Một số bài toán xác định mômen quán tính của một số vật rắn có hình dạng
khác nhau.
Δ

Bài 1: Xác định mômen quán tính của thanh đồng chất có khối
lượng m và có tiết diện nhỏ so với chiều dài l của nó, trục quay
Δ đi qua trung điểm của thanh và vuông góc với thanh (hình
1) :
Hình 1
Giải:
Chia thanh thành những phần khối lượng nhỏ dm, ta có:
dm = ρ dx
Với: ρ là khối lượng của mỗi đơn vị dài của thanh, dx là vi phân chiều dài của thanh
Mô men quán tính với thanh được xác định bởi:

l /2

l3

I = ρ ∫ x dx = ρ
3
− l /2

l /2

=

2

− l /2

1 3 1
ρ l = ml 2
12
12

Bài 2: Xác định mô men quán tính đối với đĩa tròn mỏng đồng chất có khối lượng m,
có bán kính R, trục quay Δ đi qua tâm đĩa tròn và vuông góc với mặt đĩa (hình 2) :
Giải:
Chia đĩa thành những phần khối lượng dm thỏa mãn:
dm = ρ dS = ρ dr.dl
Với dl = rdϕ
Suy ra: dm = ρ dS = ρ dr.r .d ϕ
Mô men quán tính của đĩa được xác định bởi:
R

2π

0

0

I = ∫ r 2 dm = ρ ∫ r 3dr ∫ dϕ =ρ
S

R4
1
1
.2π = ρπ R 2 . R 2 = mR 2
4
2
2

dl
dS
O

r

dr

Δ


Bài 3: Xác định mômen quán tính của một đĩa tròn phẳng đồng
chất nhưng đã bị khoét 2 lỗ tròn có bán kính bằng 1/2 bán kính đĩa.
r

Giải:

Lấy hai hình tròn đã khoét lấp vào hình tròn bị khoét ta sẽ
được một đĩa tròn đồng chất bán kính là R.
Trước hết ta tính mômen quán tính của đĩa tròn đồng chất bán kính R.
Ta chia đĩa tròn thành những phần tử hình vành khuyên bán kính x và rộng dx. Diện
tích của một phần tử là: dS = 2π xdx
Khối lượng của một phần tử là: dm = ρ dV = ρ dS = ρ h2π xdx
1
2

Và khối lượng của cả vật là: M = πρ hR 2 ⇒ I = MR 2
I O1 = I O1 =

1 2 1
R2 R2 1
mr = πρ h .
= πρ hR 4
2
2
4 4 32

Mômen quán tính của 2 đĩa tròn nhỏ đối với trục ∆ là:
I1 = I 2 =

1
R2 R2
3
πρ hR 4 + πρ h . = πρ hR 4
32
4 4 32

Mômen quán tính của đĩa tròn lớn đã bị khoét đối với trục ∆ là:

I k = I − ( I1 + I 2 ) = I − 2I1 =

5
5
πρ hR 4 = MR 2
16
16

Bài 4: Tính mômen quán tính của một vật hình quả cù bao gồm hình nón và nửa hình
cầu đối với trục là trục đối xứng của quả cù (trục Oy như hình H 2.26).

Chia vật thể thành 2 phần:
+ Phần 1 (hình nón)
+ Phần 2 (nửa khối cầu).
Ta xác định mômen quán tính đối với từng phần của vật.


- Phần1: chia hình nón thành những phần nhỏ có dạng là đĩa tròn đồng chất có bề dày
dh, khối lượng là: dm = π r 2 ρ dh
Mặt khác:

r
h
R
= →r = h
R H
H

Khi

mômen

đó

quán

tính

2

của

hình

nón

đối

với

trục

của

nó

là:

4

r
1
1
R
dm = π r 4 ρ .dh = πρ 4 h 4 dh
2
2
2
H
H
4 H
1
R
1
R4 1
1
→ I1 = ∫ dI1 = πρ 4 ∫ h 4 dh = πρ 4 H 5 = πρ R 4 H
2
H 0
2
H 5
10
0
dI1 =

Mặt khác ta có khối lượng của khối nón là:
1
m1 = π R 2 ρ H

3
3
Khi đó I1 = m1 R 2
10

Phần 2: ta biết mômen quán tính của khối cầu đối với trục quay đi qua khối tâm là
2
m2 R 2
5

1
5

2
. Từ đó ta suy ra mômen quán tính của nửa khối cầu sẽ là: I 2 = m2 R .

Vậy mômen quán tính của quả cầu là:

3
1
R2
2
2
I = I1 + I 2 = m1 R + m2 R =
(3m1 + 2m2 )
10
5
10
Gọi m = m1 + m2 là khối lượng của quả cầu, suy ra: 3m1 + 2m2 = m(2 +
Khi đó mô men quán tính của quả cầu: I =

H
)
H + 4R

R2
H
m(2 +
)
10
H + 4R

Nhận xét kết quả: Trong trò chơi đánh cù trong dân gian để quả cù quay được lâu thì
mômen quán tính I của nó càng lớn càng tốt. Với một khối lượng của quả cù không
đổi thì để I lớn thì R lớn.
2.3.3 Bài toán vận dụng định lý trục song song (huy ghen – steinor) để xác định
mô men quán tính của một vật có trục quay song song với trục đi qua khối tâm
của vật
a. Định lý trục song song (định lý Huyghen-Steiner)
Mômen quán tính I của một vật rắn đối với một trục bất kì bằng mômen quán tính
của vật đó đối với trục đi qua khối tâm C của vật và song song với trục đó cộng với
tích khối lượng M của vật với bình phương khoảng cách d giữa 2 trục đó.
Biểu thức định lý: I = I O + Ma 2
b. Một số bài toán vận dụng
Bài 1: Xác định mô men quán tính của thanh đồng chất khối lượng m chiều dài l đối
với trục quay đi qua một đầu của thanh và vuông góc với thanh. Biết mô men quán
tính đối với trục quay đi qua khối tâm là I G =

1
ml 2

12

Hướng dẫn:
Áp dụng định lý Huy ghen steno đối với trục quay song song với trục quay đi qua
khối tâm ta có:
I A = I G + m.a 2 =

1
l
1
ml 2 + m( ) 2 = ml 2
12
2
3


Bài 2: Xác định mô men quán tính của một đĩa tròn đồng chất khối lượng m bán kính
R đối với trục quay đi qua mép đĩa vuông góc với đĩa, biết mô men quán tính đối với
1
2

2
trục quay đi qua khối tâm của đĩa là I G = mR

Hướng dẫn:
Áp dụng định lý Huy ghen steno đối với trục quay song song với trục quay đi qua
khối tâm ta có:
I A = I G + m.a 2 =

1

3
mR 2 + mR 2 = mR 2
2
2

Bài 3: Xác định mô men quán tính của quả cầu đặc đồng chất khối lượng m bán kính
R đối với trục quay tiếp tuyến với quả cầu, biết mô men đối với trục quay đi qua tâm
2
5

quả cầu là I G = mR 2
Hướng dẫn:
Áp dụng định lý Huy ghen steno đối với trục quay song song với trục quay đi qua
khối tâm ta có:
I A = I G + m.a 2 =

2
7
mR 2 + mR 2 = mR 2
5
5

2.4. Hiệu quả của hoạt động.
Khi thực hiện giảng dạy trên lớp chuyển sang phần kiến thức về vật rắn, phần
kiến thức tương đối trừu tượng đối với học sinh. Một mâu thuẫn lớn đặt ra với học
sinh, các em đặt ra các câu hỏi: vậy giải bài toán về quy luật chuyển động hay đứng
yên hay chuyển động sẽ được giải quyết như thế nào? Bài toán điều kiện cân bằng hay
chuyển động của vật rắn so với chất điểm thì có chung kết quả hay không. Từ những
thắc mắc đó thông qua các bài tập, đặc biệt là các bài tập phần động học mà các em đã
gặp từ đầu năm học, đến đây đã được giải quyết một cách cụ thể và sâu sắc hơn.

Qua cách thức tiến hành theo kiểu giao việc thông qua bài tập lớn, học sinh đã chủ
động tìm tòi tiếp cận thông qua các tài liệu tham khảo và trợ giúp từ giáo viên đã tạo
ra hiệu quả hoạt động một cách tích cực nhất. Các nhóm được giao việc đã định hình
rõ hơn về bài toán về khối tâm và hiểu sâu sắc hơn về khối tâm của vật rắn, mô men
quán tính của vật rắn một công cụ trực tiếp trong việc giải quyết bài toán chuyển động
cũng như diều kiện cân bằng của vật rắn một cách tổng quát. Đây cũng là cơ sở để các
em tiếp cận với những bài toán phức tạp hơn trong chương trình vật lí THPT cũng như
chương trình vật lí ở bậc học cao hơn.
3. Kết luận và kiến nghị.
3.1 Kết luận vấn đề
Thông qua các bài tập chuyên đề dành cho học sinh, với cách thức tiến hành
hợp lí, đã giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về bài toán chuyển động.
Bước đầu hình thành trong tư duy của học sinh cách tổng quát hóa bài toán cơ học từ
cơ sở đó tạo ra trong các em cách tiếp cận vấn đề tổng quát hơn. Quá trình triển khai
tới lớp học sinh đã dược các em tiếp cận một các chủ động và kết quả đạt được như
mong muốn.
Vấn đề được tôi trình bày ở trên chỉ là một phần nhỏ về kiến thức, mặc dù vậy
nó đã góp phần không nhỏ trong việc giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức, tạo ra cho các
em động lực và niềm tin trong việc tiếp cận kiến thức vật lí cũng như các môn khoa
học nói chung. Do giới hạn trong khuôn khổ của chương trình học, cũng như yêu cầu
của một sáng kiến kinh nghiệm đưa ra trong thực tế giảng dạy. Tôi mạnh dạn trình bày
một kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong việc trợ giúp học sinh chủ động chiếm lĩnh


tri thức của bậc học, mong rằng kinh nghiệm đó là động lực cho học sinh từng bước
học tập để hoàn thiện dần kiến thức vật lí ở bậc học này.
3.2 Kiến nghị
Do kiến thức ở dạng tổng hợp của nhiều phần học, để học sinh tiếp cận có hiệu
quả bản thân tôi xây dựng ở dạng chuyên đề nhỏ dành cho học sinh, nhưng do hạn chế
về mặt thời gian nên mức độ vận dụng còn nhiều hạn chế. Trên cơ sở thực tế tôi đề

xuất trong khung chương trình nên dành một thời lượng thích hợp để bản thân mỗi
giáo viên và học sinh có thể tich cực chủ động hơn trong tiếp cận một chuyên đề
chuyên sâu trong mỗi năm học một cách chủ động nhất. Từ đó trong hoạt động dạy và
học thể hiện rõ được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của thầy và trò trong tiếp cận
chiếm linh tri thức.
Người thực hiện

Phạm Văn Tuân

Tài liệu tham khảo.
1. Giải toán vật lý 10 – Tập 1 – Bùi Quang Hân – NXB GD – năm 1998
2. Bài tập vật lý sơ cấp – Tập 1 – Vũ Thanh Khiết – NXB GD – năm 1999
3. 252 bài toán cơ học vật rắn – Nguyễn Anh Thi - NXB GD – năm 2008.
4. Lý luận dạy học Vật Lí ở trường phổ thông - Nguyễn Văn Khải, Nguyễn Duy
Chiến, Phạm Thị Mai - NXB Giáo Dục 2002