Luận văn Thạc sĩ - Chưa phân loại | Hanoi University of Science, VNU

THÔNG TIN VỀ LUẬN VĂN THẠC SĨ
1. Họ và tên học viên: Dư Thành Hưng
2. Giới tính: Nam
3. Ngày sinh: 08/11/1982
4. Nơi sinh: Hà Nội
5. Quyết định công nhận học viên số:

, ngày 2 tháng 11 năm 2007

6. Các thay đổi trong quá trình đào tạo: Không
7. Tên đề tài luận văn:
Về đa thức Jones của nút
8. Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

9. Mã số: 60 46 10

10. Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Vũ Thế Khôi – Viện Toán Học
11. Tóm tắt các kết quả của luận văn:
Lý thuyết nút là một lĩnh vực hấp dẫn của Tôpô, nghiên cứu các tính chất Tô pô của
các nút trong không gian ba chiều. Để phân loại các nút, các nhà toán học xây dựng
và sử dụng các bất biến của chúng: Hai nút không cùng một họ nếu như chúng có
một bất biến khác nhau. Cuối thế kỉ 19, nhà toán học Peter Tait đã đề xuất một giả
thuyết nhằm phân loại các nút thay phiên. Trong 80 năm tiếp theo, dù đã đạt được
nhiều thành tựu, các nhà Tôpô vẫn không thể chứng minh được giả thuyết này.
Năm 1984, một nhà toán học New Zealand là Vaughan Jones tìm ra một bất biến đa
thức của nút, ngày nay gọi là đa thức Jones. Jones tìm ra bất biến mang tên mình
dựa vào lý thuyết các Đại số toán tử và Lý thuyết biểu diễn nhóm bện. Ngay sau đó,
Kauffman tìm ra một cách xây dựng đa thức Jones rất sơ cấp. Bên cạnh hàng loạt
các ứng dụng khác nhau trong toán học và vật lý, đa thức Jones đã được sử dụng để
chứng minh thành công giả thuyết Tait. Với việc tìm ra đa thức mang tên mình,
Jones được trao huy chương Fields năm 1990.

Nội dung của luận văn này là đa thức Jones và giả thuyết Tait.
Luận văn bao gồm ba chương.
Chương thứ nhất chúng tôi trình bày ngắn gọn các khái niệm cơ bản của Lý
thuyết nút, tập trung vào khía cạnh tổ hợp nút và link. Ba kết quả đáng chú ý nhất
trong chương này là:


-

Mọi link đều có biểu đồ.

-

Định lý Reidemeister về sự đẳng luân của hai link có thể suy ra từ hai
biểu đồ bằng các phép biến đổi Reidemeister phù hợp.

-

Phần bù của biểu đồ luôn có thể tô màu kiểu bàn cờ.

Cuối chương là một mục nhỏ về đồ thị phẳng, là những thứ sẽ được sử dụng để
chứng minh giả thuyết Tait.

Nội dung chương hai là về đa thức Jones, đối tượng của luận văn. Chúng tôi
trình bày đa thức Jones dựa trên cách tiếp cận của Kauffman. Các tính chất cơ bản
của ngoặc Kauffman, đa thức Jones được trình bày và chứng minh chi tiết. Đa số
chúng đều khá sơ cấp. Kết quả đáng chú ý nhất là việc đa thức Jones thỏa mãn quan
hệ skein. Điều này dẫn đến việc ta có thêm một cách tính đa thức Jones, ngoài
phương pháp sử dụng ngoặc Kauffman. Các ví dụ tính toán được thực hiện một
cách cẩn thận. Cuối chương chúng tôi đưa ra ví dụ để thấy rằng đa thức Jones

không phải là bất biến nút hoàn hảo. Bài toán về khả năng phân biệt link tầm
thường của đa thức Jones cũng được nhắc tới, bao gồm kết quả khá mới của
Eliahou, Kauffman, và Thistlethwaite phát biểu như sau:
-

Tồn tại vô số các m-link định hướng (m>1) có đa thức Jones trùng với đa thức
Jones của m-link tầm thường.

Chương ba là một ứng dụng đẹp đẽ của đa thức Jones. Chúng tôi trình bày cái
cách mà đa thức Jones được áp dụng để giải quyết một giả thuyết do Tait đề xướng
từ cuối thế kỉ 19. Cụ thể, giả thuyết Tait phát biểu như sau:
-

Nếu nút K có một biểu đồ thay phiên với n điểm cắt, trong đó không điểm cắt
nào bỏ qua được, thì mọi biểu đồ của K đều có không ít hơn n điểm cắt (tức là
c(K) = n).

Sự thực, định lý chính trong chương này suy ra một kết luận mạnh hơn giả thuyết
Tait. Ngoài ra, hai hệ quả lý thú khác liên quan đến số điểm cắt của link thay phiên
cũng được trình bày.
12. Khả năng ứng dụng trong thực tiễn:


Hiện vẫn chưa biết đa thức Jones có ứng dụng thực tiễn gì. Chỉ biết đa thức
Jones có nhiều ứng dụng trong Lý thuyết trường lượng tử, cơ học thống kê, và Sinh
học phân tử. Gần đây nó cũng xuất hiện trong Khoa học máy tính, cụ thể là trong
bài toán P và NP.
13. Những hướng nghiên cứu tiếp theo:
Mối liên hệ của đa thức Jones với các bất biến khác nhau trong Lý thuyết nút
như đa thức Alexander, đa thức Conway, bất biến Arf, … . Vai trò của đa thức

Jones trong Tô pô ba chiều và Vật lý, đặc biệt là các bất biến lượng tử. Các sự tổng
quát hóa khác nhau của đa thức Jones như đa thức HOMFLY, đa thức Jones tô màu,
bất biến Jones-Witen, và đặc biệt là đối đồng điều Khovanov.
14. Các công trình đã công bố có liên quan đến luận văn: Không có.
Ngày 8

tháng

9

năm 2012

Học viên
(Kí và ghi rõ họ tên)


INFORMATION ON MASTER’THESIS
1. Full name: Du Thanh Hung

2. Sex: Male

3. Date of birth: 08/11/1982

4. Place of birth: Ha Noi

5. Admission decision number:

Dated: 02/11/2007.

6. Changes in academic process: No

7. Official thesis title: On the Jones polynomial of knots.
8. Major: Geometry and Topology

9.Code: 60 46 10

10. Supervisors: Dr. Vu The Khoi - Institute of Mathematics.
11. Summary of the finding of the thesis:
The theory of knots, which is one of the most fascinating chapters of topology,
studies topological properties of knots in the 3-dimensional space. In order to
classify knots, mathematicians used their invariants: Two knots are different if they
have one different invariant. In the late 19th century, the mathematician Peter Tait
made a conjecture to classify alternating knots. During 80 years later, topologists
hadn’t been able to prove the conjecture.
In 1984, a New Zealand mathematician whose name is Vaughan Jones
invented a polynomial invariant of knots which is nowadays called after his name.
He found out the polynomial invariant basing on the theory of operator algebras and
the representation theory of braid groups. Soon later, Kauffman found out an
elementary way of building Jones polynomial. Beside a lot of applications in
mathematics and physics, Jones polynomial was used to prove Tait conjecture.
Because of inventing the polynomial invariant, Jones was awarded Fields medal in
1990.

The main content of the thesis is Jones polynomial and Tait conjecture.

The thesis includes three chapters:
In the first chapter, we introduce shortly basic concepts of knot theory, focus
on combinatorial aspect of knots and links. The most important results are:
Ba kết quả đáng chú ý nhất trong chương này là:

-

Every link has a diagram.

-

The Reidemeister theorem which allow we use digrams to prove two given
links are isotopy

-

Complement of any diagram always can be coloured chessboarding.

The chapter is ended by a small section on planar graph, which will be used in the
prove of Tait conjecture.

The second chapter dicusses the Jones polynomial of oriented link, which
is the theme of this thesis. We introduce Jones polynomial depend on the
Kauffman’s approach. Properties of Kauffman bracket and Jones polynomial are
explained and proved detailedly. Almost they are rather elementary. The most
remarkable result in the chapter is the satisfying skein relation of Jones polynomial.
That thing led to a new jones polynomial calculating method which don’t use
Kauffman bracket. Calculations are done arefully. In the end of the chapter, we
provide examples to show that the Jones polynomial is not a complete invariant.
The question on the Jones polynomial’s unknot-detector ability is also mentioned,
include a rather new result of Eliahou, Kauffman, and Thistlethwaite which states
the following:
-

If m>1, then exist infinitely oriented m-link whose the same Jones polynomial

with the trivial m-link.

The third chapter is devoted a nice application of the Jones polynomial. e
describe the way that the Jones polynomial

is applied to solve a important

conjecture which is established by Tait in the end of 19th century. Concretely, Tait
conjecture states the following:
-

If a knot K has an alternating n-crossing diagram so that all crossings are not
removeble, then there is no diagram of K with less than n crossings (e.g c(K)
= n).

In fact, the main theorem in thí chapter let to a result stronger than Tait conjecture.
In addition, two interested consequences of that theorem, wich concern crossing
number of alternating link, are also provided.


12. Practical applicability:
Nowaday, we still have know nothing practical applicability of the Jones
polynomial. However, the polynomial was applied in many science areas, for
examples: Quantum field theory, statistic mechanics, molecular biology, etc.
Recently, the Jones polynomial was also applied in computer science.
13. Further research directions:
The relations between the Jones polynomial and the other invariants in knot theory.
The role of the invariant in 3-dimensional topology and quantum field theory. The
generalizations of the Jones polynomial. For examples: HOMFLY polynomial,
colored Jones polynomial, etc, and especially Khovanov cohomology.

14. Thesis-related publications: Nothing.
Date:
Signature:
Full name: