Luận văn Thạc sĩ - Chưa phân loại | Hanoi University of Science, VNU

THÔNG TIN VỀ LUẬN VĂN THẠC SĨ
1. Họ và tên học viên: Trịnh Hữu Trang

2. Giới tính: Nam

3. Ngày sinh: 23/11/1984

4. Nơi sinh: Nam Định

5. Quyết định công nhận học viên số:

, ngày 10 tháng 10 năm 2008

6. Các thay đổi trong quá trình đào tạo:
7. Tên đề tài luận văn:
ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
8. Chuyên ngành

Toán giải tích

9. Mã số: 60.46.01

10. Cán bộ hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Lê Dũng Mưu, Viện Toán học – Viện
KH&CNVN.
11. Tóm tắt các kết quả của luận văn:
Luận văn đề cập đến định lý tách các tập lồi và một số ứng dụng của định lý
này trong tối ưu hóa. Nội dung luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 “Các khái niệm cơ bản” trình bày một số kiến thức cơ sở của tập
lồi và hàm lồi như: tổ hợp lồi, tập affin, tập lồi đa diện, nón lồi, hàm lồi và những
tính chất liên quan. Chúng là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu
được trình bày trong luận văn.

Chương 2 “Định lý tách các tập lồi” trình bày và chứng minh nội dung hai
định lý tách và các hệ quả.
Định lý tách 1: Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong Rn sao cho C  D   .
Khi đó có một siêu phẳng tách C và D .
Định lý tách 2: Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho C  D   . Giả
sử có ít nhất một tập là com-pắc. Khi đó hai tập này có thể tách mạnh được bởi một
siêu phẳng.
Bên cạnh đó, tác giả cũng đưa ra một số ví dụ minh họa.
Chương 3 “Một số ứng dụng của định lý tách” trình bày các ứng dụng của
hai định lý tách. Cụ thể là:
- Chứng minh các điều kiện tối ưu của bài toán (OP):


Bài toán (OP) Tìm cực tiểu của một hàm lồi trên một tập lồi có dạng sau
min f  x  với các điều kiện
g i  x   0, i  1,..., m ,
h j  x   0, j  1,..., k
x X

Trong đó X  R n là một tập lồi đóng khác rỗng và f , g i  i  1,..., m  là các hàm lồi
hữu hạn trên X , còn h j

 j  1,..., k  là các hàm a-phin hữu hạn trên tập a-phin của

X

- Tìm điều kiện cần và đủ để hệ bất đẳng thức lồi có nghiệm
Giả sử f 0 , f1 ,..., f m là các hàm lồi hữu hạn trên tập lồi D   . Khi đó, hệ
x  D, fi  x   0, i  0,1,..., m

(3.2)

không có nghiệm, khi và chỉ khi tồn tại các số i  0  i  0,1,..., m  không đồng thời
bằng 0 sao cho
m

  f  x  0
i i

x  D .

i 0

Ngoài ra, nếu có điều kiện chính quy Slater: tồn tại x 0  D, f i  x0   0 với mọi
i  1,..., m thì 0  0 .

- Chứng minh bổ đề làm cơ sở cho định lý về sự xấp xỉ một hàm lồi bởi các hàm
non a-phin:
Cho f là một hàm lồi đóng, chính thường trên R n . Khi đó với mọi điểm

 x , t   epif , đều tồn tại   R ,  R
0

0

n

sao cho

 T x  f  x      T x 0  t 0 x  dom f .

- Chứng minh sự tồn tại của dưới vi phân của hàm f trong trường hợp f lồi
Cho f : R n  R   lồi, chính thường. Khi đó:


(i) Nếu x  domf , thì f  x    .
(ii) Nếu x  int  domf  thì f  x    , com-pắc, thì x  ri  domf  .
- Vô hướng hóa các bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi.

(i) Cho   0  R p . Khi đó mọi nghiệm cực tiểu toàn cục của bài toán
min  T F  x  : x  D  R n 

 P  

đều là nghiệm Pareto của bài toán VP  .
(ii) Cho 0    0  R p . Khi đó mọi nghiệm cực tiểu toàn cục của bài toán
min  T F  x  : x  D  R n 

 P  

đều là nghiệm Pareto yếu của bài toán VP  .
12. Khả năng ứng dụng trong thực tiễn:
13. Những hướng nghiên cứu tiếp theo:
Ứng dụng của định lý tách trong không gian vô hạn chiều.
Tìm phiếm hàm tách hai tập trong không gian cho trước.
14. Các công trình đã công bố có liên quan đến luận văn:
Le Dung Muu, Vector (multiple objective) optimization Theory, Methods and
Applications,University ò Nmur, Belgium 2007.
Le Dung Muu, Introduction to Optimization Methods (in Vietnamese) Hanoi
Scientific Publishers 1998

Le Dung Muu, (with N. V. Quy) Method for finding global optimal solution
to linear programs with equilibrium constraints. Institute of Mathematics, preprint
38/2000. Acta Mathematica Vietnamica (accepted)
Ngày

tháng

năm 2012

Học viên

Trịnh Hữu Trang


INFORMATION ON MASTER’THESIS
1. Full name: Trịnh Hữu Trang

2. Sex: male

3. Date of birth: 23/11/7984

4. Place of birth: Nam Định

5. Admission decision number:

Dated 10/10/2008

6. Changes in academic process:
7. Official thesis title:
SEPARATION THEOREMS AND SOME APPLICATIONS

8. Major: Ananytic mathematics

9. Code: 60.46.01

10. Supervisors: P. PhD. Le Dung Muu, Institute of Mathematics
11. Summary of the finding of the thesis:
My thesis is concerned with separation theorems and its applications to
optimization. The thesis consist includes three chapters:
Chapter 1 “The basic concepts” " is designed to present the fundamental concept of
convex set, convex function as: convex combination, affine sets, polyhedral convex
sets, convex cone, convex function and related properties. These concepts are the
basic tool to researchs that are stated on the thesis.
Chapter 2 “Separation theorems” state and prove two separation theorems and
corrolarys.
First separation theorem: Let C and D be two disjoint nonempty convex sets. Then,
There exists a hyperplane separating C and D.
Second separation theorem: Two disjoint nonempty closed convex sets C, D in Rn
such that either C or D is compact can be strongly separated by a hyperplane.
Besides, the author present examples which are illustrated.
Chapter 3 “Some applications of separation theorems” is design some applications
of separation of theorems.
- Prove optimal conditions of (OP) problem.
(OP) problem: Find minimum of a convex function on set:


min f  x  với các điều kiện
g i  x   0, i  1,..., m ,
h j  x   0, j  1,..., k
x X

In particular, X  R n is a nonempty closed convex set and f , g i  i  1,..., m  are
finite convex functions on X, and h j

 j  1,..., k  are finite affine functions on affine

set of X.
- Find necessary and sufficient conditions for the existence solution of system of
convex inqualyties.
Let f 0 , f1 ,..., f m be finite convex functions on nonempty convex set D. Then, system
of inqualities x  D, f i  x   0, i  0,1,..., m have no solution if only if there exists
numbers i  0  i  0,1,..., m  , one of them isn’t equal to zero, such that
 T x  f  x      T x 0  t 0 x  dom f

- Prove the lema which is basic of approximation function by affine functions
theorem.
Let f

be a proper closed convex function on R n . Then, for every point

 x , t   epif , there exists   R ,  R
0

0

n

such that

 T x  f  x      T x 0  t 0 x  dom f

- Prove the existence of subdifferential of convex function f .
Let f : R n  R   be a proper convex function. Then
(i) If x  domf then f  x    .
(ii) If x  int  domf  then f  x    , com-p c, then x  ri  domf  .
- Scalarization vector optimization problems
(i) Let   0  R p . Then every global minimal solution of the one objective problem


min  T F  x  : x  D  R n 

is a global Pareto optimal solution to (VP) problem.

(ii) Let 0    0  R p . Then every global minimal solution of the one-objective
problem
min  T F  x  : x  D  R n 

Is a global weakly Pareto optimal solution to (VP)
12. Practical applicability:
13. Further research directions:
Application of separation theorems to infinite dimensions space.
Find functional separation two sets.
14. Thesis-related publications:
Le Dung Muu, Vector (multiple objective) optimization Theory, Methods and
Applications,University ò Nmur, Belgium 2007.
Le Dung Muu, Introduction to Optimization Methods (in Vietnamese) Hanoi
Scientific Publishers 1998
Le Dung Muu, (with N. V. Quy) Method for finding global optimal solution
to linear programs with equilibrium constraints. Institute of Mathematics, preprint
38/2000. Acta Mathematica Vietnamica (accepted)

Date:

/

/2012

Signature:

Trịnh Hữu Trang