58 c u tr c nghi m HAI NG TH NG VU NG G C File word c h ng d n gi i

TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Câu 66: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và DH ?
A. 45
B. 90
C. 120
D. 60
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
AB  AE 
  AB  DH   AB, DH   90
AE // DH 
Câu 67: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song
với c (hoặc b trùng với c ).
B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song
với c .
C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.
D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu 68: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC ' D ' có chung cạnh AB và nằm trong
hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O ' . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB
và OO ' ?
A. 60

B. 45

C. 120
Hướng dẫn giải:

D. 90

Chọn D.
Vì ABCD và ABC ' D ' là hình vuông nên AD // BC '; AD  BC '  ADBC ' là hình bình hành
Mà O; O ' là tâm của 2 hình vuông nên O; O ' là trung điểm của BD và AC '  OO ' là đường
trung bình của ADBC '  OO ' // AD
Mặt khác, AD  AB nên OO '  AB   OO ', AB   90o
Câu 69: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và BAC  BAD  600 , CAD  900 . Gọi I và J lần
lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ và CD ?
A. 45
B. 90
C. 60
D. 120
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có BAC và BAD là 2 tam giác đều, I là trung điểm của AB nên CI  DI (2 đường trung
tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh AB ) nên CID là tam giác cân ở I . Do đó IJ  CD.
Câu 70: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b.
B. Nếu a // b và c  a thì c  b.
C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b .
D. Nếu a và b cùng nằm trong mp   // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

1|

TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Câu 71: Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và ASB  BSC  CSA . Hãy xác định góc giữa cặp
vectơ SB và AC ?
A. 60 .

B. 120 .

C. 45 .
Hướng dẫn.

D. 90 .

Chọn D.
Ta có: SAB  SBC  SCA  c  g  c   AB  BC  CA .
Do đótam giác ABC đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC .
Vì hình chóp S . ABC có SA  SB  SC
S
nên hình chiếu của S trùng với G
Hay SG   ABC  .

 AC  BG
Ta có: 
 AC   SBG 
 AC  SG
Suy ra AC  SB .

A

C

Vậy góc giữa cặp vectơ SB và AC bằng 90 .
0

G
Câu 72: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD . Mặt phẳng  P  song song với AB và CD
lần lượt cắt BC , DB, AD, AC tại M , N , P, Q . Tứ giác MNPQ
là hình gì?
B
A. Hình thang.
B. Hình bình hành.
C. Hình chữ nhật.
D. Tứ giác không phải là hình thang.
A
Hướng dẫn
Chọn C.
 MNPQ  //AB
 MQ //AB.
Ta có: 
 MNPQ    ABC   MQ
Tương tự ta có: MN //CD, NP //AB, QP //CD .

P
Q
B

D

N

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
M

lại có MN  MQ  do AB  CD  .
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

C

Câu 73: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai
mặt phẳng khác nhau. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , CB, BC  và
CA . Tứ giác MNPQ là hình gì?
A. Hình bình hành.

B. Hình chữ nhật.
C. Hình vuông.
Hướng dẫn

D. Hình thang.

Chọn B.
Vì M , N , P, Q nên dễ thấy tứ giác MNPQ là hình bhình hành.

C'

Gọi H là trung điểm của AB .

CH  AB
Vì hai tam giác ABC và ABC nên 
C H  AB
Suy ra AB   CHC   . Do đó AB  CC .

 PQ //AB

Ta có:  PN //CC   PQ  PN .
 AB  CC 


Q

P

A
H

M

C

N
B

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

2|

TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Câu 74: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và BAC  BAD  600 , CAD  900 . Gọi I và J lần lượt
là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và IJ ?
A. 120 .
B. 90 .
C. 60 .
D. 45 .
Hướng dẫn
Chọn B.
A
Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD .
1
Ta có: IJ  IC  ID
2
I
Vì tam giác ABC có AB  AC và BAC  60
Nên tam giác ABC đều. Suy ra: CI  AB
Tương tự ta có tam giác ABD đều nên DI  AB .
B
1
1
1
Xét IJ . AB  IC  ID . AB  IC. AB  ID. AB  0 .
2
2
2

J
0
Suy ra IJ  AB . Hay góc giữa cặp vectơ AB và IJ bằng 90 .







D



C

Câu 75: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn khẳng định đúng?

A. AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  BD 2  CD 2  3  GA2  GB 2  GC 2  GD 2  .
B. AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  BD 2  CD 2  4  GA2  GB 2  GC 2  GD 2  .
C. AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  BD 2  CD 2  6  GA2  GB 2  GC 2  GD 2  .
D. AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  BD 2  CD 2  2  GA2  GB 2  GC 2  GD 2  .
Hướng dẫn
Chọn B.
AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  BD 2  CD 2



 
2

   AG  GD    BG  GC    BG  GD   CG  GD 
 3DG  2  AG.GB  AG.GC  AG.GD  BG.GD  BG.GD  CG.GD  1

 AG  GB  AG  GC
 3 AG 2  3BG 2  3CG 2

2

2

2

2

2

2

A

Lại có:

GA  GB  GC  GD   0
 GA2  GB 2  GC 2  GD2



I
G



 2 AG.GB  AG.GC  AG.GD  BG.GD  BG.GD  CG.GD  2 

B

D
J

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
C

Câu 76: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là?
C
A. 120 .
B. 60 .
C. 90 .
D. 30 .
Hướng dẫn
Chọn C.
Gọi I là trung điểm của AB
Vì ABC và ABD là các tam giác đều
A
D
CI  AB
Nên 
.
I
 DI  AB

B
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

3|


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Suy ra AB   CID   AB  CD .
Câu 77: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn.
B. Tứ diện có ít nhất hai mặt là tam giác nhọn.
C. Tứ diện có ít nhất ba mặt là tam giác nhọn.
D. Tứ diện có cả bốn mặt là tam giác nhọn.
Hướng dẫn
Chọn A.
Câu 78: Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của
SC và BC . Số đo của góc  IJ , CD  bằng:
A. 90 .

B. 45 .

C. 30 .
Hướng dẫn

D. 60 .

S

Chọn D.
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD .
Ta có: OJ //CD .
Nên góc giữa IJ và CD bằng góc giữa I J và OJ .

I

Xét tam giác IOJ có
1
a
1
a
1
a
SB  , OJ  CD  , IO  SA  .
2
2
2
2
2
2
Nên tam giác IOJ đều.

A

IJ 

O

B

Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa I J và OJ

D

K

C

J

bằng góc IJO  600 .
Câu 79: Cho hình hộp ABCD. ABCD . Giả sử tam giác ABC và ADC đều có 3 góc nhọn. Góc
giữa hai đường thẳng AC và AD là góc nào sau đây?
A. ABC .

B. DAC  .

C. BBD .
Hướng dẫn

Chọn B.
Ta có: AC //AC nên góc giữa hai đường thẳng AC và AD
là góc giữa hai đường thẳng AC và AD
bằng góc nhọn DAC  (Vì tam giác ADC đều có 3 góc nhọn

D. BDB .

A'

D'
C'

B'

D

A
B

C
A

Câu 80: Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:
A. 60 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 45 .
Hướng dẫn
Chọn C.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .
B
Vì tứ diện ABCD đều nên AG   BCD  .

D

G

C
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

4|


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

CD  AG
Ta có: 
 CD   ABG   CD  AB .
CD  BG
Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90 0
Câu 81: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?
A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì
cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
B. Trong không gian , hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì
song song với nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Theo lý thuyết.
Câu 82: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc. Cắt tứ diện đó bằng một mặt phẳng song
song với một cặp cạnh đối diện của tứ diện. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Thiết diện là hình chữ nhật.
B. Thiết diện là hình vuông.

C. Thiết diện là hình bình hành.
D. Thiết diện là hình thang.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gỉa sử thiết diện là tứ giác MNPQ .
Ta có: MN //PQ và MN  PQ nên MNPQ là hình bình
Lại có AC  BD  MQ  PQ
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

A

hành
Q

M

B

D
P

N

C

Câu 83: Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu AB. AC  . AC. AD  AD. AB thì AB  CD ,
AC  BD , AD  BC . Điều ngược lại đúng không?
Sau đây là lời giải:
Bước 1:

AB. AC  . AC. AD  AC.( AB  AD)  0  AC.DB  0  AC  BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC. AD  AD. AB ta được AD  BC và AB. AC  AD. AB
ta được AB  CD .
Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương
đương.
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?
A. Sai ở bước 3.
B. Đúng
C. Sai ở bước 2.

D. Sai ở bước 1.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Bài giải đúng.
Câu 84: Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và ASB  BSC  CSA . Hãy xác định góc giữa cặp
vectơ SC và AB ?
A. 120

B. 45

C. 60

D. 90

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

5|


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC



S



Ta có: SC. AB  SC. SB  SA  SC.SB  SC.SA

 SA.SB cos BSC  SC.SA.cos ASC  0
Vì SA  SB  SC và BSC  ASC
Do đó: SC, AB  900





C

A

B
Câu 85: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh

bên đều bằng
a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc  MN , SC  bằng:

A. 45

B. 30

C. 90

D. 60

Hướng dẫn giải:

S

Chọn C.
Ta có: AC  a 2
 AC 2  2a 2  SA2  SC 2
 SAC vuông tại S .
1
Khi đó: NM .SC  SA.SC  0  NM , SC  90
2
  MN , SC   90



N



C
B

A

D

M

Câu 86: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 . Chọn khẳng định sai?
A. Góc giữa AC và B1D1 bằng 90 .
C. Góc giữa AD và B1C bằng 45 .

B. Góc giữa B1D1 và AA1 bằng 60 .
D. Góc giữa BD và A1C1 bằng 90 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.



Ta có: AA1.B1D1  BB1.BD  BB1. BA  BC





A1



B1

C1

 BB1.BA  BB1.BC  0





(vì BB1 , BA  900 và BB1 , BC  900 )



D1



A

Do đó: AA1 , B1D1  900   AA1 , B1D1   900

D

B

C

Câu 87: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 có cạnh a . Gọi M là trung điểm AD . Giá trị B1M .BD1

là:
A.

1 2
a .
2

B. a 2 .

C.

3 2
a .
4

D.

3 2
a .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn A.



Ta có: B1M .BD1  B1B  BA  AM

 BA  AD  DD 

A1

1

2

D1

 B1 B.DD1  BA  AM . AD
 a 2  a 2 

a2
2

C1

M

a2

2

D

B1

A

B

C

Câu 88: Cho hình hộp ABCD. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau,
mệnh đề nào có thể sai?
A. AC  BD
B. BB  BD
C. AB  DC
D. BC  AD

Hướng dẫn giải:
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

6|


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11
Chọn B.

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC





Ta có: BB.BD  BB. BA  BC  BB.BA  BB.BC



 BB.BA cosBBA  cosBBC



Vì AABB và ABCD là hai hình thoi bằng nhau nên
+ BBA  BBC  BB.BD  0 suy ra BB không vuông góc với BD
+ BBA  BBC  1800  cosBBA  cosBBC  BB.BD  0 suy ra BB  BD
Nên đáp án B có thể sai vì chưa có điều kiện của góc BBA và BBC
Câu 89: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường
thẳng c thì a vuông góc với c
B. Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d
vuông góc với a thì d song song với b hoặc c
C. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường
thẳng c thì a vuông góc với c
D. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì
c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng  a , b  .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 90: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG ?
A. 90
B. 60
C. 45
D. 120

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: EG //AC (do ACGE là hình chữ nhật)
 AB, EG  AB, AC  BAC  45



 

E

H

F

G



A

D

B

C

Câu 91: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm CD ,  là góc giữa AC và BM .
Chọn khẳng định đúng?
1
3
C. cos  
6
3
Hướng dẫn giải:

3
4

A. cos  

B. cos  

D.   600

Chọn C.
Gọi O là trọng tâm của BCD  AO   BCD 

A

Trên đường thẳng d qua C và song song BM lấy điểm N
sao cho BMCN là hình chữ nhật, từ đó suy ra:

 AC, BM    AC, CN    ACN   

Có: CN  BM 

3
a
a và BN  CN 
2
2
2

2
 2

AO  AB  BO  AB   BM   a 2
3
 3
2

2

2

ON 2  BN 2  BO 2 

B

D

d

O

N

M
C

2

5
AC 2  CN 2  AN 2
3
7 2

a  cos  

a ; AN  AO 2  ON 2 
2
2 AC.CN
6
12

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

7|


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Câu 92: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC ' có chung cạnh AB và nằm trong hai
mặt phẳng khác nhau. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC '
và C ' A . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và CC ' ?
A. 450
B. 1200
C. 600
Hướng dẫn giải:
C
Chọn C.
Gọi I là trung điểm CC 
CAC cân tại A  CC   AI (1)
CBC cân tại B  CC   BI (2)

D. 900
I

C'

M

Q
A

N


 CC    AIB   CC   AB  CC   AB

P

(1),(2)

Kết luận: góc giữa CC  và AB là 90
B

Câu 93: Cho a  3, b  5 góc giữa a và b bằng 120 .
Chọn khẳng định sai trong các khẳng đính sau?
A. a  b  19

B. a  b  7

C. a  2b  139

D. a  2b  9

Hướng dẫn giải
Chọn A.

 

2

2

2

 

2

Ta có: a  b  a 2  b 2  2a.b .cos a , b  19 a  b  a  b  2a.b.cos a,b  19
Câu 94: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AF và EG ?
A. 90
B. 60
C. 45
D. 120
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Đặt cạnh của hình lập phương trên là a
H
Gọi I là giao trung điểm EG
I
Qua A kẻ đường thẳng d //FI

Qua I kẻ đường thẳng d //FA
E
Suy ra d cắt d  tại J .





Từ đó suy ra EG, AF  EIJ  

F

D

C

d

IJ  AF  2 EI  2 FI  2 AJ  a 2
3
EJ 2  AE 2  AJ 2 
2
cos  

G

d'

J
A

B

EI 2  IJ 2  AJ 2 1
    60
2.EI .EJ
2

Câu 95: Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng?
A. 2 AB. AC  AB 2  AC 2  BC 2
C. AB. AC  AB 2  AC 2  2 BC 2

B. 2 AB. AC  AB 2  AC 2  2 BC 2
D. AB. AC  AB 2  AC 2  BC 2
Hướng dẫn giải

Chọn A.
BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos  AB, AC   AB 2  AC 2  2. AB. AC

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

8|


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Câu 96: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG
B. a 2

A. a 2 3 .

C.

a2 2
2

D. a 2 2

Hướng dẫn giải.
Chọn B.
Ta có AB.EG  AB. AC , mặt khác AC  AB  AD .
Suy ra





AB.EG  AB. AC  AB AB  AD  AB 2  AB. AD  a 2

Câu 97: Cho tứ diện ABCD có AB  a, BD  3a . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc
với BD . Tính MN
A. MN 

a 6
3

B. MN 

a 10
2a 3
C. MN 
2
3
Hướng dẫn giải

D. MN 

3a 2
2

Chọn B.
Kẻ NP //AC  P  AB  , nối MP .
1
a
AC  .
2
2
1
3a
.
MP là đường trung bình ABD  PM  BD 
2
2

NP là đường trung bình ABC  PN 

Lại

có

 AC , BD    PN , PM   NPM  90

suy

ra

 MNP vuông tại P .
Vậy MN  PN 2  PM 2 

a 10
.
2

Câu 98: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả
ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng
B. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm
trong một mặt phẳng thì đồng quy
C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho
trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng
D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi d1 , d 2 , d 3 là 3 đường thẳng cắt nhau từng đôi một. Giả sử d1 , d 2 cắt nhau tại A , vì d 3
không nằm cùng mặt phẳng với d1 , d 2 mà d 3 cắt d1 , d 2 nên d 3 phải đi qua A . Thật vậy giả
sử d 3 không đi qua A thì nó phải cắt d1 , d 2 tại hai điểm B , C điều này là vô lí, một đường
thẳng không thể cắt một mặt phẳng tại hai điểm phân biệt.

Câu 99: Cho tứ diện ABCD trong đó AB  6 , CD  3 , góc giữa AB và CD là 60 và điểm M trên
BC sao cho BM  2MC . Mặt phẳng  P  qua M song song với AB và CD cắt BD , AD ,

AC lần lượt tại M , N , Q . Diện tích MNPQ bằng:
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

9|


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11
A. 2 2

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC
C. 2 3

B. 2

D.

3
2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Thiết diện MNPQ là hình bình hành.
Ta có  AB, CD    QM , MP   QMP  60 .
Suy ra SMPNQ  QN .QN .sin 60 .
Lại có
CM MO 1


  MQ  2
AB
AB 3
AQ QN 2
AQN # ACD 

  QN  2
AC CD 3

CMQ # CBA 

Do đó S MPNQ  QM .QN .sin 60  2.2.sin 60  2 3 .
Câu 100: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD ,
AB  4, CD  6 . M là điểm thuộc cạnh BC sao cho

MC  2BM . Mặt phẳng  P  đi qua M song song với AB và CD . Diện tích thiết diện của

 P

với tứ diện là?

A. 5

B. 6

C.

17
3

D.

16
3

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có  AB, CD    MN , MQ   NMQ  90 .
Suy ra thiết diện MNPQ là hình chữ nhật.
Lại có:
CM MN 1
4

  MN 
CB
AB 3
3
AN NP 2
ANP # ACD 

  MP  4
AC CD 3
16
Suy ra S MNPQ  MN .NP 
.
3
CMN # CBA 

Câu 101: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và BAC  BAD  600 . Hãy xác định góc giữa cặp
vectơ AB và CD ?

A. 60 .

B. 45 .

C. 120 .

D. 90 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có



A



AB.CD  AB. AD  AC  AB. AD  AB. AC
 AB. AD.cos 600  AB. AC.cos 600  0





 AB, CD  900

D

B

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

C

10 |


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Câu 102: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 . Góc giữa AC và DA1 là
A. 45 .

C. 60 .

B. 90 .

D. 120 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
C

B

Vì A ' C ' //AC nên góc giữa AC và DA1 là DA1C1 .
A

D

Vì tam giác DA1C1 đều nên DA1C1  60 .
0

Vậy góc giữa AC và DA1 bằng 600 .

C1

B1
A1

D1

Câu 103: Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và ASB  BSC  CSA . Hãy xác định góc giữa cặp
vectơ SA và BC ?
A. 120 .

B. 90 .

C. 60 .

D. 45 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có

S





SA.BC  SA. SC  SB  SA.SC  SA.SB
 SA.SC.cos ASC  SA.SB.cos ASB  0



C

A



 SA, BC  900

B

Câu 104: Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos  AB, DM  bằng
A.

2
.
2

B.

3
.

6

C.

1
.
2

D.

3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Giả sử cạnh của tứ diện là a .





Ta có cos AB, DM 

AB.DM
AB . DM

A



AB.DM
a 3
a.
2

D

B
M
C

Mặt khác





AB.DM  AB AM  AD  AB. AM  AB. AD  AB. AM .cos 300  AB. AD.cos 600
 a.

a 3 3
1 3a 2 a 2 a 2
.
 a.a. 

 .
2
2
2

4
2
4





Do có cos AB, DM 

3
3
. Suy ra cos  AB, DM  
.
6
6

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

11 |


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Câu 105: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , AB  CD  6 . M là điểm thuộc cạnh BC sao
cho MC  x.BC  0  x  1 . mp  P  song song với AB và CD lần lượt cắt BC , DB, AD, AC
tại M , N , P, Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu ?
A. 9 .

C. 10 .

B. 11 .

D. 8 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

 MQ //NP //AB
Xét tứ giác MNPQ có 
 MN //PQ //CD

A
P

 MNPQ là hình bình hành.
Q

Mặt khác, AB  CD  MQ  MN .
B

D

N

Do đó, MNPQ là hình chữ nhật.
M

MQ CM
Vì MQ //AB nên

 x  MQ  x. AB  6 x .
AB CB

C

Theo giả thiết MC  x.BC  BM  1  x  BC .
Vì MN //CD nên

MN BM

 1  x  MN  1  x  .CD  6 1  x  .
CD BC

Diên tích hình chữ nhật MNPQ là
2

SMNPQ

 x 1 x 
 MN .MQ  6 1  x  .6 x  36.x. 1  x   36 
 9 .
2 


Ta có SMNPQ  9 khi x  1  x  x 

1

2

Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC .
Câu 106: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Góc
giữa AO và CD bằng bao nhiêu ?
A. 0 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 60 .
Hướng dẫn giải

A

Chọn C.





Ta có AO.CD  CO  CA CD
B

 CO.CD  CA.CD  CO.CD.cos 30  CA.CD.cos 60
0



D

0

a 3
3
1 a2 a2
.a.
 a.a. 

 0.
3
2
2 2
2

O

C

Suy ra AO  CD .
Câu 107: Cho tứ diện ABCD có AB  CD . Gọi I , J , E , F lần lượt là trung điểm của AC , BC , BD, AD .
Góc  IE , JF  bằng
A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .

D. 90 .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

12 |


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Tứ giác IJEF là hình bình hành.

A

1

IJ

AB

2
Mặt khác 
mà AB  CD nên IJ  JE .
1
 JE  CD

2

Do đó IJEF là hình thoi.

F

I
B

D

E
J

Suy ra  IE , JF   900 .

C

Câu 108: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường
thẳng c thì a vuông góc với c .
C. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b . Nếu đường thẳng c vuông góc với a và b thì a ,
b , c không đồng phẳng.
D. Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu a vuông góc với c thì b cũng vuông góc với c .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.
Câu 109: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với
đường thẳng còn lại.
B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với
đường thẳng kiA.
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.
Câu 110: Cho tứ diện ABCD với AC 

3
AD, CAB  DAB  600 , CD  AD . Gọi  là góc giữa AB và
2

CD . Chọn khẳng định đúng ?
3
A. cos  .
B.   60 .
4

C.   30 .

D. cos 

1
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn D.





Ta có cos AB, CD 

Mặt khác

AB.CD
AB . CD



A

AB.CD
AB.CD

D

B

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
C

13 |


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11



HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC



AB.CD  AB AD  AC  AB. AD  AB. AC
 AB. AD.cos 600  AB. AC.cos 600
1
3
1
1
1
 AB. AD.  AB. AD.   AB. AD   AB.CD.
2
2
2
4
4

1
 AB.CD
1
1
Do có cos AB, CD  4
  . Suy ra cos   .
4
AB.CD
4





Câu 111: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC D có chung cạnh AB và nằm trong hai
mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O . Tứ giác CDDC là hình gì?

A. Hình bình hành.
B. Hình vuông.
C. Hình thang.
D. Hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tứ giác CDD ' C ' là hình bình hành. Lại có: DC   ADD '  DC  DD '.
Vậy tứ giác CDD ' C ' là hình chữ nhật.
a 3
( I , J lần lượt là trung điểm của BC và AD ).
2
Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
Hướng dẫn giải
Chọn C.

Câu 112: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a, IJ=

Gọi M là trung điểm của AC.

A

Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai
đường thẳng MI và MJ.
Tính được: cos IMJ 

IM 2  MJ 2  IJ 2

1

2MI .MJ
2

J

M

B

Từ đó suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD
là: 600.

D

I

Câu 113: Cho tứ diện ABCD với AB  AC , AB  BD . Gọi
P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD . Góc giữa PQ và AB là?

A. 90

B. 60

C. 30
Hướng dẫn giải

D. 45

Chọn A.
AB.PQ  AB  PQ

Câu 114: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  4; b  3; a  b  4 . Gọi  là góc giữa hai vectơ a, b . Chọn
khẳng định đúng?
3
A. cos   .
8

1
C. cos   .
3
Hướng dẫn giải

B.   30 .

D.   60 .

Chọn A.
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

14 |


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

2
2

9
(a  b)2  a  b  2a.b  a.b  .
2

Do đó: cos 

a.b

3
 .
a.b 8

Câu 115: Cho tứ diện ABCD . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: AB.CD  AC.DB  AD.BC  k
A. k  1.
B. k  2.
C. k  0.
D. k  4.
Hướng dẫn giải
Chọn C.





AB.CD  AC.DB  AD.BC  AC  CB .CD  AC.DB  AD.CB









 AC CD  DB  CB CD  AD  AC.CB  CB. AC  0.
Câu 116: Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G . Chọn hệ thức đúng?
A. AB 2  AC 2  BC 2  2  GA2  GB 2  GC 2  .
B. AB 2  AC 2  BC 2  GA2  GB 2  GC 2 .

C. AB 2  AC 2  BC 2  4  GA2  GB 2  GC 2  .
D. AB 2  AC 2  BC 2  3  GA2  GB 2  GC 2  .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Cách 1
Ta có

GA  GB  GC 

2

0

 GA2  GB 2  GC 2  2GA.GB  2GA.GC  2GB.GC  0
 GA2  GB 2  GC 2   GA2  GB 2  AB 2    GA2  GC 2  AC 2    GB 2  GC 2  BC 2   0
 AB 2  AC 2  BC 2  3  GA2  GB 2  GC 2 

Cách 2: Ta có:
MA
GA

AB 2

2

AC 2

BC 2
4

2
2
MA
3

GA2

4 AB 2 AC 2
9
2

BC 2
.
4

Tương tự ta suy ra được

GA

2

GB

1
AB 2
3
3 GA2

2

GC

2

4 AB 2 AC 2
9
2

BC 2

CA2 .

GB 2

GC 2

AB 2

BC 2

BC 2

4

BA2

BC 2
2

AC 2
4

CA2

CB 2
2

AB 2
.
4

CA2

Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC đều có cạnh là 1. Khi đó
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

15 |


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

AB 2

BC 2

CA2

3

2

2

2

1

GA

GB

GC

3 GA2

GB 2

GC 2

AB 2

Câu 117: Trong không gian cho tam giác ABC . Tìm M
P  MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M là trọng tâm tam giác ABC .
B. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
C. M là trực tâm tam giác ABC .
D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .

BC 2

CA2 .

sao cho giá trị của biểu thức

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
2

P

MG

GA

2

MG

3MG 2

2 MG. GA

3MG 2

GA2

GB 2

Dấu bằng xảy ra
Vậy Pmin

GA2

G cố định và GA GB GC

M
GB 2

2

GB

GB

MG

GC

GA2

GC

GC 2

0.

GA2

GB 2

GB 2

GC 2

GC 2 .

G.
GC 2 với M

G là trọng tâm tam giác ABC.

Chọn đáp án A.
Câu 118: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  26; b  28; a  b  48 . Độ dài vectơ a  b bằng?
A. 25.

C. 9.

616 .

B.

D.

618 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2



a b  a b



2

2



2

2

 a  b  2a.b  2 a  b



2

  a  b

2



2
2
2
 2  a  b   a  b  2 262  282  482  616



 a  b  616.

Câu 119: Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC và BDA  600 , ADC  900 , BDC  1200 . Trong các
mặt của tứ diện đó:
A. Tam giác ABD có diện tích lớn nhất.
B. Tam giác BCD có diện tích lớn nhất.
C. Tam giác ACD có diện tích lớn nhất.
D. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Đặt DA  DB  DC  a
Tam giác ABD đều cạnh a nên diện tích S ABD

a2 3


.
4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

16 |


TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Tam giác ACD vuôn tại D nên diện tích S ACD 
Diện tích tam giác BCD là S BCD 

1
a2
DA.DC  .
2
2

1
a2 3
.
DB.DC sin1200 
2
4

Tam giác ABC có AB  a, AC  a 2, BC  a 3 nên tam giác ABC vuông tại A . Diện tích
tam giác ABC là S ABC

1
a2 2
.
 AB. AC 
2
2

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Câu 120: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song
song với đường thẳng còn lại.
C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với
đường thẳng kia.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.
Câu 121: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Cho hai đường thẳng a, b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c
vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng a, b .
B. Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d
vuông góc với a thì d song song với b hoặc c .
C. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường
thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c .
D. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường
thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c .
Hướng dẫn giải
Chọn D.

Theo định lý-sgk
Câu 122: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng P , trong đó a

P . Mệnh đề nào sau

đây là sai?
A. Nếu b

P thì b // a .

C. Nếu b // a thì b

P .

B. Nếu b // P thì b
D. Nếu b

a.

a thì b // P .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 123: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  4; b  3; a.b  10 . Xét hai vectơ y  a  b x  a  2b, . Gọi α
là góc giữa hai vectơ x, y . Chọn khẳng định đúng.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

17 |

TRẮC NGHIỆM TOÁN 11
A. cos  
Chọn D.

HÌNH HỌC – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

2
.
15

1
3
.
C. cos  
.
15
15
Hướng dẫn giải

B. cos  





     
 a  2b    a   4 b   4a.b  2



a  b

2

D. cos  

2
.
15

2

Ta có x. y  a  2b a  b  a  2 b  3a.b  4 .
x 

 x

y 

 y

cos  

2

2

x. y
x. y

2



2

2

2

 a   b 
2



2

3.

 2a.b  5 .

4
2

2 3. 5
15

Câu 124: Cho tam giác ABC có diện tích S . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn:
2

2
2
1
S
AB . AC  2k AB. AC .
2
1
1
A. k  .
B. k = 0.
C. k  .
D. k  1 .
4
2
Hướng dẫn giải
Chọn C.
1
1
1
S  AB. AC.sin C 
AB 2 . AC 2 sin 2 C 
AB 2 . AC 2 1  cos 2 C 
2
2
2
2
2
2
1


AB . AC  AB. AC .
2
66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
121 122 123 124
D D D C
B A D B B D C B B B C A D B C





81
A

82
A

83
B

84
D





85
C

86
B

87
A

88
B

89
C

90
C

91
C

92
D

93
A

94
B

95
A

96
B

97
B

98
B

99 100
C D

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
D C B B A C D D D D D C A A C D A B D D

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

18 |