Công thức toán học 12345

Công thức toán học
Tủ sách mở Wikibooks

Mục lục
1

Số học
1.1
Ghi Số
1.2
Số Ả Rập
1.3
Số La Mã

2

Đại số
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9

3

Lượng giác
3.1

Góc
3.2
Các hàm số lượng giác cơ bản
3.3
Phép Toán Lượng Giác
3.3.1
Đẳng thức lượng giác cơ bản
3.3.2
Đẳng thức lượng giác Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến
3.3.3
Đẳng thức Pytago
3.3.4
Đẳng thức Tổng và hiệu của góc
3.3.5
Công thức hạ bậc
3.3.6
Đẳng thức Biến tích thành tổng
3.3.7
Đẳng thức lượng giác nghịch đảo
3.3.8
Đẳng thức Tích vô hạn
3.3.9
Đẳng thức Giải tích
3.3.10
Đạo Hàm Lượng Giác Cơ Bản
3.3.11
Tổng Hai Góc
3.3.12
Hiệu Hai Góc
3.3.13

Tổng Hai Hàm
3.3.14
Hiệu Hai Hàm
3.3.15
Đẳng thức góc bội
3.3.15.1
Bội hai
3.3.15.2
Bội ba
3.3.15.3
Tổng quát
3.4

4

Số đại số
Phép Toán Đại Số
Toán Số Nguyên
Toán Phân Số
Toán Số Phức
Toán Lũy thừa
Toán Căn
Toán Log
Hàm số

Các Hàm lượng giác nghịch đảo
3.4.1
Chuổi Số

Giải tích

4.1
Phép Toán Giải Tích
4.2
Đạo hàm
4.2.1
Công Thức Toán Đạo Hàm
4.2.1.1
Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác
4.2.1.2
Đạo Hàm Của Hàm Số Đường Cong
4.2.1.3
Đạo Hàm Của Hàm Số Đặc Biệt
4.2.1.4
Đạo Hàm Bậc N
4.2.2

5

Hoán Chuyển Đạo Hàm
4.2.2.1
Hoán Chuyển Laplace
4.2.2.2
Hoán Chuyển Fourier
4.2.2.3
Hoán Chuyển Z
4.2.2.4
Công thức tổng quát
4.2.2.5
Thí dụ

Tích phân
5.1
Công thức tích phân

Số học
Ghi Số
Số học là môn học về số và các phép tính về số. Số là cách thức con người ghi lại số lượng các đối tượng như công cụ sản xuất, súc vật chăn nuôi... Các dân tộc khác nhau có cách kí hiệu khác
nhau , mỗi kí hiệu thường được gọi là một chữ số, hay một con số, ngày nay thường được gọi là ký số. Người ta ghép các chữ số khác nhau vào theo những quy ước nhất định để tạo thành các số
. Ngày nay còn lại phổ biến là cách ghi số của:
1. Người Arập gọi là Số Ả Rập (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9),
2. Người La-mã được gọi là Số La Mã (I, V, X, L, C, D, M),
3. Và nhiều cách ghi số khác.

Số Ả Rập


Dùng các con số sau (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Số La Mã
Số la mã được người La-mã tạo ra dùng các ký tự số sau (I, V, X, L, C, D, M)

Số la mả
I
V
X
L
C
D
M

Giá trị
1
5
10
50
100
500
1000

Đại số
Số đại số
Số đại số
Số tự nhiên
Số chẳn
Số lẻ
Số nguyên tố
Số nguyên

Tập hợp số
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{2,4,6,8}
{1,3,5,7,9}
{1,3,5,7}
Số nguyên âm , {-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9}
Số 0
Số nguyên dương , {+1,+2,+3,+4,+5,+6,+7,+8,+9}

Ký hiệu
N
2N

2N + 1
P
Số nguyên âm , a < 0 , -a
Số 0
Số nguyên dương , a > 0, +a

2+i3

z = a + ib

Phân số
Số phức

Phép Toán Đại Số
Toán

Ký Hiệu

Công Thức

Toán Cộng hai số đại số

Trừ

Toán Trừ hai số đại số

Nhân

Toán Nhân hai số đại số

Chia

Toán Chia hai số đại số

Lủy Thừa
Căn
Log

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

a nhân với chính nó n lần
nếu có
Nếu có

Toán tìm tích n lần của chính số nhân
Toán lủy thừa nghịch
Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa

Vi Phân

Tìm Thay đổi Biến Số

Thay Đổi Hàm Số

Tìm Thay đổi Hàm Số

Độ Dóc của f(x)

Tìm [[Độ Dóc dưới hình f(x)

Tích Tụ của f(x)

Tìm [[Diện tích dưới hình f(x)

Toán Số Nguyên
1.

Định Nghỉa

Cộng


Toán Phân Số
1.
2.
3.
4.
5.

6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

Toán Số Phức
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

9.
10.
11.
12.
13.

. n = 2m

14.

. n = 2m + 1

Toán Lũy thừa
1.
2.


3.
4.
5.
6.

Với

7.

.

. Với

8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.

1.
2.
3.

Toán Căn
1.
2.
3.
4.

= a½

5.
6.
7.
8.
9.

=

10.

11.
12.
13.
14.
15.

Toán Log
Nếu

with

, Vậy cho mọi số thực y,a,c

1.
2.
3.
4.
5.

for any

Hàm số
Hàm số đại số là một biểu thức đại số dùng để mô tả tương quan giữa hai đại lượng. Hàm số đại số có ký hiệu toán

Với

đại diện cho biến số
đại diện cho hàm số đại số của biến số x

Loại hàm số

Hàm số

1 biến số

2 biến số

3 biến số

Hàm số đặc biệt

Hàm số

Hình

Ký hiệu

Hàm số đường thẳng
Hàm số đường parabon
Hàm số đường cánh quạt

Lượng giác
Góc
Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo một Góc giửa hai đường thẳng . Ký hiệu Góc là

Thể Loại Góc

Hinh

. Góc đo bằng đơn vị Độ o . Cho thí dụ

Định Nghỉa

Góc Vuông

Góc Vuông là góc có giá trị bằng 90° . Tương đương với một phần tư của vòng tròn

Góc Nhọn

Góc Nhọn là góc có giá trị nhỏ hơn 90°

Góc Tù

I

Góc Bẹt
Góc Phụ
Góc Đầy

Góc Tù là góc lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180°
Góc Bẹt là góc có giá trị bằng 180° . Tương đương với một nửa vòng tròn

U
O

Góc Phụ góc lớn hơn 180° nhưng nhỏ hơn 360°.
Góc Đầy là góc có giá trị bằng 360° . Tương đương với một vòng tròn

Các hàm số lượng giác cơ bản
Cho biết tương quan giửa Cạnh và Góc trong tam giác vuông

Hàm Lượng Giác Cơ Bản

Định nghĩa

Hàm số Sin

Cạnh đối chia cho cạnh huyền

Hàm số Cos

Cạnh kề chia cho cạnh huyền

Hàm số Tan

Cạnh đối chia cho cạnh kề

Hàm số Cot

Cạnh kề chia cho cạnh đối

Hàm số Sec

Cạnh huyền chia cho cạnh kề

Hàm số Cosec

Cạnh huyền chia cho cạnh đối

Phép Toán Lượng Giác
Đẳng thức lượng giác cơ bản

Biểu thức

Hình


Đẳng thức lượng giác Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến
Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

nguyên)

Đối xứng

Tịnh tiến

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

với

Đẳng thức Pytago
Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

nguyên)

Đối xứng

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

với

Đẳng thức Tổng và hiệu của góc
Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler.

Tịnh tiến


với

và

Công thức hạ bậc
Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và sin2(x), thu được:

Cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x) Sin(3x) = -4sin^3(x) + 3sin(x)

Đẳng thức Biến tích thành tổng
Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra.

1. Đẳng thức Biển tổng thành tích

Đẳng thức lượng giác nghịch đảo


Đẳng thức Tích vô hạn
Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn sau có ích:

1. Đẳng thức số

Đẳng thức Giải tích
Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian

Đạo Hàm Lượng Giác Cơ Bản
Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giác và danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược.

Tổng Hai Góc

Hiệu Hai Góc


Tổng Hai Hàm

Hiệu Hai Hàm

Đẳng thức góc bội

Bội hai
Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.

Bội ba
Ví dụ của trường hợp n = 3:

Tổng quát

Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì

công thức de Moivre:

Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

Hay theo công thức hồi quy:

Các Hàm lượng giác nghịch đảo
Chuổi Số


Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin−1 hay cos−1 thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.
Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

Giải tích
Phép Toán Giải Tích
Phép Toán Giải tích
Biến đổi
Giới hạn
Đạo hàm

Tích phân

Đạo hàm
Công Thức Toán Đạo Hàm

Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác

Ký hiệu

Công Thức


Đạo Hàm Của Hàm Số Đường Cong

Đạo Hàm Của Hàm Số Đặc Biệt

hàm Gamma

hàm Riemann Zeta

Đạo Hàm Bậc N


nth Derivative

Function

where

and the set

consists of all non-negative integer solutions of the Diophantine equation

See: Faà di Bruno's formula, Expansions for nearly Gaussian distributions by S. Blinnikov and R. Moessner
[1]

See: General Leibniz rule

For the case of
function),

(the exponential

the above reduces to:

where

is the Kronecker delta.

Expanding this by the sine addition formula yields a more clear form to use:

Expanding by the cosine addition formula:

Hoán Chuyển Đạo Hàm

Hoán Chuyển Laplace

Hoán Chuyển Fourier


Hoán Chuyển Z

Công thức tổng quát

Thí dụ

Tích phân
Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

Công thức tích phân


Integral
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

Value

Remarks


30

31

32



[2]


also:

also:

also:


also:

also:

Chú ý: bài này quy ước x>0.


{\displaystyle \int e^{cx}\ln x\;dx={\frac
{1}{c}}e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} \,
(cx)}
{\displaystyle \int e^{cx}\sin bx\;dx={\frac {e^{cx}}
{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)}
{\displaystyle \int e^{cx}\cos bx\;dx={\frac {e^{cx}}
{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)}
{\displaystyle \int e^{cx}\sin ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos
x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;dx}
{\displaystyle \int e^{cx}\cos ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos
x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;dx}
{\displaystyle \int
xe^{cx^{2}}\;dx={\frac
{1}{2c}}\;e^{cx^{2}}}
{\displaystyle \int {1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{{(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}\;dx={\frac {1}{2\sigma }}
(1+{\mbox{erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}})}
{\displaystyle \int e^{x^{2}}\,dx=e^{x^{2}}\left(\sum _{j=0}^{n-1}c_{2j}\,{\frac {1}
{x^{2j+1}}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int {\frac {e^{x^{2}}}{x^{2n}}}\;dx\quad (n>0),}

với

{\displaystyle c_{2j}={\frac {1\cdot 3\cdot
5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}}={\frac {2j\,!}

{j!\,2^{2j+1}}}\ .}

{\displaystyle \int _{\infty }^{\infty }e^{ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{{x^{2}}/{a^{2}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{(2n)! \over
{n!}}{\left({\frac {a}{2}}\right)}^{2n+1}}

{\displaystyle \int \sinh
cx\,dx={\frac {1}{c}}\cosh
cx}
{\displaystyle \int \cosh
cx\,dx={\frac {1}{c}}\sinh
cx}
{\displaystyle \int \sinh ^{2}cx\,dx=
{\frac {1}{4c}}\sinh 2cx-{\frac {x}{2}}}
{\displaystyle \int \cosh ^{2}cx\,dx=
{\frac {1}{4c}}\sinh 2cx+{\frac {x}{2}}}


{\displaystyle \int \sinh ^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\sinh ^{n-1}cx\cosh cx-{\frac {n-1}{n}}\int
\sinh ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}}

hay:

{\displaystyle \int \sinh ^{n}cx\,dx={\frac {1}{c(n+1)}}\sinh ^{n+1}cx\cosh cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \sinh
^{n+2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}}

{\displaystyle \int \cosh ^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\sinh cx\cosh ^{n-1}cx+{\frac {n-1}{n}}\int
\cosh ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}}

hay:

{\displaystyle \int \cosh ^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n+1)}}\sinh cx\cosh ^{n+1}cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \cosh
^{n+2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}}

{\displaystyle \int {\frac {dx}
{\sinh cx}}={\frac {1}{c}}\ln
\left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|}
hay:

hay:

hay:

hay:

hay:

hay:

hay: