CHUONG 4 ANH XA TUYEN TINH

Chương 4
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1 Đònh nghóa. Cho V và W là hai không gian vectơ. Ánh xạ f : V → W được gọi
là một ánh xạ tuyến tính nếu :
i) f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ) ,

ii) f ( ku ) = kf ( u ) ,
với mọi u, v ∈ V và k ∈

.

Khi W ≡ V , ánh xạ tuyến tính f được gọi là một phép biến đổi tuyến tính
hay một toán tử tuyến tính trên V . Khi W ≡ , ánh xạ tuyến tính f còn được gọi
là một phiếm hàm tuyến tính của V.
Ví dụ 1. Cho ánh xạ f :

3

→

2

xác đònh bởi

f ( u ) = f ( x1 , x 2 , x3 ) = ( x1 − 2x 2 + x3 , x1 + x2 + x 3 ) , với u = ( x1 , x2 , x 3 ) ∈
Với u, v ∈
f (u + v) =

3

, u = ( x1 , x2 , x3 ) , v = ( y1 , y 2 , y 3 ) , và k ∈

(( x

1

3

.

bất kỳ, ta có

+ y1 ) − 2 ( x2 + y 2 ) + ( x 3 + y 3 ) , ( x1 + y1 ) + ( x 2 + y 2 ) + ( x 3 + y 3 )

= ( x1 − 2x2 + x 3 ) + ( y1 − 2y 2 + y 3 )

)

= f (u) + f ( v)

f ( ku ) = ( kx1 − 2kx2 + kx3 ) = k ( x1 − 2x2 + x3 ) = kf ( u ) .
Do đó f là một ánh xạ tuyến tính.
1.2. Tính chất.
i) Ánh xạ f : V → W là một ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi

f ( hu + kv ) = hf ( u ) + kf ( v ) ,
với mọi u, v ∈ V ; h, k ∈

.

ii) Nếu f : V → W là một ánh xạ tuyến tính thì

f ( 0 V ) = 0 W và f ( −u ) = −f ( u ) ,
với mọi u ∈ V

Cho V, W là hai không gian vectơ và f : V → W là một ánh xạ tuyến tính.
Khi đó, với B = {e1 , e2 ,..., en } là một cơ sở của V , mọi vectơ bất kỳ u ∈ V được biểu
diễn duy nhất dưới dạng
57


u = x1e1 + x2e2 + ... + xn en , x i ∈

, i = 1, 2,..., n .

Do f là ánh xạ tuyến tính, nên
f ( u ) = f ( x1e1 + x 2e2 + ... + xn en ) = x1f ( e1 ) + x 2 f ( e2 ) + ... + xn f ( en ) .
Vậy f được hoàn toàn xác đònh bởi các vectơ trong W, f ( e1 ) , f ( e2 ) , ..., f ( en ) .
Hơn nữa, ta có

1.3. Mệnh đề. Cho B = {e1 , e2 ,..., en } là một cơ sở của V và v1 , v 2 ,..., v n là n vectơ
trong W . Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : V → W thỏa
f ( ei ) = v i , i = 1, n .
Chú ý. Các ánh xạ tuyến tính đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lónh
vực khác nhau. Xuất phát từ đònh nghóa, một ánh xạ giữa hai không gian vectơ là
một ánh xạ tuyến tính khi ảnh của tổng hai vectơ là tổng của hai ảnh và ảnh của
tích vectơ với một số là tích của ảnh vectơ với số đó. Chẳng hạn với V và W là
không gian vectơ các hàm khả vi thì phép lấy đạo hàm là một ánh xạ tuyến tính từ
V đến W do đạo hàm của tổng hai hàm bằng tổng hai đạo hàm và đạo hàm của
tích một hàm với một số bằng tích của đạo hàm với số đó. Tương tự, với V là

không gian vectơ các hàm liên tục trên đoạn ⎡⎣ a, b⎤⎦ và W =
thì phép lấy tích

phân xác đònh là một ánh xạ tuyến tính từ V đến W do tích phân của tổng hai
hàm bằng tổng hai tích phân và tích phân của một hàm nhân với một số bằng tích
phân của hàm nhân với số đó.
Tuy nhiên, ta chỉ tập trung khảo sát các không gian vectơ hữu hạn chiều, cụ
thể là các không gian n . Khi đó, bằng cách áp dụng mệnh đề 1.3, với B là cơ sở
chính tắc, một ánh xạ
f:

( x1 , x2 ,..., xn )

n

→

m

f ( x1 , x2 ,..., x n )

là một ánh xạ tuyến tính khi tồn tại n vectơ v1 , v2 ,..., vn ∈

m

sao cho

f ( x1 , x2 ,..., x n ) = x1 v1 + x 2 v 2 + ... + x n v n .
Do đó, f ( x1 , x 2 ,..., xn ) là một vectơ trong

m

mà mỗi thành phần là một biểu

thức bậc nhất thuần nhất theo x1 , x2 ,..., x m , nghóa là biểu thức có dạng
a1 x1 + a 2 x2 + ... + a m x m , a i ∈

Ví dụ 2. Ánh xạ f :

2

→

3

.

, xác đònh bởi f ( x1 , x2 ) = ( 4x1 + 3x2 , −2x2 , x1 − x 2 )

là một ánh xạ tuyến tính vì các thành phần của f ( x1 , x2 ) là 4x1 + 3x2 , −2x2 và
x1 − x2 đều là các biểu thức bậc nhất thuần nhất theo x1 , x 2 , x 3 .

58


2. ẢNH VÀ NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
2.1. Đònh nghóa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian
vectơ.

{

}

i) Kerf = f −1 ( 0 W ) = u ∈ V f ( u ) = 0 W được gọi là nhân của f .

{

} {

}

ii) Im f = f ( V ) = f ( u ) u ∈ V = v ∈ W ∃u ∈ V, f ( u ) = v được gọi là ảnh của f .

2.2. Đònh lý. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vectơ,
E là một không gian con của V , F là một không gian con của W . Ta có

{

} {

}

i) f ( E ) = f ( u ) u ∈ E = v ∈ W ∃u ∈ E, f ( u ) = v là một không gian con của W ;

{

}

ii) f −1 ( F ) = u ∈ V f ( u ) ∈ F là một không gian con của V .
Chứng minh.

i) Với mọi v1 , v2 ∈ f ( E ) , tồn tại u1 , u 2 ∈ E sao cho v1 = f ( u1 ) , v 2 = f ( u 2 ) . Do
đó với mọi k ∈

, ta có
v1 + v 2 = f ( u1 ) + f ( u 2 ) = f ( u1 + u 2 )

kv1 = kf ( u1 ) = f ( ku1 )

Vì u1 , u 2 ∈ E và E là một không gian con của V nên u1 + u 2 , ku1 ∈ E . Do đó
v1 + v 2 và kv1 ∈ f ( E ) .

Vậy f ( E ) là không gian con của W .
ii) Chứng minh tương tự.
2.3. Hệ quả. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta có
i) Ker f ≤ V ,
ii) Im f ≤ W ,
iii) dim ( Im f ) + dim ( Ker f ) = dim V .

Chú ý rằng khi f :

n

→

m

là một ánh xạ tuyến tính thì Ker f chính là

không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và Im f là

không gian các vectơ hệ số tự do sao cho một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm
(xem phần 3.3 và 3.4, chương 3).
Ví dụ 3. Xét ánh xạ tuyến tính f :

3

→

2

xác đònh bởi

f ( x1 , x2 , x 3 ) = ( x1 − 2x2 + x3 , 2x1 + x2 − x3 ) .
Ta có
v = ( x1 , x2 , x 3 ) ∈ Kerf ⇔ f ( x1 , x2 , x 3 ) = 0
59


⎧⎪ x
⇔⎨ 1
⎪⎩2x1

− 2x 2

+ x3

x2

+

= 0

− x3

= 0

Nói khác đi v ∈ Kerf nếu và chỉ nếu v là nghiệm của một hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất. Do hệ này có nghiệm tổng quát dạng
m∈

(

1
5

)

m, 53 m, m , với

, ta suy ra
Kerf =

{(

1
5

}= (

)

m, 53 m, m m ∈

Vì một cơ sở của Ker f là

1 , 3 ,1
5 5

)

=

(1, 3, 5)

.

{(1, 3, 5)} , ta suy ra dim ( Ker f ) = 1 . Ngoài ra,

v = ( a, b ) ∈ Im f ⇔ tồn tại u = ( x1 , x2 , x 3 ) sao cho f (u) = v ,
nghóa là nếu và chỉ nếu hệ phương trình
⎧⎪ x1
⎨
⎪⎩2x1

− 2x 2

+ x3

x2

+

= a

− x3

= b

có nghiệm. Ta suy ra

{( x − 2x + x , 2x + x − x ) x ∈ }
= {( x , 2x ) + ( −2x , x ) + ( x , − x ) x ∈ }

Im f =

1

1

=

2

1

3

1

2

2

2

(1, 2) , ( −2,1) , (1, −1)

3

3

i

3

i

.

Dùng giải thuật tìm hạng hệ vectơ
⎛1 2⎞
⎛1 2 ⎞
⎛ 1 2⎞
⎜
⎟
⎟
⎟
( 3):= ( 3) + 53 ( 2) ⎜
( 2):= ( 2) + 2(1) ⎜
→ ⎜ 0 5 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 5 ⎟ ,

⎜ −2 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
:
=
3
−
1
( ) ( ) ()
⎜ 1 −1 ⎟
⎜ 0 −3 ⎟
⎜ 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
ta được Im f =

(1, 2) , ( 0, 5)

. Do đó dim ( Im f ) = 2 và

dim ( Im f ) + dim ( Ker f ) = 3 = dim

3

.

3. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

3.1. Đònh nghóa. Cho V và W là hai không gian vectơ và f : V → W là một ánh
xạ tuyến tính. Gọi B = {e1 , e2 ,..., en } , C = {f1 , f2 ,..., f m } lần lượt là cơ sở của V và
W . Giả sử

⎡ f ( e1 ) ⎤
⎣
⎦C

⎛ a11 ⎞
⎛ a12 ⎞
⎛ a1n ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
a 22 ⎟
a 2n ⎟
⎜ a 21 ⎟ ⎡
⎜
⎜
, f ( e2 ) ⎤⎦ = ⎜
, ..., ⎡⎣ f ( en ) ⎤⎦ = ⎜
=⎜
C
C
... ⎟ ⎣
... ⎟
... ⎟

⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜a ⎟
⎜a ⎟
⎜a ⎟
⎝ m1 ⎠
⎝ m2 ⎠
⎝ mn ⎠

thì
60


(

⎡⎣ f ⎤⎦
= ⎡⎣ f ( e1 ) ⎤⎦
B,C
C

⎡ f ( e2 ) ⎤
⎣
⎦C

⎡ f ( en ) ⎤
⎣

⎦C

)

⎛ a11 a12
⎜
a 22
⎜a
= ⎜ 21
⎜
⎜a
⎝ m1 a m2

a1n ⎞
⎟
a 2n ⎟
⎟
⎟
a mn ⎟⎠

được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với các cơ sở B và C .

3.2. Đònh lý. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vectơ,
B là một cơ sở của V và C là một cơ sở của W . Khi đó, với mọi v ∈ V , ta có
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎣ f ( v ) ⎦C = ⎣ f ⎦B,C ⎣ v ⎦B .

Ví dụ 4. Cho f :

3

→

2

xác đònh bởi

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( − x1 + 5x2 − 3x 3 , − x 2 + x 3 ) .
Lấy B = {e1 , e2 , e3} và C = {f1 , f2 } là các cơ sở chính tắc của

3

và

2

. Ta có

f ( e1 ) = ( −1, 0) , f ( e2 ) = ( 5, −1) , f ( e3 ) = ( −3,1)
hay
⎛ −1 ⎞
⎛5 ⎞
⎛ −3 ⎞
⎡ f ( e1 ) ⎤ = ⎜ ⎟ , ⎡ f ( e2 ) ⎤ = ⎜ ⎟ , ⎡ f ( e3 ) ⎤ = ⎜ ⎟ .
⎣
⎦C
⎣

⎦
⎣
⎦
C
C
⎝0 ⎠
⎝ −1 ⎠
⎝1 ⎠

Do đó, ma trận của f đối với các cơ sở B,C là
⎛ −1 5 −3 ⎞
⎣⎡ f ⎦⎤B,C = ⎜ 0 −1 1 ⎟ .
⎝
⎠

Khi đó, với v = ( x1 , x2 , x3 ) , ta có
⎡⎣ v ⎤⎦
B

⎛ x1 ⎞
⎛ − x + 5x2 − 3x 3 ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ x 2 ⎟ và ⎡⎣ f ( v ) ⎤⎦ = ⎜ 1
⎟⎟ .
⎜ −x + x
C
3
⎜x ⎟
⎝ 2
⎠

⎝ 3⎠

và do đó
⎡
⎤
⎣ f ( v ) ⎦C

⎛ x1 ⎞
⎛ −1 5 −3 ⎞ ⎜ ⎟
=⎜
⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎡⎣ f ⎤⎦B ,C ⎡⎣ v ⎤⎦B .
⎝ 0 −1 1 ⎠ ⎜ ⎟
⎝ x3 ⎠

Nhắc lại rằng, nếu f : V → V là một ánh xạ tuyến tính thì ta nói f là một
toán tử tuyến tính trên V . Khi đó, với một cơ sở B của V , ma trận ⎡⎣ f ⎤⎦
được
B ,B

gọi là ma trận của toán tử tuyến tính f đối với cơ sở B , ký hiệu ⎡⎣ f ⎤⎦ .
B

61


3

Ví dụ 5. Xét toán tử tuyến tính f :

→

3

xác đònh bởi

f ( x1 , x2 , x 3 ) = ( 3x1 + x 2 − x 3 , 2x1 + 2x2 − x3 , 2x1 + 2x2 ) .
i) Với B = {e1 , e2 , e3} là cơ sở chính tắc của

3

, ta có

f ( e1 ) = ( 3, 2, 2) , f ( e2 ) = (1, 2, 2 ) , f ( e3 ) = ( −1, −1, 0)
và ta được

(

⎡⎣ f ⎤⎦ = ⎡ f ( e1 ) ⎤
⎣
⎦B
B

⎡ f ( e2 ) ⎤
⎣
⎦B

⎡ f ( e3 ) ⎤
⎣
⎦B

ii) Lấy B ′ = {e1′ , e′2 , e′3} là một cơ sở khác của

)

⎛ 3 1 −1 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ 2 2 −1 ⎟ .
⎜2 2 0 ⎟
⎝
⎠

3

, trong đó

e1′ = (1,1, 0) , e′2 = (1, 0,1) , e′3 = ( 0,1,1) ,
ta có

)

(

⎡⎣ f ⎤⎦ = ⎡ f ( e1′ ) ⎤ , ⎡ f ( e′2 ) ⎤ , ⎡ f ( e′3 ) ⎤
⎣
⎦B′ ⎣
⎦B′ ⎣
⎦B ′ .
B′
Do

f ( e1′ ) = f (1,1, 0 ) = ( 4, 4, 4 ) = x1e1′ + x 2e′2 + x3e′3
⎧ x1
⎪
⇔ ⎨ x1
⎪
⎩

+ x2

= 4

⎧ x1 = 2
⎪
= 4 ⇔ ⎨ x2 = 2
⎪x = 2
= 4
⎩ 3

+ x3

x2

+ x3

ta được
⎡
′ ⎤
⎣ f ( e1 ) ⎦B′

⎛ 2⎞

⎜ ⎟
= ⎜ 2⎟ .
⎜ 2⎟
⎝ ⎠

Tương tự, ta có
⎡ f ( e′2 ) ⎤
⎣
⎦B′

⎛1⎞
⎛− 1 ⎞
⎜2⎟
⎜ 2⎟
3
= ⎜ 2 ⎟ , ⎡⎣ f ( e′3 ) ⎤⎦ = ⎜ 12 ⎟ .
B′
⎜1⎟
⎜ 3 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝ 2 ⎠

Vậy
⎣⎡ f ⎦⎤B′

⎛2
⎜
= ⎜2

⎜
⎜2
⎝

1
2
3
2
1
2

− 12 ⎞
⎟
1
.
⎟
2
⎟
3 ⎟
2 ⎠

62


Nhận xét : Nếu f : V → V là một toán tử tuyến tính thì ứng với mỗi cơ sở B
của V , ta có một ma trận của f đối với cơ sở B . Khi đổi cơ sở B thành cơ sở B′
khác thì ma trận của f cũng thay đổi.

Hơn nữa, bằng cách dùng ma trận đổi cơ sở, ta nhận được sự liên hệ giữa hai
ma trận của một toán tử tuyến tính đối với các cơ sở khác nhau. Cụ thể, với hai cơ

sở B và B′ của không gian vectơ V và với mọi v ∈ V , ta có
⎡ f ( v )⎤ = ⎡f ⎤ ⎡ v ⎤ .
⎣
⎦B ⎣ ⎦B ⎣ ⎦B

Với ma trận đổi cơ sở từ B qua B′ , ta có
⎡ f ( v ) ⎤ = PB →B′ ⎡ f ( v ) ⎤ và ⎡ v ⎤ = PB →B′ ⎡ v ⎤ .
⎣ ⎦B
⎣ ⎦B′
⎣
⎦B
⎣
⎦B′

Từ đó, ta được
⎡
⎤
⎣ f ( v ) ⎦B′ = ( PB →B′ )

−1

⎡⎣ f ⎤⎦ PB →B′ ⎡⎣ v ⎤⎦
B
B′

với mọi v ∈ V .
3.3. Đònh lý. Cho f : V → V là một toán tử tuyến tính và B , B′ là hai cơ sở của
V . Ta có

⎡⎣ f ⎤⎦ = ( PB →B′ )

B′

−1

⎡⎣ f ⎤⎦ PB →B′ .
B

Ví dụ 6. Với cơ sở B và B′ trong ví dụ 5, ta có các ma trận đổi cơ sở

(

⎡ e′ ⎤
⎡ e′ ⎤
PB →B′ = ⎣⎡e1′ ⎦⎤
B ⎣ 2 ⎦B ⎣ 3 ⎦B

)

⎛1 1 0⎞
⎜
⎟
= ⎜1 0 1⎟
⎜0 1 1⎟
⎝
⎠

và

( PB →B′ )

−1

= PB′→B

⎛ 1 1 −1 ⎞
1⎜
⎟
= ⎜ 1 −1 1 ⎟ .
2⎜
⎟
⎝ −1 1 1 ⎠

Từ đó suy ra
−1
PB
→B′

⎡⎣ f ⎤⎦ PB →B′
B

⎛ 4 1 −1 ⎞
⎟
1⎜
= ⎜ 4 3 1 ⎟ = ⎡⎣ f ⎤⎦ .
B′
2⎜
⎟
4
1
3

⎝
⎠

Chú ý. Đònh lý 3.3 cho phép ta tìm ma trận của f đối với cơ sở mới, ⎡⎣ f ⎤⎦ , khi
B′
biết ma trận của f đối với cơ sở cũ, ⎡⎣ f ⎤⎦ , và ma trận đổi cơ sở PB →B′ . Đặc biệt, khi
B

n

V=
, ta thường chọn B là cơ sở chính tắc. Từ đó, dễ dàng thành lập được ma
trận ⎡⎣ f ⎤⎦ , ma trận đổi cơ sở từ B sang B′ , và suy ra ma trận ⎡⎣ f ⎤⎦ .
B
B′

63


Ví dụ 7. Xét toán tử tuyến tính f :

3

→

3

xác đònh bởi

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( 4x1 + 2x 2 − x 3 , −6x1 − 4x2 + 3x 3 , −6x1 − 6x 2 + 5x3 ) .

{

}

Với B là cơ sở chính tắc và B′ = e1′ = (1, 0, 2) , e′2 = ( 0,1, 2 ) , e′3 = (1, −3, −3)
một cở sở khác của

3

là

, ta có

A = ⎡⎣ f ⎤⎦
B

⎛ 4 2 −1 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ −6 −4 3 ⎟
⎜ −6 −6 5 ⎟
⎝
⎠

và
P = PB →B′

⎛1 0 1 ⎞
⎛ 3 2 −1 ⎞

⎜
⎟
⎜
⎟
−1
= ⎜ 0 1 −3 ⎟ , P = ⎜ −6 −5 3 ⎟ .
⎜ −2 −2 1 ⎟
⎜ 2 2 −3 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

Vậy
⎡⎣ f ⎤⎦
B′

⎛ 2 0 0⎞
⎜
⎟
= P AP = ⎜ 0 2 0 ⎟ .
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
−1

Nhận xét. Ma trận biểu diễn của f trong cơ sở B ′ là ma trận chéo,

⎡
′ ⎤

⎣ f ( e1 ) ⎦B′

⎛ 2⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜ 0 ⎟ , ⎣⎡ f ( e′2 )⎦⎤ = ⎜ 2 ⎟ , ⎣⎡ f ( e′3 ) ⎦⎤ = ⎜ 0 ⎟ ,
B′
B′
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠

nghóa là
f ( e1′ ) = 2e1′ , f ( e′2 ) = 2e′2 , f ( e′3 ) = e′3 .
Từ nhận xét nêu trên, ta thấy rằng nếu ma trận của toán tử tuyến tính f đối
với một cơ sở B = {e1 , e2 ,..., en } là một ma trận chéo,

⎡⎣ f ⎤⎦
B

⎛ λ1 0
⎜
⎜ 0 λ2
=⎜

... ...
⎜
⎜0 0
⎝

...

0⎞
⎟
... 0 ⎟
,
... ... ⎟
⎟
... λ n ⎟⎠

thì với mọi vectơ v thuộc cơ sở đó, tồn tại hằng số λ ∈

sao cho f ( v ) = λv .

4. VECTƠ RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG
4.1. Đònh nghóa. Cho toán tử tuyến tính f : V → V . Một vectơ v ∈ V , v ≠ 0 , được
sao cho f ( v ) = λv . Khi đó, λ được
gọi là một vectơ riêng của f nếu tồn tại λ ∈

gọi là trò riêng tương ứng với vectơ riêng v .
64


Tập hợp Vλ tất cả các vectơ riêng tương ứng với cùng một trò riêng λ , thêm
vectơ không,

{

}

Vλ = v ∈ V f ( v ) = λv

tạo thành một không gian vectơ con, gọi là một không gian riêng của f.
4.2. Giải thuật tìm vectơ riêng và trò riêng

Để tìm vectơ riêng cũng như trò riêng của một toán tử tuyến tính f : V → V ,
ta chú ý rằng với một cơ sở B của không gian vectơ hữu hạn chiều V, nếu v ≠ 0 là
một vectơ riêng của f tương ứng với trò riêng λ , nghóa là f ( v ) = λv , thì ta có
⎡ f ( v ) ⎤ = ⎡ λv ⎤ và do đó
⎣
⎦B ⎣ ⎦B

⎡⎣ f ⎤⎦ ⎡⎣ v ⎤⎦ = λ ⎡⎣ v ⎤⎦ .
B
B
B

(4.1)

Đẳng thức (4.1) cho ta một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo các ẩn
là tọa độ của v đối với B và theo tham số λ . Từ đó, ta có thể xác đònh được các trò
riêng cũng như các không gian riêng của toán tử tuyến tính f.
Cụ thể, với toán tử tuyến tính f trên
n

với cơ sở chính tắc của
⎛ a11
⎜
⎜ a 21
⎜
⎜
⎜a
⎝ n1

a12

a 22
a n2

n

( )

, A = a ij ∈ Mn là ma trận của f đối

, đẳng thức (4.1) được viết lại thành

⎛ a11 − λ
⎛ x1 ⎞
a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞
a12
⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟
a 2n ⎟ ⎜ x2 ⎟

a 22 − λ
⎜ a 21
⎜ x2 ⎟
⇔
=
λ
⎜
⎟ ⎜ ... ⎟
⎜ ... ⎟
⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜x ⎟
⎜
a n2
a nn ⎟⎠ ⎜⎝ x n ⎟⎠
⎝ n⎠
⎝ a n1

với v = ( x1 , x2 ,..., x n ) ∈
Khi đó nếu λ ∈

n

a1n

⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a 2n ⎟ ⎜ x 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎟ ⎜ ... ⎟ = ⎜ ... ⎟ ,

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a nn − λ ⎠⎟ ⎝⎜ x n ⎠⎟ ⎝⎜ 0 ⎠⎟

(4.2)

\ {0} .

là một trò riêng của f thì v = ( x1 , x2 ,..., xn ) chính là một

nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (4.2), có ma
trận các hệ số chính là A − λI , trong đó I là ma trận đơn vò cấp n. Từ đó suy ra
det ( A − λI) = 0 .

(4.3)

Đẳng thức (4.3) xác đònh một phương trình bậc n theo λ , gọi là phương trình
đặc trưng, và det ( A − λI) được gọi là đa thức đặc trưng của A . Giải phương trình
đặc trưng, ta tìm được các trò riêng λ của ma trận A . Ứng với mỗi giá trò riêng λ ,
ta được các không gian riêng tương ứng

{

Vλ = v ∈

n

} {

f ( v ) = λv = v ∈

n

( A − λI) ⎡⎣ v ⎤⎦B = 0} .

Chú ý rằng mỗi Vλ là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất có ma trận các hệ số là A − λI mà ta có thể tìm được một cơ sở cho nó
(xem phần 3.3, chương 3).
65


Ví dụ 8. Cho f là một toán tử tuyến tính trên
chính tắc là

3

với ma trận trong cơ sở

⎛ 2 −1 −1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −1 2 −1 ⎟ .
⎜ −1 −1 2 ⎟
⎝
⎠
Tìm các trò riêng và vectơ riêng của f .
Giải phương trình đặc trưng
det ( A − λI) = 0 ⇔

2−λ
−1

−1

−1

−1

2−λ
−1 = 0
−1 2 − λ

2

⇔ −λ ( λ − 3) = 0

ta được hai trò riêng λ = 0 và λ = 3 .
∗ Ứng với trò riêng λ = 0 , ta giải hệ phương trình ( A − 0I) ⎡⎣ v ⎤⎦

B

⇔ A ⎡⎣ v ⎤⎦ = 0, v = ( x1 , x2 , x 3 ) ∈
B

3

=0

.

Ta nhận được hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và giải chúng bằng
phương pháp Gauss

⎛ 2 −1 − 1 ⎞
⎛ −1 2 −1 ⎞
⎛ −1 2 −1 ⎞
1) ∼ ( 2 )
2 ) : = ( 2 ) + 2 (1 )
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
(
(
→ ⎜ 0 3 −3 ⎟
A = ⎜ −1 2 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 2 −1 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 )
⎜ −1 −1 2 ⎟
⎜ −1 − 1 2 ⎟
⎜ 0 −3 3 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 −2 1 ⎞
(1):=− (1)
⎟
( 3) : = ( 3 ) + ( 2 ) ⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯

→ ⎜ 0 1 −1 ⎟
1
2
:
=
2
( ) 3( )
⎜0
⎝

0 ⎟⎠

0

ta được hệ phương trình tương đương
⎧⎪ x1
⎨
⎪⎩

− 2x 2
x2

+ x3

− x3

= 0
= 0

Chọn x1 , x2 làm ẩn cơ sở, x 3 trở thành ẩn tự do. Đặt x 3 = m ∈

⎧⎪ x1
⎨
⎪⎩
Vậy nghiệm của hệ là

− 2x2
x2

, ta có hệ

= −m
=

m

( m, m, m ) ,

m∈

{( m, m, m )

m∈

. Do đó các vectơ riêng ứng với trò

riêng λ = 0 là ( m, m, m ) , m ≠ 0 . Suy ra không gian riêng ứng với λ = 0 là
V0 =

66

} = (1,1,1)

.


Hệ gồm một vectơ (1,1,1) là độc lập tuyến tính, nên nó là một cơ sở của V0 và
dim V0 = 1 .
∗ Tương tự, ứng với trò riêng λ = 3 , ta giải hệ
v = ( x1 , x 2 , x3 ) ∈

3

( A − 3.I) ⎡⎣ v ⎤⎦B = 0 ,

với

,
⎛ −1 −1 −1 ⎞
⎛ −1 −1 −1 ⎞
⎜
⎟
⎟
( 2 ) : = ( 2 ) − (1 ) ⎜
→⎜ 0 0 0 ⎟
A − 3I = ⎜ −1 −1 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
:
=
3
−

1
( ) ( ) ()
⎜ −1 −1 −1 ⎟
⎜0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

Ta được hệ phương trình tương đương : {− x1 − x 2 − x3 = 0
Chọn x1 làm ẩn cơ sở, x 2 , x 3 trở thành ẩn tự do. Đặt x 2 = m, x3 = n ∈

. Ta

được nghiệm của hệ là ( − m − n, m, n ) . Do đó các vectơ riêng ứng với trò riêng λ = 3

là ( − m − n, m, n ) , m, n ≠ 0 . Không gian riêng ứng với λ = 3 là
V3 =

{( −m − n, m, n )

m∈

} = ( −1,1, 0) , ( −1, 0,1)

Do hệ gồm các vectơ ( −1,1, 0 ) , ( −1, 0,1) là độc lập tuyến tính, nên nó là một cơ
sở của V3 và dim V3 = 2 .
5. CHÉO HÓA MA TRẬN
5.1. Đònh nghóa. Cho A, B ∈ Mn . Ta nói A và B đồng dạng khi tồn tại một ma

trận khả nghòch P sao cho B = P −1 AP .
Chẳng hạn, Đònh lý 3.3 cho thấy hai ma trận của một toán tử tuyến tính đối
với hai cơ sở khác nhau là hai ma trận đồng dạng.
Đặc biệt, nếu B là ma trận chéo, ta nói A là ma trận chéo hóa được và P
được gọi là ma trận chéo hóa A .
5.2. Chéo hóa ma trận

Cho A ∈ Mn là một ma trận vuông cấp n. Ta có thể coi A chính là ma trận
của một toán tử tuyến tính f : n → n đối với cơ sở chính tắc của n . Nếu ma
trận A chéo hóa được, nghóa là tồn tại một ma trận khả nghòch P sao cho P −1 AP
là một ma trận chéo, thì P chính là ma trận đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc B qua
một cơ sở B′ nào đó của n mà trong cơ sở này ma trận của f là ma trận chéo.
Từ nhận xét ở cuối phần 3, ta suy ra rằng mọi vectơ của cơ sở B′ cần tìm đều
là các vectơ riêng của f. Do đó, ma trận A chéo hóa được hay không tùy thuộc vào
sự tồn tại một cơ sở của n gồm các vectơ riêng của f. Hơn nữa, chú ý rằng nếu v i ,
i = 1, 2,..., m , là m vectơ riêng tương ứng với các trò riêng λ i khác nhau từng đôi
một, nghóa là

67


f ( v i ) = λ i v i , i = 1, 2,..., m , với λ i ≠ λ j khi i ≠ j ,
thì hệ các vectơ {v1 , v2 ,..., v m } độc lập tuyến tính. Do đó, ta có kết quả sau
5.3. Đònh lý. Cho A ∈ Mn , λ1 , λ 2 ,..., λ r là các nghiệm khác nhau của phương trình
đặc trưng det ( A − λI) = 0 và dim Vi = k i , i = 1, r . Khi đó, các điều sau đây là tương
đương
i) A chéo hóa được.
ii) k1 + k 2 + ... + k r = n .
iii) Nếu Bi là một cơ sở của Vλ , i = 1, r thì B′ =
i

Khi đó, với B′ = {v1 , v2 ,..., vn } là cơ sở của

n

r

∪ Bi

là một cơ sở của

n

.

i =1

nhận được từ iii), và với ma

trận đổi cơ sở P = PB →B′ , P −1 AP trở thành ma trận chéo với các số hạng trên
đường chéo gồm toàn các giá trò riêng.

5.4. Giải thuật chéo hóa ma trận A
Bước 1. Giải phương trình đặc trưng det ( A − λI) = 0 để tìm các trò riêng λ .
Bước 2. Ứng với mỗi giá trò riêng λ , tìm một cơ sở cho không gian riêng Vλ .
Bước 3. Xét hệ B′ tất cả các vectơ riêng tạo thành cơ sở cho các không gian
riêng nhận được ở bước 2.
∗ Nếu số phần tử của B′ bằng n , nghóa là

∑ dim Vλ = n

thì A chéo hóa được.

λ

Ma trận P chéo hóa A chính là ma trận đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc B qua B′ .
∗ Nếu số phần tử của B ′ nhỏ hơn n , nghóa là

∑ dim Vλ < n
λ

chéo hóa được.
Ví dụ 9. Chéo hóa ma trận sau, nếu có,

⎛ 4 2 −1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −6 −4 3 ⎟
⎜ −6 −6 5 ⎟
⎝
⎠
Giải phương trình det ( A − λI) = 0
⎛4 − λ
2
−1 ⎞
⎡λ = 1
⎜
⎟
⇔ det ⎜ −6 −4 − λ
3 ⎟=0⇔⎢ 1

⎢⎣λ 2 = 2
⎜ −6
−6
5 − λ ⎟⎠
⎝
ta được hai trò riêng λ1 = 1 và λ 2 = 2 .
68

thì A không


∗ Với λ1 = 1 , ta có V1 chính là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất có ma trận hệ số là
⎛ 3 2 −1 ⎞
⎛ 3 2 −1 ⎞
⎛ 3 2 −1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A − λ1I = ⎜ −6 −5 3 ⎟ → ⎜ 0 −1 1 ⎟ → ⎜ 0 −1 1 ⎟
⎜ 0 −2 2 ⎟
⎜0 0 0 ⎟
⎜ −6 −6 4 ⎟
⎝
⎠
⎝

⎠
⎝
⎠
Chọn x1 , x3 làm ẩn cơ sở, x 2 làm ẩn tự do. Cho x 2 = m, m ∈

, ta được

⎧⎪ x1 = − 1 m
3
⎨
⎪⎩ x3 = m

Vậy
V1 =

{( −

1
3

)

m, m, m m ∈

} = (−

1 ,1,1
3

)

=

( −1, 3, 3)

∗ Với λ 2 = 2 , ta có V2 chính là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất có ma trận hệ số
⎛ 2 2 −1 ⎞
⎛ 2 2 −1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A − λ 2I = ⎜ −6 −6 3 ⎟ → ⎜ 0 0 0 ⎟
⎜ −6 −6 3 ⎟
⎜0 0 0 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Chọn x 3 làm ẩn cơ sở, x1 , x2 làm ẩn tự do. Cho x1 = m, x 2 = n ; m, n ∈

, ta

được
x 3 = 2m + 2n .

Vậy
V2 =

{( m, n, 2m + 2n )

m, n ∈

} = (1, 0, 2) , ( 0,1, 2)

Hệ B′ = {e1′ , e′2 , e′3} , với e1′ = ( −1, 3, 3) , e′2 = (1, 0, 2) , e′3 = ( 0,1, 2 ) tạo thành một
cơ sở cho 3 . Do đó, A chéo hóa được và ma trận chéo hóa A chính là ma trận đổi
cơ sở từ cơ sở chính tắc qua cơ sở B′ ,
P = PB →B′

⎛ −1 1 0 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ 3 0 1⎟ .
⎜ 3 2 2⎟
⎝
⎠

Khi đó
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
P −1 AP = ⎜ 0 2 0 ⎟ .
⎜ 0 0 2⎟
⎝
⎠
Ví dụ 10. Chéo hóa ma trận sau, nếu có

69


⎛ −3 1 −1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −7 5 −1 ⎟
⎜ −6 6 −2 ⎟
⎝
⎠
Giải phương trình det ( A − λI) = 0
⎛ −3 − λ
1
−1 ⎞
⎡λ = 4
⎜
⎟
⇔ det ⎜ −7
5−λ
−1 ⎟ = 0 ⇔ ⎢ 1
⎢⎣ λ 2 = −2
⎜ −6
6
−2 − λ ⎟⎠
⎝
ta được hai trò riêng λ1 = 4 và λ 2 = −2 .
∗ Với λ1 = 4 , ta có V1 chính là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất có ma trận hệ số là
⎛ −7 1 −1 ⎞

⎛ 1 −1 1 ⎞
⎛ 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A − λ1I = ⎜ −7 −1 −1 ⎟ → ⎜ −7 1 −1 ⎟ → ⎜ 0 1 0 ⎟ .
⎜ −6 6 −6 ⎟
⎜ 0 −2 0 ⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Chọn x1 , x2 làm ẩn cơ sở, x 3 làm ẩn tự do. Cho x 3 = m, m ∈

, ta được

nghiệm
⎧ x1 = − m
⎪
⎨ x2 = 0 .
⎪x = m
⎩ 3
Vậy
V1 =

{( −m, 0, m ) m ∈ } = ( −1, 0,1)

∗ Với λ 2 = −2 , ta có V2 chính là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất có ma trận hệ số
⎛ −1 1 −1 ⎞
⎛ 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A − λ 2I = ⎜ −7 7 −1 ⎟ → ⎜ 0 0 1 ⎟
⎜ −6 6 0 ⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Chọn x1 , x3 làm ẩn cơ sở, x 2 làm ẩn tự do. Cho x 2 = m , m ∈
V2 =

{( m, m, 0) m, n ∈ } = (1,1, 0)

, ta được

.

Ta thấy dim V1 + dim V2 = 2 < 3 nên ma trận A không chéo hóa được.

70


Bài tập
1. Trong các ánh xạ sau đây, ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính

a) f :

3

→

3

, f ( x1 , x 2 , x 3 ) = ( x1 , 0, 0 ) .

b) f :

3

→

2

, f ( x1 , x 2 , x 3 ) = ( x1 , − x3 )

c) f :

4

→

2

d) f :

3

→

2

e) f :

3

→

3

, f ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = ( x1 + x 2 , x 3 − x4 ) .
, f ( x1 , x 2 , x 3 ) = ( x1 x 2 , x 3 ) .

, f ( x1 , x2 , x 3 ) = ( x1 + 3, x 2 , x3 ) .

2. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vectơ và
S = {u1 , u 2 ,..., u r } là một hệ các vectơ của V . Chứng minh rằng nếu hệ vectơ

f ( u1 ) , f ( u 2 ) ,..., f ( u r ) độc lập tuyến tính (trong W ) thì hệ vectơ S cũng độc lập

tuyến tính (trong V ).
3. Cho ánh xạ f :

2

→

2

xác đònh bởi
f ( x, y ) = ( x + 2y, 2x + y )

a) Chứng minh rằng f là một toán tử tuyến tính trên

2

{

.

}

b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = u1 = ( 2,1) , u 2 = ( 3, 2 ) .
4. Cho ánh xạ tuyến tính f :

3

→

2

xác đònh bởi

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( 2x1 , x2 − x3 )
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở
B : e1 = (1, 0, 0) , e2 = ( 0,1, 0) , e3 = ( 0, 0,1) trong
C : f1 = (1, 0) , f2 = ( 0,1) trong

2

2

và cơ sở

.

b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B trong
C ′ : f1′ = (1, 2 ) , f2′ = (1,1) trong

3

3

và cơ sở

.

c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B′ : e1′ = (1,1,1) , e′2 = ( 0,1, 2 ) , e′3 = ( 0, 0,1)
trong

3

và cơ sở C ′ trong

5. Cho ánh xạ f :

4

→

3

2

.

xác đònh bởi

f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( x1 − 2x2 , x2 − 2x3 , x3 − 2x4 )
a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở (B,C ) , với
71


{
C = {f = (1,1,1) , f = (1,1, 0 ) , f = (1, 0, 0 )} .

}

B = e1 = (1, −1, 0, 0) , e2 = ( 0,1, −1, 0 ) , e3 = ( 0, 0,1, −1) , e4 = ( 0, 0, 0,1) ,

1

2

3

6. Cho phép biến đổi tuyến tính f :

3

3

→

xác đònh bởi

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x2 − 2x3 , x1 + x2 , x1 )
Tìm ma trận của f đối với cơ sở B : e1 = (1,1, 0 ) , e2 = ( 0,1,1) , e3 = (1, 0,1) .
7. Xác đònh ánh xạ tuyến tính f : 3 →
B : e1 = (1,1, 0 ) , e2 = ( 0,1,1) , e3 = (1, 0,1) là

3

có ma trận đối với cơ sở

⎛1 2 0 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 1 −2 ⎟
⎜1 2 1 ⎟

⎝
⎠
Với u = ( 3, −2, 0 ) , tìm tọa độ của f ( u ) đối với cơ sở B .
8. Cho phép biến đổi tuyến tính f :

4

4

→

⎛1
⎜
−1
A=⎜
⎜2
⎜⎜
⎝0

với ma trận đối với cơ sở chính tắc là

0 2 1⎞
⎟
2 0 1⎟
0 1 1⎟
⎟
0 2 1 ⎟⎠

Xác đònh Ker f và tìm một cơ sở của nó.
9. Cho ánh xạ tuyến tính f :

4

→

3

xác đònh bởi

f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 , 3x1 + 4x2 + 6x3 + 7x4 , 3x1 + x2 + x3 + 4x4 )
Tìm một cơ sở của Ker f và một cơ sở của Im f .
10. Cho ánh xạ tuyến tính f :

3

→

3

xác đònh bởi

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − 2x2 + x3 , x2 + x3 , x1 + x2 − 2x3 )
Xác đònh số chiều và tìm một cơ sở cho Ker f , Im f .
11. Trong các ma trận sau đây, ma trận nào chéo hóa được ? Nếu chéo hóa được,
xác đònh ma trận chéo hóa nó cũng như ma trận chéo nhận được.
⎛ 1 −1 ⎞
a) ⎜
⎟
⎝1 3 ⎠

⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
c) ⎜ 1 −1 1 ⎟
⎜2 0 1⎟
⎝
⎠

⎛ 2 1⎞
b) ⎜
⎟
⎝ 2 3⎠

72


⎛ 5 4 6⎞
⎜
⎟
d) ⎜ 4 5 6 ⎟
⎜ −4 − 4 − 5 ⎟
⎝
⎠

⎛ 1 −4 −8 ⎞
⎜
⎟
e) ⎜ −4 7 −4 ⎟
⎜ −8 −4 1 ⎟
⎝

⎠

⎛ 0 0 1⎞
⎜
⎟
f) ⎜ 0 1 1 ⎟
⎜ 1 −1 1 ⎟
⎝
⎠

12. Cho B = {e1 , e2 , e3} là một cơ sở của không gian vectơ V . Phép biến đổi tuyến

tính f : V → V có ma trận đối với cơ sở này là A . Hãy tìm một cơ sở của V sao
cho đối với cơ sở này ma trận của f là một ma trận chéo
⎛ 2 −2 0 ⎞
⎜
⎟
a) A = ⎜ −2 1 −2 ⎟
⎜ 0 −2 0 ⎟
⎝
⎠
⎛ 5 −6 2 ⎞
⎜
⎟
b) A = ⎜ 6 −7 2 ⎟ .
⎜ 6 −6 1 ⎟
⎝
⎠

73