PHÒNG GD&ĐT NHƯ XUÂN
TRƯỜNG THCS THANH SƠN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: Toán– Lớp 7
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao
đề)
Đề bài:
Câu 1: ( 4 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau:
1
2 + 2 3 ÷ .0,75
a) A =
1
3 1 1
3 2 − 0,5 : 5 + 3 − 2 ÷
5.415.99 − 4.320.89
10 19
29
6
b) B = 5.2 .6 − 7.2 .27
1
1
1
1
− 1÷
2 − 1÷ 2 − 1÷ 2 − 1÷.....
2
3
4
100
c) C = 2
Câu 2:(4 điểm)
a) Một mảnh đất hình tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là 3(m); 4(m); 6(m)
và đường cao tương ứng là ha (m); hb (m); hc (m).
Tính diện tích mảnh đất biết: ha – hb + hc = 25 (m).
bz − cy cx − az ay − bx
=
=
a
b
c
.
b) BiÕt
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
a b c
= =
Chøng minh r»ng: x y z
Câu 3: (4 điểm)
a. Tìm x, biết: 5 x + 5 x+ 2 = 650
1
1
21
3 : 4 − 2x + 1 =
22
b. Tìm x, biết: 2 3
c.Tìm x, y, z biết: 3x = 2y ; 4y = 5z và - x - y + z = - 52 .
Câu 4: (6 điểm) Cho ∆ABC có góc A nhọn. Phía ngoài ∆ABC vẽ ∆BAD vuông cân
tại A, ∆CAE vuông cân tại A. Chứng minh:
a/ DC = BE; DC ⊥ BE
b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là
trung điểm của BC.
Câu 5: (2,0 điểm)
1) Cho ∆ABC nhọn với = 600. Chứng minh rằng:
BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
m+n
p
2) Cho m, n ∈ N và p là số nguyên tố thoả mãn: m − 1 = p .
Chứng minh rằng : p2 = n + 2.
-HếtHọ và tên : ………………… Lớp................................SBD.......................
Câu Đáp án
1
(4đ
)
Điểm
1
2 + 2 3 ÷ .0,75
a) A=
1
3 1 1 13 3 7 1 13
3 2 − 0,5 : 5 + 3 − 2 ÷ . − :
= 3 4 2 2 30
13 7 15
2 − 13
4
=
13 61 61
. =
= 4 26 8
b)
5.415.99 − 4.320.89
5.2 2.15.32.9 − 2 2.320.23.9
B = 10 19
=
5.2 .6 − 7.229.276 5.210.219.319 − 7.229.33.6
(
2 29.318 5.2 − 32
= 29 18
2 .3 ( 5.3 − 7 )
10 − 9 1
=
= 15 − 7 8
)
1
1
1
1
− 1÷
2 − 1÷ 2 − 1÷ 2 − 1÷.....
2
3
4
100
C = 2
1 − 4 1 − 9 1 − 16 1 − 1000
2 ÷ 2 ÷ 2 ÷.....
÷
2
= 2 3 4 100
1.3 2.4 3.5
99.101
. 2 . 2 .....
2
1002
= 2 3 4
1.101
101
−
−
= 100.2 = 200
−
−3 −8 −15
−9999
. 2 . 2 .....
2
100 2
= 2 3 4
(1.2.3.....99)(3.4.5.....101)
−
= (2.3.4.....100).(2.3.4.....100)
a) Theo bài ra ta có: .ha = .4.hb = .6.hc (=SABC)
2
(4đ
)
S ABC =
S ABC
3
ha = 2hb = 3hc
2
h
h
h
h − hb + hc 25
= a = b = c = a
=
= 25.2 = 50(m 2 )
2
1
1
2 1 1
1
− +
3
2
3
3 2 3
2
bz − cy cx − az ay − bx
a (bz − cy ) b(cx − az ) c (ay − bx)
=
=
=
=
2
b
c
b2
c2
b) a
= a
abz − acy + bcx − abz + acy − bcx
=0
a2 + b2 + c2
=
Suy ra:
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
bz − cy
b c
= 0 ⇒ bz = cy ⇒ =
a
y z
cx − az
c a
= 0 ⇒ cx = az ⇒ =
b
z x
ay − bx
a b
= 0 ⇒ ay = bx ⇒ =
c
x y
a b c
= =
x
y z
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
c) x( y + 3) – ( y +3) = 3
(x -1)( y + 3) = 3
x − 1 = ±1 x − 1 = ±3
;
y + 3 = ±3 y + 3 = ±1
3
Các cặp ( x;y) là: ( 2;0), ( 0;-6), ( 4;-2), (-2;-4)
a) Ta có: 5 x + 5 x+ 2 = 650
5x(1+52) = 650
5x.26 = 650
5x = 25=52
x=2
1
1
21
3 : 4 − 2x + 1 =
2
3
22
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Suy ra
2x+1=-1 hoặc 2x+1 =1
x = -1 hoặc x = 0
Vậy x = -1 và x = 0
c) Từ 3x = 2y => 15x = 10y => ;
từ 4y = 5z => 12y = 15z =>
=>
=> x = 40; y = 60; z = 48.
Hình vẽ
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
E
D
A
M
B
0,25
0,25
0,25
b)
4
(6đ
)
0,5
C
K
P
a) Chứng minh ∆ABE = ∆ADC (c.g.c)
⇒ DC = BE
=> mà BA ⊥ DA => DC ⊥ BE
b) Gọi M là giao điểm của BE và DC
Áp dụng định lí Pyta go vào các tam giác vuông MCE, MBD, MDE
và BMC ta được :
CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2;
BC2 = MB2 + MC2
⇒ BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2;
⇒ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
c) Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE
AE = AC(gt)
=> ∆ADE = ∆CPA (c.g.c) ⇒ CP = AD ⇒ CP = AB
(soletrong)
⇒ ∆CPK = ∆BAK (g.c.g) ⇒ BK = KC ⇒ đpcm
5
Hình vẽ
A
(2đ) 1)
60
0,75
0,5
0,75
1
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0
H
B
C
Kẻ BH ⊥ AC
Vì (1)
Áp dụng định lý Pitago ta có:
AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2
⇒ BC2 = AB2 – AH2 + HC2⇒ BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2
⇒ BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2
⇒ BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2)
Từ (1) & (2) ⇒ BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
2)
m+n
p
m − 1 = p => p2 = (m – 1)(m+n) (*)
Vì p là số nguyên tố nên p2 1; p2 p và p2 p2
Với m – 1 =1 và m+n=p2=> m = 2 thay vào (*) suy ra p2 = n+2
Với m – 1 = p và m+n=p => n=-1(vô lí vì n là số tự nhiên)
Với m-1=p2 và m+n=1 suy ra n=-p2 (vô lí vì n là số tự nhiên)
Vậy p2 = n+2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25