Đê fthi học sinh giỏi cấp huyện môn toán năm hoc 2017 2018

PHÒNG GD&ĐT NHƯ XUÂN
TRƯỜNG THCS THANH SƠN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: Toán– Lớp 7
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao
đề)

Đề bài:
Câu 1: ( 4 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau:

1

 2 + 2 3 ÷ .0,75 


a) A = 

 1
 3 1 1 
3 2 − 0,5 :  5 + 3 − 2 ÷




5.415.99 − 4.320.89
10 19
29
6
b) B = 5.2 .6 − 7.2 .27

 1
 1
 1
  1

− 1÷
 2 − 1÷ 2 − 1÷ 2 − 1÷..... 
2
 3
 4
  100

c) C =  2

Câu 2:(4 điểm)
a) Một mảnh đất hình tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là 3(m); 4(m); 6(m)
và đường cao tương ứng là ha (m); hb (m); hc (m).
Tính diện tích mảnh đất biết: ha – hb + hc = 25 (m).
bz − cy cx − az ay − bx
=
=
a
b
c
.

b) BiÕt
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6

a b c

= =
Chøng minh r»ng: x y z

Câu 3: (4 điểm)
a. Tìm x, biết: 5 x + 5 x+ 2 = 650
1 
1
 21
3 :  4 − 2x + 1  =
 22
b. Tìm x, biết: 2  3

c.Tìm x, y, z biết: 3x = 2y ; 4y = 5z và - x - y + z = - 52 .
Câu 4: (6 điểm) Cho ∆ABC có góc A nhọn. Phía ngoài ∆ABC vẽ ∆BAD vuông cân
tại A, ∆CAE vuông cân tại A. Chứng minh:
a/ DC = BE; DC ⊥ BE
b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là
trung điểm của BC.
Câu 5: (2,0 điểm)
1) Cho ∆ABC nhọn với = 600. Chứng minh rằng:
BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
m+n
p
2) Cho m, n ∈ N và p là số nguyên tố thoả mãn: m − 1 = p .

Chứng minh rằng : p2 = n + 2.


-HếtHọ và tên : ………………… Lớp................................SBD.......................

Câu Đáp án
1
(4đ
)

Điểm



1
 2 + 2 3 ÷ .0,75


a) A= 

 1
 3 1 1   13 3   7 1 13 
3 2 − 0,5 :  5 + 3 − 2 ÷  .   − : 

  =  3 4   2 2 30 

13  7 15 
 2 − 13 
4
=
13 61 61
. =
= 4 26 8

b)

5.415.99 − 4.320.89
5.2 2.15.32.9 − 2 2.320.23.9
B = 10 19
=
5.2 .6 − 7.229.276 5.210.219.319 − 7.229.33.6

(

2 29.318 5.2 − 32
= 29 18
2 .3 ( 5.3 − 7 )
10 − 9 1
=
= 15 − 7 8

)

 1
 1
 1
  1

− 1÷
 2 − 1÷ 2 − 1÷ 2 − 1÷..... 
2
 3
 4
  100


C = 2
 1 − 4  1 − 9  1 − 16   1 − 1000 
 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷..... 
÷
2
=  2  3  4   100 
1.3 2.4 3.5
99.101
. 2 . 2 .....
2
1002
= 2 3 4
1.101
101
−
−
= 100.2 = 200
−

−3 −8 −15
−9999
. 2 . 2 .....
2
100 2
= 2 3 4
(1.2.3.....99)(3.4.5.....101)
−
= (2.3.4.....100).(2.3.4.....100)

a) Theo bài ra ta có: .ha = .4.hb = .6.hc (=SABC)

2
(4đ
)

S ABC =

S ABC



3
ha = 2hb = 3hc
2

h
h
h
h − hb + hc 25
= a = b = c = a
=
= 25.2 = 50(m 2 )
2
1
1
2 1 1
1
− +
3
2

3
3 2 3
2

bz − cy cx − az ay − bx
a (bz − cy ) b(cx − az ) c (ay − bx)
=
=
=
=
2
b
c
b2
c2
b) a
= a
abz − acy + bcx − abz + acy − bcx
=0
a2 + b2 + c2
=

Suy ra:

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25

0,5
0,5
0,25

0,5
0,25
0,5
0,5

0,5


bz − cy
b c
= 0 ⇒ bz = cy ⇒ =
a
y z
cx − az
c a
= 0 ⇒ cx = az ⇒ =
b
z x
ay − bx
a b
= 0 ⇒ ay = bx ⇒ =
c
x y
a b c
= =

x
y z
Từ (1), (2) và (3) suy ra:

c) x( y + 3) – ( y +3) = 3
(x -1)( y + 3) = 3
 x − 1 = ±1  x − 1 = ±3
;

 y + 3 = ±3  y + 3 = ±1

3

Các cặp ( x;y) là: ( 2;0), ( 0;-6), ( 4;-2), (-2;-4)
a) Ta có: 5 x + 5 x+ 2 = 650
5x(1+52) = 650
5x.26 = 650
5x = 25=52
x=2
1 
1
 21
3 :  4 − 2x + 1  =
2 
3
 22

0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

Suy ra

2x+1=-1 hoặc 2x+1 =1
x = -1 hoặc x = 0
Vậy x = -1 và x = 0
c) Từ 3x = 2y => 15x = 10y => ;
từ 4y = 5z => 12y = 15z =>
=>
=> x = 40; y = 60; z = 48.
Hình vẽ

0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
E

D

A

M

B

0,25

0,25
0,25

b)

4
(6đ
)

0,5

C

K

P


a) Chứng minh ∆ABE = ∆ADC (c.g.c)
⇒ DC = BE

=> mà BA ⊥ DA => DC ⊥ BE
b) Gọi M là giao điểm của BE và DC
Áp dụng định lí Pyta go vào các tam giác vuông MCE, MBD, MDE
và BMC ta được :
CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2;
BC2 = MB2 + MC2
⇒ BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2;
⇒ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
c) Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE
AE = AC(gt)
=> ∆ADE = ∆CPA (c.g.c) ⇒ CP = AD ⇒ CP = AB
(soletrong)
⇒ ∆CPK = ∆BAK (g.c.g) ⇒ BK = KC ⇒ đpcm
5
Hình vẽ
A
(2đ) 1)
60

0,75
0,5
0,75

1
0,5
0,5

1
0,5
0,5

0

H

B

C

Kẻ BH ⊥ AC
Vì (1)
Áp dụng định lý Pitago ta có:
AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2
⇒ BC2 = AB2 – AH2 + HC2⇒ BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2
⇒ BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2
⇒ BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2)
Từ (1) & (2) ⇒ BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
2)

m+n
p
m − 1 = p => p2 = (m – 1)(m+n) (*)

Vì p là số nguyên tố nên p2 1; p2 p và p2 p2
Với m – 1 =1 và m+n=p2=> m = 2 thay vào (*) suy ra p2 = n+2
Với m – 1 = p và m+n=p => n=-1(vô lí vì n là số tự nhiên)
Với m-1=p2 và m+n=1 suy ra n=-p2 (vô lí vì n là số tự nhiên)
Vậy p2 = n+2

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25