Bồi dưỡng HS khá giỏi 12

Tr ờng THPT Bán công Triệu Sơn 2 D ơng Đình Dũng
Ngày 2 11- 2008
Bài tập ôn tập về hàm số

BT1: a, Tìm m, n để hàm số y = -x
3
+ mx + n đạt cực tiểu tại x = -1 và đồ thị của nó đi qua A ( 1, 4 )
b, KSVĐT với m, n vừa tìm đợc
BT 2 : a, Tìm m, n, p sao cho hàm số y = -
3
1
x
3
+ mx
2
+ nx + p đạt cực đại tại x = 3 và đồ thị tiếp xúc với
đờng thẳng y = 3x -
3
1
tại giao điểm của đồ thị với Oy
b, KSVĐT với m, n , p vừa tìm đợc
BT3 : Cho hàm số y = x
3
+ (m 1)x
2
2( m+ 1)x + m 2
CMR với mọi giá trị của m đồ thị luôn đi qua một điểm cố định
BT 4: a, KSVĐT hàm số : y = x
4
4x
2

+ 3
b, Từ đồ thị đó suy ra đồ thị hàm số
34
24
+=
xxy
c, Tìm m để Pt
34
24
+
xx
= 2m có 2 nghiệm phân biệt
BT 5 : Tìm m để
a, đờng thẳng y = 8x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = - x
4
2x
2
+ 3
b, đờng thẳng y = -x + 7 tiếp xúc với đồ thị hàm số
1
2

+
=
x
mx
y
BT 6 : Cho hàm số
1
2

=
x
x
y
có đồ thị (H)
a, KSVĐT hàm số
b, CMR
0

m
đờng thẳng y = mx 3m cắt (H) tại 2 điểm phân biệt trong đó ít nhất 1 giao
điểm
có hoành độ lớn hơn 2
BT 7 :a, KSVĐT hàm số :
1
2


=
x
x
y
(H)
b,CMR (P) y = x
2
+ 2 tiếp xúc với (H). Tìm tiếp điểm và viết PTTT chung của (P) và (H) tại tiếp
điểm đó
c, xét vị trí tơng đối của (H) và (P) tức là xác định mỗi khoảng mà trên đó (P) nằm trên hay dới (H)

Chú ý : Để hiểu đợc bài cần học bài cũ ngay và làm hết các bài tập
Để làm hết bài tập cần tự làm lại đợc các VD
Để tự làm lại các VD cần chú ý học và phải hỏi khi cha hiểu bài.
2 tuần sau nộp lại các bài làm cho GV.
Tr ờng THPT Bán công Triệu Sơn 2 D ơng Đình Dũng
đề ôn tập đh - hsg khối 12 môn toán
Phần : hàm số
Bài 1
Cho hàm số
1
2

=
x
x
y
a, Viết pt parabol đi qua điểm CĐ, CT và tiếp xúc với đờng thẳng y = -1/2
b, Tìm 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất
Bài 2
Tìm GTLN của hàm số
xxxxy sincoscossin
+=
Bài 3
a, Từ đồ thị hàm số
1
3
3

++=
x

xy
( C) suy ra đồ thị hs
1
4
2

+
=
x
xx
y
b, CMR đt y= 2x +m luôn cắt đồ thị ( C) tại 2 điểm có hoành độ x
1
, x
2
. Tìm m sao cho d = (x
1
-x
2
)
2

đạt GTNN
Bài 4
Từ đồ thị hs
1
12
2
+
++

=
x
xx
y
(C):
a, Tìm những điểm trên Oy sao cho từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới (C) và 2tt đó vuông góc với nhau
b , Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: A=
1cos
1coscos2
2
+
++
x
xx
Bài 5
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
1
1
4
cos
1
2
sin
22
+
+
+
+
=
x

x
x
x
y
Bài 6 : Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = xlnx đi qua điểm M ( 2, 1) ?
Bài 7 : Vẽ đồ thị hàm số
( )
2
2
22
41 xxxxy
+++=
Bài 8 : Cho hàm số : y =
3
1
x
3
- mx
2
-x + m + 1 (C)
a, Trong các tiếp tuyến của đồ thị (C) hãy tìm tiếp tuyến có hsg nhỏ nhất
b, CMR với mọi m hs luôn có CĐ, CT . Tìm m sao cho khoảng cách giữa CĐ , CT là nhỏ nhất
Bài 9
Cho hàm số
( )
2
62
2
+
+

=
mx
xmx
y
. CMR tại mọi điểm của đồ thị tiếp tuyến luôn cắt 2 tiệm cận tạo thành 1
tam giác có diện tích không đổi
Bài 10
Cho hàm số : y = x
4
- 4x
2
+ m (C) Giả sử (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt.
Tìm m sao cho hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox có diện tích phần trên và phần dới bằng nhau
Bài tập dành cho đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12
Tr ờng THPT Bán công Triệu Sơn 2 D ơng Đình Dũng
Chuyên đề: Đạo hàm và ứng dụng
-------------------------------------------------------
I. Chứng minh BĐT, tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bài 1 Chứng minh rằng
2
2cos
2
x
xxe
x
++
với mọi số thực x.
Bài 2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số

+=
2
cos61
2
sin
xx
y
Bài 3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số
xx
y
cossin
1
+
=
Bài 4 Tìm GTLN, GTNN của hàm số
xx
x
xf
cos1cos1
sin23
)(
++
+
=
Bài 5 Cho hàm số
,2008sin...2sinsin)(

200821
xaxaxaxf
+++=
với
*
Ra
i

.
Giả sử
[ ]
1;1,sin)(

xxxf
. Chứng minh rằng
12008...2
200821
+++
aaa
BàI 6 Cho
0
>
x
. Chứng minh rằng
( )
x
x
x ln
1
11ln

2
+<++
II. Đồ thị hàm số, tiệm cận, cực trị.
Bài 7 Cho họ đờng cong
2
1sin2cos
:)(
2
+
++
=
x
xx
yC


. Tìm

để đờng tròn có tâm ở gốc toạ độ và tiếp
xúc với TCX của họ
)(

C
có bán kính lớn nhất.
BàI 8 Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số
1
13

+
=

x
x
y
sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó tới hai
tiệm cận của đồ thị là nhỏ nhất.
Bài 9 Xác định m để hàm số
( )
m
x
x
m
x
x
my 2007
1
3
1
1
2
2
2
2
2
+

+









+
+=
có một cực trị duy nhất.
Bài 10 Tìm m để hàm số
2007)21(38
234
+++=
xmmxxy
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Bài 11 Tìm toạ độ điểm M thuộc đồ thị hàm số
1
1

+
=
x
x
y

sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận
một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Bài 12 Tìm a để hàm số
xaxy 2sin
+=
đồng biến trên R
BàI 13 Cho hàm số
2
5
3
2
2
4
+=
x
x
y
và điểm A có hoành độ
ax
A
=
thuộc (C ). Tìm a để tiếp tuyến của
(C ) tại A cắt (C ) tại hai điểm phân biệt B, C khác A sao cho ba điểm A, B, C có hoành độ tạo thành cấp
số cộng.
III. GiảI PT, HPT, BPT
BàI 14 Giải hệ phơng trình



=+

=++
02012
)1ln()1ln(
22
yxyx
yxyx
Tr ờng THPT Bán công Triệu Sơn 2 D ơng Đình Dũng
BàI 15 Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
m
x
xe
x
=+
2
sin
2
BàI 16 Giả sử hàm số
[ ] [ ]
1;01;0:

f
có đạo hàm trên đoạn
[ ]
1;0
và
[ ]
1;0,1)('
<
xxf
Chứng minh rằng phơng trình

xxf
=
)(
có nghiệm duy nhất thuộc đoạn
[ ]
1;0
.
Bài 17 Giải hệ phơng trình









<<
+=+
=

4
5
,
)2(3110
sin
sin
46

yx
yx
y
x
e
yx
Bài 18 Giải bất phơng trình
xx
xxxxxxx 3.42532.32253
222
++>++
Bài 19 Tìm số a nhỏ nhất sao cho bất phơng trình
222
)1()1(
+++
xxxxa
nghiệm đúng với
[ ]
1;0

x
.
Bài 20 Tìm m để hệ sau có nghiệm





=+
+

0163
045
2
2
xmxx
xx
Ngày 5 12 - 2008
Giáo án bồi dỡng đội tuyển hsg môn toán lớp 12 năm học 2008 2009
Chuyên đề : đạo hàm và ứng dụng Thời gian 3 tiết +
I, Mục đích :
- Kiến thức: Củng cố và nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và dụng của nó trong các bài
toán về tìm GTLN, GTNN, các btoán liên quan đến hàm số.
Tr ờng THPT Bán công Triệu Sơn 2 D ơng Đình Dũng
- Kĩ năng : Rèn luyện kĩ năng nhận dạng phân tích đề bài và định hớng cách làm của 1 bài toán,
làm đợc các bài tập ôn tập.
II, Phơng pháp : GV nêu vấn đề, định hớng cách giải quyết vấn đề, giới thiệu tài liệu và HD hs tự
ôn tập
III, Nội dung ôn tập :
Phần 1 : ứng dụng của đạo hàm để Tìm GTLN, GTNN của hàm số
VD1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
x
xx
y
1
2
++
=
với x > 0
HD :
Cách 1: Lập BBT

Ta có : y =
2
2
1
x
x

nên BBT
x

0 1
+

y \\\\\\\\\\\\\\ - 0 +
y
\\\\\\\\\\\\\\\\
+

+
\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\ 3
Suy ra Miny = 3 khi x = 1 và không có Max y
Cách 2 : Dùng BĐT :
3121
1
=++

+=
x
xy
. Suy ra Miny = 3 khi x = 1 và không có Maxy
Cách 3 ( Miền giá trị) : y thuộc miền giá trị của hàm số với x > 0 thì pt

x
xx
y
1
2
++
=

x
2
+ ( 1- y )x + 1 = 0 có nghiệm x > 0
3
0
0




>

y
S
Suy ra Miny = 3 khi x = 1 và không có Max y.
VD 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
xx
xxy
22
3
cos.sin
1
)sin(cos
++=
HD : Đặt t = sinx + cosx thì :
[ ]
2;2

t
Và sinx.cosx =
2
1
2

t


22
3
)1(
4
)(

+==
t
ttfy
với t
[ ]
{ }
1;1\2;2

Bài tập :
Bài 1 :Tìm GTLN, GTNN của hàm số
xx
x
xf
cos1cos1
sin23
)(
++
+
=
Bài 2 :Tìm GTLN, GTNN của hàm số






+=
2
cos61

2
sin
xx
y
Bài 3 :Tìm GTLN, GTNN của hàm số
xx
y
cossin
1
+
=
Bài 4 :Tìm GTLN của hàm số
xxxxy sincoscossin
+=
Bài 5 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số
1
1
4
cos
1
2
sin
22
+
+
+
+
=
x
x

x
x
y
Bài 6 : Cho a, b , c là các số dơng thoả mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1.
Tr ờng THPT Bán công Triệu Sơn 2 D ơng Đình Dũng
CMR :
2
33
222222

+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
HD : ta có b
2
+ c

2
= 1 a
2
nên BĐT
2
33
...
)1(
2
2
+


aa
a
rồi xét hsố f(x) = x(1 x
2
) với x

( 0 ,
1)
Phần 2 : Các bài toán liên quan đến hàm số.
Bài 1 Cho hàm số
1
2

=
x
x
y

a, Viết pt parabol đi qua điểm CĐ, CT và tiếp xúc với đờng thẳng y = -1/2
b, Tìm 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ
nhất
HD : a, gọi (P) y = ax
2
+ bx + c lập hệ pt ẩn a, b, c ta có a = 2 , b = -2 hoặc a = 1/2 , b = 1
b, Gọi 2 điểm là A, B thì AB
NN
=
4
2
1
1)12(22
=+
x

Bài 2
a, Từ đồ thị hàm số
1
3
3

++=
x
xy
( C) suy ra đồ thị hs
1
4
2

+
=
x
xx
y
b, CMR đt y= 2x +m luôn cắt đồ thị ( C) tại 2 điểm có hoành độ x
1
, x
2
. Tìm m sao cho
d = (x
1
-x
2
)
2
đạt GTNN
HD : a, Mở dấu







<

+

>

+
=

+
=
1
1
4
1
1
4
1
4
2
2
2
voix
x
xx
voix
x
xx
x
xx
y

nên đồ thị giữ nguyên phần bên phảI đờng thẳng x = 1 còn phần đồ thị bên trái đờng x = 1 đợc
lấy đối xứng qua Ox
b, Ta CM đợc đt y= 2x +m luôn cắt đồ thị ( C) tại 2 điểm có hoành độ x

1
, x
2
với mọi m và theo
Viet thì d = (x
1
-x
2
)
2
=
( )
436
9
1
2
+
m
suy ra d nhỏ nhất = 4 khi m = 0
Bài 3
Từ đồ thị hs
1
12
2
+
++
=
x
xx
y

(C):
a, Tìm những điểm trên Oy sao cho từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới (C) và 2tt đó vuông góc với nhau
b , Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: A=
1cos
1coscos2
2
+
++
x
xx
Bài 4 : Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = xlnx đi qua điểm M ( 2, 1) ?
Bài 5 : Vẽ đồ thị hàm số
( )
2
2
22
41 xxxxy
+++=
Bài 6 : Cho hàm số : y =
3
1
x
3
- mx
2
-x + m + 1 (C)
a, Trong các tiếp tuyến của đồ thị (C) hãy tìm tiếp tuyến có hsg nhỏ nhất