Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động 1

Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

MỤC LỤC
CHƢƠNG I ......................................................................................................................... 18
MÔ TẢ TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG ................................ 18
1.1. Khái niệm về điều khiển tự động. ........................................................................ 18
1.1.1. Khái niệm về điều khiển. .................................................................................. 18
1.1.2. Các phần tử cơ bản của hệ thống điều khiển tự động. ...................................... 19
1.1.3. Phân loại các hệ thống điều khiển. ................................................................... 21
1.2. Phép biến đổi Laplace. ............................................................................................. 22
1.3. Ma trận và các phép tính ma trận cơ bản. ................................................................ 25
1.4. Phƣơng trình trạng thái, không gian trạng thái, khảo sát hệ thống trong miền thời
gian ............................................................................................................................. 29
1.4.1. Phƣơng trình trạng thái dạng tổng quát. ........................................................... 29
1.4.2. PTTT biểu diễn bằng sơ đồ cấu trúc theo dạng toán tử Laplace. ..................... 32
1.4.3. Các quy tắc biến đổi sơ đồ khối:( Đại số sơ đồ khối)....................................... 37
1.4.3.1. Các phép biến đổi tƣơng đƣơng. ............................................................... 38
1.4.3.2. Chuyển đổi vị trí các tín hiệu..................................................................... 39
CHƢƠNG II ....................................................................................................................... 43
ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA CÁC KHÂU VÀ CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ
ĐỘNG. ................................................................................................................................ 43
2.1. Tín hiệu tác động vào của một khâu hay hệ thống tuyến tính. ................................ 43
2.1.1. Tín hiệu tác động vào của một khâu hay hệ thống. .......................................... 43
2.1.2. Phản ứng của một khâu hay hệ thống. .............................................................. 44
2.2. Đặc tính tần số của một khâu: ................................................................................. 45
2.2.1. Đặc tính tần số biên – pha: ............................................................................... 45
2.2.2. Đặc tính tần số logarit. ...................................................................................... 47
2.3. Phân loại các khâu động học điển hình. .................................................................. 48
2.3.1. Các khâu bậc 1, bậc 2: ...................................................................................... 48

2.3.2. Các khâu vi phân: ............................................................................................. 48
2.3.3. Các khâu tích phân: .......................................................................................... 48
2.4. Đặc tính động học của các khâu bậc 1, bậc 2: ......................................................... 48
2.4.1. Khâu khuếch đại. .............................................................................................. 48
2.4.2. Khâu quán tính bậc một .................................................................................... 50
2.4.4. Khâu không ổn định bậc 1 ................................................................................ 53
2.5. Đặc tính động học của các khâu vi phân ................................................................. 54
2.5.1. Khâu vi phân lý tƣởng ...................................................................................... 54
Bộ môn ĐK&TĐH

Page 15
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

2.5.2. Khâu vi phân bậc một ....................................................................................... 55
2.6. Đặc tính động học của khâu tích phân .................................................................... 56
2.7. Đặc tính động học của khâu chậm trễ...................................................................... 57
CHƢƠNG III ...................................................................................................................... 59
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG ....................................... 59
3.1. Khái niệm chung ...................................................................................................... 59
3.2. Tiêu chuẩn đại số. .................................................................................................... 62
3.2.1. Điều kiện ổn định cần thiết của hệ thống ĐKTĐ ............................................. 62
3.2.2. Tiêu chuẩn Routh (điều kiện đủ). ..................................................................... 63
3.2.3. Tiêu chuẩn Hurwits (điều kiện đủ): .................................................................. 66
3.3. Tiêu chuẩn tần số ..................................................................................................... 68
3.3.1. Tiêu chuẩn Mikhailov ....................................................................................... 68

3.3.2. Tiêu chuẩn Nyquist ........................................................................................... 70
3.3.2.1. Tiêu chuẩn Nyquist theo đặc tính tần số biên pha ..................................... 70
3.3.3.2. Tiêu chuẩn Nyquist theo đặc tính tần số logarit. ....................................... 75
3.6. Phƣơng pháp quỹ đạo nghiệm số............................................................................. 81
3.6.1. Phƣơng pháp xây dựng quĩ đạo nghiệm số ...................................................... 81
CHƢƠNG IV ...................................................................................................................... 87
THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN ............................................................................................ 87
4.1. Phân tích hệ thống ................................................................................................... 87
4.1.1 Tính sai số hệ thống ở trạng thái xác lập. .......................................................... 87
4.1.2. Quá trình quá độ hệ thống ................................................................................ 91
4.1.3. Quan hệ giữa chất lƣợng hệ thống với vị trí điểm cực và điểm không của hàm
truyền đạt .................................................................................................................... 98
4.1.4. Tính điều khiển và quan sát đƣợc của hệ thống. ............................................ 101
4.1.4.1. Tính điều khiển đƣợc của hệ thống. ........................................................ 101
4.1.4.2. Tính quan sát đƣợc của hệ thống ............................................................. 103
4.2. Bộ điều khiển PID ................................................................................................. 106
4.2.1.Tiêu chuẩn thiết kế bộ điều khiển. ................................................................... 106
4.2.2. Hệ thống điều khiển tự động với các quy luật điều chỉnh chuẩn. .................. 108
4.2.2.1.Quy luật tỷ lệ P( Proportional). ................................................................ 108
4.2.2.2.Quy luật tích phân I (Integral). ................................................................. 110
4.2.2.3.Quy luật tích phân tỷ lệ PI (Proportional - Integral). ............................... 112
4.2.2.4.Quy luật vi phân tỷ lệ PD (Proportional – Differential) ........................... 112
4.2.2.5.Quy luật vi -tích phân -tỷ lệ PID: ............................................................. 113
4.2.3. Xác định thông số của đối tƣợng điều khiển(ĐTĐK) .................................... 113
4.2.3.1. Xác định bằng phƣơng trình toán học. .................................................... 113
Bộ môn ĐK&TĐH

Page 16
-

Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

4.2.3.2.Xác định bằng đặc tính quá độ h(t)........................................................... 114
4.2.3.3.Phƣơng pháp thực nghiệm chủ động áp dụng cho các khâu khác. ........... 115
4.2.4. Thiết kế bộ điều khiển PID ............................................................................. 119
4.2.4.1. Phƣơng pháp xác định tham số PID của Ziegler-Nichols ....................... 120
4.2.4.2. Phƣơng pháp Chien-Hrones-Reswick. .................................................... 122
4.2.4.3. Phƣơng pháp tối ƣu độ lớn. ..................................................................... 124
4.2.4.4. Phƣơng pháp tối ƣu đối xứng .................................................................. 129
4.2.5. Phƣơng pháp cho trƣớc điểm cực. .................................................................. 135
4.2.6. Phƣơng pháp cân bằng mô hình ..................................................................... 136
4.2.6.1. Thíêt kế bộ điều khiển cân bằng hàm truyền đạt hệ hở ........................... 136
4.2.6.2. Thiết kế bộ điều khiển cân bằng hàm truyền đạt hệ kín. ......................... 137
4.2.8. Bộ điều khiển phản hồi trạng thái ................................................................... 139

Bộ môn ĐK&TĐH

Page 17
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

CHƢƠNG I
MÔ TẢ TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

1.1. Khái niệm về điều khiển tự động.
1.1.1. Khái niệm về điều khiển.
* Trong mọi hoạt động của con ngƣời ở mọi nơi, mọi lúc, mọi lĩnh vực, vị trí đều liên
quan đến thuật ngữ: Điều khiển.
* Điều khiển nói chung có thể hiểu là tập hợp tất cả các tác động mang tính tổ chức đến
một quá trình nào đó nhằm đạt được mục đích mong muốn về quá trình đó.
Ví dụ:
- Điều khiển trong lĩnh vực xã hội: Điều khiển một cuộc họp, điều khiển hoạt động kinh
doanh của một công ty.
- Điều khiển trong lĩnh vực kỹ thuật: Điều khiển các máy công cụ (Tiện, phay, bào, khoan,
mài...), điều khiển hoạt động của một dây chuyền cán thép...
- Điều khiển trong lĩnh vực sinh học: Điều khiển các giai đoạn sinh trƣởng và phát triển
của một loại cây trồng.
- Điều khiển là nhân tố cuối cùng quyết định mọi thành bại của các hoạt động.
* Điều khiển học (Cybernetic): Là khoa học nghiên cứu những quá trình điều khiển và
truyền thông trong máy móc, sự vật, kinh tế. Nó mang tính tổng quát. Trong đó, có thể
chia ra: Toán điều khiển, điều khiển học kỹ thuật, điều khiển học kinh tế...
* Điều khiển học kỹ thuật: Là khoa học nghiên cứu về quá trình thu thập thông tin, xử lý
thông tin và tác động lên hệ thống để đáp ứng của hệ thống”gần” với các mục đích định
trước.
* Lý thuyết điều khiển tự động (LTĐKTĐ): Là cơ sở lí thuyết của điều khiển học kỹ
thuật.
* Điều khiển tự động: Là thuật ngữ chỉ quá trình điều khiển một đối tượng trong kỹ thuật
mà không có sự tham gia trực tiếp của con người ( Automatic), ngược lại với quá trình
điều khiển bằng tay ( Manual).
* Cơ sở lí thuyết điều khiển tự động (CSLTĐKTĐ): Là phần lí thuyết cơ bản của
LTĐKTĐ.
* Khái niệm về điều chỉnh:
* Điều chỉnh: Là một khái niệm hẹp hơn điều khiển. Điều chỉnh là tập hợp tất cả các tác
động nhằm giữ cho một tham số nào đó của quá trình ổn định hay thay đổi theo một quy

luật nào đó. ( Đó chính là tham số cần điều chỉnh).
*Cấu trúc của 1 hệ thống ĐCTĐ tương tự nhƣ của HTĐKTĐ (chỉ khác là ý nghĩa điều
khiển đƣợc thay bằng điều chỉnh).
* Cơ sở LTĐKTĐ chỉ nghiên cứu các quá trình trong hệ thống điều chỉnh tự động.
- Phƣơng pháp để TBĐC tạo ra tín hiệu điều chỉnh gọi là phƣơng thức điều chỉnh. Có ba
phƣơng thức điều chỉnh là: Phƣơng thức điều chỉnh theo chƣơng trình, phƣơng thức bù
nhiễu và phƣơng thức điều chỉnh theo sai lệch:
+ Phƣơng thức điều chỉnh theo chƣơng trình:tín hiệu điều chỉnh đƣợc phát ra do một
chƣơng trình định sẵn trong TBĐC.
+ Phƣơng thức bù nhiễu: tín hiệu điều chỉnh đƣợc hình thành khi xuất hiện nhiễu loạn tác
động lên hệ thống. Tín hiệu điều chỉnh phát ra nhằm bù lại sự tác động của nhiễu loạn để

Bộ môn ĐK&TĐH

Page 18
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

giữ cho giá trị ra của đại lƣợng cần điều chỉnh không đổi. Do đó hệ thống bù nhiễu còn
đƣợc gọi là hệ thống điều khiển bất biến.
+ Phƣơng thức điều chỉnh theo sai lệch hình thành có sự sai lệch giữa giá trị mong muốn
và giá trị đo đƣợc của đại lƣợng cần điều chỉnh.
Trong kỹ thuật thƣờng sử dụng phƣơng thức điều chỉnh theo sai lệch (hình 1.1).
N(Nhiễu)
TBCĐ

x

TBSS

e

KCN

u

CCCH

TBCN

TBĐ

y

Hình 1.1
TBCĐ: thiết bị đặt giá trị chủ đạo x, là giá trị mong muốn của đại lƣợng cần điều chỉnh.
TBSS: thiết bị so sánh giá trị chủ đạo x và giá trị đo đƣợc y của đại lƣợng cần điều chỉnh
để xác định sai lệch e =x-y. Giá trị x cũng đƣợc gọi là giá trị nhiễu đặt trƣớc.
KCN: là khối chức năng nhằm tạo ra tín hiệu điều chỉnh u theo giá trị sai lệch u=f(e).
CCCH: cơ cấu chấp hành thực hiện tác động điều chỉnh u lên ĐTĐC.
TBCN: thiết bị công nghệ có tín hiệu ra là đại lƣợng cần điều chỉnh.
TBĐ: thiết bị đo để xác định giá trị y của đại lƣợng cần điều chỉnh.
N: Tác động nhiễu phụ tải, là tác động không mong muốn từ bên ngoài lên hệ thống.
1.1.2. Các phần tử cơ bản của hệ thống điều khiển tự động.
- Một hệ thống điều khiển tự động gồm ba phần chủ yếu:
+ Thiết bị điều khiển (TBĐK) hay C (Controller): Tập hợp tất cả các phần tử của hệ thống

nhằm tạo ra tín hiệu điều khiển tác động lên ĐTĐK, tín hiệu này gọi là tác động điều
khiển.
+ Đối tƣợng điều khiển (ĐTĐK) hay O (Object): Là phần tử tồn tại khách quan, tín hiệu ra
là đại lƣợng cần điều khiển.
+ Thiết bị đo lƣờng (TBĐL) hay M (Measuring Device): Đo lƣờng và biến đổi tín hiệu ra
để đƣa vào đầu vào của TBĐK.
N
R

U

TBĐK
F

ĐTĐK

Y

TBĐL

Hình 1.2
R: Tín hiệu chủ đạo (chuẩn, tham chiếu) ( Reference) thƣờng gọi là tín hiệu vào ( Input).
U: Tín hiệu điều khiển.
N: Tín hiệu nhiễu tác động từ bên ngoài vào hệ thống.
F: Tín hiệu phản hồi (hồi tiếp).
Y: Tín hiệu cần điều khiển (Tín hiệu ra).
* Hệ thống điều khiển kín (Closed loop control system): Là hệ thống điều khiển có
phản hồi ( feed back), nghĩa là tín hiệu ra được đo lường và đưa về thiết bị điều khiển.
Bộ môn ĐK&TĐH

Page 19
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

Tín hiệu phản hồi kết hợp với tín hiệu vào cho ra tín hiệu điều khiển. Cơ sở lí thuyết
nghiên cứu hệ thống kín là Lí thuyết điều khiển tự động.
Một ví dụ cơ bản về hệ thống điều khiển kín là hệ thống điều khiển nhiệt độ. Nhiệt độ là
đại lƣợng tham gia vào nhiều quá trình công nghệ: sản xuất xi măng, gạch men, nhựa ,cao
su ,hóa dầu ,thực phẩm… Mục tiêu điều khiển thƣờng là giữ cho nhiệt độ ổn định.Tín hiệu
ra là nhiệt độ sẽ đƣợc đo lƣờng và so sánh với tín hiệu đặt (tín hiệu vào mong muốn), bộ
điều khiển có vai trò tác động lên đối tƣợng điều khiển (lò nhiệt) nhằm duy trì nhiệt độ
nhƣ mong muốn.

Sơ đồ khối hệ thống điều khiển nhiệt độ
Nhìn chung một hệ thống điều khiển kín có ƣu điểm là phản ứng khá nhanh và chính xác
với những thay đổi theo mệnh lệnh, nhƣng nhƣợc điểm là tƣơng đối phức tạp (giá thành
cao hơn).
* Hệ thống điều khiển hở (Open-loop control system ):
Những hệ thống điều khiển mà tín hiệu ra không đƣợc phản hồi và không có tác động lên
tín hiệu điều khiển thì đƣợc gọi là hệ điều khiển hở. Nói một cách khác, trong hệ thống
điều khiển hở thì tín hiệu ra không đƣợc đo hoặc không đƣợc phản hồi để so sánh với tín
hiệu vào.
Trong hệ thống điều khiển hở, tín hiệu ra không đƣợc so sánh với tín hiệu vào dự định
(reference input) .Vì thế mỗi tín hiệu vào dự định sẽ tƣơng ứng với một điều kiện hoạt
động cố định, kết quả là độ chính xác của hệ thống phụ thuộc vào sự xác định trƣớc. Khi
có nhiễu thì hệ thống điều khiển hở sẽ không thực hiện đƣợc công việc theo ý muốn.

Trong thực tế hệ thống điều khiển hở chỉ đƣợc sử dụng khi đã biết mối quan hệ giữa tín
hiệu vào,tín hiệu ra và khi không có tín hiệu nhiễu bên trong lẫn bên ngoài.
Nói chung hệ thống điều khiển hở có ƣu điểm là khá đơn giản, dễ vận hành, giá rẻ, tin
cậy đƣợc, dễ bảo quản, nhƣng có nhƣợc điểm là phản ứng chậm với những thay đổi mệnh
lệnh, thiếu chính xác.
Cơ sở lý thuyết nghiên cứu hệ thống hở là lí thuyết về Rơle và lí thuyết ôtômát hữu hạn.

Bộ môn ĐK&TĐH

Page 20
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

* Các nguyên tắc điều khiển cơ bản.
Bất kì hệ thống ĐKTĐ nào cũng bị tác động của nhiễu và gây ra sai số. Hiện nay, có ba
nguyên tắc điều khiển cơ bản.
- Nguyên tắc điều khiển theo sai lệch.
- Nguyên tắc điều khiển theo phƣơng pháp bù nhiễu.
- Nguyên tắc điều khiển hỗn hợp theo sai lệch và bù nhiễu.
Trên hình 1.4 vẽ sơ đồ hệ thống điều khiển theo nguyên tắc hỗn hợp. Trong hệ thống
tín hiệu y(t) là tín hiệu ra , f(t) là nhiễu tác động vào đối tƣợng điều khiển.

(-)

+

z

Hình 1.4.Nguyên tắc điều khiển hỗn hợp.
Nhiễu f(t) tác động lên đối tƣợng điều khiển ví dụ theo chiều hƣớng làm tăng tín
hiệu ra y(t). Trong hệ có đƣa vào một số thiết bị bù K có tác dụng ngƣợc dấu với f , nghĩa
là v tác dụng bù về phía trƣớc TBĐK C để làm tín hiệu E giảm bớt. Nếu f tác dụng nên
ĐTĐK O để làm giảm tín hiệu ra y thì thiết bị bù K lại tạo ra tín hiệu bù v làm tăng E cuối
cùng làm tăng y.
Ngoài các nguyên tắc điều khiển cơ bản nhƣ đã nói ở trên ngƣời ta còn nêu ra nguyên
tắc khác nhƣ:
- Nguyên tắc điều khiển theo chƣơng trình.
- Nguyên tắc điều khiển thích nghi.
1.1.3. Phân loại các hệ thống điều khiển.
Việc phân loại hệ thống ĐKTĐ có thể thực hiện theo nhiều phƣơng pháp khác nhau.
Ngƣời ta có thể chia thành các hệ thống điều khiển điển hình sau:
- Hệ thống ĐKTĐ tuyến tính: Là hệ thống khi tất cả các phần tử trong hệ thống đều là
tuyến tính. Đây là phần cơ bản nhất của lí thuyết điều khiển tự động. Đặc trƣng cơ bản
nhất của các phần tử tuyến tính là chịu tác động của nguyên lý xếp chồng. Nghĩa là khi có
một tổ hợp tín hiệu tác động ở đầu vào của phần tử thì tín hiệu ra sẽ bằng tổ hợp tƣơng
ứng của các tín hiệu ra thành phần. Hệ thống phi tuyến tính không chịu tác động của
nguyên lý này.
Bộ môn ĐK&TĐH

Page 21
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

- Hệ thống phi tuyến: Là hệ thống chỉ cần một phần tử phi tuyến tính có trong hệ.
- Hệ thống liên tục: Các tín hiệu tác động là các hàm liên tục theo thời gian.
- Hệ thống rời rạc hay hệ thống xung số. Trong đó chỉ cần có một tín hiệu là một hàm rời
rạc theo thời gian.
- Hệ thống tiền định: Là hệ thống trong đó tất cả các tín hiệu truyền đạt là các hàm theo
thời gian xác định.
- Hệ thống ngẫu nhiên: Là hệ thống trong đó có ít nhất một tín hiệu là hàm ngẫu nhiên.
- Hệ thống tối ƣu: Là hệ thống điều khiển phức tạp, trong đó thiết bị điều khiển có chức
năng tổng hợp đƣợc một tín hiệu điều khiển u(t) tác động lên đối tƣợng nhằm chuyển
trạng thái ĐKTĐ từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối với khoảng thời gian ngắn nhất.
- Hệ thống thích nghi (hay còn gọi là hệ thống tự chỉnh): Là hệ thống có khả năng thích
ứng một cách tự động những biến đổi của điều kiện môi trƣờng và đặc tính của đối tƣợng
điều khiển bằng cách thay đổi tham số và cấu trúc sơ đồ của thiết bị điều khiển.
1.2. Phép biến đổi Laplace.
- Bài toán mở rộng tập hợp số: Tập hợp các số phức đƣợc xác định khi ngƣời ta tìm ra
nghiệm của phƣơng trình: x 2  1  0 và cùng với nó là lí thuyết về trƣờng số phức, trong
đó có phép biến đổi Laplace.
- Phép biến đổi Laplace đƣợc ứng dụng rất có hiệu quả trong việc giải các bài toán vi phân
tuyến tính, lí thuyết mạch điện, điện tử, cơ học, lí thuyết điều khiển tự động.
Bản chất của phép biến đổi Laplace trong lý thuyết điều khiển tự động đƣợc dùng dể biến
đổi tín hiệu của hệ thống từ miền thời gian sang miền tần số phức, các phƣơng trình vi
phân đƣợc chuyển đổi thành các phƣơng trình đại số thông thƣờng để thuận tiện cho việc
tính toán.
Nếu có một hàm gốc f(t) có đối số theo thời gian thì ảnh Laplace của nó kí hiệu là F(p)
đƣợc tính theo công thức:



F(p) =  f (t ).e

 p.t .dt

(1.1)

0

F(p): Hàm ảnh.
f(t): Hàm gốc.
p: Biến toán tử Laplace.
Kí hiệu: f(t)  F(p) = L f(t)


- Điều kiện tồn tại tích phân là:



f (t )e  pt dt  

0

- Mặt khác, để có đƣợc lời giải cho phƣơng trình theo ẩn t, ta thực hiện phép biến đổi
Laplace ngƣợc:
f(t) =

1 c j
p.t
 F ( p).e .dp
2j c j

(1.2)

Kí hiệu : F(p)  f(t) = L -1F(p).
Trong đó:
C là hằng số thực lớn hơn tất cả các phần thực của nghiệm của phƣơng trình F(p) = 0.
Bộ môn ĐK&TĐH

Page 22
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

Trong thực tế ngƣời ta đã tính sẵn một số hàm cơ bản và khi cần ta có thể tra bảng mà
không phải tính toán trực tiếp bằng các tích phân trên nữa.
Bảng ảnh gốc của một số hàm đặc biệt
f(t)
 (t )

F(p)
1
1
p
1
p2
1
p3
1

pa
1
( p  a) 2
1
( p  a) 3
a
p( p  a)
a
2
p ( p  a)
p
( p  a) 2
a
2
a  p2
p
2
p  a2
a
( p  a) 2  c 2
pa
( p  a) 2  c 2

1
T
1 2
t
2

e  at

t.e  at
1 2  at
t .e
2
1  e  at

1
(at  1  e at )
a

e  at (1  at )
sin at

cos at
e  at . sin ct
e  a cos ct

* Bổ túc về các tính chất của phép biến đổi Laplace:
Cho f1(t) và f2(t) là hai hàm theo thời gian có biến đổi Laplace là:
Lf1(t)=F1(p) ; Lf2(t)= F2(p)
1/ Tính tuyến tính:
L[af1(t) ±bf2(t)]
= aF1(p) ±b F2(p)
2/ LK*f(t)
= K*Lf(t) = K*F(p) ( Với K  R)
3/ Ảnh của đạo hàm:
Bộ môn ĐK&TĐH

Page 23

-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

L

df (t )
 = p*F(p) – f(0+)
dt

Giá trị ban đầu của f(t) khi t0 từ phía 0+
4/ Lf

(n)’

d n f (t )
(t) = L
 = pnF(p) - pn-1f(0+) - pn-2f’(0+) - … -fn-1(0+)
n
dt

Nếu các điều kiện đầu triệt tiêu thì: Lf(n)’(t) = pnF(p)
5/Ảnh của tích phân


L  f (t )dt =
0



F ( p) 1 
  f (t )dt 
p
p 0
t 0



6/ L   ... f (t )dt n  =
0



F ( p) 1 
1 

f
(
t
)
dt



n 1  
pn
p n  0

 t 0 p 




0




1
f (t )dt 
 ...    ... f (t )dt n 
p
0
 t 0
 t 0 
2

Khi các điều kiện đầu triệt tiêu thì:




0



L   f (t )dt  



 F ( p)
F ( p)
; L   ... f (t )dt n   n
p
p
0



7/ Định lí dịch chuyển:

L f (t  T )1(t  T )  e  p F ( p) Với : t  T

8/ Định lí giá trị đầu :

Limf (t)  Limp.F(p)
t 0

p

9/ Định lí giá trị cuối :

Limf (t)  Limp.F(p)
t 

p0

* Muốn thực hiện phép biến đổi ngƣợc, ta phân tích biểu thức ban đầu thành các biểu thức

đơn giản rồi sử dụng các công thức biến đổi cơ bản đã biết ở trên. Ngƣời ta đã lập sẵn
bảng ảnh – gốc thực hiện các phép biến đổi cho một số hàm số thƣờng gặp. Có thể tìm
chúng trong các sách về lí thuyết mạch hay LTĐKTĐ.
* Một số ví dụ minh họa :


1/ f (t )  C  const  F ( p)  LC   Ce

 pt

0

e  pt
dt  C
p



2/ f (t )  e at  F ( p)  Le at    e at e  pt dt 
0

3/ f (t )  e

 at



   e

 F ( p)  L e

 at

 at  pt

e

e ( p a )t
 ( p  a)

4/ f (t )  t  F ( p)  Lt   te  pt dt  t
0
b

b

a

a

1
p


0


0





C
p

1
pa

1
pa

dt 

0




0



  e at e  pt dt 
0

1
p2

( Nhớ lại rằng :  udv  uv ba   vdu )

5/ Viết phƣơng trình Laplace mô tả mạch điện sau:
R
u1

C

Bộ môn ĐK&TĐH

u2

Page 24
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

du
du
1
idt  i  C 2 . Vậy, u1  RC 2  u 2

C
dt
dt
du 2 (t )
Đặt : RC = T thì : u1 (t )  RC
 u 2 (t )
dt

Ta có : u1 = iR + u2 ; u2 =

(*)

Giả thiết : u1(t) = k = const.
k
 TpU 2 ( p)  U 2 ( p) ; Do đó :
p
T
1
1
1
k
1
U 2 ( p) 
k  k  k(
 ) . Mà : k  ; e at 
1 p
Tp  1
p
p
pa
p
T
t / T
Vậy, u 2 (t )  k (1  e ) .

Biến đổi Laplace phƣơng trình (*)  U 1 ( p) 

1.3. Ma trận và các phép tính ma trận cơ bản.
Ma trận là một mảng các số hoặc kí hiệu đƣợc sắp xếp thứ tự theo m hàng và n cột. Ta có
các kí hiệu khác nhau nhƣ:

 a11 a12 ..a1j.. a1n 
a
a 22 ..a 2 j.. a 2n 
 21

A  [A]  [a ij ]   a i1 a i2 ..a ij.. a in 


... 
... .... ...
a m1 a m1 ..a mj.. a mn 


Trong đó : aij là các phần tử của ma trận A(m x n).
Hai ma trận A và B bằng nhau nếu các phần tử tƣơng ứng bằng nhau: aij = bij
1.3.1 Các loại ma trận cơ bản:
1- Ma trận hàng:
Ma trận chỉ có 1 hàng, cỡ 1xn( m=1)
Kí hiệu: B  [B]  [b1j ]   b1

b2 ... bn 

Còn gọi là vectơ hàng.
2- Ma trận cột
Ma trận chỉ có 1 cột, cỡ mx1(n=1)

 c11 
c 
21
kí hiệu : C  [C]  [Ci1 ]   
 ... 
 
cm1 
còn gọi là vectơ cột.
3-Ma trận vuông:
Bộ môn ĐK&TĐH

Page 25
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

Ma trận có số hàng và số cột bằng nhau (m=n)
Cấp của ma trận vuông là số hàng (cột)
Tính toán định thức và nghịch đảo chỉ tiến hành đƣợc trên ma trận vuông.
4- Ma trận đƣờng chéo:
Ma trận vuông có các số hạng bằng 0 trừ các số hạng trên đƣờng chéo chính.
5- Ma trận vô hƣớng:
Ma trận chéo nhƣng các số hạng khác 0 đều bằng nhau.
6- Ma trận đơn vị
Ma trận chéo có mọi số hạng trên đƣờng chéo chính bằng 1
7- Ma trận rỗng:
Ma trận có mọi số hạng đều bằng 0

8- Ma trận đối xứng:
Ma trận mà các số hạng đối xứng nhau qua đƣờng chéo chính có giá trị bằng nhau

a ij  a ji
9- Ma trận phản xứng:
Ma trận mà các số hạng đối xứng nhau qua đƣờng chéo chính có giá trị đối nhau

a ij  a ji
Các số hạng trên đƣờng chéo chính đều bằng 0.
10- Ma trận tam giác:
-

Ma trận tam giác trên ( phải): các số hạng bên dƣới ( trái) đƣờng chéo chính đều
bằng 0.

Ma trận tam giác dƣới ( trái): các số hạng bên trên (phải) đƣờng chéo chính đều
bằng 0.
1.3.2 Các phép tính ma trận cơ bản:
Phép tính ma trận đƣợc dùng để giải các bài toán điều khiển trong không gian trạng
thái.
-

1-Phép chuyển vị:
A’là ma trận chuyển vị của ma trận A nếu hoán vị cột của ma trận A thành hàng của
ma trận A’
(A.B)’ = B’.A’
(1.3)
2- Phép cộng( trừ) hai ma trận:
C = A+B
cij = aij+bij.

Tính chất:
A +B = B+A
A +(B +C) = (A + B) +C.
Trừ ma trận: D = A- B, hay là dij = aij – bij
Bộ môn ĐK&TĐH

(1.4)

Page 26
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

4- Phép nhân hai ma trận:
Điều kiện: Hai ma trận phải tƣơng thích, nghĩa là số cột của ma trận đứng trƣớc phải bằng
số hàng của ma trận đứng sau.

Cmxp   Amxn .Bnxp
n
cij =  a .b
(i=1  m; j=1  n )
ik
kj
k 1
Chú ý: Phép nhân này không có tính chất giao hoán.

- Một ma trận nhân với một đại lƣợng vô hƣớng thì mỗi một phần tử của ma trận đều nhân

với lƣợng vô hƣớng đó.( phép nhân này có tính chất giao hoán).



k.A = k.aij 



(1.5)

5-Vết của ma trận: Là tổng tất cả các phần tử trên đƣờng chéo chính của ma trận vuông:

n

Tr A =  aii

(1.7)

i1

6- Phần phụ đại số : Nếu định thức A, ta bỏ đi hàng thứ i và bỏ đi cột thứ j và giữ lại
(n -1) hàng và (n -1) cột và lấy dấu bằng (-1) i j , đó là phần phụ đại số của phần tử của
ma trận A, kí hiệu Aij. Đây là cơ sở để tính ma trận nghịch đảo.
a11
Ví dụ: A = a 21
a31

a12
a 22
a32

a13 
a 23  ; Ta tính các phần phụ đại số:
a33 

Bộ môn ĐK&TĐH

Page 27
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

a 22
A11  (1)11 
a32

a 23 
 a 22 .a33  a32 .a 23
a33 

a 21
A12  (1)1 2 
a31

a 23 
  (a 21.a33  a31.a 23 )
a33 



a 21
A13  (1)13 
a31

a 22 
  a 21.a32  a31.a 22
a32 


a12
A21  (1) 21 
a32

a13 
  (a12 .a33  a32 .a13 )
a33 


a11
A33  (1) 33 
a 21

a12 
  a11. a 22  a 21.a12
a 22 

8- Định thức của ma trận vuông A(n x n) là tổng đại số của n! số hạng lập nên các phần
tử của ma trận.

a

Ví dụ ma trận A =  11
a 21
a

Det(A) = A =  11
a 21

a12
a 22


 , định thức của nó là det(A) hay A


a12 
= a11.a22  a21.a12
a 22 

(1.8)

9- Phép nghịch đảo ma trận
Cho ma trận vuông A( a ij ) , i = 1, 2, 3…., m ; j= 1, 2, 3…, n, trong đó aij là những
số thực hoặc phức, nói cách khác A  R mn . Nếu tồn tại một ma trận B thoả mãn:
AB = BA = I
thì ma trận B đƣợc gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và kí hiệu là B = A 1
- Công thức tính ma trận nghịch đảo:
A 1 

Adj ( A)
det( A)

(1.9)

- Chuyển vị của ma trận nghịch đảo và nghịch đảo của nghịch đảo:

A   A 
1 '

'

A   A
1

10- Trị riêng và vectơ riêng.
Ta xét phƣơng trình véc tơ: y  A.x

(1.10)

Bộ môn ĐK&TĐH

Page 28
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

với x và y là các véc tơ cột , còn A là ma trận vuông. Ý nghĩa của phƣơng trình này là có
một véc tơ x, qua phép biến đổi ma trận A nó sẽ thành vec tơ y có cùng một hƣớng với vec
tơ x. Nếu tồn tại một véc tơ x nhƣ vậy thì ta nói y tỉ lệ với x hay là quan hệ của x và y là
một phép tỉ lệ tuyến tính với hệ số  . Lúc đó ta có thể viết:
y  A.x  .x

(1.11)

với  là một đại lƣợng vô hƣớng, là hệ số tỉ lệ.
Đây chính là bài toán về trị riêng hay là số đặc trƣng của ma trận A mà với giá trị
của  , ví dụ i để cho phƣơng trình y = Ax có nghiệm xi  0 đƣợc gọi là véc tơ riêng
hay véc tơ đặc trƣng.
Ta có: y = Ax hay là : ( A  .I ).x  0

(1.12)

Phƣơng trình này có nghiệm không tầm thƣờng khi và chỉ khi :
Det(A -  I) = 0
Phƣơng trình (1.13) gọi là phƣơng trình đặc trƣng.

(1.13)

1.4. Phƣơng trình trạng thái, không gian trạng thái, khảo sát hệ thống trong miền
thời gian.
1.4.1. Phƣơng trình trạng thái dạng tổng quát.
Trƣớc hết, ta xét ví dụ về mạch điện gồm ba phần tử : R, L, C:

Hình 1-5
Điện áp đặt vào mạch là u1. Phƣơng trình mô tả trạng thái động:

u u u u
R
L C
1
u1  iR 

hoặc:

Ldi
dt

(1.14)

 u2

(1.15)
trong đó:

1
u  u   idt
2
C C

(1.16)

Trạng thái của mạch đƣợc quyết định bởi điện áp ra u2 và dòng điện i. Ta gọi u2 và i là các
biến trạng thái.Ta viết lại hệ phƣơng trình nếu đặt:
u2 = x1 là biến trạng thái thứ nhất
i = x2 là biến trạng thái thứ hai.
Ta có:

Bộ môn ĐK&TĐH

Page 29
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

iC

du

2
dt

.
1
x  x
 1 C 2

.
1
R
1
 x 2   x1  x2  u1
L
L

L




di
R 1
1
 i u  u
2
dt
L L
L 1

(1.17)

Dạng chính tắc của hệ trên đƣợc viết lại nhƣ sau:
1

 x1  0.x1  C x2  0.u1

 x   1 x  R x  1 .u
 2
L 1 L 2 L 1

(1.18)

Hay viết dƣới dạng ma trận:
 x1  0
  

 
  
   1
 x 2   L

 x 

1 
C 


R
 
L

x 

 x1 
 
 +
 
 
 x2 

 
0 
 
  . u1
1
 

L

0

1/ C 

(1.19)

0



Kí hiệu x   1  ; x   1  ; A = 
 ; B = 1 / L 
 1 / L  R / L 


 x 2 
 x2 
Khi đó ta có phƣơng trình:
X  A. X  B.u

(1.20)

gọi là phƣơng trình trạng thái.
Không gian hai chiều gồm trạng thái dòng điện i = x2 và điện áp trên tụ C là u2 = x1
đƣợc gọi là không gian trạng thái. Vì giữa x1 và x2 có mối liên hệ: x2 = C.x1 và không gian
có hai toạ độ x1 , x2 cũng là x1 và x1 đƣợc gọi là không gian pha.
*Một cách tổng quát , đặc tính động học của hệ thống điều khiển tƣ̣ động thƣờng đƣợc mô
tả bằng hàm truyền đạt , xác định từ hàm truyền đạt của các phần tử trong hệ thống bằng

các phép biến đổi đại số sơ đồ khối:
W ( p) 

Y ( p) b0 . p m  b1. p m1  b2 . p m2  ......  bm

X ( p) a0 . p n  a1. p n1  a2 . p n2  ......  an

hoặc nếu thay p = j vào hàm truyền đạt , ta có hàm truyền tần số , tƣ̀ đó , nghiên cƣ́u đặc
tính động học trong miền tần số qua các đặc tính tần số .
Mặt khác , đặc tính động học của hệ thống cũng có thể nghiên cứu trong miền thời gian
qua phƣơng trình vi phân dạng tổng quát:
a0 .

dny
d n1 y
dy
d mx
d m1 x
dx

a
.

.....

a
.

a
.

y

b
.

b
.
 .....  bm1 .  ...  bm x
1
n 1
n
0
1
n
n 1
m
m 1
dt
dt
dt
dt
dt
dt

Tuy nhiên, ý nghĩa hàm truyền đạt chỉ tồn tại ở hệ tuyến tính có một tín hiệu vào
một tín hiệu ra (Single Input – Single Output: SISO) hoặc nhiều tín hiệu vào một tín hiệu
ra (Multi Input – Single Output: MISO), không có ý nghĩa ở hệ MIMO . Trong trƣờng hợp
đó, ngƣời ta thay thế hàm truyền đạt bằng hệ phƣơng trình trạng thái.
Bộ môn ĐK&TĐH

Page 30
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

* Hệ phƣơng trình trạng thái dạng tổng quát:
Nếu mô tả đặc tính động học của hệ thống điều chỉnh tự động dạng phƣơng trình vi
phân (PTVP):
dny
d n1 y
dy
a0 . n  a1 . n1  .....  an1 .  an . y  K .x(t )
dt
dt
dt

(*)

x(t): Tác động ở đầu vào.
Chuyển

(*)

y1  y; y2 

thành

n

phƣơng

trình

vi

phân

bậc

1

với

đặt

biến:

dy
dy
dy dy1

; y3  2 .....; yn  n1
dt
dt
dt
dt

 dy1
 dt  y 2

 dy 2  y

3
Ta có:  dt
.................

 dy n  K .x(t )  A y  A y  .......  A y  A y
0
1 n
2 n 1
n 1 2
n 1
 dt

Với: A1 

cách

(1-21)

a
a1
a
K
; A2  2 ....... An  n ; K 0 
a0
a0

a0
a0

y1, y2, ........, yn: Các biến trạng thái của hệ thống.
Hệ (1-21) gọi là hệ phƣơng trình trạng thái của hệ thống. Nghĩa là, nếu biết (1-21) và trạng
thái của hệ thống tại một thời điểm nào đó, ta sẽ biết đƣợc trạng thái của hệ thống tại các
thời điểm tiếp theo.
* Các ma trận chuyển trạng thái:
Ngoài ra, có thể viết (1-21) dƣới dạng ma trận vectơ:
 0
 y '1  
 ,   0
y 2    .
....... 

  ...
,
 y n   A
 n

1
0
.
...
 An1

  y1  0 
  y  0 
  2  
 . ....  + ....  .x(t)

    
. . ....  ..... ..... 
. .  A1   y n   K 0 

0 .
1 .
. .

0
0
.

 y1 
y 
 2
y(t )  1 0 . . 0. . 
 
. 
 yn 
 

Các phƣơng trình ma trận vectơ viết gọn:
 y ,  A. y  B.x(t )

 y(t )  C. y

(**)

(**) là hệ phƣơng trình trạng thái.
Bộ môn ĐK&TĐH

Page 31
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

y: Vectơ trạng thái của hệ thống; x(t): Tín hiệu vào; y(t): Tín hiệu ra; A, B, C: Các ma
trận.
 0
 0

A=  .

 ...
 An

1
0
.

0 

0 

 

 ; B= ....  ; C= 1 0 . . 0

 

. . .... 
..... 
 K 0 
. .  A1 

0 .
1 .
. .

...
 An1

0
0
.

Các biến trạng thái cũng có thể chọn theo những cách khác nhau. Chẳng hạn, một cách
phổ biến là lập mô hình hệ thống (sơ đồ cấu trúc hệ thống) sử dụng phần tử tích phân

1
.
p

1.4.2. PTTT biểu diễn bằng sơ đồ cấu trúc theo dạng toán tử Laplace.
* Chuyển đổi phƣơng trì nh trạng thái về hàm truyền đạt.
Ví dụ: Vẫn với mạch điện R, L, C nhƣ hình 1.5 ta đã có phƣơng trình (1.17):
1


 x1  C .x2


u
 x   1 x  R x  1
L 1 L 2 L
 2
Qua phép biến đổi laplace ta viết lại hệ nay nhƣ sau:

Hay:

1

 pX1( p)  C X 2 ( p)


u ( p)
1
R

1
pX
(
p
)


X
(
p

)

X
(
p
)


2
L 1
L 2
L


(1.22)

1 1

 X 1( p)  C . p X 2 ( p)


U ( p) 1

R
 X ( p)  1 . 1
 X ( p)  X ( p)
 2
p  L
L 1
L 2 



(1.23)

Ta thế X 2 ( p)  pCX 1 ( p) từ (1.22) vào vế trái phƣơng trình (1.23) và ta có phƣơng trình
sau:

1 U ( p) 1
R
pCX ( p)  ( 1
 X ( p)  X ( p))
1
1
p
L
L
L 2

(1.24)

Hay là:

1 1 1 U ( p) 1
R
X ( p)  . . .( 1
 X ( p)  X ( p))
1
1
p C p
L

L
L 2

(1.25)

Từ phƣơng trình (1.25) ta biến đổi thành: (T .T p 2  T p  1) X ( p)  U ( p) .Trong đó, đặt:
1 2
2
1
1
X ( p)
1
T1 = L/R ; T2 = RC. Đặt tỉ số: 1
(1.26)

 W(p)
U ( p) T T p 2  T p  1
1
1 2
2
W(p) đƣợc gọi là hàm truyền đạt của mạch.

Bộ môn ĐK&TĐH

Page 32
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

Vậy ta có định nghĩa: Hàm truyền đạt của hệ thống là tỷ số của tín hiệu ra với tín
hiệu vào của hệ thống đó biểu diễn theo biến đổi laplace với điều kiện ban đầu triệt tiêu.
Hàm truyền đạt có thể có nhiều dạng, nhƣng tổng quát ta viết đƣợc:
b0 p m  b1 p m1  ....  bm1 p  bm B( p)
W(p) =

A( p)
a 0 p n  a1 p n1  .....  a n1 p  a n

(1.27)

Trong biểu thức (1.27), nếu ta tính đƣợc các nghiệm của đa thức B(p) ở tử số, ta gọi
các điểm đó là điểm không (zero), còn các nghiệm của đa thức A(p) ở mẫu số ta gọi là các
điểm cực (poles).
Kết luận: Các bƣớc xác định hàm truyền đạt từ PTTT:
- Tƣ̀ hệ phƣơng trì nh trạng thái, hoặc sơ đồ khối cấu trúc
- Chuyển sang phép biến đổi Laplace.
- Tìm cách thế các biến để cuối cùng đƣa về dạng :

Y(p)
Y(p)
 W(p)  W(p) 
X(p)
X(p)

*) Định nghĩa hàm truyền đạt từ đặc tính động học: Đặc tính động học mô tả sự thay
đổi của tín hiệu ra theo (t) khi có tác động ở đầu vào. Ngƣời ta thƣờng mô tả quá trình
động học xảy ra trong các phần tử bằng các phƣơng trình vi phân tuyến tính có dạng tổng

quát : a0

dny
d n1 y
dy
d mx
d m1 x
dx

a

...

a

a
y

b

b
 ...  bm1
 bm x
1
n 1
n
0
1
n
n 1

m
m
dt
dt
dt
dt
dt
dt

Trong đó : a0, ……, an ; b0,……. Bm : Các hệ số (m  n).
Sử dụng phép biến đổi Laplace với 2 tính chất cơ bản (Tính chất tuyến tính và đạo hàm) :
-Nếu Ly(t )  Y ( p); Lx(t )  X ( p) thì : Lay(t )  bx(t )  aLy(t ) bLx(t )  aY ( p)  bX ( p)
d n y 
 p nY ( p)
n 
dt



- Nếu Ly(t )  Y ( p) thì : L

Vậy, ta có : (a0 p n  a1 p n1  ...  an1 p  an )Y ( p)  (b0 p m  b1 p m1  ...  bm1 p  bm ) X ( p)
Do đó : W ( p) 

Y ( p) b0 p m  ......  bm

X ( p)
a0 p n  ...  an

(1-28)

(1-28) đƣợc gọi là hàm truyền đạt của phần tử hay hệ thống.
* Vậy, hàm truyền đạt của 1 phần tử hay hệ thống là tỉ số giữa chuyển đổi Laplace của tín
hiệu ra chia cho chuyển đổi Laplace của tín hiệu vào với điều kiện ban đầu triệt tiêu.
- Phƣơng trình ở mẫu : a0pn + a1pn-1 + .... +an-1p +an = 0 gọi là phƣơng trình đặc tính của
phần tử hay hệ thống.
* Chú ý: Khái niệm hàm truyền chỉ có ở hệ tuyến tính và không phụ thuộc vào kích thích
hay sơ kiện.
- Nếu biết W(p) sẽ tìm đƣợc đáp ứng Y(p) với một kích thích X(p) bằng cách: y(t) = L 1
Y(p), với Y(p) = W(p).X(p).
* Chuyển đổi hàm truyền đạt về phƣơng trì nh trạng thái.
Nếu hệ thống đang đƣợc mô tả động học bằng hàm truyền đạt , cũng có thể chuyển
đổi sang mô tả bằng hệ phƣơng trì nh trạng thái.
Bộ môn ĐK&TĐH

Page 33
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

Ví dụ: Xét hệ thống bậc 3, tƣ̉ số bậc 1, mẫu số bậc 3:
W ( p) 
a0

0. p 3  0. p 2  b2 . p  b3
Y ( p)


; Suy ra: Phƣơng trì nh vi phân của hệ thống là :
X ( p) a0 . p 3  a1. p 2  a2 . p  a3

d3y
d2y
dy
dx

a
 ...  a2
 a3 y  b2
 b3 x . Hay :
1
3
2
dt
dt
dt
dt

d3y
dx
d2y
dy

b

b
x


a

a
 a3 y . Tƣ̀ đây, thiết lập sơ đồ cấu trúc của hệ
2
3
1
2
dt
dt 3
dt
dt 2
thống :
B2

p

y’’(t)

y’’’(t)
B3

1/p

x(t)

(-)

(-)

A3

y’(t)

y1=y(t)
1/p

1/p

(-)
A1

A2

Qua vài phép biến đổi đại số đơn giản (chuyển đổi bộ cộng, tín hiệu ra), ta đƣợc sơ đồ
khối tƣơng đƣơng nhƣ sau:

B2
y’3

B3
x(t)

(-)
A3

1/p

y’2

y3

1/p

(-)

y’1

y2

1/p

y1=y(t)

(-)

A2

A1

Tƣ̀ sơ đồ cấu trúc, viết hệ hệ phƣơng trì nh trạng thái của hệ thống:
 y '1  y 2  a1 . y1
 '
 y 2  y3  b2 .u  a 2 . y1
 '
 y 3  b3 .u  a3 . y
 y  y  b .u
1
0


* Kết luận: Các bƣớc xác định PTTT hay hệ PTTT từ hàm truyền :

Bộ môn ĐK&TĐH

Page 34
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

- Xác định hàm truyền W ( p) 

Y ( p) b0 p m  ......  bm Y ( p)
của hệ thống.


X ( p)
X ( p)
a0 p n  ...  an

- Chuyển đổi về dạng phƣơng trì nh vi phân:
(a0 p n  a1 p n1  ...  an1 p  an )Y ( p)  (b0 p m  b1 p m1  ...  bm1 p  bm ) X ( p)

Suy ra: a0
Rút ra :

(1-29)

dny
d n1 y
dy
d mx
d m1 x
dx

a

...

a

a
y

b

b
 ...  bm1
 bm x .
1
n 1
n
0
1
n
n 1
m

m
dt
dt
dt
dt
dt
dt

dny
d mx
d m1 x
dx
d n1 y
dy

B

B

...

B

b
x

A
 An1
 An y
0

1
m1
m
1
n
m
m
n 1
dt
dt
dt
dt
dt
dt

(1-30)
(1-31)

- Chuyển hàm truyền đạt của hệ thống về dạng :
W ( p) 

Y ( p) B0 p m  B1 p m1 ......  Bm
(mn)

X ( p)
p n  A1 p n1 ...  An

(1-32)

- Xây dƣ̣ng sơ đồ khối cấu trúc của hệ thống theo nguyên tắc sau :

+ Số khâu tích phân bằng max (m,n), tín hiệu vào trƣớc khâu tích phân là đạo hàm tín hiệu
ra của khâu đó .
+ Các hệ số A1, A2, …, An nằm ở các khối phản hồi âm phía dƣới.
+ Các hệ số B0, B1, B2,…., Bm nằm ở các khối bù phía trên.
+ Các hệ số Ai, Bj với các chỉ số đều tăng từ phải sang trái . Các hệ số gắn với p bậc bao
nhiêu thì tƣơng ƣ́ng sẽ nối với bộ cộng nằm cách đúng tƣ̀ng đó khâu tí ch phân

1
trong sơ
p

đồ cấu trúc tí nh tƣ̀ trái qua phải . Hệ số nào bằng không thì khâu đó không có trong sơ đồ .
Sơ đồ khối cấu trúc dạng tổng quát nhƣ sau:

Bm-1
y’n

Bm
x(t)

(-)
An

1/p

B1
y’n-1

yn

1/p

yn-1

B0
y’1

y2

(-)

1/p

y1

y(t)

(-)

An-1

A1

Hình 1.6
- Xác định HPT trạng thái của hệ thống dạng đầy đủ :

Bộ môn ĐK&TĐH

Page 35
-

Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

 y (t )  y1  B0 x(t )
 '
 y1  y 2  A1 y (t )  B1 x(t )
 '
 y 2  y3  A2 y (t )  B2 x(t )

.............................................

 y n'  Bm x(t )  An y (t )


 y (t )  y1  B0 x(t )
 '
 y1  y 2  A1 y1  ( B0  B1 ) x(t )
 '
 y 2  y3  A2 y1  ( B1  A2 B0 ) x(t )
...........................................................

 y n'   An y1  ( Bm  An B0 ) x(t )


(1-33)

Hay rút gọn:

Hệ SISO tuyến tính có hệ phƣơng trình trạng thái rút gọn dạng tổng quát :
 y '  A. y  B.x(t )

 y(t )  C. y  D.x(t )

(1-34)

( Ma trận B là vectơ cột b, ma trận C thành vectơ hàng c T, ma trận D thành số thƣ̣c d).
Ví dụ 1: Xét hệ thống có m=n=3, a0=1: W ( p) 

Y ( p) b0 . p 3  b1 . p 2  b2 . p  b3

U ( p) a0 . p 3  a1 . p 2  a2 . p  a3

Ta xây dựng sơ đồ cấu trúc nhƣ sau:
b2
y’3

b3
u

1/p

y’2

y3

(-)
a3

b1

1/p

b0
y’1

y2

(-)

1/p

y1

y

(-)
a1

a2

Hình 1.7
 y '1  y 2  b1 .u  a1 . y  y 2  b1 .u  a1 . y1  a1 .b0 .u
 '
 y 2  y3  b2 .u  a2 . y  y3  b2 .u  a2 . y1  a2 .b0 .u
Ta có:  '
 y 3  b3 .u  a3 . y  b3 .u  a3 . y1  a3 .b0 .u
 y  y  b .u
1

0


 y '1    a1 1 0  y1   b1  a1 .b0 
 '  
  

 y 2    a2 0 1. y 2   b2  a2 .b0 .u
 y ' 3    a 0 0  y  b  a .b 
   3
  3  3 3 0

 y1 

 y  1 0 0. y   b .u

  2
0


  

 y3 

 y '  A. y  B.u (t )
Hay: 
 y (t )  C. y  D.u (t )

Bộ môn ĐK&TĐH

Page 36
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

  a1
A   a 2
  a3

1 0
0 1 ; B 
0 0

 b1  a1.b0 
b  a .b  ; C 
 2 2 0
b3  a3 .b0 



1 0 0 ; D  b0 



Ví dụ 2: Chuyển hàm truyền sau sang phƣơng trình trạng thái:
W ( p) 

Y ( p)
2. p  4
 3
U ( p) p  3. p 2  2. p  2

Giải:
Ta viết lại hàm truyền đạt dƣới dạng đầy đủ :
W ( p) 

Y ( p) 0. p 3  0. p 2  2. p  4

U ( p) 1. p 3  3. p 2  2. p  2

Sơ đồ cấu trúc tƣơng đƣơng:
2
y’3

4
u

1/p

y’2

y3

(-)
2

1/p

y’1

y2

(-)
2

1/p

y1

(-)
3

Hình 1.8
 y '1  y 2  3. y  y 2  3. y1
 '
 y 2  y3  2.u  2. y  y3  2.u  2. y1
Hay viết dƣới dạng ma trận:
 '
 y 3  4.u  2. y  4.u  2. y1
y  y
1

 y '1    3 1 0  y1  0
 '  
   
 y 2    2 0 1. y 2   2.u
  y ' 3    2 0 0  y   4

  
  3  

 y1 

 y  1 0 0. y   0.u

  2


  

 y3 

 y '  A. y  B.u (t )
Hay: 
 y (t )  C. y  D.u (t )
1.4.3. Các quy tắc biến đổi sơ đồ khối:( Đại số sơ đồ khối).

Bộ môn ĐK&TĐH

Page 37
-

y


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

* Đại số sơ đồ khối là thuật toán để xác định hàm truyền đạt của hệ thống khi biết đƣợc
hàm truyền đạt của các phần tử thành phần. Nó bao gồm: Thuật toán để xác định hàm
truyền đạt của các phần tử mắc nối tiếp, mắc song song, mạch phản hồi và nguyên lí
chuyển đổi tín hiệu.
1.4.3.1. Các phép biến đổi tương đương.
* Hệ thống gồm các phần tử mắc nối tiếp.
Hệ thống gồm các phần tử đƣợc gọi là mắc nối tiếp nếu: Tín hiệu ra của phần tử
trƣớc là tín hiệu vào của phần tử sau. Do đó, tín hiệu vào của hệ thống là tín hiệu vào của
phần tử đầu tiên, tín hiệu ra của phần tử cuối cùng là tín hiệu ra của hệ thống.
y1
yn-1
x = x1
W1
W2
Wn
……
x2
xn
yn = y
Hình 1-9
Do đó:
n

Yn = WnXn = WnWn-1Yn-1 = ... =



W1 X . Suy ra: W ( p) 

i 1

n
Y ( p)
  Wi ( p)
X ( p) i 1

(1.35)

Kết luận: Hàm truyền đạt của hệ thống gồm các phần tử mắc nối tiếp bằng tích số hàm
truyền đạt của các phần tử thành phần.
* Hệ thống gồm các phần tử mắc song song.
Hệ thống gồm các phần tử mắc song song nếu tín hiệu vào của hệ thống là tín hiệu
vào của các phần tử thành phần, tín hiệu ra của hệ thống bằng tổng đại số tín hiệu ra của
các phần tử thành phần:
X =X1
X =X2
X

W

Y1
Y2

W



.............................
X =X3

Y

Yn

W

Hình 1-10

Ta có: Y1 = W1X1 = W1X
Y2 = W2X2 = W2X

Suy ra: Y =

n

n

i 1

i 1

 Yi   W i X

…………………..
Yn = WnXn = WnX
Vậy:

W ( p) 

n
Y ( p)
  Wi ( p)
X ( p) i 1

(1-36)

Kết luận: Hàm truyền của hệ thống gồm các phần tử mắc song song bằng tổng đại số hàm
truyền của các phần tử thành phần.
* Hệ thống có mạch mắc phản hồi.
Hệ thống gồm có 2 mạch: Mạch thuận và mạch phản hồi. Tín hiệu ra của mạch
thuận là tín hiệu ra của hệ thống, là tín hiệu vào của mạch phản hồi.

Bộ môn ĐK&TĐH

Page 38
-


Đề cƣơng bài giảng Lý Thuyết ĐKTĐ1

Khoa Điện – Điện tử

X

Xt

Yt = Yn

X

Wt

Yt = Yn

Xt

(-)

Wt

(+)

Wn

Wn

Hình 1-11
Mạch phản hồi âm:
Xt = X- = X- Yn
Y = WtXt = Wt(X –Yn) = WtX -WtYn

Mạch phản hồi dƣơng:
Dễ dàng chứng minh đƣợc:
W ( p) 

Mà: Yn = WnXn = WnY
Suy ra: W ( p) 

Wt

Y ( p)
(1-38)

X ( p) 1  WtWn

Wt
Y ( p)
(1-37)

X ( p) 1  WtWn

1.4.3.2. Chuyển đổi vị trí các tín hiệu.
- Chuyển đổi vị trí tín hiệu nhằm đơn giản hóa sơ đồ khối, chuyển đổi các mạch liên kết
(các mối liên hệ) phức tạp thành các mạch liên kết (các mối liên hệ) đơn giản trong sơ đồ
khối, chẳng hạn: Mạch mắc song song, mạch mắc nối tiếp, mạch mắc phản hồi... Dựa vào
đó để xác định hàm truyền đạt của hệ thống.
- Nguyên tắc: Không làm thay đổi đƣờng truyền tín hiệu trong hệ thống.
* Chuyển đổi tín hiệu vào.
- Chuyển đổi tín hiệu vào từ trƣớc 1 khối ra sau khối đó:
X2

X2

W

Y

Y
W
X1

X1

W

Hình 1-12
Ta có: Y = (X1 +X2)W
- Chuyển đổi tín hiệu vào từ sau 1 khối ra trƣớc khối đó:
X1
X1
X2

1/W

X2

W

Y
W

Hình 1-13
* Chuyển đổi tín hiệu ra.
- Chuyển đổi tín hiệu ra từ trƣớc 1 khối ra sau khối đó:
Y1

Y1
X

1/W

X

W

W
Y2

Y2

Hình 1-14
- Chuyển đổi tín hiệu ra từ sau 1 khối ra trƣớc khối đó:
Bộ môn ĐK&TĐH

Page 39
-