Bài giảng môn toán cao cấp 1

Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1:
1.1

1.2

1.3

Tập hợp, ánh xạ và số phức

1
4

Tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Khái niệm về tập hợp. . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Các phép toán về tập hợp. . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Tích Đề các. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Ánh xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1

Định nghĩa ánh xạ. . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2

Đơn ánh.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.3

Toàn ánh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.4

Song ánh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.5

Ánh xạ ngược của một song ánh. . . . . . . . .

16

1.2.6

Tích của hai ánh xạ. . . . . . . . . . . . . . . .

17

Số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.1

Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.2

Dạng chính tắc của số phức. . . . . . . . . . . .

19

1.3.3

Dạng lượng giác của số phức. . . . . . . . . . .

22

1.3.4

Các phép tính của các số phức biểu diễn ở dạng
lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

24


Chương 2:

Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến

tính
2.1

2.2

2.3

33
Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.1.1

Khái niệm ma trận, các dạng ma trận

. . . . .

34

2.1.2

Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . .

38

2.1.3

Ma trận chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.2.1

Định thức của ma trận vuông . . . . . . . . . .

45

2.2.2

Các tính chất của định thức . . . . . . . . . . .

47

2.2.3

Cách tính định thức bằng biến đổi sơ cấp . . . .

55

Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.3.1

2.4

Ma trận nghịch đảo và sự tồn tại ma trận nghịch
đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.3.2

Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo . . .

59

2.3.3

Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.3.4

Phương pháp tính hạng của ma trận . . . . . .

68

Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.4.1

Dạng tổng quát của một hệ phương trình tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.2

Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm 75

2.4.3

Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 76

Chương 3:
3.1

3.2

73

Không gian vectơ

99

Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

3.1.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

3.1.2

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.1.3

Các tính chất của không gian vectơ . . . . . . . 106

Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

ii


3.3

3.2.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.2.2

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Cơ sở và số chiều của không gian vectơ . . . . . . . . . 111
3.3.1

Tổ hợp tuyến tính của họ vectơ . . . . . . . . . 111

3.3.2

Hệ sinh của không gian vectơ . . . . . . . . . . 112

3.3.3

Họ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.3.4

Cơ sở của không gian vectơ . . . . . . . . . . . 118

3.3.5

Số chiều của không gian vectơ . . . . . . . . . . 119

3.3.6

Tính chất về cơ sở và số chiều . . . . . . . . . . 121

3.3.7

Tọa độ của vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.4

Không gian con sinh bởi một họ vectơ . . . . . . . . . 125

3.5

Bài toán đổi cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.5.2

Ma trận chuyển cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . 130

Chương 4:
4.1

4.2

4.3

Ánh xạ tuyến tính

135

Khái niệm ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.1.2

Các phép toán về ánh xạ tuyến tính . . . . . . . 139

4.1.3

Các tính chất đầu tiên của ánh xạ tuyến tính . 140

Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . 141
4.2.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.2.2

Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.2.3

Hạng của ánh xạ tuyến tính. Định lý về số chiều 145

Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 148
4.3.1

Khái niệm ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . 148

4.3.2

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

iii


Tài liệu tham khảo

154

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

iv

MỤC LỤC

Lời nói đầu
Để nâng cao chất lượng đào tạo cần phải đổi mới phương pháp
giảng dạy, thiết kế bài giảng theo định hướng ứng dụng nghề nghiệp.
Trong thời gian qua các giảng viên trong Khoa Khoa học cơ bản đều
đã có tập bài giảng phục vụ công tác giảng dạy. Tuy nhiên, những
bài giảng này mang tính cá nhân và hầu như được biên soạn theo lối
hàn lâm, ít có tính ứng dụng nghề nghiệp. Do đó, tất cả các giảng
viên trong Khoa và sinh viên đều mong muốn có bộ bài giảng dùng
chung, bài tập dùng chung cho từng môn học và được sử dụng trong
toàn Trường để tạo sự thống nhất và thuận lợi cho việc giảng dạy của
giảng viên cũng như là việc học tập của sinh viên.
Mặc dù nhóm tác giả đều là các giảng viên trẻ, còn nhiều bận rộn
trong công việc, trong cuộc sống nhưng chúng tôi đã cố gắng ngồi lại
cùng nhau để viết một bộ bài giảng toán cao cấp 1 với mong muốn
góp phần nhỏ bé của mình, giúp các em có thêm động lực trong việc
học toán. Mục tiêu xây dựng bộ bài giảng dùng chung, bài tập dùng
chung là trình bày lý thuyết đơn giản, trọng tâm, cô đọng, đi sâu vào
bài tập áp dụng theo từng chuyên ngành của sinh viên, để làm cơ sở
khoa học giúp sinh viên có thể học tốt được các môn chuyên ngành
tại trường ĐHSPKT Hưng Yên. Ngoài ra, còn làm tăng tính sáng tạo,
tạo động lực, tạo hứng thú cho sinh viên học các môn Toán, Vật lý.
Toán cao cấp 1 được giảng dạy trong năm học đầu của khoá học
cùng với các môn khoa học cơ bản khác. Bộ bài giảng toán cao cấp 1
được soạn thảo dựa trên những tài liệu về bài giảng của một số các
giảng viên trong bộ môn đã trực tiếp giảng dạy môn Toán cao cấp
1 cho sinh viên các lớp hệ đại học, cao đẳng chính quy, các lớp liên

1


MỤC LỤC

thông cũng như các lớp vừa làm vừa học qua nhiều năm.
Bài giảng này được chia thành bốn chương:
Chương I gồm các kiến thức: Định nghĩa về ánh xạ, đơn ánh, toàn
ánh, định nghĩa số số phức, các dạng biểu diễn của số phức và các
phép toán của nó. Phần này được biên soạn bởi nhóm tác giả Trịnh
Xuân Yến, Nguyễn Thị Thu Hằng.
Chương II gồm các kiến thức: Định nghĩa về ma trận, định thức,
hệ phương trình đại số tuyến tính và các phương pháp giải hệ phương
trình đại số tuyến tính. Đây là chương quan trọng, cung cấp các công
cụ cần thiết để nghiên cứu chương III và chương IV trong bài giảng
này. Được biên soạn bởi nhóm tác giả Trần Ngọc Tuấn, Phạm Tuấn
Anh, Đặng Thị Hồi.
Chương III là sự mở rộng lên từ tập hợp, bằng cách chúng ta trang
bị cho tập hợp hai phép toán, từ đó mà tập hợp có nhiều các tính chất
hơn. Chương này đề cập tới các khái niệm, định nghĩa về không gian
vectơ, họ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở và
số chiều của không gian vectơ, tọa độ của một vectơ đối với một cơ
sở, không gian con sinh bởi một họ vectơ, bài toán đổi cơ sở. Đặc biệt
trong khuôn khổ của bài giảng này, chúng tôi chỉ xét tới các không
gian vectơ hữu hạn chiều trên trường R, để thuận tiện sau này ta gọi
là không gian vectơ trên R. Chương III được biên soạn bởi nhóm tác
giả Trần Hồng Thái, Trần Thị Hải Lý, Nguyễn Thị Mơ.
Nếu như trong chương I độc giả xét khái niệm về ánh xạ, chương
III xét sự mở rộng một tập hợp thành một không gian vectơ, thì trong
chương IV độc giả sẽ xét sự mở rộng của ánh xạ khi tập đích và tập

nguồn là các không gian vectơ trên R. Ở chương này bài giảng đề
cập tới khái niệm về ánh xạ tuyến tính, ảnh của ánh xạ tuyến tính,
hạt nhân của ánh xạ tuyến tính và ma trận của ánh xạ tuyến tính,....
2


MỤC LỤC

Chương IV được biên soạn bởi nhóm tác giả Nguyễn Thị Loan, Nguyễn
Quang Chung, Nguyễn Anh Đài.
Chúng ta đều biết rằng Toán học được xây dựng vô cùng chặt chẽ,
lôgic,... Bài giảng toán cao cấp 1 này là một minh chứng cho những
điều đó. Song, để thuận tiện cho các bạn sinh viên của trường, những
độc giả chỉ dùng toán như là một công cụ để nghiên cứu lĩnh chuyên
môn của các bạn, chúng tôi đã chấp nhận bỏ đi một số những chứng
minh, lập luận,... "đẹp" của toán học.
Nhóm tác giả chân thành cảm ơn PGS.TS. Trần Trung - Hiệu
trưởng, ban giám hiệu, các phòng ban chức năng, Ban chấp hành
công đoàn trường Trường ĐHSPKT Hưng Yên đã có những đóng góp
quí báu về nội dung và cấu trúc của bộ bài giảng dùng chung. Cảm
ơn PGS. Nguyễn Đức Đạt, Ths. Nguyễn Văn Tứ, đặc biệt cảm ơn TS.
Nguyễn Hữu Tiến đã đóng góp, trao đổi những ý kiến về chuyên môn
để bộ bài giảng được hoàn thiện.
Hy vọng bộ bài giảng này sẽ giúp sinh viên tiếp cận học phần Toán
cao cấp 1 dễ dàng hơn, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo, thúc
đẩy quá trình xây dựng trường ĐHSPKTHY trở thành trường Trọng
điểm của khu vực Đồng bằng Sông Hồng về đào tạo và nghiên cứu
chất lượng cao.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình biên soạn song cũng
còn những khiếm khuyết không sao tránh khỏi cần được chỉnh sửa,

hoàn chỉnh và bổ sung. Nhóm tác giả mong nhận được những ý kiến
đóng góp của các giảng viên và các em sinh viên để bộ bài giảng ngày
càng chất lượng hơn. Mọi ý kiến xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Toán Khoa Khoa học Cơ bản - Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng
Yên. Xin trân trọng cảm ơn!

3


Chương 1

Tập hợp, ánh xạ và số
phức
Trong chương này chúng ta tìm hiểu những vấn đề cơ bản ban đầu của
đại số như tập hợp, ánh xạ và số phức. Ánh xạ hay số phức được ứng
dụng rất nhiều trong thực tiễn, trong các lĩnh vực công nghệ thông
tin hay kinh tế , kỹ thuật điện vv... Ví dụ như ánh xạ bản đồ GPS
vào bản đồ số, ánh xạ wifi hay ánh xạ cho quá trình trích xuất chuyển
đổi và tải dữ liệu trong dự án kho dữ liệu ...
Trọng tâm kiến thức trong chương 1 xoay quanh việc xét tính đơn ánh,
toàn ánh hay song ánh của một ánh xạ, các phép biến đổi số phức
dạng đại số và dạng lượng giác, ứng dụng trong khai triển Moivre.

1.1
1.1.1

Tập hợp.
Khái niệm về tập hợp.

Trong bài giảng này khái niệm tập hợp (hay tập) không thể định nghĩa
bằng những khái niệm đã biết. Ta coi tập hợp là khái niệm nguyên

4


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

thủy, không định nghĩa, được hiểu một cách trực giác. Ta hình dung
một tập hợp bao gồm một số các cá thể hay đối tượng có một số tính
chất chung nào đó. Các đối tượng đó gọi là các phần tử của tập hợp
đang xét. Để ký hiệu tập hợp ta thường dùng các chữ cái in hoa: A,
B, C,...
Ví dụ 1.1. Tập A = các sinh viên trường ĐHSPKT Hưng Yên
• Khái niệm thuộc và kí hiệu ∈
Nếu a là phần tử của tập hợp E ta nói a thuộc E và viết a ∈ E.
Nếu a không là phần tử của tập hợp E ta nói a không thuộc E
và viết a ∈ E.
• Cách mô tả tập hợp.
1. Phương pháp liệt kê: Một tập hợp có thể xác định bằng cách
liệt kê tất cả các phần tử của nó, hay liệt kê một số phần tử
đại diện đủ để có khả năng nhận biết một đối tượng nào đó
có thuộc tập hợp hay không.
Ví dụ 1.2. Tập các số tự nhiên chẵn A = {2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...}
2. Phương pháp chỉ rõ dấu hiệu đặc trưng để phân biệt các phần
tử của tập hợp với các đối tượng không phải là phần tử của
nó.
Ví dụ 1.3. B = n ∈ N : n chia hết cho 6
• Một số tập hợp thường gặp.
Tập các số tự nhiên N = {0, 1, 2, ...}.
Tập các số nguyên Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}.
p
Tập các số hữu tỉ Q =

|q = 0, p ∈ Z, q ∈ Z .
q
5


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

Tập số thực R.
Tập rỗng là tập hợp không có phần tử nào, ký hiệu Ø
Ví dụ 1.4. Tập nghiệm thực của phương trình x2 +1 = 0 là S = Ø
Định nghĩa 1.1. Ta nói tập A bằng tập B nếu A và B trùng
nhau, nghĩa là mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B
và ngược lại mọi phần tử của B cũng là phần tử của A.
Ký hiệu A = B.
Ví dụ 1.5. Cho hai tập A = {1, 2} ,B là tập nghiệm của phương
trình
x2 − 3x + 2 = 0 suy ra A = B.
• Sự bao hàm-Tập con
Định nghĩa 1.2. Nếu mọi phần tử của A cũng là phần tử của B
thì ta nói A là tập con của B ,hay B bao hàm A .
Ký hiệu A ⊂ B.

Hình 1.1:
Ví dụ 1.6. Gọi tập
A = Sinh viên lớp 114143 trường ĐHSPKT Hưng Yên
và tập B = Sinh viên trường ĐHSPKT Hưng Yên
Ta có A ⊂ B

6

Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

1.1.2

Các phép toán về tập hợp.

a) Phép hợp: Cho hai tập A và B, hợp của hai tập A và B, ký hiệu
A ∪ B là tập gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B hay.
A ∪ B = x|x ∈ A hoặc x ∈ B .

Hình 1.2:
Ví dụ 1.7. Cho A = {−2, 6, 5} và B = {−3, 6}
thì A ∪ B = {−2, −3, 5, 6}
Tính chất :
A∪B =B∪A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A∪Ø=A
A∪A=A
b) Phép giao: Cho hai tập A và B, giao của hai tập A và B, ký hiệu
A ∩ B là tập gồm các phần tử thuộc A vừa thuộc B hay.
A ∩ B = x|x ∈ A và x ∈ B .

Ví dụ 1.8. Cho hai tập A = {−1, 2, 3} và B = {−1, 3, 7, 9} .
Khi đó A ∩ B = {−1, 3}.

7


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

Hình 1.3:
Ví dụ 1.9. Gọi A là tập nghiệm của phương trình x2 −3x+2 = 0.
B là tập nghiệm của phương trình x2 − 4x + 3 = 0.
Khi đó tập nghiệm của hệ phương
 trình

x2 − 3x + 2 = 0

x2 − 4x + 3 = 0
là A ∩ B = 1
Tính chất :
A∩B =B∩A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A∩Ø=Ø
A∩A=A
Khi A ∩ B = Ø ta nói A và B rời nhau.

Hình 1.4:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
8


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

c) Phép hiệu: Cho hai tập A và B, hiệu của hai tập A và B, ký hiệu
A \ B là một tập gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B
hay.
A \ B = x|x ∈ A mà x ∈ B .

Hình 1.5:
Ví dụ 1.10. Cho A = {−2, 6, 5} và B = {−3, 6}
thì A \ B = {−2, 5}
d) Tập bù(Tập bổ sung): Cho tập E , A ⊂ E. Khi đó E \ A được gọi
là tập bù của A trong E và được ký hiệu A.
A = E \ A = x|x ∈ E mà x ∈ A .
Ví dụ 1.11. Cho E = {0, 7, 8, 9} và A = {7, 8} thì A = {0, 9}
Tính chất:
A∪A=E
A∩A=Ø
e) Định luật De Morgan(Đối ngẫu): Với mọi A ⊂ E, B ⊂ E ta có
A ∪ B = A ∩ B.
A ∩ B = A ∪ B.
Ví dụ 1.12. Cho hai tập hợp
A = {1, 5, 7, 9, −3, −7} và B = {−8, −7, 5, 98, 13}
hãy xác định các tập hợp sau A ∩ B, A ∪ B, A \ B và B \ A
9


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

Giải:
Ta có A ∩ B = {−7, 5}, A ∪ B = {1, 5, 7, 9, −3, −7, −8, 98, 13},
A \ B = {1, 7, 9, −3} và B \ A = {−8, 98, 13}.

1.1.3

Tích Đề các.

• Giả sử X, Y là hai tập cho trước. Tích Đề các của hai tập X, Y ,
được ký hiệu là X × Y là tập tất cả các cặp có thứ tự (x, y) trong
đó phần tử x thuộc tập X, phần tử y thuộc tập Y . Ta có
X × Y = {(x, y) |x ∈ X, y ∈ Y }
Theo định nghĩa ta có

(x, y) = (x , y ) ↔ x = x và y = y .
• Một cách tổng quát: Tích Đề các của các tập X1 , X2 , ..., Xn được
ký hiệu là
X1 × X2 ... × Xn , là tập tất các bộ n phần tử có thứ tự (x1 , ..., xn )
trong đó xi ∈ Xi , với i = 1, ..., n. Ta có
X1 × X2 ... × Xn = {(x1 , ..., xn )|xi ∈ Xi , i = 1, ..., n} .
Nếu X1 = X2 = .. = Xn = X thì ta viết X1 × X2 ... × Xn = X n .
Tập X n gọi là lũy thừa Đề-các bậc n của tập X.
Ví dụ 1.13. Tập R2 = R × R = {(x, y) |x ∈ R, y ∈ R}.
Ví dụ 1.14. Cho X = {2, −1} và Y = {a, b}
thì X × Y = {(2, a); (−1, a); (2, b); (−1, b)}

10


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

1.2
1.2.1

Ánh xạ.
Định nghĩa ánh xạ.

Định nghĩa 1.3. Ánh xạ từ tập E tới tập F là một quy luật f liên

hệ giữa E và F sao cho khi nó tác động vào một phần tử x bất kỳ của
tập E sẽ tạo ra chỉ một phần tử y của F .
Ký hiệu ánh xạ f : E −→ F
x → y = f (x)
E được gọi là tập nguồn , F được gọi là tập đích.
Phần tử y ∈ F được tạo ra từ phần tử x ∈ E bởi ánh xạ f được gọi là
ảnh của phần tử x và x được gọi là tạo ảnh (hay nghịch ảnh) của y.

Hình 1.6:
Trên hình ta thấy hình (a) biểu diễn một ánh xạ, hình (b) không là
ánh xạ.

Ví dụ 1.15. Cho tập E =

SV lớp 114143 và tập

F = chỉ số chiều cao , ánh xạ f (đo chiều cao các SV)

11


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

Hình 1.7:
Ví dụ 1.16. Cho hai tập E = {a, b, c} và F = {x, y, z} và các quy
luật cho tương ứng sau đây
f1 : E −→ F

f2 : E −→ F

f3 : E −→ F

a −→ f1 (a) = x

a −→ f2 (a) = x

a −→ f3 (a) = x

b −→ f1 (b) = y

b −→ f2 (b) = x

a −→ f3 (a) = y

c −→ f1 (b) = z

c −→ f2 (c) = x

a −→ f3 (a) = z

Theo định nghĩa trên thì quy luật f1 và f2 là ánh xạ, quy luật thứ f3
không là ánh xạ.
Tập tạo bởi các ảnh của tất cả các phần tử x ∈ E gọi là tập ảnh
của E (qua f ), viết là f (E)
f (E) = {y ∈ F |∃x ∈ E : y = f (x)} .
Ta luôn có f (E) ⊂ F .

Hình 1.8:
12

Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

Nếu A là tập con của E, thì tập
f (A) = {y ∈ F |∃x ∈ A : y = f (x)}
gọi là tập ảnh của A (qua f ).
Nếu B là tập con của F thì tập
f −1 (B) = {x|x ∈ E, f (x) = y ∈ B}
gọi là tập nghịch ảnh của B tương ứng với ánh xạ f .

1.2.2

Đơn ánh.

Định nghĩa 1.4. Ánh xạ f : E −→ F được gọi là một đơn ánh nếu
với mọi x1 , x2 ∈ E, x1 = x2 thì f (x1 ) = f (x2 ).
Hay f (x1 ) = f (x2 ) ta chỉ suy ra x1 = x2 .

Hình 1.9:
Nhìn vào hình vẽ 1.9 ta thấy sơ đồ (a) biểu diễn một đơn ánh, còn sơ
đồ (b) không là đơn ánh.
Ví dụ 1.17. Kiểm tra tính đơn ánh của ánh xạ sau
a) f : R −→ R, xác định bởi y = f (x) = x3 .
b) f : R −→ R, xác định bởi y = f (x) = x2 .
13


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

Giải:

a) Ta có f (x1 ) = x31 , f (x2 ) = x32 , ta xét f (x1 ) = f (x2 ) dẫn đến
x31 = x32 suy ra x1 = x2 theo định nghĩa thì ánh xạ f là đơn ánh.
b) Ta có f (x1 ) = x21 , f (x2 ) = x22 , ta xét f (x1 ) = f (x2 ) dẫn đến
x21 = x22 suy ra x1 = ±x2 theo định nghĩa thì ánh xạ f không là
đơn ánh.

1.2.3

Toàn ánh.

Định nghĩa 1.5. Ánh xạ f : E −→ F được gọi là một toàn ánh nếu
f (E) = F.
Khi f là một toàn ánh ta cũng nói f là ánh xạ từ E lên F .
Như vậy muốn chứng minh f là toàn ánh ta cần kiểm tra điều kiện
f (E) = F nghĩa là với mỗi y ∈ F đều là ảnh của ít nhất một x ∈ E.
Hay nói cách khác "phương trình" y = f (x) có nghiệm với mọi y ∈ F .
Vậy, muốn chứng minh một ánh xạ f không là toàn ánh ta cần chỉ ra
tồn tại phần tử y ∈ F ,sao cho ứng với y này không tồn tại phần tử
x ∈ E để y = f (x) .
Nhìn vào hình vẽ 1.10 ta thấy sơ đồ (a) biểu diễn một toàn ánh, sơ
đồ (b) không là toàn ánh.
Ví dụ 1.18. Kiểm tra các ánh xạ sau có là toàn ánh hay không?
a) f : R −→ R, xác định bởi y = f (x) = x3 .
b) f : R \ {−2} −→ R, xác định bởi y = f (x) =
Giải:
14

x−1
.
x+2

Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

Hình 1.10:
a) Ta nhận thấy với mọi y ∈ R phương trình x3 = y luôn có nghiệm
√
là x = 3 y, vì vậy ánh xạ f là toàn ánh.
Hay nói cách khác phương trình y = f (x) = x3 có nghiệm với mọi
y ∈ R suy ra f là toàn ánh.
b) Để ánh xạ f là toàn ánh thì phương trình
y = f (x) =

x−1
x+2

có nghiệm x với mọi y ∈ R.
Suy ra
y−

x−1
=0
x+2

có nghiệm x với mọi y ∈ R.
Hay phương trình
(y − 1)x = −(2y + 1)(∗)
có nghiệm x với mọi y ∈ R.
Ta cũng dễ dàng nhận thấy phương trình (∗)vô nghiệm trong
trường hợp y = 1.

Hay nói cách khác ánh xạ f không là toàn ánh.

15


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

1.2.4

Song ánh.

Định nghĩa 1.6. Ánh xạ f : E −→ F được gọi là một song ánh nếu
nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. (Hay f là một phép tương ứng 1-1
giữa hai tập E và F ).

Hình 1.11:
Nhìn vào hình vẽ ta thấy sơ đồ (a) biểu diễn một song ánh, sơ đồ
(b) không là song ánh.
Trong ví dụ 1.2.4 và 1.2.5 đã trình bày thì ta thấy ánh xạ f : R −→ R,
xác định bởi y = f (x) = x3 là một song ánh.

1.2.5

Ánh xạ ngược của một song ánh.

Định nghĩa 1.7. Giả sử f : E −→ F là một song ánh. Khi đó với
mỗi y ∈ F tồn tại duy nhất x ∈ E sao cho f (x) = y. Vậy ta có ánh
xạ g : F −→ E xác định như sau: với mỗi y ∈ F đặt g(y) = x, trong
đó phần tử x ∈ E và f (x) = y. Khi đó ánh xạ g gọi là ánh xạ ngược
của ánh xạ f và kí hiệu là f −1 :

f −1 : F −→ E
Chú ý 1.1. Nếu ánh xạ f : R −→ R, xác định bởi y = f (x) là một
song ánh thì ánh xạ ngược f −1 : R −→ R xác định bởi x = f −1 (y)
16


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

cũng là một song ánh. Để mô tả ánh xạ f và ánh xạ ngược f −1 (nếu
có) của nó trong cùng một hệ quy chiếu ta quy ước đổi vai trò của hai
biến x và y cho nhau trong quy tắc x = f −1 (y) để có ánh xạ y = f (x)
và ánh xạ ngược của ánh xạ f là y = f −1 (x).
Ví dụ 1.19.

a) Song ánh f : R −→ R, xác định bởi y = f (x) = x3 có ánh xạ
√
ngược f −1 : R −→ R, xác định bởi f −1 (y) = 3 y = x.
b) Hàm số y = sinx là một song ánh trên đoạn [− π2 , π2 ] có hàm ngược
là x = f −1 (y) = arcsiny và do đó theo quy ước trên ta có hàm số
y = sinx ∀x ∈ [− π2 , π2 ] có hàm ngược là y = f −1 (x) = arcsinx
Nhận xét 1.1. Ánh xạ ngược f −1 : F −→ E của ánh xạ f cũng là
một song ánh.

1.2.6

Tích của hai ánh xạ.

Cho ba tập hợp E, F, G và hai ánh xạ
f : E −→ F
x → y = f (x),

và
g : F −→ G
y → z = g(y)
Khi đó mỗi x ∈ E tạo ra (qua trung gian y) một và chỉ một z ∈ G
xác định bởi g [f (x)] = z.
Vậy phải có một ánh xạ từ E tới G xác định như sau:
x ∈ E → z = g [f (x)] ∈ G.
17


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

Định nghĩa 1.8. Ánh xạ
g ◦ f : E −→ G
trong đó f : E −→ F là ánh xạ sao cho x → y = f (x) và g : F −→ G
là ánh xạ sao cho y → z = g(y) và được xác định bởi
x ∈ E → z = g [f (x)] ∈ G
được gọi là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g.
Như vậy ta có (g ◦ f )(x) = g[f (x)]
Ví dụ 1.20. Cho hai ánh xạ f : R −→ R, xác định bởi y = f (x) =
x2 + 1
và ánh xạ g : R −→ R, xác định bởi z = g(y) = y + 3
hãy xác định ánh xạ hợp g ◦ f
Lời giải
Ta có ánh xạ hợp là
g ◦ f : R −→ R
x ∈ R → (g ◦ f )(x) = g [f (x)] = g x2 + 1 = x2 + 1 + 3 = x2 + 4 ∈ R.

1.3
1.3.1

Số phức.
Định nghĩa.

Định nghĩa 1.9. Mỗi cặp có thứ tự các số thực (a, b) được gọi là số
phức. Ký hiệu C là tập tất cả các số phức. Phép toán cộng , phép toán
nhân các số phức được định nghĩa như sau:

18


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

• Phép cộng các số phức

(a, b) + (a , b ) = (a + a , b + b )
• Phép nhân các số phức

(a, b).(a , b ) = (aa − bb , ab + a b)
• Về sự bằng nhau của hai số phức

∀(a, b) ∈ C, ∀(a , b ) ∈ C ta có
(a, b) = (a , b ) khi và chỉ khi a = a , b = b .
Để ký hiệu số phức ta dùng các chữ cái thường như z = (a, b).
Trường hợp số phức z = (a, 0) thì ta quy ước viết là z = a nó là một
số thực, vậy chúng ta có thể hiểu rằng số thực là một trường hợp đặc
biệt của số phức.
Ví dụ 1.21.
(2, 3) + (4, 5) = (6, 8)
(2, 3).(4, 5) = (−7, 22)

1.3.2

Dạng chính tắc của số phức.

• Dạng chính tắc của số phức
Cho tập số thực R và một cặp 2 số thực (a, b) ∈ R2
Đặt i = (0, 1) , số phức i được gọi là đơn vị ảo. Ta có
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + b(0, 1) = a + bi

19


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

Như vậy số phức z = (a, b) được viết dưới dạng z = a + bi và được
gọi là dạng chính tắc của số phức.
a gọi là phần thực, ta viết a = Re(z)
b gọi là phần ảo, ta viết b = Im(z).
• Phép cộng và phép nhân số phức dưới dạng chính tắc
Ta có i2 = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1 vậy nên với hai số phức
z1 = a + bi và z2 = c + di. Khi đó
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
z1 .z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Với các số phức ở dạng chính tắc , các phép tính được thực hiện
theo các quy tắc trên với lưu ý là có hệ thức i2 = −1
• Hai số phức bằng nhau dưới dạng chính tắc
Hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di được gọi là bằng nhau khi
và chỉ khi



a = c

·


b = d
Ví dụ 1.22. Cho z1 = 1 + 2i và z2 = 3 + 5i.
z1 + z2 = 4 + 7i
z1 .z2 = (1 + 2i)(3 + 5i) = 3 + 5i + 6i + 10i2 = −7 + 11i
Ví dụ 1.23. Tìm x, y thỏa mãn phương trình
(1 + 2i)x + (3 + 5i)y = 1 − 3i
Lời giải
20


Chương 1. Tập hợp, ánh xạ và số phức

Phương trình đã cho tương đương với
(x + 3y) + (2x + 5y)i = 1 − 3i
Khi đó ta có:



x + 3y = 1

·



2x + 5y = −3
vậy


x = −14

·


y = 5
Định nghĩa 1.10. Cho số phức z = (a, b). Ta gọi

√

a2 + b2 là

môđun của số phức z và ký hiệu là |z|.
• Số phức liên hợp
Xét số phức z = a + bi. Số phức a − bi gọi là số phức liên hợp của
z = a + bi và ký hiệu là z:
z = a − bi
Rõ ràng
z=z
z + z = 2a(∈ R)
zz = a2 + b2 (∈ R)
zz = |z|2
1
z
z
=

= 2;
z
zz
|z|
|z| = |z|.
Ví dụ 1.24. Thực hiện phép tính
z=
21

1 + 2i
3 + 4i