CHUONG 2 HE PHUONG TRINH TUYEN TINH

Chương 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. KHÁI NIỆM CHUNG
1.1. Đònh nghóa
Hệ phương trình tuyến tính là một hệ thống gồm m phương trình bậc nhất
theo n ẩn số có dạng tổng quát như sau
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ...
⎪
⎪ a 21 x1 + a 22 x 2 + ...
⎨
...
...
... ...
⎪ ...
⎪a x + a x
+ ...
⎩ m1 1
m2 2

a1n x n

+

a 2n x n

+

...
...
+ a mn xn

trong đó x1 , x2 , … , xn là các ẩn cần tìm, a i j ∈

=
=

b1

b2

... ...
= bm

(gọi là các hệ số) và bi ∈

(1.1)

(gọi là

các hệ số tự do), i = 1, m , j = 1, n . Đặt
⎛ a11
⎜
⎜a
A = ⎜ 21
⎜
⎜a
⎝ m1

a12

⎛ x1 ⎞

⎛ b1 ⎞
a1n ⎞
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
a 2n ⎟
⎜ x2 ⎟
⎜ b2 ⎟
⎟, X = ⎜ ⎟, B = ⎜
⎟,
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜x ⎟
⎜b ⎟
a mn ⎟⎠
⎝ n⎠
⎝ m⎠

a 22
a m2

⎛ a11
⎜
⎜a
A = A B = ⎜ 21
⎜ ...
⎜a

⎝ m1

(

)

a12

a 22

...
a m2

a1n b1 ⎞
⎟
... a 2n b2 ⎟
⎟,
... ... ... ⎟
... a mn bm ⎟⎠
...

trong đó ta gọi A là ma trận các hệ số, A là ma trận bổ sung (ma trận các hệ số
mở rộng), X là ma trận ẩn và B là ma trận các hệ số tự do. Khi đó, hệ phương
trình tuyến tính (1.1) được viết lại dưới dạng phương trình ma trận là

AX = B .
1.2. Đònh nghóa

i) Ta gọi bộ n thứ tự ( c1 , c2 ,… , cn ) ∈

n

là một nghiệm của hệ (1.1) nếu ta thay

x1 = c1 , x 2 = c2 , ..., x n = cn vào (1.1) thì tất cả các đẳng thức trong (1.1) đều được

thỏa.
ii) Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương khi chúng có chung
tất cả các nghiệm : nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngược lại.
Chú ý. Nếu ta đổi thứ tự hai phương trình, nhân hai vế của một phương trình
với một số khác 0, hay thay một phương trình bằng phương trình đó cộng với một
hằng số nhân với phương trình khác, ta nhận được một hệ phương trình mới tương
29


đương với hệ ban đầu. Do đó bằng cách xét ma trận các hệ số mở rộng, mỗi phép
biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận này cho ta một ma trận các hệ số mở rộng
của một hệ phương trình tuyến tính mới tương đương với hệ ban đầu.
2. HỆ CRAMER
2.1. Đònh nghóa
Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn số và
đònh thức của ma trận các hệ số khác 0.
Ví dụ 1. Hệ phương trình
⎧ − x1
⎪
⎨ 3x1
⎪−2x
1
⎩

+ 2x2
+
−

= −2

x2

+ x3

x2

=

6

=

1

là hệ có số phương trình bằng số ẩn và đònh thức của ma trận các hệ số là
−1

2

0

3 1 1 = −5 ≠ 0
−2 − 1 0
nên là hệ Cramer.

Viết hệ Cramer dưới dạng ma trận AX = B . Vì ma trận các hệ số A có đònh
thức khác 0 nên khả nghòch và do đó hệ Cramer luôn luôn có đúng một nghiệm và
có thể giải bằng một trong các phương pháp sau đây
2.2. Các phương pháp giải hệ Cramer AX = B
i) Phương pháp 1. Dùng ma trận nghòch đảo A −1 để giải phương trình ma

trận,
AX = B ⇔ X = A −1B .
ii) Phương pháp 2. Phương pháp Gauss : dùng các phép biến đổi sơ cấp trên
dòng biến ma trận bổ sung A = A B thành ma trận A ′ = A ′ B′ ,

(

(

)

(

)

(

)

)

Các phép biến đổi sơ cấp
A = A B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ A ′ = A ′ B′ ,

sao cho A ′ là ma trận tam giác trên (có các phần tử trên đường chéo khác 0). Ma
trận A ′ là ma trận bổ sung của hệ phương trình tuyến tính mới tương đương với hệ
ban đầu và hệ này dễ dàng giải được bằng cách giải từng phương trình từ dưới lên
trên.
iii) Phương pháp 3. Dùng đònh thức (công thức Cramer).

Xét A i , i = 1, n là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bằng cột

các hệ số tự do. Khi đó, hệ Cramer có nghiệm duy nhất x i =
30

det A i
det A

, i = 1, n .


Ví dụ 2. Xét hệ phương trình tuyến tính
⎧ x1
⎪
⎨ 2x1
⎪−7x
1
⎩

+ 3x 2

+ 7x 3

= 1

x2

+ 2x3

= 0

+
+

x2

+ 4x 3

= 1

i) Dùng ma trận nghòch đảo A −1 : Ma trận các hệ số
⎛ 1 3 7⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 2⎟
⎜ −7 1 4 ⎟
⎝
⎠
có đònh thức A ≠ 0 nên khả nghòch,

A

−1

⎛ −2 5
1 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ 22 −53 −12 ⎟
⎜ 9 22
5 ⎟⎠
⎝

và nghiệm duy nhất của hệ được xác đònh bởi
⎛ x1 ⎞ ⎛ −2 5
⎧ x1
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1 ⎞
⎜
⎟
⎪
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
X = A −1B ⇔ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 22 −53 −12 ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 10 ⎟ ⇔ ⎨ x2
⎪
⎜ x ⎟ ⎜ 9 22
5 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎟⎠
⎝ 3⎠ ⎝
⎩ x3

= −1
= 10
= −4

ii) Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Biến đổi
⎛1 3
⎛ 1 3 7 1⎞
⎛1 3
7 1⎞
7 1 ⎞
22
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
(3):
=
(3)
+
(2)
(2):= (2) − 2(1)
5
→
−
−
−
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯

→
−
−
−
A = ⎜ 2 1 2 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
0
5
12
2
0
5
12
2
⎜
⎟
⎜
⎟
(3):= (3) + 7(1)
⎜0 0
1 −4⎟
⎜ −7 1 4 1 ⎟
⎜ 0 22 53 8 ⎟
5
5⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝

ta nhận được hệ phương trình tương đương
⎧ x1
⎪⎪
⎨
⎪
⎩⎪

+

3x 2

+

−5x 2

7x 3

− 12x3
1
5

x3

=

1

=

−2

= − 45

⎧ x1
⎪
⇔ ⎨x2
⎪x
⎩ 3

= −1
= 10
= −4

iii) Dùng đònh thức.

1

3 7

1 3 7

det A = 2 1 2 = −1 , det A1 = 0 1 2 = 1 ,
−7 1 4
1 1 4
1

1 7

1

3 1

det A 2 = 2 0 2 = −10 , det A 3 = 2 1 0 = 4 .
−7 1 4
−7 1 1
31


Nghiệm của hệ là
x1 =

det A 3
det A1
det A 2
= −4 .
= −1 ; x 2 =
= 10 ; x 3 =
det A
det A
det A

3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát khi số phương trình khác số ẩn
hay số phương trình bằng số ẩn mà đònh thức của ma trận các hệ số bằng 0 người
ta có thể giải bằng phương pháp Gauss. Phương pháp Gauss là phương pháp dùng
các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để chuyển ma trận các hệ số mở rộng
A = A B thành ma trận A ′ = A ′ B′ sao cho A ′ là ma trận bậc thang theo dòng.

(

)

(

)

Bấy giờ ma trận A ′ là ma trận các hệ số mở rộng của hệ phương trình tuyến tính
mới tương đương với hệ ban đầu và ta có các khả năng sau
Khả năng 1. Ma trận A ′ có một dòng 0 với hệ số tự do tương ứng khác 0,
nghóa là trong ma trận A ′ có dòng dạng 0 0 ... 0 b , b ≠ 0 . Dòng này tương

(

)

ứng với phương trình
0x1

+ 0x 2

+ ... + 0x n

= b.

Phương trình này vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.
Khả năng 2. Mọi dòng 0 của A ′ đều có hệ số tự do tương ứng bằng 0. Mỗi
dòng tương ứng với một phương trình theo n ẩn, nhận bất cứ giá trò nào của các ẩn
làm nghiệm nên ta có thể bỏ đi mà không làm mất nghiệm của hệ. Khi đó, trên
mỗi bậc thang của A′ , ta chọn một ẩn (với hệ số tương ứng khác 0) mà ta gọi là ẩn

cơ sở, các ẩn còn lại trở thành ẩn tự do. Cho ẩn tự do các giá trò tùy ý và chuyển về
vế phải, ta được hệ Cramer theo các ẩn cơ sở (chính xác hơn, ma trận các hệ số của
các ẩn cơ sở là một ma trận tam giác trên với các phần tử trên đường chéo khác 0)
và ta dễ dàng giải được hệ này, nghóa là tính được giá trò của các ẩn cơ sở theo ẩn
tự do. Chú ý rằng nếu hệ không có ẩn tự do thì hệ có đúng một nghiệm, nếu hệ có
ít nhất một ẩn tự do thì hệ có vô số nghiệm. Từ đó, ta được kết quả sau
3.1. Đònh lý Kronecker – Capelli
Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số, AX = B .
Với A = A B , ta có

(

)

(i) Nếu rank A < rank A thì hệ vô nghiệm.
(ii) Nếu rank A = rank A = n thì hệ có duy nhất một nghiệm.
(iii) Nếu rank A = rank A < n thì hệ có vô số nghiệm.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình tuyến tính sau

32


⎧ x1
⎪
⎨4x1
⎪2x
⎩ 1

− 3x 2

+ 2x3

−

x4

=

2

x2

+ 3x 3

− 2x 4

=

1

+

+ 7x 2

−

x3

= −1

Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận các hệ số mở
rộng của hệ
⎛ 1 −3 2 −1 2 ⎞
⎛ 1 −3 2 −1 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ) : = ( 2 ) − 4 (1 )
(
→
−
−
A = ⎜ 4 1 3 −2 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
0
13
5
2
7
⎜
⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − 2 (1 )
⎜ 2 7 − 1 0 −1 ⎟
⎜ 0 13 −5 2 −5 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 −3

2

⎜0
⎝

0

( 3):= ( 3) − ( 2) → ⎜ 0 13 −5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
0

−1 2 ⎞
⎟
2 −7 ⎟ ,
0 2 ⎟⎠

ta nhận được hệ phương trình tương đương, trong đó dòng

(0

0 0 02

)

cho ta

phương trình
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 2 .

Phương trình này vô nghiệm, nên hệ đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình tuyến tính

⎧ x1
⎪
⎪2x1
⎪
⎨ x1
⎪3x
⎪ 1
⎪2x
⎩ 1

+

x2

+ 4x 2
+ 3x2
+ 7x2

+ 8x 2

−

x3

− 3x3

− 4x 3

+ 2x 4
+ 5x4

+ 5x4

+ 9x 4

+ 2x 4

=

5

=

−1

=

−3

= −14
= −22

Biến đổi ma trận các hệ số mở rộng
⎛1
⎜
⎜2
A = ⎜1

⎜
⎜3
⎜2
⎝

1 0 2
4 −1 5
3 0 5
7 −3 9
8 −4 −2

⎛1
⎜
( 3 ): = ( 3) − ( 2 )
⎜0
( 4 ) := ( 4 ) − 2 ( 2 ) ⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( 5 ): = ( 5 ) − 3( 2 ) ⎜ 0
⎜0
⎜0
⎝

⎛1
5 ⎞
⎟
⎜
( 2):= ( 2) − 2(1) ⎜ 0
−1 ⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 )
→⎜

−3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 ) : = ( 4 ) − 3 (1 ) ⎜ 0
⎟
( 5 ) : = ( 5 ) − 2 (1 ) ⎜ 0
−14 ⎟
⎜0
−22 ⎟⎠
⎝

1 0 2
2 −1 1
0 1 2
0 −1 1
0 −1 −5

1 0 2
2 −1 1
2 0 3
4 −3 3
6 −4 −2

⎛1 1 0
5 ⎞
⎟
⎜
−11 ⎟
⎜ 0 2 −1
( 4 ) := ( 4 ) + ( 3 ) ⎜
⎟
→

3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 5 ) : = ( 5 ) + ( 3) ⎜ 0 0 1
⎟
−7 ⎟
⎜0 0 0
⎟
⎜0 0 0
1 ⎠
⎝

33

5 ⎞
⎟
−11 ⎟
−8 ⎟
⎟
−29 ⎟
−33 ⎟⎠
2
1
2
3
3

5 ⎞
⎟
−11 ⎟
3 ⎟
⎟

−4 ⎟
−4 ⎟⎠


⎛1
⎜
⎜0
( 5 ): = ( 5 ) − ( 4 ) ⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ 0
⎜
⎜0
⎜0
⎝

1 0
2 −1
0 1
0 0
0 0

5 ⎞
⎟
−11 ⎟
3 ⎟,
⎟
−4 ⎟
0 ⎟⎠

2

1
2
3
0

ta nhận được hệ phương trình tương đương, với phương trình cuối có dạng
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0 .

Phương trình này thỏa với mọi giá trò x1 , x2 , x3 , x 4 nên có thể bỏ đi mà không
làm thay đổi tập nghiệm của hệ và ta nhận được ma trận bổ sung của hệ phương
trình tương đương

⎛1
⎜
0
A′ = ⎜
⎜0
⎜
⎜0
⎝

1

0

5 ⎞
⎟
−11 ⎟
3 ⎟
⎟

−4 ⎟⎠

2

2 −1 1
0 1 2
0 0 3

Với ma trận này, ta được hệ phương trình
⎧ x1
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

x2

+

2x 2

− x3
x3

+ 2x4
x4

+

=

5

= −11

+ 2x4

=

3

3x 4

=

−4

Giải từng phương trình của hệ này từ dưới lên, ta nhận được nghiệm

(

29
;
3

− 2;

17

;
3

−

4
3

).

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình tuyến tính sau :
⎧ 3x1
⎪
⎪ x1
⎨
⎪ x1
⎪12x
1
⎩

−
−
+

x2

x2
x2

− 2x 2

−

x3

− 2x3

+ 3x 3
+

x3

+ 2x4

=

1

=

5

− 6x4

=

−9

− 2x4

= −10

+ 4x 4

Biến đổi
⎛ 3 −1 −1 2
⎜
1 −1 −2 4
A=⎜
⎜ 1 1 3 −6
⎜
⎜ 12 −2 1 −2
⎝

⎛ 1 −1 −2 4
1 ⎞
⎟
⎜
5 ⎟
( 2):= (1) ⎜ 3 −1 −1 2
⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎜ 1 1 3 −6
−9 ⎟
⎟
⎜
⎜ 12 −2 1 −2
−10 ⎟⎠
⎝

34

5 ⎞
⎟
1 ⎟
−9 ⎟
⎟
−10 ⎟⎠


⎛ 1 −1 − 2 4
2 5 −10
2 5 −10
⎜
⎜ 0 10 25 −50
⎝

⎛ 1 −1 −2 4
5 ⎞
( 3) : = ( 3 ) − ( 2 )
⎟
⎜
−14 ⎟
( 4 ):= ( 4 ) − 5( 2) ⎜ 0 2 5 −10
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜0 0 0
0
−14 ⎟
⎟
⎜

⎜0 0 0
0
−70 ⎟⎠
⎝

( 2):= ( 2) − 3(1)
⎜
0
( 3):= ( 3) − (1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜
4
:
=
4
−
12
1
( ) ( ) ( ) ⎜0

5 ⎞
⎟
−14 ⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎟⎠

Bỏ hai dòng cuối, ta được ma trận bổ sung của hệ phương trình tương đương

⎛ 1 −1 −2 4

⎜⎜
⎝ 0 2 5 −10

5 ⎞
⎟
−14 ⎟⎠

Chọn x1 , x 2 làm các ẩn cơ sở, x 3 , x4 trở thành ẩn tự do. Cho x 3 = m , x 4 = n ;
m, n ∈

. Ta được

⎧⎪ x1
⎨
⎪⎩

−

⎧⎪ x1
⇔⎨
⎪⎩ x2

x2

2x2

=

5

+ 2m −

4n

= −14 − 5m + 10n

= −2 − 12 m +

n

= −7 − 52 m + 5n

Hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát

(−

1
2

)

m + n − 2 ; − 52 m + 5n − 7 ; m ; n , m, n ∈

.

Sau đây ta xét một trường hợp đặc biệt của hệ phương trình tuyến tính tổng
quát. Đó là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
4.1. Đònh nghóa. Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất khi tất cả các
hệ số tự do bằng 0, nghóa là hệ có dạng

⎧ a11 x1 + a12 x 2 + …
⎪
⎪ a 21 x1 + a 22 x 2 + …
⎨
...
...
... ...
⎪ ...
⎪a x + a x
+ …
m2 2
⎩ m1 1

+
+

a1n x n

a 2n xn

...
...
+ a mn x n

=

0

=

0

... ...
= 0

4.2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ít nhất một nghiệm gồm toàn các
số 0. Do đó, đối với hệ phương trình thuần nhất, ta chỉ có hai khả năng :

• Hệ có duy nhất một nghiệm (nghiệm gồm toàn số 0) mà ta gọi là nghiệm
tầm thường.
• Hệ có ít nhất một nghiệm không tầm thường. Khi đó hệ có vô số nghiệm.
Để giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bằng phương pháp Gauss, ta
chỉ cần thực hiện các phép biến đổi trên ma trận các hệ số (cột tự do luôn luôn
ngầm hiểu gồm toàn số 0).
35


Ví dụ 6. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
⎧ x1
⎪
⎪ 3x1
⎨
⎪4x1
⎪ 3x
⎩ 1

+ 2x 2

4x 3

+

+ 5x2

6x 3

+

+ 5x2

−

2x 3

+ 8x2

+ 24x3

−

3x 4

= 0

4x4

= 0

3x 4

= 0

− 19x4

= 0

−
+

Biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận các hệ số
⎛1
⎜
3
A=⎜
⎜4
⎜⎜
⎝3

2

4

⎛1 2
−3 ⎞
−3 ⎞
4
( 2 ) : = ( 2 ) − 3 (1 ) ⎜

⎟
⎟
5 6 −4 ⎟
5 ⎟
( 3):= ( 3) − 4 (1) ⎜ 0 −1 −6
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
( 4 ):= ( 4 ) − 3(1) ⎜ 0 −3 −18 15 ⎟
5 −2 3 ⎟
⎟
⎜⎜
⎟⎟
8 24 −19 ⎟⎠
⎝ 0 2 12 −10 ⎠
⎛ 1 2 4 −3 ⎞

( 3 ) : = ( 3 ) − 3( 2 )
⎜
⎟
⎛ 1 2 4 −3 ⎞
0 1 6 −5 ⎟
4 ) := ( 4 ) + 2 ( 2 )
(
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
→
⎜
⎟
( 2):=− ( 2)
⎜0 0 0 0 ⎟

⎝ 0 1 6 −5 ⎠
⎜⎜
⎝0 0 0

⎟
0 ⎟⎠

Chọn x1 , x 2 làm các ẩn cơ sở, x 3 , x4 trở thành các ẩn tự do và ta được hệ
phương trình tương đương

⎧⎪ x1
⎨
⎪⎩

+ 2x2

= − 4x 3

x2

= − 6x3

+ 3x4

+ 5x4

Cho x 3 = a , x 4 = b tùy ý, ta được

⎧⎪ x1
⎨

⎪⎩ x2

=

8a

− 7b

= −6a + 5b

Vậy hệ phương trình tuyến tính thuần nhất đã cho có vô số nghiệm và
nghiệm tổng quát của hệ đã cho là ( 8a − 7b ; − 6a + 5b ; a ; b ) với a, b ∈ .
Bài tập
1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng công thức Cramer
⎧ x1
⎪
a) ⎨2x1
⎪x
⎩ 1
⎧ x1
⎪
⎪x
c) ⎨ 1
⎪2x1
⎪x
⎩ 1

−
+

x2
x2

+ 2x2
+

x2

+

x3

− 2x 3

+ 3x3
+

x3

+ 2x 2

+ 3x 3

x2

+ 3x 2
+

= −2

⎧ − x1
⎪
b) ⎨ 3x1
⎪−2x
1
⎩

=

6

=

2

+

x4

= 2
= 2

+ 5x 3

− 4x4

+ 9x4

= 2

+ 2x3

+ 7x 4

= 2

36

+ 2x2
+
−

x2

x2

= 8
+ x3

= 2
= 1


2. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss
⎧ x1
⎪
a) ⎨4x1
⎪2x
⎩ 1
⎧ x1

⎪
⎪x
c) ⎨ 1
⎪3x1
⎪2x
⎩ 1
⎧ 3x1
⎪
⎪ x
e) ⎨ 1
⎪ x1
⎪12x
1
⎩
⎧ x1
⎪
⎪2x
g) ⎨ 1
⎪ x1
⎪3x
⎩ 1

− 3x 2
+

x2

+ 7x 2

+ 2x 3

+ 3x 3

−

x4

− 2x 4

−

x3

+ 2x 2

−

3x 3

+

+ 5x 2

− 13x 3
+

x3

+ 22x4
−

2x4

+ 3x 2

+

4x 3

−

7x 4

+ 3x 2

−
−
+

x2
x2
x2

− 2x 2
− 4x 2

+ 3x2
+ 7x2
−

x2

−

x3

− 2x3

+ 3x 3
+

x3

+ 3x 3
+ 5x 3

+ 2x3

− 2x3

= 1
= 1

5x 4

+ 2x4

+ 4x 4
− 6x4
− 2x4

⎧ x1
⎪
⎪x
b) ⎨ 1
⎪− x1
⎪2x
⎩ 1

= 2

12

=

34

=

0

x3

+

x3

−
+ 2x 2

− 2x 3

−

−

x2

x4

−

x3

+ 2x 4

+ 7x 4

=

2

=

0

= −7
=

3

1

⎧ x1 + 2x2 + 3x 3 − 2x 4 = 6
⎪
= −1
⎪2x − x2 − 2x 3 − 3x 4 = 8
d) ⎨ 1
= 5
⎪3x1 + 2x 2 − x3 + 2x4 = 4
⎪2x − 3x + 2x + x = −8
= 4
2
3
4
⎩ 1
=

⎧ x1
⎪
= 5
⎪2x
f) ⎨ 1
= −9
⎪ x1
⎪3x
= −10
⎩ 1
=

1

= −22
=

x2

−

⎧ x1
⎪
⎪2x
h) ⎨ 1
⎪5x1
⎪4x
⎩ 1

x2

+

+

x2

x3

= 1
= 3

x2

x3

+ 2x3

= 5

− 6x 2

+ 5x 3

= 6

4x3

+ 3x4

−
−

+

+ 5x2

+

−

+

x2

+ 3x2

+ 9x 2

+

2x3

8x3

+ 10x3

−
+

x4

x4

+ 5x4

= 1
= 0
= 1
= 2

3. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau
⎧ x1

⎪
⎪x
a) ⎨ 1
⎪2x1
⎪3x
⎩ 1

+

⎧ x1
⎪
⎪ 3x
c) ⎨ 1
⎪4x1
⎪ 3x
⎩ 1

+ 2x 2

+ 8x2

+ 24x3

⎧ x1
⎪
⎪x
e) ⎨ 1
⎪2x1
⎪x
⎩ 1

+ 3x2

+ 3x3

−
+

x2
x2

x2

+ 2x2
+ 5x2
+ 5x2

+ 4x 2
+ 5x2
+ 5x2

− 2x3

− 4x3
− 5x 3

− 7x3
+
+
−

4x 3
6x 3
2x 3

+ 5x3

+ 4x 3
+ 7x3

−
+
−

6x4
2x4

8x4

− 14x4
−
−
+

= 0

⎧2x1
⎪
= 0
⎪ 3x

b) ⎨ 1
= 0
⎪4x1
⎪x
= 0
⎩ 1

3x 4

= 0

⎧ x1
⎪
= 0
⎪2x
d) ⎨ 1
= 0
⎪3x1
⎪x
= 0
⎩ 1

4x4
3x 4

− 19x4
+ 2x 4

+

+ 3x4

+

+

+

x4

+ 6x 4

4x5

= 0

7x5

= 0

5x5

= 0

+ 10x5

= 0

37

+ 3x 2

x3

+ 5x4

= 0

− 3x3

+ 6x 4

= 0

−

x2

+ 2x 3

− 2x2

+ 4x 3

−
+

+
−
−

x2

− 7x4
− 7x4

3x 2

+ 2x 3

= 0

5x 2

+ 4x 3

= 0

x2

+ 17x 2

+ 3x3

= 0

+ 4x 3

= 0

= 0
= 0


4. Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau

⎧mx
⎪⎪ 1
a) ⎨ x1
⎪
⎪⎩ x1

+

x2

+ mx2
+

x3

+

x3

+

x2

+ mx 3

2x 2

=

1

=

m

= m2

⎧ x1
⎪
⎪2x1
⎪
b) ⎨3x1
⎪
⎪5x1
⎪6x
⎩ 1

+

⎧ x1
⎪
c) ⎨2x1
⎪4x
⎩ 1

+ 2x2

+

x3

=

1

+ 4x 2

+

x3

=

3

5x 2

+

+

7x 2

+

+

+ 12x 2

x3

x3

8x4

+

+ 13x 4

+ 3x3

+ 3x 3

5x 4

+

+ 2x3

+ 14x 2

+ 8x2

3x 4

+

+ 16x4

=

7

= 16
= 23
=

m

= 46

= m

5. Cho hệ phương trình
⎧ x1
⎪
⎨2x1
⎪x
⎩ 1

+

x2

+ 3x2

+ kx 2

−

x3

+ kx 3
+ 3x3

= 1
= 3
= 2

Xác đònh trò số k sao cho :
a) Hệ có một nghiệm duy nhất.
b) Hệ không có nghiệm.
c) Hệ có vô số nghiệm.
6. Cho hệ phương trình
⎧kx1
⎪
⎨ x1
⎪x
⎩ 1

x2

+

x3

= 1

+ kx2

+

x3

= 1

+
+

x2

+ kx 3

= 1

Xác đònh trò số k sao cho :
a) Hệ có một nghiệm duy nhất.
b) Hệ không có nghiệm.
c) Hệ có vô số nghiệm.

38