CHUONG 3 KHONG GIAN VECTO

Chương 3
KHÔNG GIAN VECTƠ
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Đònh nghóa
Cho tập hợp V ≠ ∅ trên đó có hai phép toán; một phép toán trong mà ta gọi
là phép cộng và một phép toán ngoài mà ta gọi là phép nhân với số thực,
+:V×V → V

( u, v ) 6 u + v

× : \×V → V

( k, u ) 6 k ⋅ u ≡ ku

Tập V cùng với hai phép toán trên được gọi là một không gian vectơ trên \
nếu các phép toán trên V thỏa các tính chất sau, với mọi u, v, w ∈ V , h, k ∈ \ ,
i) u + v = v + u , (tính giao hoán)
ii)

( u + v ) + w = u + ( v + w ) , tính kết hợp)

iii) tồn tại duy nhất phần tử của V, ký hiệu 0 , sao cho u + 0 = u ( 0 được gọi
là phần tử trung hòa của phép cộng, đọc là vectơ không),
iv) ứng với mỗi u ∈ V , tồn tại duy nhất phần tử của V, ký hiệu −u , sao cho
u + ( −u ) = 0 (phần tử −u được gọi là phần tử đối hay vectơ đối của u),
v) h ( ku ) = ( hk ) u ,

vi) h ( u + v ) = hu + hv ,
vii)

( h + k ) u = hu + ku ,

viii) 1 ⋅ u = u .
Không gian vectơ V còn được ký hiệu đầy đủ là ( V, +, ⋅) .
⎧⎪⎛ a b ⎞
⎫⎪
Ví dụ 1. i) Tập các ma trận vuông cấp 2, V = M2 ( \ ) = ⎨⎜
⎟ a, b, c, d ∈ \ ⎬
⎪⎩⎝ c d ⎠
⎭⎪
với hai phép toán, cộng hai ma trận và nhân một số thực với một ma trận, là một
không gian vectơ.
ii) Tập \ 3 =

{( x, y, z) : x, y, z ∈ \} với hai phép toán,

( x1 , x2 , x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1, x2 + y2 , x3 + y3 ) ,
k ( x1 , x2 , x3 ) = ( kx1 , kx2 , kx3 ) ,
thỏa các điều kiện để trở thành một không gian vectơ.

39


Tổng quát : Tập \ n =

{( x , x ,..., x )
1

2

n

}

x i ∈ \, i = 1, 2,..., n , với hai phép toán

( x1 , x2 ,..., xn ) + ( y1, y2 ,..., y n ) = ( x1 + y1, x2 + y 2 ,..., xn + yn ) ,
k ( x1 , x2 ,..., xn ) = ( kx1 , kx2 ,..., kxn ) ,
là một không gian vectơ.
1.2. Đònh nghóa. Cho ( V, +, ⋅) là một không gian vectơ và u1 , u 2 ,..., u n ∈ V . Với mỗi

dãy số k1 , k 2 ,..., k n ∈ \ , ta gọi
k1u1 + k 2u 2 + ... + k n u n

là một tổ hợp tuyến tính các vectơ u1 , u 2 ,..., u n .
Ví dụ 2. i) Cho V = M2 ( \ ) . Với
⎛1 0⎞
⎛ 0 1⎞
⎛1 1⎞
⎛ 0 0⎞
u1 = ⎜
⎟ , u2 = ⎜
⎟ , u3 = ⎜
⎟ , u4 = ⎜
⎟∈V,
⎝1 0⎠
⎝ 0 1⎠
⎝ 0 0⎠
⎝1 1⎠

và k1 , k 2 , k 3 , k 4 ∈ \ , ta có một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 , u 3 , u 4 là

⎛ k + k3
k1u1 + k 2u 2 + k 3u 3 + k 4 u 4 = ⎜ 1
⎜k + k
⎝ 1
4

k2 + k3 ⎞
⎟∈V
k 2 + k 4 ⎟⎠

ii) Với V = \ 3 , u1 = (1,1, 0 ) , u 2 = ( 0,1,1) , u 3 = (1, 0,1) , ta có các tổ hợp tuyến
tính của u1 , u 2 , u 3 là
k1u1 + k 2u 2 + k 3u 3 = ( k1 + k 3 , k1 + k 2 , k 2 + k 3 ) , với k1 , k 2 , k 3 ∈ \ .
1.3. Đònh nghóa. Cho V là một không gian vectơ, W ⊂ V, W ≠ ∅ . Nếu với mỗi

u, v ∈ W , k ∈ \ , ta đều có u + v, ku ∈ W , ta nói W là một không gian vectơ con hay
vắn tắt là không gian con của V , ký hiệu W ≤ V .
Ví dụ 3. i) Với V = \ 2 và W1 =

mọi ( x, 0 ) , ( y, 0 ) ∈ W1 , k ∈ \ ,

{( x, 0) : x ∈ \} , ta có

W1 ⊂ V , W1 ≠ ∅ và với

( x, 0) + ( y, 0) = ( x + y, 0) ∈ W1 ,
k ( x, 0 ) = ( kx, 0 ) ∈ W1 .
Do đó W1 ≤ V .
Với W2 =

( n, 2n ) ∈ W2 ,

{( m, 2m ) : m ∈ \} ,

ta có W2 ⊂ V , W2 ≠ ∅ và với mọi

k ∈\,

( m,

(

)

2m ) + ( n, 2n ) = m + n, 2 ( m + n ) ∈ W2 ,
40

( m, 2m ) ,


k ( m, 2m ) = ( km, 2km ) ∈ W2 .
Vậy W2 cũng là một không gian vectơ con của V .
ii) Xét không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2, V = M2 ( \ ) , và W là tập
hợp các ma trận chéo cấp 2,
⎧⎪⎛ a 0 ⎞
⎫⎪
W = ⎨⎜
⎟ a, b ∈ \ ⎬ ⊂ V .
⎩⎪⎝ 0 b ⎠
⎭⎪

Do W ≠ ∅ , tổng của hai ma trận chéo cũng là một ma trận chéo và tích của
một ma trận chéo với một số thực cũng là một ma trận chéo. Nói khác đi, tổng hai
phần tử của W là một phần tử của W , tích của phần tử thuộc W với một số cũng
là phần tử của W nên tập hợp tất cả các ma trận chéo cấp 2 là một không gian
vectơ con của không gian các ma trận vuông cấp hai.
iii) Xét V = \ 3 và W =
không

rỗng

của

V

{( m + n, m − n, n )

và

với

mọi

}

m, n ∈ \ . Ta có W là một tập con

k ∈\,

u 2 = ( m2 + n2 , m2 − n2 , n2 ) ∈ W , ta có
u1 + u 2 =

(( m

1

u1 = ( m1 + n1 , m1 − n1 , n1 ) ,

)

+ m2 ) + ( n1 + n2 ) , ( m1 + m2 ) − ( n1 + n2 ) , n1 + n2 ∈ W ,

ku1 = ( km1 + kn1 , km1 − kn1 , kn1 ) ∈ W .
Do đó W ≤ V = \ 3 .
1.4. Đònh lý. Cho V là một không gian vectơ và hệ các vectơ S = {u1 , u 2 ,..., u n } ⊂ V
. Tập W các tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 ,..., u n là một không gian vectơ con của V ,

W = {k1u1 + k 2u 2 + ... + k n u n : k1 , k 2 ,..., k n ∈ \} ≤ V .
Ta nói W là không gian vectơ con sinh bởi S , hay S sinh ra W , ký hiệu

W = S = u1 , u 2 ,..., u n .
Ví dụ 4. Với V và W cho trong ví dụ 3, phần iii), ta có

W=

nên W =

{( m + n, m − n, n ) m, n ∈ \} = {( m, m, 0) + ( n, −n, n ) m, n ∈ \}
= {m (1,1, 0 ) + n (1, −1,1) m, n ∈ \}

(1,1, 0) , (1, −1,1)

và do đó nó là một không gian vectơ con của V.

Xuất phát từ nhận xét rằng tập nghiệm W của một hệ phương trình tuyến
tính thuần nhất theo n ẩn số là một tập con không rỗng của \ n và tổng hai
nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất cũng như tích một nghiệm
của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với một hằng số cũng là nghiệm
của hệ phương trình đó, ta được
41


Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
theo n ẩn số là một không gian vectơ con của \ n .

Hơn nữa, bằng phương pháp Gauss, ta còn tìm được một tập sinh của không
gian nghiệm một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Ví dụ 5. Cho hệ phương trình
⎧ x1
⎪
⎪ 3x1
⎨
⎪4x1
⎪ 3x
⎩ 1

+ 2x 2
+ 5x2
+ 5x2

+ 8x2

+
+
−

4x 3
6x 3
2x 3

+ 24x3

−

3x 4

= 0

3x 4

= 0

4x4

= 0

− 19x4

= 0

−

+

Giải hệ phương trình trên, ta nhận được nghiệm

( 8m − 7n, −6m + 5n, m, n ) ;

m, n ∈ \ .

Vậy tập nghiệm của hệ này là
W=

{( 8m − 7n, −6m + 5n, m, n )

} ( 8, −6,1, 0) , ( −7, 5, 0,1)

m, n ∈ \ =

≤ \4 .

Đặc biệt, khi S = V , ta nói S sinh ra V . Khi đó, mọi vectơ của V đều là
một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S , nghóa là ứng với mỗi vectơ v ∈ V , ta tìm
được k1 , k 2 ,..., k n ∈ \ sao cho
v = k1 v1 + k 2 v2 + ... + k n v n .

Ví dụ 6. Xét V = \ 3 và S = {e1 , e2 , e3} ⊂ \ 3 , với e1 = (1,1, 0 ) , e2 = (1, 0,1) ,

e3 = ( 0,1,1) .

a) Với v = ( 2, 4, 6 ) ∈ \ 3 và k1 , k 2 , k 3 ∈ \ , ta có
v = k1e1 + k 2e2 + k 3e3 ⇔ ( 2, 4, 6) = k1 (1,1, 0 ) + k 2 (1, 0,1) + k 3 ( 0,1,1)

⎧ k1
⎪
⇔ ⎨ k1
⎪
⎩

+ k2

k2

= 2
+ k3
+ k3

= 4

(3.1)

= 6

Chú ý rằng, nếu hệ (3.1) có nghiệm, nghóa là tồn tại k1 , k 2 , k 3 ∈ \ sao cho
v = k1e1 + k 2e2 + k 3e3 , thì v là một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S . Nếu hệ

(3.1) vô nghiệm, nghóa là không tồn tại k1 , k 2 , k 3 sao cho v = k1e1 + k 2e2 + k 3e3 , thì
v không là một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S .

42

Do hệ (3.1) có nghiệm
⎧ k1 = 0
⎪
⎨k 2 = 2
⎪k = 4
⎩ 3

nghóa là v = 0e1 + 2e2 + 4e3 nên v là một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S .
b) Nếu mọi vectơ
sinh ra \ 3 . Ngược lại,
tuyến tính của S thì S
hay không, ta xét vectơ

v ∈ \ 3 đều là một tổ hợp tuyến tính các vectơ của S thì S
nếu tồn tại vectơ v ∈ \ 3 sao cho v không là một tổ hợp
không sinh ra \ 3 . Do đó, để kiểm tra xem S có sinh ra \ 3
bất kỳ v = ( a, b, c ) ∈ \ 3 . Do

v là một tổ hợp tuyến tính các vectơ của S
⇔ tồn tại k1 , k 2 , k 3 ∈ \ sao cho v = k1e1 + k 2e2 + k 3e3
⎧ k1
⎪
⇔ ⎨ k1
⎪
⎩

+ k2

k2

= a
+ k3

+ k3

= b , có nghiệm.
= c

Hệ phương trình nêu trên là hệ Cramer nên nó luôn luôn có nghiệm bất chấp
các tham số a, b, c . Do đó mọi vectơ v ∈ \ 3 đều là tổ hợp tuyến tính các phần tử
của S . Vậy S sinh ra \ 3 .
1.5. Đònh nghóa. Cho V là một không gian vectơ và hệ các vectơ
S = {e1 , e2 ,..., en } ⊂ V . Ta nói S là độc lập tuyến tính khi với mọi k1 , k 2 ,..., k n ∈ \ ,

nếu
k1e1 + k 2e2 + ... + k n en = 0

thì k1 = k 2 = ... = k n = 0 .
Khi S không độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính, nghóa là tồn
tại k1 , k 2 ,..., k n ∈ \ không đồng thời bằng 0 (có ít nhất một k i ≠ 0 ) sao cho
k1e1 + k 2e2 + ... + k n en = 0 .

Ví dụ 7. Cho V = \ 3 và S = {e1 , e2 , e3} ⊂ \ 3 với e1 = (1,1, 0) , e2 = (1, 0,1) ,

e3 = ( 0,1,1) . Với k1 , k 2 , k 3 ∈ \ bất kỳ, ta có
⎧ k1
⎪
k1e1 + k 2e2 + k 3e3 = 0 ⇔ ⎨k1
⎪
⎩

+ k2

k2

= 0
+ k3

+ k3

= 0

(3.2)

= 0

Ta nhận được một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo các ẩn
k1 , k 2 , k 3 . Nếu hệ phương trình này chỉ có nghiệm tầm thường k1 = k 2 = k 3 = 0 , thì
S độc lập tuyến tính. Ngược lại, nếu hệ này có ít nhất một nghiệm tầm thường,
43


nghóa là có k1 , k 2 , k 3 không đồng thời bằng 0 sao cho k1e1 + k 2e2 + k 3e3 = 0 , thì S
phụ thuộc tuyến tính.
Trong ví dụ này, hệ thuần nhất (3.2) chỉ có nghiệm tầm thường
k1 = k 2 = k 3 = 0 . Vậy S độc lập tuyến tính.
Ví dụ 8. Cho V = \ 3 và S = {u1 , u 2 , u 3} ⊂ \ 3 với

u1 = (1, −2,1) , u 2 = ( 2,1, −1) , u 3 = ( 7, −4,1) .
Với k1 , k 2 , k 3 ∈ \ bất kỳ, ta có

⎧ k1
⎪
k1u1 + k 2u 2 + k 3u 3 = 0 ⇔ ⎨−2k1
⎪ k
⎩ 1

+ 2k 2

+ 7k 3

= 0

k2

− 4k 3

= 0

+
−

k2

+

k3

(3.3)

= 0

Hệ (3.3) có ít nhất một nghiệm không tầm thường nên ta kết luận S phụ
thuộc tuyến tính. Cụ thể, giải hệ (3) bằng phương pháp Gauss, ta nhận được
nghiệm tổng quát của hệ là ( −3m, −2m, m ) , m ∈ \ . Với m = −1 , ta được một
nghiệm không tầm thường
⎧ k1 = 3
⎪
⎨k 2 = 2 .
⎪
⎩ k 3 = −1

Điều này có nghóa là 3u1 + 2u 2 − u 3 = 0 và do đó S phụ thuộc tuyến tính.
2. CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA MỘT KHÔNG GIAN VECTƠ
2.1. Đònh nghóa. Cho V là một không gian vectơ và S = {e1 , e2 ,..., en } ⊂ V . Ta nói
S là một cơ sở của V nếu

i)

S = V , nghóa là S sinh ra V, và

ii) S độc lập tuyến tính.
Khi đó, ta nói V là một không gian vectơ hữu hạn chiều. Người ta chứng
minh được rằng bất cứ một cơ sở nào khác của V cũng phải có đúng n vectơ và giá
trò n duy nhất này được gọi là số chiều của V , ký hiệu dim V = n .
Khi đó, ứng với mỗi vectơ v ∈ V , tồn tại duy nhất k1 , k 2 ,..., k n ∈ \ sao cho
v = k1 v1 + k 2 v2 + ... + k n v n . Bấy giờ, k1 , k 2 ,..., k n được gọi là các tọa độ của v đối

với cơ sở S , ký hiệu
⎛ k1 ⎞
⎜ ⎟

k
⎡⎣ v ⎤⎦ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ .
S
#
⎜ ⎟
⎜k ⎟
⎝ n⎠
44


Ví dụ 9.

GG
G
G
i) Cho V = \ 2 . Ta có S = i, j , với i = (1, 0 ) , j = ( 0,1) là một cơ sở của V và
G
G
với mọi vectơ v = ( a, b ) ∈ \ 2 , ta có v = ai + b j và do đó ta được

{ }

⎛a⎞
⎡⎣ v ⎤⎦ = ⎜ ⎟ .
S
⎝ b⎠
S được gọi là cơ sở chính tắc của \ 2 . Tọa độ của một bộ thứ tự trong cơ sở
chính tắc này chính là các thành phần của bộ thứ tự đó.

Hệ các vectơ S′ = {e1′ , e′2 } ⊂ \ 2 , với e1′ = (1,1) , e′2 = ( −1,1) , cũng là một cơ sở

của \ 2 và vì với mọi vectơ v = ( a, b ) ∈ \ 2 , ta có
⎧⎪k
v = k1e1 + k 2e2 ⇔ ⎨ 1
⎪⎩k1

⎧⎪ k1 =
⇔⎨
= b
⎪⎩ k 2 =

− k2

= a

+ k2

a+b
2
b−a
2

.

Do đó,
⎡⎣ v ⎤⎦
S′
Tổng quát. Xét \ n =

⎛ a+b ⎞

=⎜ 2 ⎟
⎜ b−a ⎟
⎝ 2 ⎠

{( x , x ,..., x
1

2

n

)

}

x i ∈ \, ∀i = 1, n . Ta có B = {e1 , e2 ,..., en } ,

với
⎧e1 = (1, 0,..., 0 )
⎪
⎪e2 = ( 0,1,..., 0 )
⎨
⎪...
⎪e = 0, 0,...,1
)
⎩ n (

là một cơ sở của \ n , gọi là cơ sở chính tắc. Khi đó, với mọi vectơ
v = ( x1 , x2 ,..., x n ) ∈ \ n , do
v = x1e1 + x 2e2 + ... + x n en

ta suy ra

⎡⎣ v ⎤⎦
B

⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜x ⎟
=⎜ 2⎟
#
⎜ ⎟
⎜x ⎟
⎝ n⎠

Ví dụ 10. Xét V = \ 3 và B = {e1 , e2 , e3} là cơ sở chính tắc của \ 3 ,

e1 = (1, 0, 0 ) , e2 = ( 0,1, 0 ) , e3 = ( 0, 0,1) .
45


Với v = (1, 2, 3) ∈ \ 3 , ta có

⎛1 ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ 2⎟ .
⎜ 3⎟
⎝ ⎠

⎣⎡ v ⎦⎤B

Lấy B′ = {f1 , f2 , f3} , với f1 = (1,1, 0) , f2 = (1, 0,1) , f3 = ( 0,1,1) , là một cơ sở khác
của \ 3 . Ta có
⎣⎡ v ⎦⎤B′

⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ x 2 ⎟ ⇔ v = x1f1 + x 2 f 2 + x 3f 3 ⇔
⎜x ⎟
⎝ 3⎠

⎧ x1
⎪
⎨ x1
⎪
⎩

+ x2
x2

= 1

+ x3
+ x3

⎧ x1 = 0
⎪
= 2 ⇔ ⎨ x2 = 1 .
⎪x = 2
= 3

⎩ 3

Vậy
⎡⎣ v ⎤⎦
B′

⎛ 0⎞
⎜ ⎟
= ⎜1 ⎟ .
⎜ 2⎟
⎝ ⎠

2.2. Đònh lý. Cho B = {e1 , e2 ,..., en } , B′ = {f1 , f2 ,..., f n } là hai cơ sở của một không
gian vectơ V . Khi đó, với mọi v ∈ V ta có ⎡⎣ v ⎤⎦ = A ⎡⎣ v ⎤⎦ , trong đó
B
B′

(

A = ⎡⎣ f1 ⎤⎦
B

)

⎡⎣ f 2 ⎤⎦
" ⎡⎣ f n ⎤⎦ .
B
B

Ma trận A được gọi là ma trận đổi cơ sở từ B qua B′ , ký hiệu PB →B′ .

Ví dụ 11. Với hai cơ sở B và B′ trong ví dụ 10, ta được ma trận đổi cơ sở từ
B qua B′ là

(

PB →B′ = ⎣⎡ f1 ⎦⎤
B

⎣⎡ f2 ⎦⎤B

⎡⎣ f3 ⎤⎦
B

)

⎛1 1 0⎞
⎜
⎟
= ⎜1 0 1⎟
⎜0 1 1⎟
⎝
⎠

và tọa độ của v = (1, 2, 3) ∈ \ 3 đối với hai cơ sở này liên hệ với nhau qua đẳng thức
⎣⎡ v ⎦⎤B = PB →B′ ⎣⎡ v ⎦⎤B′

⎛1 ⎞ ⎛ 1 1 0⎞ ⎛ 0⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⇔ ⎜ 2⎟ = ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜1⎟ .

⎜ 3⎟ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 2⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠⎝ ⎠

Từ đònh lý 2.2, ta suy ra rằng với hai cơ sở B và B′ cho trước của một không
gian vectơ, nếu ta biết ma trận đổi cơ sở từ cơ sở này qua cơ sở kia và tọa độ của
một vectơ bất kỳ trong một cơ sở thì ta suy ra tọa độ của nó trong cơ sở còn lại,
⎡⎣ v ⎤⎦ = PB →B′ ⎡⎣ v ⎤⎦ ,
B
B′
⎡⎣ v ⎤⎦ = PB′→B ⎡⎣ v ⎤⎦ .
B′
B

46


Hơn nữa, ta có các tính chất sau
2.3. Tính chất. Với ba cơ sở B , B′ và B′′ của một không gian vectơ V , ta có

(

i) PB′ →B = PB →B′

)

−1

,

ii) PB →B′′ = PB →B′ .PB′→B′′
Ví dụ 12. Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B′ cho trong ví dụ 11.
Cách 1. Dùng tính chất 2.3, với

PB →B′

⎛1 1 0⎞
⎜
⎟
= ⎜1 0 1⎟
⎜0 1 1⎟
⎝
⎠

ta suy ra
PB′ →B = ( PB →B′ )

−1

⎛ 1
⎜ 2
= ⎜ 12
⎜
⎜− 1
⎝ 2

− 12 ⎞
⎛ 1 1 −1 ⎞
⎟ 1⎜
⎟

1
⎟ = ⎜ 1 −1 1 ⎟ .
2
⎟ 2⎜
⎟
1 ⎟
⎝ −1 1 1 ⎠
2 ⎠

1
2
− 12
1
2

Cách 2. Dùng đònh nghóa của ma trận đổi cơ sở :

(P

B →B′

)

−1

(

= ⎡⎣ e1 ⎤⎦
B′

⎡⎣e2 ⎤⎦
B′

⎡⎣ e3 ⎤⎦
B′

)

⎛ 1
⎜ 2
= ⎜ 12
⎜ 1
⎜−
⎝ 2

1
2
− 12
1
2

− 12 ⎞
⎟
1
⎟.
2
⎟
1 ⎟
2 ⎠

Khi đó, với v = ( 4, −2, 0 ) , tọa độ của v đối với cơ sở B là
⎡⎣ v ⎤⎦
B

⎛4⎞
⎜ ⎟
= ⎜ −2 ⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠

và do đó tọa độ của v đối với cơ sở B′ là
⎡⎣ v ⎤⎦ = PB′→B ⎡⎣ v ⎤⎦
B′
B

⎛ 1
⎜ 2
= ⎜ 12
⎜
⎜ 1
⎝− 2

1
2
− 12
1
2

− 12 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

1
⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ .
2
⎟
⎜ ⎟
1 ⎟⎜ 0 ⎟
⎠ ⎝ −3 ⎠
2 ⎠⎝

Ví dụ 13. Ngoài các cơ sở B qua B′ cho trong ví dụ 11, xét cơ sở

{

}

B′′ = g1 = (1, 0, 0 ) , g 2 = (1,1, 0 ) , g 3 = (1,1,1) .

Tìm ma trận đổi cơ sở PB′ →B′′ .
Dùng tính chất 2.3, với

47


PB →B′

⎛1 1 0⎞
⎛ 1 1 1⎞
⎜
⎟
⎜

⎟
= ⎜ 1 0 1 ⎟ và PB →B′′ = ⎜ 0 1 1 ⎟ ,
⎜0 1 1⎟
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

ta được
−1

PB′ →B′′ = PB′ →B .PB →B′′ = ( PB →B′ ) .PB →B′′
⎛ 1 1 −1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞
⎛ 1 2 1⎞
1⎜
⎟⎜
⎟ 1⎜
⎟
= ⎜ 1 −1 1 ⎟ ⎜ 0 1 1 ⎟ = ⎜ 1 0 1 ⎟
2⎜
⎟⎜
⎟ 2 ⎜ −1 0 1 ⎟
⎝ −1 1 1 ⎠ ⎝ 0 0 1 ⎠
⎝
⎠
3. HẠNG CỦA MỘT HỆ VECTƠ
3.1. Đònh nghóa. Cho V là một không gian vectơ và S = {v1 , v 2 ,..., vn } là một hệ

các vectơ của V . Khi đó, số chiều của không gian con sinh bởi S được gọi là hạng

của hệ vectơ S , ký hiệu rank S .
Đặt W = S ≤ V . Nếu S độc lập tuyến tính thì S trở thành một cơ sở cho W
và do đó dim W = n = rank S . Nếu S không độc lập tuyến tính, nghóa là tồn tại
k1 , k 2 ,..., k n ∈ \ không đồng thời bằng 0 sao cho k1v1 + k 2 v2 + ... + k n vn = 0 . Không

mất tính tổng quát, giả sử k1 ≠ 0 . Bấy giờ do v1 ∈ v 2 ,..., vn

nên nếu bỏ bớt vectơ

v1 khỏi S, ta nhận được một hệ S′ gồm n − 1 vectơ sinh ra W . Nếu hệ S′ độc lập

tuyến tính thì nó trở thành một cơ sở của W và khi đó dim W = rank S = n − 1 , ...
Vì vậy, hạng của hệ S chính là số vectơ độc lập tuyến tính tối đại trong S ,
nghóa là nếu rank S = r thì S có r vectơ độc lập tuyến tính và bất kỳ hệ con nào
của S có nhiều hơn r vectơ đều phụ thuộc tuyến tính.
Nhận xét rằng với S là một hệ các vectơ trong một không gian vectơ V , nếu
ta thay đổi các vectơ của S bằng cách
- đổi chỗ (hoán vò) hai vectơ,
- nhân một vectơ của S với một số khác 0,
- thay một vectơ của S bằng vectơ đó cộng một hằng số nhân với vectơ khác
của S,
thì ta nhận được một hệ các vectơ mới S′ với S = S′ .
Từ đó, ta có giải thuật tìm hạng của một hệ vectơ như sau
3.2. Giải thuật tìm hạng của một hệ vectơ

Cho V là một không gian vectơ với một cơ sở B và một hệ các vectơ
S = {v1 , v 2 ,..., vn } ⊂ V . Đăt W = S . Ta có giải thuật tìm hạng của hệ vectơ S

48

• Lập ma trận A , với
T ⎞
⎛
⎜ ⎡⎣ v1 ⎤⎦B ⎟
⎜
T ⎟
⎡⎣ v 2 ⎤⎦ ⎟
⎜
B .
A=⎜
⎟
⎜ ... ⎟
⎜
T ⎟
⎜ ⎡⎣ vn ⎤⎦ ⎟
B⎠
⎝

• Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến A thành ma trận bậc
thang theo dòng, ta nhận được hệ mới sinh ra cùng không gian con W. Loại trừ các
vectơ sinh bởi các hàng không, các vectơ còn lại tạo thành một hệ các vectơ độc lập
tuyến tính sinh ra W và do đó số các vectơ này chính là số chiều của của W và cũng
là hạng của hệ S.
Ví dụ 13. Trong \ 3 xét họ S = {v1 , v 2 , v 3} , với

v1 = (1, 3, 0 ) , v 2 = ( 0, 2, 4 ) , v 3 = (1, 5, 4 ) , v 4 = (1,1, −4 ) .
Tìm rank S .
Với B là cơ sở chính tắc của \ 3 , ta có
⎛ ⎡u ⎤ T ⎞

⎜ ⎣ 1 ⎦B ⎟
⎛1 3
⎜
T ⎟
⎡
⎤
⎜ ⎣ u 2 ⎦B ⎟ ⎜ 0 2
A=⎜
⎟=⎜
T
⎜ ⎡u ⎤ ⎟ ⎜ 1 5
⎜ ⎣ 3 ⎦B ⎟ ⎜⎜ 1 1
⎜⎜ ⎡ ⎤ T ⎟⎟ ⎝
u
⎝ ⎣ 4 ⎦B ⎠

⎛1
0⎞
⎟
⎜
4⎟
( 3):= ( 3) − (1) ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
( 4 ) : = ( 4 ) − (1 ) ⎜ 0
4⎟
⎟
⎜⎜
4 ⎟⎠
⎝0

⎛1
3 0⎞
⎟
⎜
2 4⎟
( 3 ): = ( 3 ) − ( 2 ) ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
( 4 ): = ( 4 ) − ( 2 ) ⎜ 0
2 4⎟
⎟
⎜⎜
2 4 ⎟⎠
⎝0

3 0⎞
⎟
2 4⎟
0 0⎟
⎟
0 0 ⎟⎠

Vậy
W = S = v1 = (1, 3, 0 ) , v2 = ( 0, 2, 4 ) .
Do v1 , v 2 độc lập tuyến tính nên rank S = dim W = 2 .
Tiếp theo, ta xác đònh một cơ sở cũng như số chiều của một số không gian
vectơ con nhận được khi khảo sát các hệ phương trình tuyến tính.
3.3. Cơ sở và số chiều của không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất

Bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, ta tìm được tập
nghiệm, từ đó suy ra hệ vectơ sinh ra tập nghiệm. Khảo sát hệ này, ta nhận được
cơ sở và số chiều của không gian nghiệm.
Ví dụ 14. Xét không gian nghiệm W của hệ phương trình tuyến tính thuần

nhất
49


⎧ x1
⎪
⎨2x1
⎪2x
⎩ 1

+ 2x 2

−

x3

+ 3x 4

+ 4x 2

− 2x3

+ 4x 4

+ 4x 2

− 2x3

+ 7x 4

− 4x5

= 0

− 2x5

= 0

+ 5x5

= 0

Giải hệ trên bằng phương pháp Gauss,
⎛ 1 2 −1 3 −4 ⎞
⎛1
2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 )
⎜
⎟
⎜
(
→ 0
A = ⎜ 2 4 −2 7 5 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 3 ) : = ( 3 ) − 2 (1 ) ⎜
⎜ 2 4 −2 4 −2 ⎟

⎜0
⎝
⎠
⎝
⎛1
3 ): = ( 3 ) + 2 ( 2 )
⎜
(
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0
⎜0
⎝

2 −1
0

0

0

0

3

−4 ⎞
⎟
1 13 ⎟
−2 6 ⎟⎠

2 −1 3 − 4 ⎞
⎟

0 0 1 13 ⎟
0 0 0 32 ⎟⎠

Chọn x1 , x4 , x5 làm ẩn cơ sở; x 2 , x 3 là ẩn tự do và cho x 2 = m, x3 = n , ta nhận
được hệ phương trình theo các ẩn cơ sở
⎧ x1
⎪
⎨
⎪
⎩

+ 3x4
x4

−

4x5

+ 13x5

32x5

= −2m + n
=

0

=

0

Từ đó, ta được nghiệm tổng quát của hệ là

( −2m + n,

m, n, 0, 0) , với

m, n ∈ \ . Suy ra

{( −2m + n, m, n, 0, 0) m, n ∈ \}
= {m ( −2,1, 0, 0, 0) + n (1, 0,1, 0, 0 ) m, n ∈ \} =

W=

u1 , u 2

với
u1 = ( −2,1, 0, 0, 0 ) , u 2 = (1, 0,1, 0, 0 ) .
Do u1 , u 2 độc lập tuyến tính nên chúng tạo thành một cơ sở của W và do đó,
dim W = 2.

3.4. Cơ sở và số chiều của không gian các số hạng tự do để một hệ phương
trình tuyến tính có nghiệm

Với một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số cho
trước viết dưới dạng ma trận
AX = B ,

(3.4)

trong đó A ∈ Mm×n là ma trận các hệ số, B ∈ Mm×1 là ma trận cột các hệ số tự do

và X ∈ Mn×1 là ma trận các ẩn số, xét tập hợp W các vectơ v = ( b1 , b2 ,..., bm ) ∈ \ m
sao cho phương trình (3.4), với

50


⎛ b1 ⎞
⎜
⎟
⎜ b2 ⎟ ⎡ ⎤
B=⎜
= v ,
... ⎟ ⎣ ⎦B
⎜
⎟
⎜b ⎟
⎝ m⎠
trong đó B là cơ sở chính tắc của \ m , có nghiệm.
Dễ thấy rằng với mọi v1 , v2 ∈ W , nghóa là tồn tại X1 , X 2 ∈ Mm×1 sao cho
AX1 = ⎡⎣ v1 ⎤⎦ , AX 2 = ⎡⎣ v 2 ⎤⎦ và với mọi k ∈ \ , ta có
B
B
A ( X1 + X 2 ) = AX1 + AX 2 = ⎡⎣ v1 ⎤⎦ + ⎡⎣ v 2 ⎤⎦ = ⎡⎣ v1 + v 2 ⎤⎦ ,
B
B
B
A ( kX1 ) = kAX1 = k ⎡⎣ v1 ⎤⎦ = ⎡⎣ kv1 ⎤⎦ ,
B

B

nghóa là v1 + v 2 , kv1 ∈ W . Do đó W trở thành một không gian vectơ con của \ m .
Để tìm số chiều cũng như một cơ sở cho W, ta tìm cách biểu diễn W như sau
Phương pháp 1 : Xem W như là không gian sinh bởi các vectơ cột của ma trận
các hệ số, và
Phương pháp 2 : Dùng phương pháp Gauss, ta xác đònh được W (là không gian
nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất).
Ví dụ 15. Cho hệ phương trình

⎧ x1
⎪
⎪2x1
⎪
⎨ x1
⎪3x
⎪ 1
⎪2x
⎩ 1
Xét W =

{( a, b, c )

+

x2

+ 2x4

= a

+ 4x 2

−

x3

+ 5x 4

= b

+ 7x2

− 3x 3

+ 9x4

= d

+ 3x2

+ 8x 2

+ 5x 4

− 4x3

+ 2x4

= c

(3.5)

= e

}

hệ phương trình (3.5) có nghiệm .

Phương pháp 1 : Ta có v = (a, b, c, d, e) ∈ W nếu tồn tại k1 , k 2 , k 3 , k 4 ∈ \ sao
cho
⎧a
⎪
⎪b
⎪
⎨c
⎪d
⎪
⎪e
⎩

=

k1

= 2k1
=

k1

= 3k1

= 2k1

+

k2

+ 2k 4

+ 4k 2

−

k3

+ 5k 4

+ 7k 2

− 3k 3

+ 9k 4

+ 3k 2

+ 8k 2

− 4k 3

+ 5k 4

+ 2k 4

⇔ v = k1 (1, 2,1, 3, 2 ) + k 2 (1, 4, 3,7, 8 ) + k 3 ( 0, −1, 0, −3, −4 ) + k 4 ( 2, 5, 5, 9, 2 )
Do đó
W = u1 , u 2 , u 3 , u 4 ,
51


với u1 = (1, 2,1, 3, 2 ) , u 2 = (1, 4, 3,7, 8) , u 3 = ( 0, −1, 0, −3, 4 ) và u 4 = ( 2, 5, 5, 9, 2 ) .
Tìm hạng của hệ S = {u1 , u 2 , u 3 , u 4 } ,
⎛1 2
⎜
1 4
A=⎜
⎜ 0 −1
⎜⎜
⎝2 5

1

⎛1 2
2⎞
⎟
⎜
3 7 8⎟
0 2
2 ) : = ( 2 ) − (1 )
(

⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜
4
:
=
4
−
2
1
(
)
(
)
(
)
⎜ 0 −1
0 −3 −4 ⎟
⎟⎟
⎜⎜
5 9 2⎠
⎝0 1

⎛1
⎜
0
( 2):= 12 ( 2)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜
( 3 ): = ( 3) + ( 2 ) ⎜ 0
( 4 ):= ( 4 ) − ( 2) ⎜⎜

⎝0
⎛1
⎜
(4) (4) ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎜0
⎜⎜
⎝0
:= 1
3

3

2 1
1
0
0

2 1
1 1
0 1
0 0

3

⎛1
2⎞
⎟
⎜

1 2 3⎟
0
4 ): = ( 4 ) − 2 ( 3 )
(
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜
⎜0
1 −1 −1 ⎟
⎟⎟
⎜⎜
2 1 −5 ⎠
⎝0
3 2⎞
⎟
2 3⎟
−1 −1 ⎟
⎟
1 −1 ⎟⎠

1

3

2⎞
⎟
2 4 6⎟
0 −3 − 4 ⎟
⎟
3 3 −2 ⎟⎠

2 1

3

2⎞
⎟
1 1 2 3⎟
0 1 −1 −1 ⎟
⎟
0 0 3 −3 ⎟⎠

ta được
W=
Do

(1, 2,1, 3, 2) , ( 0,1,1, 2, 3) , ( 0, 0,1, −1, −1) , ( 0, 0, 0,1, −1)

{(1, 2,1, 3, 2) , ( 0,1,1, 2, 3) , ( 0, 0,1, −1, −1) , ( 0, 0, 0,1, −1)}

.

độc lập tuyến tính nên

nó tạo thành một cơ sở cho W và do đó dim W = 4 .
Phương pháp 2 : Khảo sát hệ (3.5) bằng phương pháp Gauss, ta có
⎛1
⎜
⎜2
A = A B = ⎜1
⎜
⎜3

⎜2
⎝

(

)

1
4
3
7
8

⎛1
2 a⎞
⎟
⎜
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜ 0
−1 5 b ⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 ) → ⎜
0 5 c ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 ):= ( 4 ) − 3(1) ⎜ 0
⎟
( 5 ) : = ( 5 ) − 2 (1 ) ⎜ 0
−3 9 d ⎟
⎜0
−4 2 e ⎟⎠
⎝

1

⎛1
⎜
⎜0
3 ): = ( 3) − ( 2 )
(
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( 4 ) := ( 4 ) − 2 ( 2 ) ⎜ 0
( 5 ) : = ( 5 ) − 3( 2 ) ⎜ 0
⎜0
⎝

1

0

⎛1
⎜
⎜0
( 4 ) : = ( 4 ) + ( 3) ⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
( 5 ) : = ( 5 ) + ( 3) ⎜ 0
⎜0
⎜0
⎝
52

⎞

⎟
2 −1 1 b − 2a ⎟
2 0 3 c−a ⎟
⎟
4 −3 3 d − 3a ⎟
6 −4 −2 e − 2a ⎟⎠

2
0
0
0

0

2

a

⎞
⎟
−1 1 b − 2a
⎟
1 2 c−b+a ⎟
⎟
−1 1 d − 2b + a ⎟
−1 −5 e − 3b + 4a ⎟⎠
0

2

1 0 2
2 −1 1
0 1 2
0 0 3
0 0 −3

a

⎞
a
⎟
b − 2a
⎟
⎟
c−b+a
⎟
d + c − 3b + 2a ⎟
e + c − 4b + 5a ⎟⎠


⎛1
⎜
⎜0
( 5 ): = ( 5 ) + ( 4 ) ⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ 0
⎜
⎜0
⎜0
⎝

1 0
2 −1
0 1
0 0
0 0

2
1
2
3
0

⎞
a
⎟
b − 2a
⎟
⎟
c−b+a
⎟
d + c − 3b + 2a
⎟
e + d + 2c − 7b + 7a ⎟⎠

Hệ (3.5) có nghiệm nếu và chỉ nếu rank A = rank A , nghóa là
7a − 7b + 2c + d + e = 0 .

Nói khác đi, W là không gian nghiệm của phương trình tuyến tính
7x1 − 7x2 + 2x 3 + x4 + x5 = 0

và ta được
W=
=

Do

{( m, n, p, q, −7m + 7n − 2p − q )

}

m, n, p, q ∈ \

(1, 0, 0, 0, −7) , ( 0,1, 0, 0,7 ) , ( 0, 0,1, 0, −2) , ( 0, 0, 0,1, −1)

{(1, 0, 0, 0, −7) , ( 0,1, 0, 0,7) , ( 0, 0,1, 0, −2) , ( 0, 0, 0,1, −1)}

độc lập tuyến tính nên

chúng tạo thành một cơ sở cho W và do đó dim W = 4 .
Bài tập
1. Hỏi các tập dưới đây có là một không gian con của \ 3 hay không ?

{( a, 0, 0) a ∈ \} .
= {( a,1,1) a ∈ \} .

a) W1 =
b) W2

2. Cho không gian vectơ V và a là một vectơ cố đònh thuộc V . Chứng minh rằng

tập hợp W = ka k ∈ \ là một không gian vectơ con của V .

{

}

3. Trong \ 3 , cho các vectơ u1 = (1, −2, 3) , u 2 = ( 0,1, −3) . Xét xem vectơ u = ( 2, −3, 3)

có phải là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 hay không ?
4. Trong \ 3 , xét xem vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 , u 3 không

a) u1 = (1, 0,1) , u 2 = (1,1, 0) , u 3 = ( 0,1,1) , u = (1, 2,1) .
b) u1 = ( −2,1, 0 ) , u 2 = ( 3, −1,1) , u 3 = ( 2, 0, −2) , u = ( 0, 0, 0) .
5. Trong không gian vectơ các ma trận vuông cấp hai M2 ( \ ) , cho bốn vectơ
⎛ 1 3⎞
⎛1 0⎞
⎛1 1⎞
⎛ 0 1⎞
u=⎜
⎟ , u1 = ⎜
⎟ , u2 = ⎜
⎟ , u3 = ⎜
⎟.
⎝ 2 2⎠
⎝1 0⎠
⎝ 0 0⎠
⎝ 1 1⎠

Hỏi vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 , u 3 không ?
53

6. Trong

\ 3 , cho các vectơ

u1 = (1, −2, 3) ,

u = (1, m, −3) là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 .

u 2 = ( 0,1, −3) . Tìm

m

để vectơ

7. Trong \ 3 , các hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

a) u1 = (1,1, 0 ) , u 2 = ( 0,1,1) , u 3 = (1, 0,1) .
b) u1 = (1,1, 0 ) , u 2 = ( 0,1,1) , u 3 = ( 2, 3,1) .
c) u1 = (1,1,1) , u 2 = (1,1, 2) , u 3 = (1, 2, 3) .
d) u1 = (1,1, 2 ) , u 2 = (1, 2, 5 ) , u 3 = ( 0,1, 3) .
8. Chứng minh rằng hệ vectơ v1 , v 2 ,..., v r phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có

một vectơ v i , i ∈ {1, 2,..., r} là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

9. Trong không gian vectơ các ma trận vuông cấp hai M2 ( \ ) , cho bốn vectơ
⎛1 0⎞
⎛1 1⎞
⎛1 1 ⎞

⎛1 1⎞
e1 = ⎜
⎟ , e2 = ⎜
⎟ , e3 = ⎜
⎟ , e4 = ⎜
⎟.
⎝ 0 0⎠
⎝ 0 0⎠
⎝1 0⎠
⎝1 1⎠

Chứng minh rằng hệ {e1 , e2 , e3 , e4 } độc lập tuyến tính.
10. Mỗi hệ vectơ sau đây có sinh ra \ 3 không ?

a) v1 = (1,1,1) , v2 = ( 2, 2, 0 ) , v3 = ( 3, 0, 0 ) .
b) v1 = ( 2, −1, 3) , v2 = ( 4,1, 2 ) , v3 = ( 8, −1, 8 ) .
11. Hệ vectơ nào trong các hệ vectơ sau đây là cơ sở của \ 3

{(1, 2, 3) , ( 0, 2, 3)} .
= {(1, 2, 3) , ( 0, 2, 3) , ( 0, 0, 5 )} .
= {(1,1, 2 ) , (1, 2, 5 ) , ( 0,1, 3)} .
= {( −1, 0,1) , ( −1,1, 0 ) , (1, −1,1) , ( 2, 0, 5 )} .

a) B1 =
b) B 2
c) B 3
d) B 4

12. Tìm hạng của các hệ vectơ sau (trong không gian vectơ \ 4 )

a) u1 = ( −1, 2, 0,1) , u 2 = (1, 2, 3, −1) , u 3 = ( 0, 4, 3, 0 ) .
b) v1 = ( −1, 4, 8,12 ) , v2 = ( 2,1, 3,1) , v3 = ( −2, 8,16, 24 ) , v4 = (1,1, 2, 3) .
13. Tìm số chiều và một cơ sở cho không gian vectơ con của \ 4 sinh bởi các vectơ

v1 = (1, 2, 0, −1) , v 2 = ( 0,1, 3, −2 ) , v3 = ( −1, 0, 2, 4 ) , v4 = ( 3,1, −11, 0 )

54


14. Xác đònh số chiều và tìm một cơ sở cho không gian nghiệm của các hệ sau
⎧2x1
⎪
a) ⎨ x1
⎪
⎩

+

x2

+ 3x3

= 0

x2

+

x3

= 0

⎧ x1
⎪
⎪2x
c) ⎨ 1
⎪3x1
⎪2x
⎩ 1

− 2x2

+ 2x 2

+

x2

− 2x2

⎧3x1
⎪
⎪6x
d) ⎨ 1
⎪9x1
⎪3x
⎩ 1

+ x3

= 0

−

− x3

⎧ x1
⎪
b) ⎨2x1
⎪3x
⎩ 1

x4

+

x5

= 0

x4

− 2x5

= 0

+ 2x4

− x3

+

− 2x4

− 3x5

= 0

+ 2x5

= 0

− 3x 2

+

x3

= 0

− 9x 2

+ 3x 3

= 0

− 6x 2

− 5x 2

+ x3

+ 2x 2

+

x3

+ 3x4

+ 5x5

= 0

+ 6x 2

+ 5x3

+ 7x4

+ 9x5

= 0

+ 4x 2

+ 3x3

+ 2x 2

+ 4x 3

+ 5x4
+ 4x 4

+ 7x5

= 0

+ 8x5

= 0

+ 2x3

= 0

15. Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở chính tắc B và trong cơ sở B ′ = {f1 , f2 , f3} ,

với f1 = (1, 0, 0 ) , f2 = (1,1, 0 ) , f3 = (1,1,1) .
a) u = ( 3,1, −4 ) .

b) u = (1, 3,1) .

16. Trong \ 4 , xét tập
W=

{( a , a , a , a )
1

2

3

4

}

a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 0

a) Kiểm chứng rằng W là một không gian vectơ con của \ 4 .
b) Kiểm chứng các vectơ sau nằm trong W
v1 = (1, 0, 0, −1) , v 2 = ( 0,1, 0, −1) , v3 = ( 0, 0,1, −1) , v 4 = (1,1, −1, −1)
c) Xác đònh số chiều và tìm một cơ sở cho W .
17. Trong \ 3 , cho cơ sở chính tắc

{

}

{

}

B = e1 = (1, 0, 0 ) ,e2 = ( 0,1, 0 ) ,e3 = ( 0, 0,1)

và cơ sở
B′ = f1 = ( 2,1,1) ,f2 = (1, 2,1) ,f3 = (1,1, 2 ) .

Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B′ và ma trận đổi cơ sở từ B′ qua B .

18. Trong

{

\3 ,

{

}

cho hai cơ sở B = u1 = (1,1, 0 ) ,u 2 = ( 0,1,1) ,u 3 = (1, 0,1)

}

B ′ = v1 = ( 2,1,1) ,v2 = (1, 2,1) ,v3 = (1,1, 2 ) .

Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B′ và ma trận đổi cơ sở từ B′ qua B .

55

và


19. Trong \ 3 , cho hai cơ sở

{
}
B ′ = {v = (1, 2,1) ,v = ( 0,1, 2 ) ,v = (1, 4, 6 )}
B = u1 = (1, 2, 0 ) ,u 2 = (1, 3, 2 ) ,u 3 = ( 0,1, 3)
1

2

3

và vectơ u = ( a, b, c ) ∈ \ 3 .
a) Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở B và cơ sở B′ .
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B′ và ma trận đổi cơ sở từ B′ qua B .
c) Kiểm chứng ⎡⎣ u ⎤⎦ = PB →B′ ⎡⎣u ⎤⎦ ′ và ⎡⎣ u ⎤⎦ ′ = PB′→B ⎡⎣ u ⎤⎦ .
B
B
B
B
20. Trong \ 3 , cho các hệ vectơ

{

}

B1 = u1 = (1,1,1) ,u 2 = (1,1, 2 ) ,u 3 = (1, 2, 3)

và

{

}

B2 = v1 = ( 2,1, −1) ,v2 = ( 3, 2, 5 ) ,v3 = (1, −1, m )

a) Chứng minh rằng B1 là cơ sở của \ 3 .

b) Tìm tọa độ của vectơ u = ( a, b, c ) trong cơ sở B1 .
c) Tìm m để B2 là một cơ sở của \ 3 .
d) Với m = 0 , tìm các ma trận đổi cơ sở PB

1 →B2

và PB

2 →B1

.

21. Cho hai hệ vectơ trong không gian \ 4
B : a1 = ( 0,1, 0, 2) , a 2 = (1,1, 0,1) , a 3 = (1, 2, 0,1) , a 4 = ( −1, 0, 2,1) ,
B′ : b1 = (1, 0, 2, −1) , b2 = ( 0, 3, 0, 2 ) , b3 = ( 0,1, 3,1) , b4 = ( 0, −1, 0,1)

a) Chứng minh chúng là hai cơ sở của \ 4 .
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B′ .
c) Tìm tọa độ của v = ( 2, 0, 4, 0 ) đối với cơ sở B′ .
d) Tìm tọa của v đối với cơ sở B .
22. Xác đònh số chiều và tìm một cơ sở của không gian con W sinh bởi hệ vectơ sau

a) u1 = (1, 0, 0, −1) , u 2 = ( 2,1,1, 0) , u 3 = (1,1,1,1) , u 4 = (1, 2, 3, 4 ) , u 5 = ( 0,1, 2, 3)
trong \ 4 .
b)

u1 = (1,1,1,1, 0 ) ,

u 2 = (1,1, −1, −1, −1) ,

u 5 = (1, −1, −1, 0, 0) trong \5 .

56

u 3 = ( 2, 2, 0, 0, −1) ,

u 4 = (1,1, 5, 5, 2 ) ,