Tài liệu chương 3 Không gian tín hiệu và điều chế pdf

Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
Chương 3
KHÔNG GIAN TÍN HIỆU VÀ ĐIỀU CHẾ
3.1. GIỚI THIỆU CHUNG
3.1.1. Các chủ đề được trình bầy trong chương
• Các phương pháp điều chế số
• Các khuôn dạng điều chế số
• Không gian tín hiệu
• Đáp ứng của các bô tương quan lên tạp âm
• Bô tách sóng khả giống nhất
• Tính toán xác suất lỗi trong kênh AWGN
• Các kỹ thuật điều chế nhất quán: BPSK, QPSK, M-PSK, MSK, M-ASK và
16-QAM
• Mật độ phổ công suất uả các kỹ thuật điều chế khác nhau
• So sánh các kỹ thuật điều chế
3.1.2. Hướng dẫn
• Học kỹ các tư liệu đựơc trình bầy trong chương
• Tham khảo thêm [1],[2], [7],[8]
3.1.3. Mục đích chương
• Hiểu được các kỹ thuật điều chế số được sử dụng phổ biến nhất trong
thông tin vô tuyến số
• Hiểu được phương pháp đánh giá chất lượng đường truyền và băng thông
cần thiết cho từng kỹ thuật điều chế
• So sánh các kỹ thuật điều chế.
41
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
3.2. ĐIỀU CHẾ SỐ
Khi phát một luồng số trên kênh vô tuyến, cần phải điều chế luồng số này
cho một sóng mang (thường là hàm sin). Luồng số có thể là tín hiệu đầu ra của
máy tính hay tiếng nói hoặc hình ảnh đã được số hóa. Trong mọi trường hợp quá
trình điều chế bao gồm khóa chuyển biên độ, tần số hay pha cho sóng mang theo

luồng số vào. Vì vậy tồn tại ba phương pháp điều chế trong truyền dẫn số: điều
chế khóa chuyển biên (ASK: amplitude shift keying), điều chế khóa chuyển tần số
(FSK: frequency shift keying) và điều chế khóa chuyển pha (PSK: phase shift
keying). Có thể coi các phương pháp điều chế này như trường hợp đặc biệt cuả
các phương pháp điều chế biên độ, tần số và pha.
Trong chương này ta sẽ xét các tính năng của các kỹ thuật điều chế số nói
trên: khả năng chống tạp âm, các tính chất phổ và các hạn chế của chúng cũng
như các ứng dụng của chúng và các vấn đề khác. Ta bắt đầu phần này bằng trình
bày tổng quan các khuôn dạng điều chế khác nhau đối với các nhà thiết kế hệ
thống số khác nhau.
3.3. CÁC KHUÔN DẠNG ĐIỀU CHẾ SỐ
Điều chế được xem như là quá trình mà trong đó một đặc tính nào đó của
sóng mang được thay đổi theo một sóng điều chế. Chẳng hạn một sóng mang
hàm sin biểu thị theo công thức (3.1) có ba thông số sau đây có thể thay đổi: biên
độ, tần số và pha:
S(t) = A cos(ω
c
t + θ) (3.1)

trong đó ω
c
= 2πf
c
là tần số góc của sóng mang, f
c
là tần số sóng mang còn θ(t) là
pha.
Nếu sử dụng tín hiệu thông tin để thay đổi biên độ A, tần số sóng mang f
c
và pha θ(t) ta được điều biên, điều tần và điều pha tương ứng.

Nếu tín hiệu đưa lên điều chế các thông số nói trên là tín hiệu liên tục thì ta
được trường hợp điều chế tương tự. Nếu tín hiệu điều chế các thông số nói trên
là số thì điều chế được gọi là điều chế số.
Ch¬ng 3. Kh«ng gian tÝn hiÖu vµ ®iÒu chÕ
42
Chng 3. Khụng gian tớn hiu v iu ch
3.1. Điều chế số
Khi phát một luồng số trên kênh vô tuyến, cần phải điều chế luồng số này ở
một sóng mang (thờng là hàm sin) có độ rộng băng tần hữu hạn dành cho kênh.
Luồng số này có thể là tín hiệu đầu ra của máy tính hay luồng số PCM đợc tạo
ra từ tiếng nói hay hình ảnh đã số hóa. Trong mọi trờng hợp quá trình điều chế
số bao gồm việc khóa chuyển biên độ, tần số hay pha của sóng mang theo luồng
số vào. Vì vậy tồn tại ba phơng pháp điều chế để truyền dẫn số: điều chế
khóa chuyển biên (ASK: Amplitude Shift Keying), điều chế khóa chuyển tần
(FSK: Frequency Shift Keying) và điều chế khóa chuyển pha (PSK: Phase Shift
Keying); các phơng pháp điều chế này có thể coi nh trờng hợp đặc biệt của điều
chế biên độ, điều chế tần số và điều chế pha.
Trong chơng này ta xẽ xét các kỹ thuật điều chế số: khả năng chống tạp âm
của chúng, các tính chất phổ, các u điểm và các hạn chế của chúng, các ứng
dụng và các vấn đề khác.Ta bắt đầu phần này bằng trình bầy tổng quan các
khuôn dạng điều chế khác nhau dành cho các nhà thiết kế các hệ thống số khác
nhau.
Các khuôn dạng điều chế số.
Điều chế số đợc xem nh là quá trình mà trong đó một đặc tính nào đó
của sóng mang đợc thay đổi theo một sóng điều chế. Chẳng hạn một sóng
mang hàm sin biểu thị theo công thức 4.1, có ba thông số sau đây có thể thay
đổi: biên độ, tần số và pha:
S(t) = A cos(
c
t + )

trong đó:

c
= 2 f
c
là tần số góc của sóng mang, f
c
là tần số sóng mang còn (t) là
pha.
Nếu sử dụng tín hiệu thông tin để thay đổi biên độ A, tần số sóng mang
f
c
và pha (t)

ta đợc điều biên, điều tần và điều pha tơng ứng.
Nếu tín hiệu đa đến điều chế các thông số nói trên là tín hiệu liên tục
thì ta đợc trờng hợp điều chế tơng tự. Nếu tín hiệu điều chế các thông số nói
trên là số thì điều chế đợc gọi là điều chế số.
Trong thụng tin s tớn hiu a lờn iu ch l mt lung nh phõn hay dng
c mó húa vo M-mc ca ca lung nh phõn ny. Trong trng hp iu ch
43
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
số tín hiệu điều chế cũng làm thay đổi biên độ, tần số, hay pha của sóng mang
với các tên gọi tương ứng là: điều chế khóa chuyển biên (ASK), điều chế khóa
chuyển tần (FSK), điều chế khóa chuyển pha (PSK) (xem thí dụ ở hình 3.1).
Hình 3.1. Các dạng sóng điều chế: a) Khóa chuyển biên độ (ASK); b) Khóa
chuyển pha (PSK); c) Khóa chuyển tần số (FSK).
Như ta thấy ở hình 3.1, lý tưởng PSK và FSK có hình bao không đổi. Đặc
điểm này cho phép chúng không bị ảnh hưởng của tính phi tuyến thường gập ở

thông tin vi mặt đất số và vệ tinh.số. Vì vậy thường FSK và PSK hay được sử
dụng hơn ASK. Tuy nhiên để có thể tăng dung lượng đường truyền dẫn số khi
băng tần của kênh vô tuyến có hạn người ta sử dụng điều chế khóa chuyển pha
và khoá chuyển biên kết hợp, phương pháp điều chế này được gọi là điều chế
cầu phương hay biên độ vuông góc (QAM: Quadrature Amplitude Modulation).
Trong trường hợp điều chế M trạng thái tổng quát, bộ điều chế tạo ra một
tập hợp M=2
m
ký hiệu tuỳ theo tổ hợp m bit của luồng số liệu nguồn. Điều chế nhị
phân là trường hợp đặc biệt của điều chế M-trạng thái trong đó M=2.
44
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
Trong dạng sóng được vẽ ở hình 3.1, một trong các đặc tính của của sóng
mang (biên độ, tần số hoặc pha) bị điều biến. Như trên đã nói đôi khi cả hai đặc
tính của sóng mang đều thay đổi tạo ra điều chế cầu phương QAM.
Trong thông tin số thuật ngữ tách sóng và giải điều chế thường được sử
dụng hoán đổi cho nhau, mặc dù thuật ngữ giải điều chế nhấn mạnh việc tách tín
hiệu điều chế ra khỏi sóng mang còn tách sóng bao hàm cả quá trình quyết định
chọn ký hiệu thu.
Giải điều chế ở máy thu có thể thực hiện theo hai dạng: giải điều chế nhất
quán hoặc không nhất quán. Ở dạng giải điều chế nhất quán lý tưởng, bản sao
chính xác tín hiệu phát phải có ở máy thu. Nghĩa là máy thu phải biết chính xác
pha chuẩn của sóng mang, trong trường hợp này ta nói máy thu được khóa pha
đến máy phát. Tách sóng tương quan được thực hiện bằng cách thực hiện tương
quan chéo tín hiệu thu được vớí một trong các mẫu nói trên, sau đó thực hiện
quyết định bằng cách so sánh với một mẫu cho trước. Mặt khác ở giải điều chế
không nhất quán không cần thiết phải hiểu biết pha của sóng mang. Vì vậy độ
phức tạp của máy thu được giảm bớt nhưng bù lại là khả năng chống lỗi thấp hơn
so với giải điều chế nhất quán.
Ta thấy rằng tồn tại rất nhiều sơ đồ điều chế/tách sóng dành cho người

thiết kế hệ thống thông tin số để truyền dẫn luồng số trên kênh băng thông. Mỗi
sơ đồ có các ưu nhược điểm riêng của mình. Việc lựa chọn cuối cùng của người
thiết kế phụ thuộc vào: tài nguyên thông tin, công suất phát và độ rộng kênh.
Chẳng hạn việc lựa chọn có thể thiên về sơ đồ phải đảm bảo nhiều mục đích thiết
kế dưới đây:
1. Tốc độ số liệu cực đại.
2. Xác suất lỗi ký hiệu cực tiểu.
3. Công suất phát cực tiểu.
4. Độ rộng kênh cực tiểu.
5. Khả năng chống nhiễu cực đại.
6. Mức độ phức tạp của mạch cực tiểu.
Một số các mục tiêu nói trên đối lập với nhau: chẳng hạn mục tiêu (1), (2)
đối lập với mục tiêu (3) và (4). Vì vậy phải lưa chọn một giải pháp dung hòa để
thỏa mãn càng nhiều các mục tiêu nói trên càng tốt.
Ở các phần dưới đây ta sẽ xét các phương pháp điều chế khác nhau sử
dụng thủ tục trực giao Gram-Schimidt để biểu diễn các tín hiệu này vào không
gian tín hiệu
3.4. KHÔNG GIAN TÍN HIỆU
45
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
Ở thông tin số luồng số điều chế được chia thành các ký hiệu m
i
, i = 1, 2, . .
., M trước khi điều chế cho sóng mang để được các tín hiệu s
i
(t). Tập các sóng
mang được điều chế s
i
(t) có thể được trình bầy ở dạng các vectơ trong không
gian tín hiệu theo các quy tắc được trình bầy dưới đây.

Một tập hữu hạn M tín hiệu năng lượng giá trị thực s
1
(t), s
2
(t), ....., s
M
(t) với
mỗi tín hiệu có độ dài T, có thể được trình bầy bằng tổ hợp tuyến tính của N ≤M
hàm trực giao chuẩn cơ sở φ
1
(t),

φ
2
(t), ....... , φ
N
(t) giá trị thực trong tập tín hiệu Σ
như sau:

11 1j 1N
1
i1 ij iN j
MN Mj MN N
s s s
(t)
s s s (t)
s s s (t)
é ù
é ù
f

ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
= f
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
f
ê ú
ë û
ë û
K K
M O M O M M
K K
M O M O M M
K L
S
(3.2a)
=
[ ]
1 i M
s (t) s (t) s (t)K K

(3.2b)
trong đó ma trận thứ nhất trong (3.2a) là ma trận hệ số của các tín hiệu trong tập
tín hiệu (đây cũng là ma trận tọa độ của các vectơ điểm tín hiệu trong không gian
tín hiệu), ma trận thứ hai trong (3.2a) là ma trận các vectơ đơn vị xác định chiều
của không gian tín hiệu, ma trận trong (3.2b) là ma trận các tín hiệu trong tập tín
hiệu, trong đó mỗi tín hiệu sẽ có một điểm tín hiệu trong không gian tín hiệu.
Mỗi tín hiệu s
i
(t) trong tập tín hiệu được xác định như sau:

N
i ij j
j 1
0 t T
s (t) s (t)
i 1,2,....,M
=
ì
£ £
ï
ï
= f
í
ï
=
ï
î
å
(3.3)

trong đó hệ số khai triển được xác định như sau:

∫



=
=
φ=
T
jiij
N,....,,j
M,....,,i
dt)t()t(ss
0
21
21
(3.4)
46
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
trong đó φ
j
(t) là hàm trực giao chuẩn xác định vectơ đơn vị của không gian tín
hiệu.
Các hàm trực giao chuẩn cơ sở xác định vectơ chuẩn trong không gian tín
hiệu thoả mãn điều kiện sau:

ij
0
( ) ( )

T
i j
t t dt
φ φ δ
=
∫
(3.5)
trong đó

ij
1
j
δ
=

=

≠

nÕu i j
0 nÕu i
(3.6)
được gọi là hàm delta Kronecker.
Tương ứng mỗi tín hiệu trong tập {s
i
(t)} có thể được xác định bằng một
vectơ theo các hệ số của nó như sau:
s
i
=

[ ]
i1 i2 iN
s s sK
i= 1, 2, . . . , M (3.7)
Vectơ s
i
được gọi là vectơ tín hiệu. Không gian chứa vectơ này được gọi là
không gian Ơclit N chiều. Ta có thể biểu thị tập các vectơ {s
i
} này bằng tập M
điểm trong không gian Ơclit N chiều có các trục là φ
1
, φ
2
, . . . , φ
N.
. Không gian Ơclit
N chiều này được gọi là không gian tín hiệu.
Thí dụ về không gian tín hiệu với N=3 được cho trên hình 3.2.
47
Không gian tín hi uệ
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
Hình 3.2. Không gian vectơ tín hiệu ba chiều
Sơ đồ tạo ra tín hiệu s
i
(t) được cho ở hình 3.3.
Hình 3.3. Tạo tín hiệu truyền dẫn s
i
(t)
Trong không gian tín hiệu ta có thể xác định độ dài vectơ và góc giữa các

vectơ. Độ dài của vectơ xác định như sau:
||s
i
|| = (s
i
.s
i
)
1/2
=
∑
=
N
j
ij
s
1
2
(3.8)
Cosin của góc giữa hai vectơ được xác định theo công thức sau:
48
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
(s
i
.s
j
) /||s
i
||.||s
j

|| (3.9)
Có thể chứng minh rằng năng lượng của mỗi tín hiệu s
i
(t) trong khoảng T
bằng bình phương độ dài vectơ của nó:
E
i
=
∑
=
N
j
ij
s
1
2
(3.10)
Khoảng cách Ơclit giữa hai vectơ tín hiệu s
i
và s
k
được xác định như sau:
||s
i
-s
k
|| =
[ ]
dttstsss
T

kikj
N
j
ij
2
0
2
1
)()()(
∫
∑
−=−
=
(3.11)
Nếu hai tín hiệu s
i
(t) và s
k
(t) trực giao thì:
||s
i
-s
k
|| = (E
i
+E
k
)
1/2
(3.1 2 )

3.5. ĐÁP ỨNG CỦA CÁC BỘ TƯƠNG QUAN LÊN TẠP ÂM
Tín hiệu thu được ở đầu vào của các bộ tương quan (xem hình 3.4) sẽ là
tổng của tín hiệu phát s
i
(t) với tạp âm trắng Gauss trắng cộng x(t):
y
i
(t) = s
i
(t) + x (t) , 0≤t≤T , i = 1, 2, . . . , M (3.13)
49
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
Hình 3.4. Tín hiệu đầu ra của bộ tương quan
Ta có thể biểu diễn tín hiệu và tạp âm trong không gian tín hiệu như trên hình 3.5.
Hình 3.5. Biểu diễn tín hiệu và tạp âm trong không gian tín hiệu
Tín hiệu ở đầu ra của các bộ tương quan sẽ là một biến ngẫu nhiên được
xác định như sau:
y
J
=
0
( ) ( ) )
T
j
y t t dt
φ
∫
= s
ịj
+ x

J
, j = 1, 2, . . ., N (3.14)
trong đó thành phần thứ nhất nhận được từ tín hiệu phát:
s
ij
=
0
( ) ( )
T
i j
s t t dt
φ
∫
(3.15)
Còn thành phần thứ hai là một biến ngẫu nhiên gây ra do tạp âm:
50
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
x
j
=
0
( ) ( ) )
T
j
x t t dt
φ
∫
(3.16)
Do giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên x(t) bằng không, nên giá trị trung bình
của y

j
được

xác định như sau:
m
yj
= E[y
j
] = E[s
ij
+ x
j
] = s
ij
(3.17)
và phương sai của y
j
bằng:
σ
2

yj
= E[(y
j
-s
ij
)
2
] = E[x
j

2
] (3.1 8 )
Từ phương trình (3.16) ta được:

2
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
j
T T
y j j
E x t t dt x u u du
σ φ φ
 
=
 
 
∫ ∫

0 0
( ) ( ) ( ) ( )
T T
j j
E t u x t x u dtdu
φ φ
 
=
 
 
∫∫
=

[ ]
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
T T
j j
t u E x t x u dtdu
φ φ
∫∫
=
0 0
( ) ( ) ( , )
T T
j j x
t u t u dtdu
φ φ φ
∫∫
=
0
0 0
( ) ( ) ( )
2
T T
j j
N
t u t u dtdu
φ φ δ
−
∫∫
=
2

0
0
( )
2
T
j
N
t dt
φ
∫
Vậy:

2
0
2
N
yj
=σ
đối với mọi j (3.19)

Lưu ý rằng ở các biến đổi trên ta sử dung công thức sau đây cho hàm
tương quan của tạp âm trắng:
φ
x
(t,u) =
)ut(
N
−δ
2
0

51
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế

Nếu ta định nghĩa vectơ của N đầu ra bộ tương quan:

[ ]
1 2 N
y y y=y K
(3.20)
thì ta có thể viết mật độ xác suất có điều kiện khi phát đi ký hiệu m
i
và thu được
vectơ y như là tích của N hàm mật độ xác suất thành phần :
f
Y
(y|m
i
) =
∏
=
N
j
ij
Y
)m|y(f
j
1
(3.21)
Vì Y
j

là một biến ngẫu nhiên Gausơ có trung bình s
ị
nên:
f
ỵj
(y
j
|m
i
) =






−−
π
2
0
0
11
)sy(
N
exp
N
ijj
, j=1, 2, . . . , N
i=1, 2, . . . , M (3.22)
và:

f
Y
(y|m
i
) =
[ ]






−−π
∑
−
N
J
ijj
N
sy
N
N
2
0
2/
0
)(
1
exp)(
, i = 1, 2, . . . , M (3.23)

3.6. BỘ TÁCH SÓNG KHẢ GIỐNG NHẤT
Nhiệm vụ của bộ tách sóng khả giống nhất là phải ước tính được ký hiệu
thu m' với xác suất lỗi nhỏ nhất so với ký hiệu được phát m
i
. Xác suất lỗi ký hiệu
trung bình khi đưa ra quyết định này có thể được biểu diễn đơn giản như sau:
P
e
(m
i
,y) = P(m
i
không phát | y)
=1- P(m
i
được phát | y) (3.24)
trong đó y là tổng vectơ của tín hiệu được phát và tạp âm.
Để giảm tối đa lỗi, quy tắc quyết định chọn m
i
như sau:
Quyết m'=m
i
, nếu
52
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
P(m
i
phát | y) ≥ P(m
k
phát | y), cho tất cả k≠i

k=1,2...,M. (3.25)
Quy tắc quyết định này được gọi là cực đại xác suất hậu định (MAP:
Maximum a Posteriori Probability).
Theo quy tắc Bayes ta có thể viết:
Quyết m'=m
i
nếu

)y(P
)m|y(Pp
kk
hay
)y(f
)m|y(fp
Y
kYk
cực đại khi k=i (3.26)
trong đó p
k
là xác suất tiền định của việc xuất hiện ký hiệu m
k
(xác suất phát ký
hiệu m
k
) còn f
Y
(y) và f
Y
(y | m
k

) là hàm mật độ xác suất của phát ký hiệu m
k
và thu y
khi phát m
k
.
Vì P(y) và f
Y
(y) không phụ thuộc vào tín hiệu phát nên ta được:
Quyết m'=m
i
nếu
P(y| m
k
) hay f
Y
(y|m
k
) cực đại khi k=i (3.27)
Đây là quy tắc quyết định theo khả năng giống nhất và P(y|m
i
) hay f
Y
(y|m
i
)
được gọi là hàm khả năng giống. Nội dung của quy tắc này là bộ tách sóng sẽ
quyết định chọn m
i
nếu hàm khả năng giống là cực đại. Để tiện lợi hàm khả năng

giống thường được sử dụng ở dạng logrit tự nhiên:
Quyết m'=m
i
nếu
lnP(y|m
k
) hay lnf
Y
(y|m
k
) cực đại khi k=i (3.28)

Các hàm lnP(y|m
k
) và lnf
Y
(y|m
k
) được gọi là các hàm log khả năng giống

3.7. TÍNH TOÁN XÁC SUẤT LỖI TRUYỀN DẪN TRONG KÊNH
TẠP ÂM GAUSS TRẮNG CỘNG, AWGN
Để tính toán xác suất lỗi ta chia không gian tín hiệu thu thành M vùng {Z
i
,
i=1,2,....,M}, trong đó Z
i
là vùng mà ở đó xác suất thu được tín hiệu y khi phát ký
hiệu m
i

lớn nhất :
P(m
k
được phát | y) = max, khi k = i
Nếu p
k
là xác suất phát m
k
thì theo quy tắc Bayes ta có:
53
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế

)y(f
)m|y(fp
Y
kYk
= max khi k = i (3.29)
khi coi rằng xác suất phát các ký hiệu m
k
p
k
đều như nhau:
f
Y
(x|m
k
) = max, khi k = i (3.30)
Lỗi tín hiệu xẩy ra khi phát đi m
i
nhưng điểm vectơ của tín hiệu thu y không rơi vào

vùng Z
i
. Xác suất lỗi ký hiệu trung bình P
e
, khi coi rằng xác suất phát các ký hiệu
như nhau, bằng:

∑
=
=
M
i
ie
(P)m(PP
1
y
không nằm trong vùng Z
i
| m
i
được phát)
=
∑
=
M
i
(P
M
1
1

y
không nằm trong vùng Z
i
| m
i
được phát)
= 1-
∑
∫
=
M
i
Z
Y
i
y(f
M
1
1
nằm trong Z
i
| m
i
được phát)
= 1 -
∑
∫
=
M
i

Z
iY
i
dy)m|y(f
M
1
1
(3.31)
Trong các phần dưới đây ta sẽ xét một số sơ đồ điều chế thường được sử
dụng trong thông tin vi ba số. Các sơ đồ này có thể chia thành các sơ đồ điều chế
nhất quán và không nhất quán. Đối với các sơ đồ điều chế nhất quán, sóng
mang tại phiá thu được khôi phục bởi bộ khôi phục sóng mang, còn đối với các sơ
đồ không nhất quán không cần thiết khôi phục sóng mang ở phía thu. Bù lại sơ đồ
không nhất quán thừng mắc lỗi bit nhiều hơn sơ đồ nhất quán.
3.8. ĐIỀU CHẾ VÀ GIẢI ĐIỀU CHẾ PSK NHỊ PHÂN HAY HAI TRẠNG
THÁI (BPSK) NHẤT QUÁN
54
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
Trong một hệ thống điều chế BPSK (Binary phase shift keying) nhất quán
cặp các tín hiệu s
1
(t), s
2
(t) được sử dụng để trình bầy các ký hiệu nhị phân 0 và 1
được định nghĩa như sau:
s
i
(t) =
b
b

T
E2
cos[2πf
c
t+θ(t)+θ], θ(t)= (i-1)π, 0≤t≤T
b
, i=1,2 (3.32)
hay:
s
1
(t)=
b
b
T
E2
cos(2πf
c
t+θ) (3.33a)

s
2
(t)=
b
b
T
E2
cos(2πf
c
t+θ+π)=-
b

b
T
E2
cos(2πf
c
t+θ). (3.33b)

trong đó :
T
b
là độ rộng của một bit , E
b
là năng lượng của một bit, θ(t) là góc pha thay
đổi theo tín hiệu điều chế, θ là góc pha ban đầu có giá trị không đổi từ 0 đến
2π và không ảnh hưởng lên quá trình phân tích nên ta đặt bằng không, i=1
tương ứng với phát đi ký hiệu 0 và i=2 tương ứng với phát đi ký hiệu 1.
Một cặp sóng mang hàm sin đối pha 180
0
như trình bầy ở trên được gọi là
các tín hiệu đối cực.
Từ các phương trình (3.32) và (3.33) ta thấy rằng chỉ có một hàm đơn vị
năng lượng cơ sở là:
φ
1
(t) =
2
T
b
cos(2πf
c

t) 0≤t<T
b
(3.34)
Khi này ta có thể khai triển các tín hiệu s
1
(t), s
2
(t) theo Φ
1
(t) như sau:
s
1
(t) =
E
b
φ
1
(t) 0≤t<T
b
(3.35)
s
2
(t) = -
E
b
φ
1
(t) 0≤t<T
b
(3.36)

Vậy hệ thống PSK nhị phân được đặc trưng bởi một không gian tín hiệu
một chiều (N=1) với hai điểm bản tin (M=2) như được vẽ ở hình 3.6. Tọa độ của
các điểm bản tin bằng:
55
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
S
11
=
1 1
0
( ) ( )
b
T
s t t dt
φ
∫
=
b
E
(3.37)
và:
s
21
=
2 1
0
( ) ( )
b
T
s t t dt

φ
∫
= -
b
E
(3.38)
Điểm bản tin "0" tương ứng s
1
(t) được đặt ở s
11
=+
E
b
và điểm bản tin "1"
tương ứng với s
2
(t) được đặt ở s
21
=-
E
b
.
Hình 3.6. Biểu đồ không gian tín hiệu cho hệ thống điều chế PSK cơ số hai
Để quyết định tín hiệu thu được là 0 hay 1 ta chia không gian tín hiệu thành
hai vùng:
1. Tập hợp các điểm gần điểm bản tin +
E
b
nhất (tương ứng với "0"): Z
1

.
2. Tập các điểm gần điểm bản tin -
E
b
nhất (tương ứng với "1" :Z
2
.
Ta thực hiện điều nói trên bằng cách dựng một điểm nằm giữa đường nối
hai điểm bản tin nói trên, sau đó đánh dấu vùng quyết định. Trên hình 3.6 các
vùng quyết định được đánh dấu bằng Z
1
và Z
2
.
Bây giờ quy tắc quyết định là dự đoán tín hiệu là s
1
(t) hay "0" được phát
nếu tín hiệu thu rơi vào vùng Z
1
và là s
2
(t) hay "1" nếu tín hiệu thu rơi vào vùng Z
2
.
Tuy nhiên có thể xẩy ra hai quyết định sai. Tín hiệu s
2
(t) được phát, tuy nhiên do
tác dụng của tạp âm tín hiệu thu rơi vào vùng Z
1
và vì thế máy thu quyết định thiên

về s
1
(t). Ngược lại tín hiệu s
1
(t) được phát, nhưng do tác dụng của tạp âm tín hiệu
thu rơi vào vùng Z
2
và vì thế máy thu quyết định thiên về s
2
(t).
Để tính toán xác suất gây ra một lỗi của loại 1 ta nhận thấy rằng ở hình 3.6
vùng quyết định liên quan tới s
1
(t) hay "0" được trình bầy như sau:
56
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
Z
1
: 0<y
1
<∞
trong đó y
1
là đại lượng vô hướng quan trắc như sau:
y
1
=
1
0
( ) ( )

b
T
y t t dt
φ
∫
(3.39)
trong đó y(t) là tín hiệu thu. Ta có thể rút ra hàm xác suất phân bố xác suất khi ký
hiệu 1 hay tín hiệu s
2
(t) được truyền như sau:
f
Y1
(y
1
|1) =
( )
2
1 21
0
0
y s
1
exp
N
N
é ù
-
ê ú
-
ê ú

p
ê ú
ë û



( )






+−
π
=
2
1
0
0
11
b
Ey
N
exp
N
(3.40)
trong đó:
f
Y1

(y
1
|1) là hàm mật độ xác suất có điều kiện khi phát 1 qua một kênh tạp âm
trắng cộng Gauss lý tưởng (AWGN) thu được y
1
, s
21
tương ứng với tín hiệu
phát (điều chế) của bit 1.
Xác suất có điều kiện mà máy thu quyết định thiên về ký hiệu 0 khi ký hiệu
1 được phát sẽ là:
P
e
(0|1) =
∫
∞
0
11
)1|(
1
dyyf
Y
=
1
0
π
N
∫
∞
0

exp
[-
0
1
N
(y
1
+
E
b
)
2
] dy
1
(3.41)
Đặt :
z=
1
0
2
( )
b
y E
N
+
(3.42)
và thay đổi biến tích phân x
1
thành z ta có thể viết lại phương trình (3.41) ở dạng
sau:

57
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
P
e
(0|1) =
2 / 2
0
2
1
2
b
z
E
N
e dz
π
∞
−
∫

= Q








0

2
N
E
b
(3.43)
trong đó : Q(.) là hàm Q thường được cho ở dạng bảng.
Tương tự ta có thể chỉ ra rằng P
e
(1|0), xác suất có điều kiện mà máy thu
quyết định thiên về 1 khi ký hiệu 0 được phát cũng sẽ có cùng giá trị như ở ptr
(3.43) . Vậy sau khi lấy trung bình cộng các xác suất P
e
(0|1) và P
e
(1|0) ta được
xác suất lỗi ký hiệu trung bình đối với điều chế nhị phân là :
P
e
=Q








0
2
N

E
b
(3.44)
Cần lưu ý rằng ở các trường hợp mà không gian tín hiệu được phân chia
đối xứng như ở hình 3.6 thì các xác suất lỗi ký hiệu có điều kiện và xác suất lỗi ký
hiệu trung bình sẽ có cùng giá trị.
Để tạo ra sóng điều chế BPSK chuỗi bit b(t) đầu vào đơn cực được chuyển
đổi vào dạng lưỡng cực với 1 tương ứng -√E và 0 tương ứng +√E bằng cách đưa
chuỗi này qua bộ biến đổi mức (hình 3.7 a). Dạng tín hiệu nhị phân này cùng với
sóng mang hàm sin đưa đến từ bộ dao động nội phát (TLO: Transmitter local
oscillator) (φ
1
(t) tần số f
c
) được đưa đến bộ điều chế nhân . Ở đầu ra của bộ điều
chế ta nhận được sóng BPSK mong muốn.
Để lấy ra chuỗi bit ban đầu bao gồm các số '1' và '0' (chuỗi này được gọi là
chuỗi ước tính và đựơc ký hiệu là
ˆ
( )b t
), ta đưa sóng BPSK bị tạp âm y(t) (ở đầu
ra của kênh) đến một bộ tương quan, đồng thời đến bộ này cũng được đưa tín
hiệu nhất quán φ
1
(t) (hình 3.7b) được tạo ra từ bộ dao động nội thu (RLO:
Receiver local oscillator) dựa trên sóng mang nhận được từ bộ khôi phục sóng
mang. Thời điểm khởi đầu tích phân cho một bit được đồng bộ bởi mạch khôi
phục xung định thời. Tín hiệu y
1
ở đầu ra của bộ tương quan được lấy mẫu theo

chu kỳ bit (thời điểm lấy mẫu t
2
được đồng bộ bởi bộ định thời) và so sánh với
một ngưỡng điện áp 0 Vôn. Nếu y
1
>0 thì máy thu quyết định thiên về 0 còn ngược
lại nó quyết định thiên về 1.
58
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
Hình 3.7. Sơ đồ khối máy phát BPSK (a) và máy thu BPSK (b)
3.9. ĐIỀU CHẾ VÀ GIẢI ĐIỀU CHẾ PSK BỐN TRẠNG THÁI HAY
VUÔNG GÓC (QPSK) NHẤT QUÁN
Cũng như ở BPSK điều chế QPSK (Quadrature phase shift keying) được đặc
trưng bởi việc thông tin của luồng số được truyền đi bằng pha của sóng mang. Ta
có thể viết công thức cho sóng mang được điều chế QPSK như sau:
s
i
(t) =
[ ]
4
)12()(
;0,0
0,)(2cos
2
π
−=θ






<<
≤≤θ+θ+π
it
Ttt
Ttttf
T
E
c
(3.45)
trong đó:
i = 1,2,3,4 tương ứng với phát đi các ký hiệu hai bit: "00", "01", "11" và "10"; E
là năng lượng tín hiệu phát trên một ký hiệu; T=2T
b
là thời gian của một ký
59
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
hiệu, f
c
là tần số sóng mang, θ(t) là góc pha được điều chế, θ là góc pha ban
đầu.
Mỗi giá trị của pha tương ứng với hai bit duy nhất của được gọi là cặp bit.
Chẳng hạn ta có thể có tập các giá trị pha để biểu diễn tập các cặp bit được mã
hoá Grey như sau: 10, 00, 01 và 11. Góc pha ban đầu θ có là một hằng số nhận
giá trị bất kỳ trong khoảng 0 đến 2π, vì góc pha này không ảnh hưởng đến quá
trình phân tích nên ta sẽ đặt bằng không
Sử dụng biến đổi lượng giác, ta có thể viết lại phương trình (3.45) vào dạng
tương đương như sau:

( ) ( )

( ) ( )









><
≤≤π






π
−+
π






π
−−
=

Tt,t,
Tt,tfcosicos
T
E
tfsinisin
T
E
)t(s
c
c
i
00
02
4
12
2
2
4
12
2
(3.46)
trong đó:
i = 1,2,3,4.
Dựa trên công thức trên ta có thể đưa ra các nhận xét sau:
* Chỉ có hai hàm cơ sở trực giao chuẩn , φ
1
(t) và φ
2
(t) trong biểu thức s
i

(t).
Dạng tương ứng của các φ
1
(t) và φ
2
(t) được định nghĩa như sau:

1
2
( ) sin(2 ), 0
c
t f t t T
T
φ π
=− ≤ ≤
(3.47)
và :

2
2
( ) cos(2 ) , 0
c
t f t t T
T
φ π
= ≤ ≤
(3.48)
* Tồn tại bốn điểm bản tin với các vectơ tương ứng được xác định như
sau:
60

Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế

[ ]
( ) ( )
i i1 i2
s s s
E sin 2i 1 E cos 2i 1 , i 1,2,3,4
4 4
=
ì ü
é ù é ù
p p
ï ï
ï ï
= - - =
ê ú ê ú
í ý
ï ï
ê ú ê ú
ë û ë û
ï ï
î þ
(3.49)
Các phần tử của các vectơ tín hiệu: s
i1
và s
i2
có các giá trị được tổng kết ở
bảng 3.1. Hai cột đầu của bảng cho ta các cặp bit và pha tương ứng của tín hiệu
QPSK, trong đó bit "0" tương ứng với điện áp +

2/E
, còn bit "1" tương ứng với
điện áp -
2/E
.
Bảng 3.1. Các vectơ ở không gian tín hiệu của QPSK
Cặp bit vào
0≤ t ≤ T
Pha của tín hiệu
QPSK (Radian)
Toạ độ của các điểm bản tin
s
i1
s
i2
00
π/4
+
2/E
+
2/E
01
3π/4
+
2/E
-
2/E
11
5π/4
-

2/E
-
2/E
10
7π/4
-
2/E
+
2/E
Từ khảo sát ở trên ta thấy một tín hiệu QPSK được đặc trưng bởi một trùm tín
hiệu hai chiều (N=2) và bốn điểm bản tin (M=4) như ở hình 3.8.
61
Chương 3. Không gian tín hiệu và điều chế
Hình 3.8. Biểu đồ không gian tín hiệu cho hệ thống QPSK nhất quán
Để hiểu rõ hoạt động của QPSK ta xét thí dụ 3.1 dưới đây.
Do gi¸ trÞ trung b×nh cña biÕn ngÉu nhiªn x(t) b»ng kh«ng, nªn gi¸ trÞ trung b×nh
cña y
j
®îc

x¸c ®Þnh nh sau:
m
yj
= E[y
j
] = E[s
ij
+ x
j
] = s

ij
(3.15)
vµ ph¬ng sai cña y
j
b»ng:
σ
2
yj
= E[(y
j
-s
ij
)
2
] = E[x
j
2
] (3.16)
Tõ ph¬ng tr×nh (3.16) ta ®îc:

2
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
j
T T
y j j
E x t t dt x u u du
σ φ φ
 
=

 
 
∫ ∫

0 0
( ) ( ) ( ) ( )
T T
j j
E t u x t x u dtdu
φ φ
 
=
 
 
∫∫
=
[ ]
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
T T
j j
t u E x t x u dtdu
φ φ
∫∫
=
0 0
( ) ( ) ( , )
T T
j j x
t u t u dtdu

φ φ φ
∫∫
62
Chng 3. Khụng gian tớn hiu v iu ch
=
0
0 0
( ) ( ) ( )
2
T T
j j
N
t u t u dtdu



=
2
0
0
( )
2
T
j
N
t dt


Vậy:

2
0
2
N
yj
=
đối với mọi j (3.17)

Lu ý rằng ở các biến đổi trên ta sử dung công thức sau đây cho hàm tơng
quan của tạp âm trắng:

x
(t,u) =
)ut(
N

2
0

Nếu ta định nghĩa vectơ của N đầu ra bộ tơng quan:

[ ]
1 2 N
y y y=y K
(3.18)
thì ta có thể viết mật độ xác suất có điều kiện khi phát đi ký hiệu m
i
và thu đợc
vectơ y nh là tích của N hàm mật độ xác suất thành phần :
f

Y
(y|m
i
) =

=
N
j
ij
Y
)m|y(f
j
1
(3.19)
Vì Y
j
là một biến ngẫu nhiên Gausơ có trung bình s
ị
nên:
f
ỵj
(y
j
|m
i
) =

2
0
0
11
)sy(
N
exp
N
ijj
, j=1, 2, . . . , N
i=1, 2, . . . , M
(3.20)
và:
f
Y
(y|m
i
) =
[ ]

N
J
ijj
N
sy
N
N
2
0
2/
0
)(
1
exp)(
, i = 1, 2, . . . , M
(3.21)
63
Chng 3. Khụng gian tớn hiu v iu ch
3.4. Bộ tách sóng theo khả năng giống nhất
Nhiệm vụ của bộ tách sóng khả năng giống nhất là phải ớc tính đợc ký hiệu
thu m' với xác suất lỗi nhỏ nhất so với ký hiệu đợc phát m
i
. Xác suất lỗi ký hiệu trung
bình khi đa ra quyết định này có thể đợc biểu diễn đơn giản nh sau:
P
e
(m
i

,y) = P(m
i
không phát | y)
=1- P(m
i
đợc phát | y) (3.22)
trong đó y là tổng vectơ của tín hiệu đợc phát và tạp âm.
Để giảm tối đa lỗi, quy tắc quyết định chọn m
i
nh sau:
Quyết m'=m
i
, nếu
P(m
i
phát | y) P(m
k
phát | y), cho tất cả ki
k=1,2...,M. (3.23)
Quy tắc quyết định này đợc gọi là cực đại xác suất hậu định (MAP:
Maximum a Posteriori Probability).
Theo quy tắc Bayes ta có thể viết:
Quyết m'=m
i
nếu

)y(P
)m|y(Pp
kk
hay

)y(f
)m|y(fp
Y
kYk
cực đại khi k=i (3.24)
trong đó p
k
là xác suất tiền định của việc xuất hiện ký hiệu m
k
(xác suất phát ký
hiệu m
k
) còn f
Y
(y) và f
Y
(y | m
k
) là hàm mật độ xác suất của phát ký hiệu m
k
và thu
y khi phát m
k
.
Vì P(y) và f
Y
(y) không phụ thuộc vào tín hiệu phát nên ta đợc:
Quyết m'=m
i
nếu

P(y| m
k
) hay f
Y
(y|m
k
) cực đại khi k=i (3.25)
Đây là quy tắc quyết định theo khả năng giống nhất và P(y|m
i
) hay f
Y
(y|m
i
)
đợc gọi là hàm khả năng giống. Nội dung của quy tắc này là bộ tách sóng sẽ quyết
định chọn m
i
nếu hàm khả năng giống là cực đại. Để tiện lợi hàm khả năng giống
thờng đợc sử dụng ở dạng logrit tự nhiên:
Quyết m'=m
i
nếu
lnP(y|m
k
) hay lnf
Y
(y|m
k
) cực đại khi k=i
(3.26)

64
Chng 3. Khụng gian tớn hiu v iu ch
Các hàm lnP(y|m
k
) và lnf
Y
(y|m
k
) đợc gọi là các hàm log khả năng giống

3.5. Tính toán xác suất lỗi truyền dẫn ở kênh tạp âm trắng cộng Gauss
AWGN
Để tính toán xác suất lỗi ta chia không gian tín hiệu thu thành M vùng {Z
i
,
i=1,2,....,M}, trong đó Z
i
là vùng mà ở đó xác suất thu đợc tín hiệu y khi phát ký
hiệu m
i
lớn nhất :
P(m
k
đợc phát | y) = max, khi k = i
Nếu p
k
là xác suất phát m
k
thì theo quy tắc Bayes ta có:

)y(f
)m|y(fp
Y
kYk
= max khi k = i (3.27)
khi coi rằng xác suất phát các ký hiệu m
k
p
k
đều nh nhau:
f
Y
(x|m
k
) = max, khi k = i (3.28)
Lỗi tín hiệu xẩy ra khi phát đi m
i
nhng điểm vectơ của tín hiệu thu y không rơi
vào vùng Z
i
. Xác suất lỗi ký hiệu trung bình P
e
, khi coi rằng xác suất phát các ký
hiệu nh nhau, bằng:


=
=
M

i
ie
(P)m(PP
1
y
không nằm trong vùng Z
i
| m
i
đợc phát)
=

=
M
i
(P
M
1
1
y
không nằm trong vùng Z
i
| m
i
đợc phát)
= 1-


=
M

i
Z
Y
i
y(f
M
1
1
nằm trong Z
i
| m
i
đợc phát)
= 1 -


=
M
i
Z
iY
i
dy)m|y(f
M
1
1
(3.29)
65