Đề thi thử THPT Quốc gia 2016 môn Toán sở GD và ĐT Cần Thơ - TOANMATH.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ

KỲ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016
Môn thi: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)

Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y
x4

Câu 2 (1,0 điểm). Tìm cực trị của hàm số f (x )

3x
2x

1
.
1

2.

Câu 3 (1,0 điểm).
a) Gọi z1, z 2 là các nghiệm phức của phương trình z 2
b) Giải phương trình 4.9x

1

13.6x

9.4x

1

1

e

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I
1

6z

13

0 . Tính z1

z2 .

0.
1

x 3 ln x

1

dx .

Câu 5 (1,0 điểm).

cos 3a cos a
. tan 2a 8 sin2 a.cos2a cos4a , với a k
(k
).
sin 3a sin a
4
b) Để tìm nguyên nhân làm cho cá chết hàng loạt ở bờ biển của các tỉnh miền Trung, người ta chọn ngẫu
nhiên 4 mẫu nước biển trong số 6 mẫu chứa trong hộp A, 7 mẫu chứa trong hộp B và 8 mẫu chứa trong
hộp C gửi đi phân tích. Tính xác suất để trong 4 mẫu được chọn có đủ mẫu của cả ba hộp A, B và C.
Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;1), B( 3; 0; 3) và đường
a) Chứng minh

1 z 2
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với
1
3
2
đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác MAB vuông tại A.
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh bằng a, hình chiếu
vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC và góc giữa đường thẳng A’A với
mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng (ACC’A’).
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (T)
có phương trình 4x 2 4y 2 58x 5y 54 0 . Trên cạnh AB lấy điểm M (M khác với A, B) và trên
cạnh AC lấy điểm N (N khác với A, C) sao cho BM CN . Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của BC
và MN. Đường thẳng DE cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Tìm tọa độ các điểm A, B, C
3
1

biết P ;1 , Q ;1 và tung độ của A là một số nguyên.
2
2
thẳng d:

x

2

y

Câu 9 (1,0 điểm).
a) Do nắng nóng kéo dài và nước biển xâm nhập nên người dân của một số tỉnh miền Tây thiếu nước
ngọt sinh hoạt trầm trọng, trong đó có gia đình anh Nam. Vì vậy, anh Nam thuê khoan một giếng sâu 50
mét để lấy nước sinh hoạt và được hai cơ sở khoan giếng báo giá như sau: Cơ sở A, giá của mét khoan
đầu tiên là 80.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 15.000 đồng
so với giá của mét khoan ngay trước đó; cơ sở B, giá của mét khoan đầu tiên là 60.000 đồng và kể từ
mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% so với giá của mét khoan ngay trước đó.
Anh Nam chọn cơ sở nào để thuê khoan giếng sao cho tiền thuê là thấp nhất?
b) Giải bất phương trình 9x 4 31x 3 34x 2 11x 5 5 x 3
Câu 10 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a
nhỏ nhất của biểu thức P

a
b

b
c

c

a

1.
b c

1 và a

b

2c . Tìm giá trị

6 15
.
25(a b)

--------HẾT-------Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh…………………………Số báo danh………………………


HƯỚNG DẪN CHẤM – MÔN TOÁN
Đáp án – cách giải

Câu

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y
Tập xác định D

\

Tiệm cận ngang: y
Tiệm cận đứng: x
1
2x

1

2

3x
2x

1
1

1,0 điểm

1
2

3
vì lim y
2 x
1
vì lim y
2 x 1
0, x

3
2

lim y

x

; lim y

2

y'

Điểm

0,25
.

1
2

x

D.

0,25

Bảng biến thiên:

Câu 1
1,0 điểm

0,25

Hàm số nghịch biến trên các khoảng

;

1
1
và ;
2
2

Đồ thị:

0,25

Tìm cực trị của hàm số f (x ) x 4 2 .
Tập xác định .
x 0.
Ta có f '(x ) 4x 3 ; f '(x ) 0

1,0 điểm
0,25

Bảng biến thiên:
Câu 2
1,0 điểm

0,5

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -2.

0,25
2


a) Gọi z1, z 2 là các nghiệm phức của phương trình z 2
z1

Ta có: z 2

6z

13

Do đó z1

z2

4.

(*)

4
3
2
3
2

0

3
2

13

3

2i

z

3

2i

0,25

13.6x

1

1

9.4x

1

0,5 điểm

0 (*)

x 1

9

0
0,25

1
x 1

9
4

1

0,25

1
e

Tính tích phân I
1

Đặt t

1

3 ln x

t

x 3 ln x

e

1

dx

1,0 điểm

2
1
tdt
dx
3
x
t 2.

0,25
0,25

2

dt

0,25

1
2

2
t
3 1
a) Chứng minh

2
3

cos 3a
sin 3a

với a

k

Ta có
cos 3a
sin 3a

cos a
. tan 2a
sin a

4

1

1

1; x

2
3

Khi đó I

Câu 5
1,0 điểm

z

0,5 điểm

x 1

x

x

0 . Tính

0,25

2(x 1)

3
2

x

Câu 4
1,0 điểm

13

z2 .

b) Giải phương trình 4.9x
Câu 3
1,0 điểm

6z

(k

0,25
cos a
. tan 2a
sin a

8 sin2 a.cos2a

cos4a ,

0,5 điểm

).

8 sin2 a.cos2a

2 cos 2a.cos a sin 2a
.
8 sin2 a.cos2a
2 sin 2a.cos a cos 2a
1 2 sin2 2a cos4a (đpcm)

b) Để tìm nguyên nhân làm cho cá chết hàng loạt ở bờ biển của các tỉnh miền Trung,
người ta chọn ngẫu nhiên 4 mẫu nước biển trong số 6 mẫu chứa trong hộp A, 7 mẫu
chứa trong hộp B và 8 mẫu chứa trong hộp C gửi đi phân tích. Tính xác suất để
trong 4 mẫu được chọn có đủ mẫu của cả ba hộp A, B và C.
5985
Số phần tử của không gian mẫu: n( ) C 214

0,25
0,25
0,5 điểm
0,25

Gọi X là biến cố “chọn được 4 mẫu nước biển có đủ mẫu của cả ba hộp”. Suy ra
n(X ) C 61.C 71.C 82 C 61.C 72 .C 81 C 62 .C 71.C 81 3024
Xác suất cần tính: p

3024
5985

48
.

95

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;1) , B( 3; 0; 3) và

0,25

1,0 điểm
3


Câu 6
1,0 điểm

x

1 z 2
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua
1
3
2
điểm A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam
giác MAB vuông tại A.
đường thẳng d:

y

2

Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên nhận véctơ chỉ phương của d là
u (1; 3;2) làm véctơ pháp tuyến.

Phương trình của mặt phẳng (P) là (x
Hay x

3y

2z

Vì M

d nên M (2

7

2)

3(y

2(z

1)

1)

0,25

0

0,25

0.

t;1

3t;2

2t ) .

0,25

Tam giác MAB vuông tại A nên AB.AM 0
5t 2 3t

2t )

2(1

t

0

1

0,25

Vậy M 3; 2; 4 .
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh bằng a, hình chiếu
vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC và góc giữa
đường thẳng A’A với mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).
Câu 7
1,0 điểm

Ta có góc giữa đường thẳng A’A với
mặt phẳng (ABC) là góc giữa đường thẳng
A’A với đường thẳng AH.
Suy ra A ' AH
Do đó A ' H

1,0 điểm

A'
C'
B'

60

AH . tan 600

3a
2

0,25

K
M

A

N
C
H

B

a 2 3 3a
3a 3 3
.
.
4
2
8
Trong mp(ABC) dựng HN  AC tại N. Suy ra HN // BM (M là trung điểm của AC)
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’: V

SABC .A ' H

1
a 3
.
BM
2
4
Trong mp(A’HN) dựng HK  A’N tại K . Khi đó ta có
AC HN
AC (A ' HN ) AC HK
AC A ' H

0,25

và HN

Suy ra HK

(ACC ' A ') . Do đó d(H ,(ACC ' A '))

d(B,(ACC ' A '))
Ta có

d(H ,(ACC ' A '))

Suy ra d(B,(ACC ' A '))

CB
CH

0,25

HK .

2.

2d(H ,(ACC ' A '))

2HK

2.

HN .A ' H
HN 2

A'H 2

a 3 3a
.
4
2
2
2
3a
9a 2
16
4

0,25
3a 13
13

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) có

1,0 điểm
4


Câu 8
1,0 điểm

phương trình 4x 2 4y 2 58x 5y 54 0 . Trên cạnh AB lấy điểm M (M khác
với A, B) và trên cạnh AC lấy điểm N (N khác với A, C) sao cho BM CN . Gọi
D, E theo thứ tự là trung điểm của BC và MN. Đường thẳng DE cắt các đường
3
thẳng AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết P ;1 ,

2

Q

1
;1 và tung độ của A là một số nguyên.
2
P
A
Q
M
E

N
F

B

D

C

Gọi F là trung điểm của MC. Khi đó DF, EF lần lượt là đường trung bình của các
tam giác BCM và CMN. Mà theo giả thiết BM = CN nên suy ra DF = FE hay
DEF cân tại F.
Mặt khác ta có: FDE APQ ( g.g ) nên APQ cân tại A.
Vậy A thuộc đường trung trực đoạn PQ .
Ta có phương trình đường trung trực của PQ: x = 1
Suy ra tọa độ A là nghiệm của hệ:

x  1

4 x  4 y  58 x  5 y  54  0
 y0
  

x  1
 y  5
 
4
Do y A  nên ta chỉ nhận A(1;0)
2

0,25

2

3 
2 
1 
AC đi qua A(1;0) và Q  ;1 nên phương trình AC: 2 x  y  2  0
2 

0,25

AB đi qua A(1;0) và P  ;1 nên phương trình AB: 2 x  y  2  0

4 x 2  4 y 2  58 x  5 y  54  0
Suy ra tọa độ B là nghiệm của hệ: 
 B(4;6) .

2 x  y  2  0
4 x 2  4 y 2  58 x  5 y  54  0
Tọa độ C là nghiệm của hệ: 
 C (3; 4) .
2 x  y  2  0

Câu 9
1,0 điểm

a) Do nắng nóng kéo dài và nước biển xâm nhập nên người dân của một số tỉnh
miền Tây thiếu nước ngọt sinh hoạt trầm trọng, trong đó có gia đình anh Nam. Vì
vậy, anh Nam thuê khoan một giếng sâu 50 mét để lấy nước sinh hoạt và được hai
cơ sở khoan giếng báo giá như sau: Cơ sở A, giá của mét khoan đầu tiên là 80.000
đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 15.000
đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó; cơ sở B, giá của mét khoan đầu tiên
là 60.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm
7% so với giá của mét khoan ngay trước đó. Anh Nam chọn cơ sở nào để thuê
khoan giếng sao cho tiền thuê là thấp nhất?
Tổng số tiền thuê khoan giếng khi chọn cơ sở A:

0,25

0,25

0,5 điểm

0,25
5

50
[2 80.000 (50 1)15.000]=22.375.000 đồng.
2
Tổng số tiền thuê khoan giếng khi chọn cơ sở B:
T1

1

50

1, 07

0,25

24.391.736 đồng
1 1, 07
Vậy, anh Nam chọn cơ sở A để thuê khoan giếng.
T2

60.000

0,5 điểm

Giải bất phương trình 9x 4 31x 3 34x 2 11x 5 5 x 3 1
Điều kiện x
1 . Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với

(3x 2

5)2

x

(3x 2

x

t2

Xét hàm số f (t )

3x 2

5 x3

5

1

x2

x

1 2 x

x

1

x2

x

1

x2

3 x2

1

2x

9x 2

0

13x

x

5

2t

0, t

1

0 . Suy ra

0,25

3 x2

1

x
0

2 x

x2

2x

0

13x

x

1

0

x2

1

1

9x 2

0

1 (*) .

1

0

x

5 x3

).

x

2 x

0

x

1

0 . Ta có f '(t )

t , với t

hàm số f (t ) đồng biến trên [0;
Do đó (*)

2

5 x3

5)

1

x

3 x2

1
x

0
1

0

0,25

5

0

2

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 0 x 2
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 và a b 2c . Tìm giá trị

a

nhỏ nhất của biểu thức P

Câu 10
1,0 điểm

b

b

c

c

a

1,0 điểm

6 15
.
25(a b)

Ta chứng minh bất đẳng thức (m 3 n 3 )(p 3 q 3 )(r 3 s 3 ) (mpr nqs)3 (*),
với m, n, p, q, r, s là các số thực dương. Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM-GM,

ta có
m3
p3
r3
3mpr
,
3
3
3
3
3
3
3
m
n
p
q
r
s
(m 3 n 3 )(p 3 q 3 )(r 3 s 3 )

n3
m

3

q3
n

3

p

3

s3
q

3

r

3

3nqs
s

3

(m 3 n 3 )(p 3
Cộng hai bất đẳng thức trên, ta được bất đẳng thức (*).
Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có

a
b

c

q 3 )(r 3

s3)

.

2

b
c

3

a 2 (b

a

c)

b 2 (c

a)

(a

b)3 .

Mặt khác
a 2 (b

c)

0,25

0,25
b 2 (c

 a 2 (b

a)
c)

b)3

(a
4
b 2 (c

a)

c(a

b)2

2
(a b)3
4

b)2 (a b 2c)
0
4
c(a b)2

(a b)2 (a b 2c)
.
2
4
(a

6


a

Suy ra

b

c

c

a

a



2

b

(a b)3

b)2 (a b
4

(a

b

a

2

b c
c a
a b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Do đó P

2

1
1

Xét hàm số f (c)
Có f '(c)

c
c

c
c

1
2
1

c) 1

c

f

1
4

t

0

a

1
.
4

c

18 15
, c
25

18 15
, đạt được khi a
25
tố

khác

0,25

1
0; .
3

6 15
; f '(c)
25(1 c)2

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

t

.

6 15
,với c
25(1 c)

Từ bảng biến thiên, suy ra f (c)

*

2c

6 15
.
25(1 c)

2
(1

b

2c)

4(a b)
a b 2c

0;

b

1
.
3

3
,c
8

1
.
4

0,25

a

t

7