Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
1.PHƯƠNG PHÁP LŨY THỪA
x y x y 2 (1)
Bài toán 1.
2
2
x y x y 4 2
Giải:
x y 0
. Nhận xét : Vế trái của phương trình (1) khơng âm.
x y
Điều kiện :
Bình phương 2 vế từng phương trình ta được
x2 y x 2
x x 2 y 2
2
4
2
x x y 8
x 4 y 2 8 x 2
3
4
Điều kiện : 0 x 2 2
Phương trình 3 x 2 y 4 4 x x 2 y 4 x 4
Phương trình 4 x 4 y 2 64 16 x 2 x 4
2
x 4 4 x 4 64 16 x 2 x 4
32 x 80 0 x
5
5
y6
2
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ; 6
2
5
x 1 y 2
Bài toán 3.
y 2 x 3 x 1 3
4
Giải:
x 1
y 1
Điều kiện :
(1)
2
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Phương trình 2 2 x 2 x 2 4 y 2 4
x 2 4 y 2 2 x 3
Điều kiện tương đương : x 2 . Phương trình 3 x 2 4 y 2 4 4 x x 2 .
y 2 x 1 x y 2 1, x 1
4
Thế (4) vào phương trình (3) ta được :
y
2
3
1 2 y 3 y 2 1 y y 2 y 1 0
y 6 y 5 2 y 4 4 y3 2 y 2 y 1 0
y 1
2
y
4
y 1 x 2
4
3
2
y y 3y y 1 0
y 3 3 y 2 y 1 0
Xét phương trình : y 4 y 3 3 y 2 y 1 0
Nếu y 0 x 1 , không thỏa hệ.
Xét y 0 : phương trình y 2
1
1
y 3 0
2
y
y
1
y
Đặt t y , t 2. Phương trình trên trở thành : t 2 t 1 0 , vơ nghiệm.
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1; 2
x y x y 0
(1)
x y 3 x 2 y 1
2
Bài toán 5.
Giải:
x y
. Phương trình 2 x y 1 3x 2 y .
3 x 2 y 0
Điều kiện :
2 x y 2 x y 1 3 .Điều kiện : 2 x y 1 .
Thế (3) vào phương trình (1) ta được :
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
4 x y 1 0 y 4 x 1 4
Thế (4) vào phương trình (3) ta được :
2 5x 1 6 x 2
1
x
3
5 x 1 9 x 2 6 x 1
1
2
x , loai
x
3
9
2
x 1 y 3
9 x 11x 2 0
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1;3
5
x
1
y
2
Bài toán 6.
y 2 x 3 x 1 3
4
(1)
2
Giải:
y 1
. Phương trình 1 2 x 2 1 y 5 .
x 1
Điều kiện :
2 1 y 2x 5
5
x
2
4 y 1 4 x 2 20 x 25 3
Phương trình 2 4 y 4 8 x 3 1 x 1 4
Thế (3) vào phương trình (4) ta được :
4 x2 20 x 24 8 x 3 x 1 0
4 x 3 x 2 2 x 1 0
4 x 3 x 2 8 x 3 x 1 0
3
x 3 y 4
2 x 1 2 x, loai vi x 5
2
3
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 3;
4
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x 3 - y3 = 9
2
2
x + 2y = x - 4y
Bài toán 50 .
x 3 = 9 + y3
Giải: Hệ phương trình 2
2
3x - 3x = -6y - 12y
1
2
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta được :
3
x 3 3x 2 3 x y 3 6 y 2 12 y 9 x 1 y 2
x 1 y 2
y x 3
3
3
Thế Phương trình (3) vào Phương trình (1) ta được
x 1 y 2
3
x3 9 x 3 9 x 2 27 x 18 0
x 2 y 1
Hệ phương trìnhcó 2 nghiệm 1; 2 , 2; 1
x 2 xy y 2 x 2 y 2 185 1
Bài toán 66.
x 2 xy y 2 x 2 y 2 65 2
Giải: Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) ta được :
2 x 2 y 2 x 2 y 2 250
x2 y 2
3
125
x2 y2 5
Thế Phương trình (3) vào Phương trình (1) ta được
5 25 xy = 185 xy = 12 . Khi đó ta có hệ phương trình :
2
12
2
x
5
x 2 y 2 5
x
12
xy 12
y x
3
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x 2 16
x 4 y 3
2
x 3 y 4
x 9
x 4 y 3
12
y
x 3 y 4
x
x 4 25 x 2 144 0
12
y x
Hệ phương trình có 4 nghiệm 4;3 , 3; 4 , 3; 4 , 4; 3
x y x y 2
Bài toán 67.
y x y x 1
1
2
x 0
y 0
Giải: Điều kiện :
x y
y x
Vì :
x x 0 y x y x 0
Suy ra, vế trái của (2) dương.Bình phương 2 vế 2 phương trình của hệ ta được :
x 2 y 2 x 3
2 x 2 x 2 y 4
2y+ y 2 x 1
2 y 2 x 1 2 y 4
0 x 2
0 x 2
y 4 4x
x y 4 4x x
3
2
2
1
1
0 y 2
0 y
2
4
2
2
2
4 y x 1 4 y y
3 y 4 x 4 y 1 0
1
1
0 y
2
0 y
, loai
2
3
69
2
y
3 y 3 y 5 0
6
Hệ phương trìnhvơ nghiệm
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x y x y = 1
Bài toán 76.
2
2
2
2
x y x y 1
1
2
Giải:
Do phương trình(1) x y x y y y y 0
Điều kiện : x y 0
Bình phương 2 vế từng phương trình ta được
2 x 2 y 2 1 2 x
2 x 2 x 2 y 2 1
2
4
4
2 x 2 x y 1
2 x 4 y 4 1 2 x 2
3
1
2
Điều kiện : 0 x . Phương trình 2 4 x 2 y 2 1 4 x 4 x 2
4 y2 4x 1 y2
4x 1
4
4
Thế (4) vào phương trình(3) ta được :
2
4x 1
2
2 x
1 2x
4
4
16 x 2 8 x 1
2
4
4 x4
1 4x 4x
16
3
8
Suy ra y 2 y
8x 5 0 x
5
8
3
2 2
5
3
8 2 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ;
x 2 1 y 2 2
Bài toán 82(THTT)..
2 2
2
x y + xy = 3x - 1
Giải: Phương trình 1 x 2 y 2 2 x 3
1
2
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Thế (3) vào (phương trình(2) ta được :
2 x 2 xy 3 x 2 1 4 x 2 xy 3 0 . Ta có x = 0, loại.
Xét x 0 : y
4x2 3
4x2 3
. Thế y
vào (1) ta được :
x
x
4 x2 3 2
2
2
2
4
2
x 1
2 x 4 x 3 2 16 x 23 x 7 0
x
2
x 1 y 1
x 1 y 1
2
x 1
7
2 7 x
y
x
4
16
x 7 y
4
5
7
5
7
7
5
7 5
;
;
,
4
4
7
7
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm 1;1 , 1; 1 ,
2 x3 9 y 3 x y 2 xy 3
Bài toán 83(THTT).. 2
2
x - xy + y = 3
Giải: Thế phương trình(2) vàophương trình (1) ta được :
2 x3 9 y 3 x y 2 xy x 2 xy y 2
2 x 3 9 y 3 x y x 2 xy y 2 x 3 y 3 x 3 8 y 3
3
Ta có y = 0 thì x = 0, khơng thỏa (2), loại
x
3
x
Xét y 0 : phương trình 3 8 2 x 2 y .
y
y
Thế x 2 y vào phương trình(2) ta được :
2y
2
2 y2 y2 3
y 1 x 2
y2 1
y 1 x 2
1
2
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 1; 2 , 1; 2 .
3 x - y = 2 xy
Bài toán 95.
2
2 x y 8
1
2
Giải: Điều kiện : x y 0
Bình phương 2 vế của phương trình (1) ta được :
2
3 x y 4 xy 3x 2 10 xy 3 y 2 0
3
TH 1 : y 0 x 0 : khơng thỏa hệphương trình.
TH 2 : y 0 : phương trình 3 3
2
x
x
10 3 0
y
y
x
y 3
x 3y
x 1
y 3x
y 3
y 4 x 12
x = 3y : phương trình 2 y 2 6 y 8 0
y 2 x 6
y = 3x : phương trình 2 9 x 2 2 x 8 0 , vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 12; 4 , 6; 2 .
2
x y -
x y = y 1
x 2 y 2 9
2
Bài toán 96.
Giải: Điều kiện : x y . Bình phương 2 vế củaphương trình (1) ta được :
4 2 x 2 x 2 y 2 y 2 3
Thế phương trình (2) vàophương trình (3) ta được : 8 x 24 y 2
4 .
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Điều kiện : x 3 . Thế (4) vàophương trình (1) ta được :
x x 2 8 x 24 x 3
4 2 x 2 x 2 8 x 24 8 x 24
x 2 8 x 24 3 x 2 8 x 15 0
x 5 y 4
x 3 y 0
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm : 5; 4 , 3;0 , 5; 4 .
x y 2 x 2 = 12 - y
Bài toán 97.
x y 2 x 2 = 12
1
2
Giải: Điều kiện : y 2 x2 . Bình phương 2 vế của phương trình (1) ta được :
x y 2 x 2 72 12 y
y 2 2 x y 2 x 2 144 24 y y 2
3
Thế (3) vào phương trình (2) ta được : 12 72 12 y y 5
Bình phương 2 vế của phương trình (2) ta được :
x 2 16
x y x 144 x 25 x 144 2
x 4; x 3
x 9
2
2
2
2
2
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm : 3;5 , 3;5 , 4;5 , 4;5 .
x 2 y 1 y x 1 =3x 2 - 4x +1
2
xy x 1 x
Bài toán 98.
Giải: Điều kiện : xy x 1 0
TH 1 : x 0 : khơng thỏaphương trình (2).
TH 2 : x 0 : phương trình 2 y 1
Thế (3) vào phương trình (2) ta được :
x2 1
x
3
1
2
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x2 1
x2 1
2
2
2
2
x2
x
3 x 4 x 1 x 1 2 x 1 3 x 4 x 1
x
x
x 1 y 1
x 2x 6x 4 0
x 2 y 5
2
3
5
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm 1; 1 , 2; .
2
3x y
x x 2 y 2 =3
Bài toán 99.
y x 3y = 0
x2 y 2
Giải: Điều kiện : x 2 y 2 0
x x 2 y 2 3 x y =3 x 2 y 2
Hệ phương trình
2
2
y x y x 3 y = 0
1
2
Xét x 0 :hệ phương trình trở thành :
3 y 2 y = 0
y 0 , loại.
3
y 3 y = 0
Xét y 0 :hệ tphương trình rở thành :
x3 3x 3x2 = 0
x 0 , loại
-x = 0
Xét x, y 0 : Hệ phương trình
xy x 2 y 2 3 xy y 2 =3y x 2 y 2
2
2
2
xy x y x 3 xy = 0
3
4
Cộngphương trình (3) và phương trình (4) lại với nhau ta được :
2 xy x 2 y 2 y 2 x 2 3 y x 2 y 2
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
2 xy 3 y 1 x 2 y 2 0
2 xy 3 y 1 0 x
3y 1
2y
5
Thế (5) vào phương trình (2) ta được :
3 y 1 2
3y 1
2
y
y
3y 0
2y
2 y
4 y 3 9 y 2 6 y 1 2 3 y 1 12 y 2 0
4 y3 3y 2 1 0 y 1 x 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1;1 .
Bài toán 104(HSGHCM 2013-2014).
16 x 2 4 xy y 2 = 12
2
8 x 4 xy 28 x 5 y 18
1
2
Giải: Hệ phương trình trở thành
16 x 2 4 xy y 2 = 12
2
16 x 8 xy 56 x 10 y 36
1
2
Cộng phương trình (1) và phương trình (2) lại với nhau ta được :
32 x 2 2 6 y 28 x y 2 10 y 24 0
Xem x là ẩn của phương trình, y là tham số.
6 y
x
2
4 y 6 4x
2 y 4 . Phương trình có nghiệm :
y 4 4x
x 4 y
4
2
y 6 4 x : Phương trình 1 16 x 2 4 x 6 4 x 6 4 x 12 0
16 x 2 24 x 24 0 , vô nghiệm.
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
2
y 4 4 x : Phương trình 1 16 x 2 4 x 4 4 x 4 4 x 12 0
16 x 2 16 x 4 0 x
1
y 2.
2
1
2
Vậy hệ phương trình có nghiệm ; 2 .
x 4 - x3 y + x 2 y 2 = 1
Bài toán 107.
x3y - x 2 + xy = -1
x 2 y x - y = x 4 - 1 1
Giải : Hệ phương trình
(I)
2
2
xy x + 1 = x - 1 2
Ta thấy nếu x = 0 thì khơng thỏa hệphương trình. Vậy x 0
4
x 1 0
x 1
2
x 1 0
TH 1: y = 0 : Hệ phương trình (I)
y 1 y 0
y0
2 y 0
TH 2: x = 1: Hệ phương trình (I)
Vậy (1; 0) là một nghiệm của hệ phương trình.
y 1 y 0
y0
2 y 0
TH 3: x = -1: Hệ phương trình (I)
Vậy (-1; 0) là một nghiệm của hệ phương trình.
x 1
: Lấy phương trình (1) chia cho phương trình (2), vế theo vế, ta được :
y 0
TH 4:
x y
2
4
2
x 1 xy x x 1 (3)
2
x 1
(2) x
Thế (3) vào phương trình 2) ta được :
x 2 1 x 4 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 6 2 x 4 2 x 2 1
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x 6 2 x 4 3 x 2 0 x 2 x 4 2 x 2 3 0 , vơ nghiệm.
Hệ phương trình đã cho có nghiệm : 1;0 , 1;0 .
7 3
3 3
8 x y + 27 = y
Bài toán 111.
2
4 x 2 y + 6x = y2
Giải : Dễ thấy y = 0 khơng thỏa hệphương trình. Vậy y 0 .
27
7
3
8 x + y 3 = 2
Hệ phương trình 2
4 x + 6 x = 1
y
y2
3 2 9 6 x
7
2 x 4 x 2 =
2
y
y
y
2 x 2x + 3 = 1
y
y
3
3
7
3
2 x + =
2
y
3
x
2 y 2x + y = 1
1
2
Từ phương trình (2) x 0 . Phương trình (2) 2 x
Thế (3) vào phương trình (1) ta được :
y 2 9 6x
7
y 2 9 6x
7
4x 2 =
4x 2 =
2x
y
y
2
2x
y
y
2
7
y
2
=
9 6x
2x
4x2 2
y
y
7 x = 4 x2 y
9 6x
7 x = y 4 x2 2
y
y
9
2
6 x 4 xy 13 xy + 9 = 0
y
3 y
y 2x
3
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
1
xy 1
y x
xy 9
xy 9
4
4x
y
9
10
1
9
: Phương trình (3) 5 x 2 10 x 3 9 x 3
y3
x
2x
10
9
y
27
3
3 3 80
9
10
9
x 3
y
: (3) x 2 x 3
4x
3
8x
80
4
80
9 3 10 3 3 3 80
;
, 3 ;
.
4
10 9 80
Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm : 3
2 x3 - 9y3 = x y 2 xy 3 1
Bài toán 114. 2
2
2
x + y - xy = 3
Giải : Thế phương trình (2) vàophương trình (1) ta được :
2 x3 - 9y3 = x y x 2 + y 2 + xy
2 x3 - 9y3 = x 3 - y 3 x 3 = 8y 3
x = 2y
Thế : x = 2y vàophương trình (2) ta được :
3 y 2 3 y 1 x 2
Hệphương trình đã cho có 2 nghiệm : 2;1 , 2; 1 .
Bài toán 151.
x 3 x 4 y y 7
2
x 1
y
=
2 y
x 1
x 1 0
x 1
Giải: Điều kiện :
2 y 0 y 2
Phương trình (1) y 2 7 y x 2 x 12 0
(3)
1
2
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Xem phương trình (3) là phương trình theo ẩn y, cịn x là tham số.
2
1
y x 4
4 x . Nghiệm là :
2
y 3 x
x 4
y = x + 4 , thế vào phương trình 2) ta được :
2
x 1
=
x 1
. ,loại
x 2
y = 3 - x , thế vào phương trình (2) ta được :
3 x
2
x 1
=
x 1
x 1
x 5 y 2
10 7 x x 2 = 0
x 2 y 1
9 6 x x2 = x - 1
Hệ phương trình có 2 nghiệm : 5; 2 ; 2;1
x 2 y x y 1 0
Bài toán 181. 2
x 1 x y 2 y 0
1
2
x 2 1 y x y
x 2 y x y 1 0
Giải : Ta có : 2
2
x 1 x y 2 y 0
x 1 x y 2 y 0
y = 0 không thỏa hệ
Xét y 0 . Chia 2 vế của phương trình (2) cho y, ta được :
x 2 1 y x y
x 2 1 y x y
2
x y 12 0
2
1
0
x
y
x
y
x 2 1 yx y x 2 1 y
x y 1
x y 1
x 2 1 1 x
y 1 x
x 2 x 0
y 1 x
x 0 x 1
y 1 x
Hệ phương trình có 2 nghiệm : 0;1 ; 1;2
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x2 2 y 3 2 y 3 0
Bài toán 182.
2
3
3
2 2 y x 3 y x 1 6 x x 1 2 0
Giải : Điều kiện : x 2 2 y 3 0
x2 2 y 3 2 y 3 3 2 y
Hệ phương trình
2
3
3
2 2 y x 3 y x 1 6 x x 1 2 0
Từ phương trình (1) ta có : 3 2 y 0 y
1
2
3
2
y = 0 không thỏa hệ
Xét y 0 . Chia 2 vế của phương trình (2) cho y 3 , ta được :
3
2
2
x
x
x
x2
x
3
2
4
3
6
6
6 3 3 0
3
2
2
2
3
y
y
y
y
y
y
y
3
2
x
x2
x 2
x
x
3
2 3 6 3 6 3 3 3 2 6 2 2 4 0
y
y
y
y
y
y
y
2
x3
x2
x 1 x
x
1
2 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 4 0
y
y
y y
y
y
y
3
2
x 1
x 1
3
4 0
2
y
y
Thế vào phương trình (1), ta được :
4 y 2 6 y 4 3 2 y
2
x 1
2 x 2 y 1
y
4 y2 6 y 4 3 2 y
18 y 5 0 y
5
14
x , thỏa điều kiện ban đầu.
18
9
14 5
Hệ phương trình có nghiệm : ;
9 18
x 2 xy y 2 7
2
2
x xy 2 y x 2 y
Bài toán 188.
1
2
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Giải : Phương trình (2) x2 (1 y ) x 2 y 2 2 y 0
Xem đây là phương trình theo ẩn x, cịn y là tham số.
x 2y
(3 y 1)2 . Nghiệm là :
x y 1
x 2 y ,thay x 2 y vào phương trình (1) ta được :
y 1 x 2
7 y2 7
y 1 x 2
x y 1 , thay vào phương trình (1) ta được :
2
y 1 y 1 y y 2 7
y 3 x 2
y2 y 6 0
y 2 x 3
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm : 2;1 ; 2; 1 ; 2; 3 ; 3; 2
2 x 2 xy x 1 y 2 x 3 y x y 2
Bài toán 197.
2
2
4 x y 4 xy 6 x 3 y 2 0
2 x 2 xy x 1 0
Giải : Điều kiện :
2
x 3 y y 0
Phương trình (2) y 2 3 4 x y 4 x 2 6 x 2 0
(3)
Xemphương trình (3) là phương trình theo ẩn y, cịn x là tham số.
4x 3 1
2x 2
y
2
1 . Nghiệm là :
y 4x 3 1 2x 1
2
y 2 x 2 ,t hế y = 2x -2 vào phương trình (1) ta có phương trình :
4 x 2 x 1 4 x 2 x 2 3 x (4)
3
2
4 x x 1 4x 2 x 2
3x
1
2
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
1
4x2 x 1 4x2 x 2
4x 2 x 1 4x 2 x 2
x0
1
(5)
x
Do 4 x 2 x 1 4 x 2 x 2, x nên từ phương trình trên ta có : x > 0.
Cộng phương trình(4) và phương trình(5), vế theo vế, ta được :
1
2 4 x x 1 3x
x
1
4 4 x x 1 3x
x
2
2
2
x 1 7 x3 3 x 2 x 1 0 x 1 y 0 , thỏa phương trình
7 x4 4 x3 2 x2 1 0
y 2 x 1 ,thế y = 2x -1 vào phương trình (1) ta có phương trình :
4 x 2 1 4 x 2 3 x 2 3 x 1 (6)
4 x 2 3 x 2 0
Điều kiện :
3x 1 0
x
3 41
0
8
Vì x 1 khơng thỏa phương trình nên x 1 .
4 x 2 1 4 x 2 3x 2
3x 3
3x 1
6
3 x 3
4 x 2 1 4 x 2 3x 2
4 x 2 1 4 x 2 3 x 2 1
3x 1
4
(7)
3x 1
Cộng phương trình(6) và phương trình(7), vế theo vế, ta được :
2 4 x2 1 3x
4
3x 1
16 x 2 4 9 x 2
4
4 4 x 1 3 x
3x 1
16
3x 1
2
63x 4 42 x3 29 x 2 12 0
x
2
2
24 x
3x 1
2
7 x 2 4 3 x 1 16 24 x 3 x 1
2
x 63 x 3 84 x 2 27 x 18 0
3
2
1
2 1
y , thỏa phương trình. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 1;0 ; ;
3
3
3 3
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com