Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)

CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN
TẬP I. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Định nghĩa:

 Dãy số (un ) được gọi l| có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số
dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng n|o đó trở đi, đều
có gi{ tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim un  0 .Hay l|: lim un  0 khi v| chỉ
x 

x 0

khi với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n0 sao cho: un  , n  n0 .
 lim un  a  lim  un  a   0 , tức l|: Với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên
x

x

n0 sao cho un  a   , n  n0 .

Dãy số (un) có giới hạn l| số thực gọi l| dãy số có giới hạn hữu hạn.
1.2. Một số giới hạn đặc biệt

 lim

1
 0 với k  ¥ *
nk

 Nếu q  1 thì lim qn  0

n

 Nếu un  c (với c l| hằng số) thì lim un  lim c  c
n

n

Chú ý: Ta viết lim un  a thay cho c{ch viết lim un  a .
n

2. Một số định lí về giới hạn
Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa un  vn kể từ số hạng n|o đó trở đi v| lim vn  0 thì
lim un  0 .

Định lí 2. Cho lim un  a, lim vn  b . Ta có:
 lim(un  vn )  a  b

 lim(un  vn )  a  b

 lim(un .vn )  a.b

 lim

un a
 (b  0)
vn b

 Nếu un  0 n thì lim un  a

3. Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN (un ) có công bội q thỏa q  1 . Khi đó tổng
S  u1  u2  ...  un  .... gọi l| tổng vô hạn của CSN v|

u1 (1  qn )
u
S  lim Sn  lim
 1 .
1 q
1 q
4. Giới hạn vô cực
4.1. Định nghĩa:


 lim un    với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một
n

số hạng n|o đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó .
 lim un    lim  un    .
n

n

4.2. Một số kết quả đặc biệt
 lim nk   với mọi k  0
 lim qn   với mọi q  1 .

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC.
Quy tắc 1: Nếu lim un   , lim vn   thì lim(un .vn ) được cho như sau;
lim un

lim vn

lim(un vn )

























Quy tắc 2: Nếu lim un   , lim vn  l thì lim(un .vn ) được cho như sau;

lim un

Dấu của l

lim(un vn )

























Quy tắc 3: Nếu lim un  l , lim vn  0 v| vn  0 hoặc vn  0 kể từ một số hạng n|o dó trở
đi thì lim

un
được coi như sau;
vn
Dấu của l

Dấu của vn

























lim

un
vn

Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Phƣơng pháp:
 Để chứng minh lim un  0 ta chứng minh với mọi số a  0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một

số na sao cho un  a n  na .
 Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l)  0 .
 Để chứng minh lim un   ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn tồn tại

số tự nhiên nM sao cho un  M n  nM .


 Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim(un )   .
 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó l| duy nhất.

Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1. lim

n2
1
n1

2. lim

n2  1 1

2 n2  1 2

1  2n

3. lim

n2  1

 2

Lời giải:
1
1. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   1 , ta có:
a

n2
1
1
1 

 a với n  na
n1
n  1 na  1
Suy ra lim

n2
n 2
 1  0  lim
 1.
n1
n1

2. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

3
 1 , ta có:
a

n2  1 1
3
3
  2
 2
 a với n  na
2
2n  1 2 n  1 na  1
Suy ra lim

n2  1 1
n2  1 1


0

lim

 .
2 n2  1 2
2 n2  1 2

3. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 
1  2n
n2  1

2 

Suy ra lim

1  2 n  2 n2  1

1  2n
n2  1

n2  1



 2  0  lim

9
 1 , ta có:
a2

1  2n  2(n  1)
n2  1
1  2n

n2  1



3
n2  1



3
na2  1

 a với n  na .

 2 .

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) : un  ( 1)n không có giới hạn.
Lời giải:
Ta có: u2n  1  lim u2n  1; u2n1  1  lim u2 n1  1
Vì giới hạn của dãy số nếu có l| duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn.
Ví dụ 3. Chứng minh c{c giới hạn sau:
1. lim

n2  1
 
n

2. lim
Lời giải:

1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:
n2  1
M  M2  4
 M  n2  Mn  1  0  n 
n
2

2n
n

 


 M  M2  4 
n2  1
Ta chọn n0  
 M , n  n0
 thì ta có:
2
n



Do đó: lim

n2  1
  .
n

2. Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta có:

 M  M2  8 

 M  n M n 2  0  n  


2
n



n2

2

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)
XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”
RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

0969.912.851
2


n2
M  M2  8  

 thì ta có:
Ta chọn n0  

 M , n  n0

 
2
n
 


Do đó: lim

2n
n

  .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Gi{ trị của lim

1
bằng:
n1

A. 0

B.1

C.2

D. 3

Lời giải:

1
1
1
1

 a n  na nên có lim
Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   1 ta có
0.
n  1 na  1
n1
a
Bài 2. Gi{ trị của lim
A. 0

1
nk

( k  ¥ *) bằng:

B.2

C.4
Lời giải:

D. 5


Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

Bài 3. Gi{ trị của lim
A. 0

k

1
1
1
1
ta có k  k  a n  na nên có lim k  0 .
a
n
na
n

sin 2 n
bằng:
n2
B.3

C.5

D. 8

Lời giải:

sin 2 n
1
1
1

Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2 ta có


 a n  na nên có
n  2 n  2 na  2
a

lim

sin 2 n
0.
n2

Bài 4. Gi{ trị của lim(2n  1) bằng:
A. 

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM 

M 1
2

Ta có: 2n  1  2nM  1  M n  nM  lim(2n  1)   .
Bài 5. Gi{ trị của lim

A. 

1  n2
n

bằng:

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
2
nM
1
M
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa
nM

 nM 
Ta có:

M  M2  4
.
2

n2  1
n2  1

 M n  nM  lim
 
n
n

Vậy lim

1  n2
  .
n

Bài 6. Gi{ trị của lim
A. 

2
bằng:
n1

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:

2 
Với mọi a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na    1  1
a 
Suy ra

2
2
 a n  na  lim
 0.
n1
n1

Bài 7. Gi{ trị của lim
A. 

cos n  sin n
bằng:
n2  1
B. 

C.0

Lời giải:

D. 1


cos n  sin n

Ta có

n

2



2
1
cos n  sin n
m| lim 2  0  lim
0
2
n
n
n2  1

n1
bằng:
n2

Bài 8. Gi{ trị của lim
A. 

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:

1


Với mọi số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2  1  1
a

Ta có:

n1
1
n1

 a n  na  lim
0.
n2
n2
n1

Bài 9. Gi{ trị của lim
A. 

3n3  n
bằng:
n2
B. 

C.0

D. 1

Lời giải:

M

Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta chọn nM     1
3
Ta có:

3n3  n
1
 3n   M n  nM
2
n
n

Vậy lim

3n3  n
  .
n2

Bài 10. Gi{ trị của lim
A. 

2n
n1

bằng:

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
2

1

Với mọi M  0 lớn tùy ý , ta chọn nM    3   1
a

Ta có:

n2
1 n

Suy ra lim

 n1 

2n
n1

3
n1

  .

Bài 11. Gi{ trị của A  lim
A. 

 1  n  3  M n  nM

2n  1
bằng:
n2

B. 

C.2
Lời giải:

Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 
Ta có:

5
22
a

2n  1
5
5
2 

 a n  na
n2
n  2 na  2

D. 1


Vậy A  2 .

2n  3
bằng:
n2  1
B. 

Bài 12. Gi{ trị của B  lim
A. 

C.0

D. 1

Lời giải:
Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa

 na 
Ta có:

2na  3
a
na2  1

1  a2  4a  13
a

2n  3
 a n  na  B  0 .
n2  1

Bài 13. Gi{ trị của C  lim

A. 

n2  1
bằng:
n1

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
1
Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   1
a

n2  1
n2
1
1 
1 
 a n  na
n1
n1
na  1

Ta có:

Vậy C  1 .

Bài 14. Gi{ trị của A  lim
A. 

n2 n
2n

bằng:

B. 

C.

1
2

D. 1

Lời giải:
A

1
2

n sin n  3n2
n2
B. 

Bài 15. Gi{ trị của B  lim
A. 

bằng:
C. 3

D. 1

Lời giải:
B  3

Bài 16. Gi{ trị của C  lim
A. 

1
n 2 n 7
2

B. 

bằng:
C.0

D. 1

Lời giải:
C0

Bài 17. Gi{ trị của D  lim
A. 

4n  1
n  3n  2

B. 

2

bằng:
C.0

D. 4


Lời giải:
D4

Bài 18. Gi{ trị của lim
A. 

an
 0 bằng:
n!
B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
Gọi m l| số tự nhiên thỏa: m  1  a . Khi đó với mọi n  m  1
m

a  a 
an
a a a
a
a
Ta có: 0 
 . ... .
... 
.

n ! 1 2 m m  1 n m !  m  1 
 a 
M| lim 

 m1



n m

 0 . Từ đó suy ra: lim

n m

an
0.
n!

Bài 19. Gi{ trị của lim n a với a  0 bằng:
A. 

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
Nếu a  1 thì ta có đpcm

 Giả sử a  1 . Khi đó: a  1 




n



n

a  1   n




n



a 1

Suy ra: 0  n a  1 

a
 0 nên lim n a  1
n

 Với 0  a  1 thì

1
1
 1  lim n  1  lim n a  1 .
a
a

Tóm lại ta luôn có: lim n a  1 với a  0 .
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
Phƣơng pháp:
Sử dụng c{c định lí về giới hạn, biến đổi đưa về c{c giới hạn cơ bản.
 Khi tìm lim

f (n)
ta thường chia cả tử v| mẫu cho nk , trong đó k l| bậc lớn nhất của
g(n)

tử v| mẫu.
 Khi tìm lim  k f (n)  m g(n)  trong đó lim f (n)  lim g(n)   ta thường t{ch v| sử



dụng phương ph{p nh}n lượng liên hơn.

Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm c{c giới hạn sau :
1. A  lim

n 1  3  5  ...  (2n  1)
2n2  1

2. B  lim
Lời giải:

1  2  ...  n  n
3

12  22  ...  n2  2n


1. Ta có: 1  3  5  ...  2n  1  n2
n2
Suy ra A  lim 2
 lim
2n  1

2. Ta có: 1  2  ...  n 

1
2

1

n2



1
.
2

n(n  1)
;
2

12  22  ...  n2 

n(n  1)(2n  1)
6


1
n2  1  
n(n  1)
 n n
n
2
2
Suy ra : B  lim
 lim

n
(

n

1)(2
n

1)

1

1

3
3
 2n
n  1   2  
3
6
n
 n 
 2n
6

3

1
1
2
.
1
2

3

Ví dụ 2. Tìm c{c giới hạn sau :


1 
1 
1 
1. C  lim  1  2  1  2  ...  1  2  
 2  3   n  

 1
1
1
1 


 ... 
2. D  lim 
n(n  1) 
 1.2 2.3 3.4
Lời giải:

1. Ta có: 1 

1 ( k  1)( k  1)
nên suy ra

k2
k2


1 
1 
1  1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1

 1  2  1  2  ...  1  2   2 . 2 ...
2n
n2
 2  3   n  2 3
n1 1
 .
2n
2
1
1
1
1
1
1
1
1


 ... 
 1
 
2. Ta có
nên suy ra
1.2 2.3 3.4

n(n  1)
n1
k( k  1) k k  1

Do vậy C  lim


1 
Vậy D  lim  1 
  1.
 n1
Ví dụ 3. Tìm c{c giới hạn sau :
1. A  lim

4 n  1  5n  1
4 n  5n

2. B  lim

4.3n 2  2.7 n1
4 n  7 n 1

Lời giải:
n

4
4   5
n
5
4

n

1. Chia cả tử v| mẫu cho 5 ta có: A  lim
 5 ( do lim    0 ).
n
5
4
 5  1
 
n

4 2
36   
7
7
2
2. Ta có: B  lim  n
 .
49
4

7
7
 



1 
1 
1 

Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : C  lim  1  2  1  2  ...  1  2  
 2  3   n  
Lời giải:
Ta có: 1 

1 ( k  1)( k  1)
nên suy ra

k2
k2


1 
1 
1  1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1

 1  2  1  2  ...  1  2   2 . 2 ...
2n
n2
 2  3   n  2 3
Do vậy C  lim

n1 1
 .
2n
2

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)
XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”
RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

0969.912.851
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Gi{ trị của A  lim
A. 

2n2  3n  1
bằng:
3n2  n  2

B. 

C.

2
3

D. 1

Lời giải:

3 1
 2
n
n 2.
Ta có: A  lim
1 2 3
3  2

n n
2

Bài 2. Gi{ trị của B  lim
A. 

n2  2n
n  3n2  1

B. 

bằng:
C.0
Lời giải:

D.

1
1 3


1
n2  n
1
n  1
n
Ta có: B  lim
 lim
2
1 1 3

n  3n  1
1 3  2
n
n

 2n
Bài 3. Gi{ trị của C  lim
A. 

2

 n  2

1

4

9

bằng:

n17  1

B. 

C.16

D. 1

Lời giải:

1 4 9
2
1
2
) .n (1  )9
(2  2 )4 .(1  )9
2
n  lim
n
n
n
1
1
n17 (1  17 )
1  17
n
n

n8 (2 

Ta có: C  lim
Suy ra C  16 .

n2  1  3 3n3  2

Bài 4. Gi{ trị của D  lim
A. 

4

2 n4  n  2  n

bằng:

B. 

C.

1 3 3
4

2 1

D. 1

Lời giải:


1
2 
n 1 2  3 3  3 

n
n  1  3 3

Ta có: D  lim 
.
4



2 1
1
2
n  4 2  3  4  1


n n


Bài 5. Gi{ trị của A  lim
A. 





n2  6n  n bằng:

B. 

C.3

D. 1

Lời giải:
Ta có A  lim





n  6n  n  lim
2

6n

 lim

n  6n  n
2

Bài 6. Gi{ trị của B  lim
A. 
Ta có: B  lim



 lim

3

n  6n  n2
2

n2  6 n  n

6
6
1 1

n

3



n3  9n2  n bằng:

B. 



3

n3  9n2  n

C.0
Lời giải:


9 n2

 lim
3

n

3

 9n2



2

 n 3 n3  9n2  n2

D. 3


9

 lim

2

3


9
9
1 n   1 n  1



 3.

3.2n  3n
Bài 7. Gi{ trị của C  lim n1 n1 bằng:
2 3

A. 

C. 

B. 

1
3

D. 1

Lời giải:
n

2
3.    1
n
n
3
3.2  3
1
Ta có: C  lim n1 n1  lim  n

3
2 3
2
2.    3
3
Bài 8. Gi{ trị của D  lim
A. 

 lim





n2  2n  n  lim
2n

n 2  2n  n

2
1

2
1
n

 lim

C.



3



1

3

D. 1

Lời giải:
3

n3  2n2  n



2 n2
3

(n3  2n2 )2  n 3 n3  2n2  n2

2

 lim

Bài 9. Gi{ trị của A  lim
A. 



n2  2n  3 n3  2n2 bằng:

B. 

Ta có: D  lim

 lim



2
2
(1  )2  3 1   1
n
n



1
.
3



n2  2n  2  n bằng:

B. 

C.2

D. 1

Lời giải:




2 2
Ta có A  lim n  1   2  1   


n n




2 2
Do lim n  ; lim  1   2  1   2 .


n n


Bài 10. Gi{ trị của B  lim
A. 





2n2  1  n bằng:

B. 

C.0
Lời giải:



1
Ta có: B  lim n  2   1   


n



D. 1


4

Bài 11. Gi{ trị của C  lim
A. 

3n3  1  n

2n4  3n  1  n

bằng:

B. 

C.0

D. 1

3
1 1
 8 
5
n 0.
n n
3. Chia cả tử v| mẫu cho n2 ta có được C  lim
3
1 1
2 3  4 
n
n n
4

Bài 12. Gi{ trị của D  lim

ak nk  ...  a1n  a0
bp np  ...  b1n  b0

(Trong đó k , p l| c{c số nguyên dương;

ak bp  0 ) .
bằng:
A. 

B. 

C.Đ{p {n kh{c

D. 1

Lời giải:
Ta xét ba trường hợp sau
 k  p . Chia cả tử v| mẫu cho nk ta có: D  lim

 k  p . Chia cả tử v| mẫu cho nk ta có: D  lim

ak 1
a
 ...  0k  if a b  0
k p
n
n 
.

bp
 if ak bp  0
b0


 ...  k
n
np  k

ak 

ak  1
a
 ...  0k a
n

n  k.
b0
bk
bk  ...  k
n

ak 

ak
a
 ...  0p
pk
n 0.
 k  p . Chia cả tử v| mẫu cho n p : D  lim n
b0
bp  ...  p
n

Bài 18. Gi{ trị của. F  lim
A. 

(n  2)7 (2n  1)3
bằng:
(n2  2)5

B. 

C.8

D. 1

Lời giải:
7

3

 2 
1
1 n   2  n 
 
 8
Ta có: F  lim 
5

5 
 1  n2 


Bài 19. Gi{ trị của. H  lim
A. 



B. 



n2  n  1  n bằng:

C.

1
2

Lời giải:

D. 1


1
n1
1
n
Ta có: H  lim
 lim

2
2
1 1
n n1 n
1  2  1
n n
1

Bài 20. Gi{ trị của. M  lim
A. 

1
12



3



1  n2  8n3  2n bằng:

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
Ta có: M  lim

1  n2
3

(1  n2  8n3 )2  2n 3 1  n2  8n3  4n2

Bài 21. Gi{ trị của. N  lim
A. 



1
12





4n2  1  3 8n3  n bằng:

B. 

C.0

D. 1

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)
XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”
RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

0969.912.851




4n2  1  2n  lim

1

Ta có: N  lim
M|: lim

lim



3





4n2  1  2n  lim





8n2  n  2n  lim

Lời giải:
3

8n3  n  2n

4 n2  1  2 n



0

n

3

(8n2  n)2  2n 3 8n2  n  4n2

0

Vậy N  0 .
Bài 22. Gi{ trị của. K  lim



3



n3  n2  1  3 4n2  n  1  5n bằng:


A. 

Ta có: K  lim
M|: lim



3



3



n3  n2  1  n  3lim



n3  n 2  1  n 

Do đó: K 

1
; lim
3





5
12

Lời giải:

4n2  n  1  2n



4 n2  n  1  2 n 

D. 1



1
4

1 3
5
 
3 4
12

Bài 23. Gi{ trị của. A  lim
A. 

C. 

B. 

2n  1
bằng:
1  3n

C. 

B. 

2
3

D. 1

Lời giải:
A

2
3

Bài 24. Gi{ trị của. B  lim
A. 

4n2  3n  1
bằng:
(3n  1)2

B. 

C.

4
9

D. 1

Lời giải:
B

4
9

Bài 25. Gi{ trị của. C  lim
A. 

n3  1
bằng:
n(2n  1)2

B. 

C.

1
4

D. 1

Lời giải:
C

1
4

n3  3n2  2
bằng:
n4  4 n3  1
B. 
C.0

Bài 26. Gi{ trị của. D  lim

A. 

D. 1

Lời giải:
D0

Bài 27. Gi{ trị của. E  lim
A. 

n3  2 n  1
bằng:
n2

B. 

C.0
Lời giải:

E  

D. 1


Bài 28. Gi{ trị của. F  lim
A. 

n4  2n  1  2 n

4

3n3  n  n

3

bằng:

B. 

3

C.

3

3 1

D. 1

Lời giải:

F

3
3

3 1

Bài 29. Gi{ trị của. M  lim
A. 





n2  6n  n bằng:

B. 

C.3

D. 1

Lời giải:

6n

M  lim

n2  6 n  n

3

Bài 30. Gi{ trị của. N  lim
A. 



3



n3  3n2  1  n bằng:

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
N  lim

3n  1
2

3

(n3  3n2  1)2  n. 3 n3  3n2  1  n2

Bài 31. Gi{ trị của. H  lim n
A. 



3

1



8n3  n  4n2  3 bằng:
C. 

B. 

2
3

D. 1

Lời giải:
H  lim n



3



8n3  n  2n  lim n

Bài 32. Gi{ trị của. K  lim
A. 

1
3





4n2  3  2n  

2
3

3.2n  3n
bằng:
2 n  1  3n  1

B. 

C.2

D. 1

Lời giải:
n

2
3   1
3
1
K  lim  n

3
2
2   3
3

2n3  sin 2n  1
bằng:
n3  1
B. 
C.2

Bài 33. Gi{ trị của. A  lim
A. 

Lời giải:

D. 1


A  lim

2

sin 2n  1
n3
2
1
1 3
n
n

Bài 34. Gi{ trị của. B  lim
A. 

n!

n3  2 n

bằng:

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
n

Ta có:

n!

n  2n
3



n

nn

n  2n
3

n



n  2n
3

3.3n  4n
bằng:
3n  1  4 n  1

Bài 35. Gi{ trị của. C  lim
A. 

B.

0B0

1
2

C.0

D. 1

Lời giải:
C

1
2

Bài 36. Gi{ trị của. D  lim
A. 

n1

bằng:

n ( 3n  2  3n  1)
2

2

2

B. 

C.

2
3

D. 1

Lời giải:

D

2 3
3

Bài 37. Gi{ trị của. E  lim( n2  n  1  2n) bằng:
A. 

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:

E  
Bài 38. Gi{ trị của. F  lim
A. 





n  1  n bằng:

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
F  

p

Bài 39. Gi{ trị của. H  lim( k n2  1  n2  1) bằng:
A. 

B. 

C.Đ{p {n kh{c
Lời giải:

Xét c{c trường hợp
TH1: k  p  H  
TH 2: k  p  H  

D. 1


TH 3: k  p  H  0 .
Bài 40. Gi{ trị của K  lim n
A. 





n2  1  n bằng:

B. 

C.

1
2

D. 1

Lời giải:
K

1
2

Bài 41. Tính giới hạn của dãy số un 
A. 

1
2 1 2

B. 



1
3 2 2 3

 ... 

C.0

1

(n  1) n  n n  1

:

D. 1

Lời giải:
Ta có:

1
( k  1) k  k k  1

Suy ra un  1 

1
n1



1
k

1



k 1

 lim un  1

(n  1) 13  2 3  ...  n3
Bài 42. Tính giới hạn của dãy số un 
:
3n3  n  2
1
A. 
B. 
C.
9

D. 1

Lời giải:

 n(n  1) 
Ta có: 1  2  ...  n  

 3 
3

3

2

3

n(n  1)2
1
 lim un  .
Suy ra un 

3
9
3(3n  n  2)
Bài 43. Tính giới hạn của dãy số un  (1 
A. 

B. 

1
1
1
n(n  1)
)(1  )...(1  ) trong đó Tn 
.:
T1
T2
Tn
2
C.

1
3

D. 1

Lời giải:
Ta có: 1 

1
2

( k  1)( k  2)
 1

Tk
k( k  1)
k( k  1)

1 n2
1
Suy ra un  .
 lim un  .
3 n
3

Bài 44. Tính giới hạn của dãy số un 
A. 

B. 

2 3  1 3 3  1 n3  1
.
....
.:
2 3  1 3 3  1 n3  1
2
C.
3
Lời giải:

D. 1

Ta có

k3  1
( k  1)( k 2  k  1)

k 3  1 ( k  1)[( k  1)2  ( k  1)  1]

2 n2  n  1
2
Suy ra  un  .
 lim un 
3 (n  1)n
3

2k  1
.:
2k
k 1
n

Bài 45. Tính giới hạn của dãy số un  
A. 

B. 

C.3

D. 1

Lời giải:

1
1 1 1
1  2n  1
Ta có: un  un     2  ...  n1   n1
2
2 2 2
2  2
1
3 2n  1
 un   n1  lim un  3 .
2
2 2

Bài 46. Tính giới hạn của dãy số un  q  2q2  ...  nqn với q  1
A. 

B. 

C.

q

1  q 

2

.:

D.

q

1  q 

2

Lời giải:
Ta có: un  qun  q  q2  q3  ...  qn  nqn1

 (1  q)un  q

1  qn
q
.
 nqn1 . Suy ra lim un 
2
1 q
1

q
 
n

n
k 1 n  k

Bài 47. Tính giới hạn của dãy số un  
A. 

B. 

.:

2

C.3

D. 1

Lời giải:
n
n
n
1
 un  n 2
 2
 un  1  2
n n
n 1 n 1
n 1
n
 un  1  2
 0  lim un  1 .
n 1

Ta có: n

2

Bài 48. Tính giới hạn của dãy số A  lim
A. 

B. 

ak .nk  ak 1nk 1  ...  a1n  a0

bp .np  bp 1np 1  ...  b1n  b0

C.Đ{p {n kh{c

với ak bp  0

D. 1

Lời giải:
Ta chia l|m c{c trường hợp sau

ak 1
a
 ...  0k a
n
n  k.
TH 1: n  k , chia cả tử v| mẫu cho nk , ta được A  lim
bp 1
bp
b
bp 
 ...  0k

n
n
ak 

.:


TH 2: k  p , chia cả tử v| mẫu cho nk , ta
được A  lim

ak  1
a
 ...  0k

khi ak bp  0

n
n

bp 1
 khi ak bp  0
b
 k  p 1  ...  0k 
n
n

ak 
bp
nk  p

ak
a
a
 pkk11  ...  0p
pk
n
n 0.
TH 3: k  p , chia cả tử v| mẫu cho n p , ta được A  lim n
bp 1
b
bp 
 ...  0p
n
n
n6  n  1  4 n4  2n  1
Bài 49. Tính giới hạn của dãy số B  lim
.:
(2n  3)2
3

A. 

B. 

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)
XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”
RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

0969.912.851
C.3

D.

3
4

Lời giải:
Chia cả tử v| mẫu cho n2 ta có được:
3

B  lim

1

1
1
2 1
 6  4 1 3  4
5
n n
n n  1 4   3 .
2
4
4

3
2



n 


Bài 50. Tính giới hạn của dãy số C  lim
A. 

B. 



4n2  n  1  2n

C.3
Lời giải:



.:
D.

1
4


1
n1
1
n
Ta có: C  lim

 lim

2
4
1 1
4n  n  1  2n
4  2 2
n n
1

Bài 51. Tính giới hạn của dãy số D  lim
A. 

lim



3







n2  n  1  n  2 lim





1

n3  n2  1  n

D. 1


1

n2  1
3

(n3  n2  1)2  n. 3 n3  n2  1  n2

1
n2




1 1 
1 1
 1  n 4  n6   3 1  n  n 3  1



Vậy D 

3

n1

2

3

Lời giải:

1
6

1
1
n
n2  n  1  n  lim
 lim

2
1 1
n2  n  1  n
1  2  1
n n

n3  n2  1  n  lim

 lim





n2  n  1  2 3 n3  n2  1  n . :

C. 

B. 

Ta có: D  lim

M|: lim



1
3

1 2
1
  .
2 3
6

Bài 52 . Cho c{c số thực a,b thỏa a  1; b  1 . Tìm giới hạn I  lim
A. 

B. 

C.

1 b
1 a

1  a  a2  ...  an
.
1  b  b2  ...  bn
D. 1

Lời giải:
Ta có 1, a, a2 ,..., an l| một cấp số nh}n công bội a 1  a  a 2  ...  a n 
Tương tự 1  b  b2  ...  bn 

1  a n 1
1 a

1  b n 1
1 b

1  a n 1
1 b
Suy ra lim I  lim 1  na1 
1 a
1 b
1 b

( Vì a  1, b  1  lim an1  lim bn1  0 ).
Bài 53. Cho dãy số ( xn ) x{c định bởi x1 
Đặt Sn 
A. 

1
, xn1  xn2  xn ,n  1
2

1
1
1

L 
. Tính lim Sn .
x1  1 x2  1
xn  1
B. 

C.2

D. 1


Lời giải:
Từ công thức truy hồi ta có: xn1  xn , n  1,2,...
Nên dãy ( xn ) l| dãy số tăng.
Giả sử dãy ( xn ) l| dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn  x
Với x l| nghiệm của phương trình : x  x2  x  x  0  x1 vô lí
Do đó dãy ( xn ) không bị chặn, hay lim xn   .
Mặt kh{c:
Suy ra:

1
xn1



1
1
1
 
xn ( xn  1) xn xn  1

1
1
1
 
xn  1 xn xn1

Dẫn tới: Sn 

1
1
1
1

 2
 lim Sn  2  lim
2
x1 xn1
xn1
xn1

Bài 54. Cho dãy ( xk ) được x{c định như sau: xk 

1 2
k
  ... 
2! 3!
( k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

A. 

C. 1 

B. 

1
2012!

D. 1 

Lời giải:
Ta có:

1
k
1
1
nên xk  1 

 
( k  1)!
( k  1)! k ! ( k  1)!

Suy ra xk  xk 1 

1
1

 0  xk  xk  1
( k  2)! ( k  1)!

n
 n 2011x2011
M|: x2011  n x1n  x2n  ...  x2011

Mặt kh{c: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011  1 
Vậy lim un  1 

1
2012!

1
.
2012!

u0  2011
u3

Bài 55. Cho dãy số (un ) được x{c định bởi: 

1 . Tìm lim n .
n
un1  un  u2
n

A. 

B. 

C.3
Lời giải:

Ta thấy un  0, n
Ta có: un31  un3  3 

3 1

(1)
un3 un6

Suy ra: un3  un31  3  un3  u03  3n (2)

D. 1

1
2012!


Từ (1) v| (2), suy ra: un31  un3  3 
Do đó: un3  u03  3n 

n

Lại có:

1

k
k 1

 1

2

1
1

u  3n u3  3n
0



3
0



2

 un3  3 

1
1
 2
3n 9n

1 n 1 1 n 1
   (3)
3 k 1 k 9 k 1 k 2

n
1
1
1
1
1

 ... 
 2  2.  n
1.2 2.3
(n  1)n
n
k 1 k

Nên: u03  3n  un3  u03  3n 

1

k 1

2

 2n

2
2n

9
3

Hay 3 

u03 un3
u3 2
2
.

 3 0 

n
n
n 9n 3 n

Vậy lim

un3
 3.
n

Bài 57. Cho dãy x  0 x{c định như sau: f ( x) 
A. 

n

k

B. 

x 1 1
. Tìm  0;   .
x

C.2010

D. 1

Lời giải:

un2
u u
un
 n 1 n 
Ta có un1  un 
2010
un1 .un
2010un1


 1
un
1 

 2010.  

un1
 un un1 

Ta có

un

u

n 1

 2010(

1
1
1

)  2010(1 
)
u1 un1
un1

Mặt kh{c ta chứng minh được: lim un   .
Nên lim(

uu
)  2010 .
un1

n. 1  3  5  ...  (2n  1)
2 n2  1
1
B. 
C.
2

Bài 60. Tìm lim un biết un 
A. 

D. 1

Lời giải:
Ta có: 1  3  5  ...  2n  1  n2 nên lim un 

1
2

 3 x  2  2x  1

khi x  1
Bài 61. Tìm lim un biết f ( x)  
x 1
 3m  2
khi x  1


A. 

B. 

3

C.2

D.

6
2


Lời giải:
n(n  1)(2n  1)
n(n  1)
v| 12  22  ...  n2 
6
2

Ta có: 1  2  ...  n 
Nên lim un 

3

6
2

 x 1 1
khi x  0


Bài 62. Tìm lim un biết f ( x)  
x
2 x 2  3m  1 khi x  0

A. 

B. 

C.2

D. 1

Lời giải:
Ta có:

1
( k  1) k  k k  1

1



k

1



k 1

Suy ra un  1 

1
n1

 lim un  1

 2x  4  3
khi x  2

Bài 63. Tìm lim un biết f ( x)  
trong đó x  1 .
x1
khi x  2
 2
 x  2mx  3m  2
A. 

B. 

C.

1
3

D. 1

Lời giải:
Ta có: 1 

1
2
( k  1)( k  2)
1 n2
1
 1

Suy ra un  .
 lim un  .
Tk
k( k  1)
k( k  1)
3 n
3
n

Bài 68. Tìm lim un biết un  
k 1

A. 

1
n k
2

B. 

C.3

D. 1

Lời giải:
Ta có:
M| lim

1
n2  n



n
n n
2

1
n2  k

 lim

1



n2  1

n
n2  1

, k  1, 2,..., n Suy ra

n
n2  n

 un 

n
n2  1

 1 nên suy ra lim un  1 .

Bài 69. Tìm lim un biết un  2 2... 2
1 42 43
n dau can

A. 

B. 

C.2

D. 1

Lời giải:
Ta có: un  2

1 1
1
 ... n
2 22
2

2

1
1 
2

n

,nên lim un  lim 2

1
1 
2

n

 2.

Bài 70. Gọi g( x)  0, x  2 l| dãy số x{c định bởi  . Tìm

lim f ( x)  lim

x 2 

x 2

A. 





2x  4  3  3 .
B. 

C.

4
3

D. 1


Lời giải:
4 8
4 8
Ta có 0  u1  u2  u3   
3u1   
3u2  u3 nên dãy (un ) l| dãy tăng.
9 9
9 9

Dễ d|ng chứng minh được un 

4
4
, n  ¥ * .Từ đó tính được lim un  .
3
3

2

2


1
 1
 1
Bài 71. Cho dãy số A   x12  x1 x2    x1 x2  x22   x12 x22  3  0 được x{c định như
2

 4
 2
sau  x1  x2 .
Đặt x 

3
. Tìm  x3  2x  3 3  2x  4  0 .
2

A. 

B. 

C.

1
2

D. 1

Lời giải:
Ta có: un1  (un2  3un )(un2  3un  2)  1  (un2  3un  1)2

 un2  3un  1
Suy ra: un1  1  (un  1)(un  2) 
Suy ra:

1
un1  1



1
1

un  1 un  2

1
1
1


un  2 un  1 un1  1

n 
1
1 
1
1

1
1
Do đó, suy ra: vn   


 

ui 1  1  u1  1 un1  1 2 un1  1
i 1  ui  1

Mặt kh{c, từ un1  un2  3un  1 ta suy ra: un1  3n .
Nên lim

1
un1  1

 0 . Vậy lim vn 

1
.
2

Bài 72. Cho a, b  ¥ å ,(a, b)  1; n ab  1, ab  2,... . Kí hiệu rn l| số cặp số (u, v)  ¥ å  ¥ å

rn 1
 .
n n
ab

sao cho n  au  bv . Tìm lim

A. 

B. 

C.

1
ab

D. ab  1

Lời giải:

 n  1
Xét phương trình 0;
(1).
n 

Gọi (u0 , v0 ) l| một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử (u, v) l| một nghiệm nguyên
dương kh{c (u0 , v0 ) của (1).
Ta có au0  bv0  n, au  bv  n suy ra a(u  u0 )  b(v  v0 )  0 do đó tồn tại k nguyên dương
sao cho u  u0  kb, v  v0  ka . Do v l| số nguyên dương nên v0  ka  1  k 

v0  1
. (2)
a