de thi hsg mon toan lop 9 truong thcs nghia thang

PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA
TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG
KÌ THI HỌC
SINH GIỎI
LỚP 9 CẤP
ĐỀ CHÍNH
THỨC
TRƯỜNG
Năm học: 2016 - 2017
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian
giao đề)
Ngày thi: 22/10/2016
MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA.
Mức độ
Mạch
Kiến thức

Vận dụng
Nhận biết

Thông hiểu

Cấp độ thấp

Cộng

Cấp độ cao

Biểu thức đại số
1.a

1.b,c

2.c
5,0 đ

1,0
Bất đẳng thức

2,0

2,0

2.b
2,0

Phương trình vô 3.a
tỷ .Chia hết và
nghiệm nguyên

3.b

2.a
6,0 đ

2,0

2,0

Chứng minh

mối liên quan
đại lượng hình
học
Tổng cộng

2,0 đ

2,0
5

4.a,b
3,0

4ý

4ý
3,0

1ý
6,0

4,0

7,0 đ

4ý
3,0

8,0

20,0đ

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam


PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA
TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG
KÌ THI HỌC
GIỎI
LỚP 9 CẤP
ĐỀ SINH
CHÍNH
THỨC
TRƯỜNG
Năm học: 2016 - 2017
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian
giao đề)
Ngày thi: 22/10/2016
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức A =

x2 − 2 x 1
1
1
+ .(
+
)
x3 + 1 2 1 + x + 2 1 − x + 2

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 2: (6 điểm)
a) Giải phương trình: x 2 + 2015 x − 2014 = 2 2017 x − 2016 .
b) Chứng minh rằng:

1 1
+ ≤ −2 biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y > 0.
x y
1

c) Cho x, y, z thỏa mãn  +
x


1 1 
1
+ ÷: 
= 1.
y z   x + y + z ÷

(

)(

)(

)

21
21 y11 + z11 z 2017 + x 2017
Tính giá trị của biểu thức B = x + y
.

Bài 3: (4 điểm)
a) Với n chẵn (n ∈ N) chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1)M323
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: ( y + 2) x 2017 − y 2 − 2 y − 1 = 0
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF
cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K. Gọi G là trọng tâm của D ABC.
a) Chứng minh SAHG = 2SAGO

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam


b) Chứng minh

HD HE HF
+
+
=1
AD BE CF

Bài 5:(3 điểm)
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. C và D là hai điểm nằm trên nửa đường tròn đó
sao cho ∠CAB = 45o, ∠DAB = 30o. AC cắt BD tại M. Tính diện tích tam giác ABM theo R
..........................HẾT.............................

PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA

TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG

ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp trường
Năm học: 2016 - 2017
Thời gian: 150 phút (không kể thời
gian giao đề)
Ngày thi: 22/10/2016
Bài
1a
(1đ)

Nội dung

x + 2 ≥ 0
 x ≥ −2
 3
a) Điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa:  x + 1 ≠ 0 ⇔ 
 x ≠ −1

x
+
2
≠
1


Điểm

1,0đ

b) Rút gọn biểu thức A
A=

1b
(1đ)

x2 − 2x 1
1
1
x( x − 2)
1
2
+ .(
+
)=
+ .
3
2
x +1 2 1+ x + 2 1− x + 2
( x + 1)( x − x + 1) 2 1 − ( x + 2)

x ( x − 2)
1
x( x − 2) − ( x 2 − x + 1)
=
−
=
( x + 1)( x 2 − x + 1) x + 1

( x + 1)( x 2 − x + 1)
−( x + 1)
−1
=
= 2
2
( x + 1)( x − x + 1) x − x + 1

1,0đ

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

−1
−1
=
Ta có
x − x + 1 ( x − 1 )2 + 3
2
4
1 2 3
Ta có A nhỏ nhất khi ( x − ) + đạt giá trị nhỏ nhất
2
4
−4
1
1
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của là A là
khi x − = 0 ⇔ x =
3
2

2
A=

1c
(1đ)

2

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam

1,0đ


a) Giải phương trình: x 2 + 2015 x − 2014 = 2 2017 x − 2016
2016
Điều kiện x ≥
2017
⇒ Phương trình đã cho tương đương với

1,0đ

x − 2 x + 1 + 2017 x − 2016 − 2 2017 x − 2016 + 1 = 0
2

⇔ ( x − 1) +
2

2a
(2đ)

(

)

2

2017 x − 2016 − 1 = 0

 x − 1 = 0
⇔
 2017 x − 2016 − 1 = 0
x = 1
⇔
2017 x − 2016 = 1
⇔ x = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho.

b) Chứng minh:

2b
(2đ)

1,0đ

1 1
+ ≤ −2 biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y > 0.
x y

Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0
⇔ (x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + 4 = 0

⇔ ( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = 0
⇔ ( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = 0
2
2
1
⇔ .( x + y + 2)( 2x – 2xy + 2y + 2x + 2y + 4) = 0

1,0đ

2
1
⇔ .( x + y + 2). ( x − y ) 2 + ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 + 2  = 0
2
⇔ x+y+2=0
⇔ x + y = -2 mà x.y > 0 nên x< 0, y < 0

( − x ) + (− y ) −( x + y ) 2
=
= =1
2
2
2
1
−2
1 1 x + y −2
=
≤ -2 Mà M = + =
Do đó xy ≤ 1 suy ra 1 ≤
hay
xy

xy
x y
xy
xy
1 1
Vậy M = + ≤ −2 (đpcm)
x y

Áp dụng BĐT CauChy ta có ( − x)( − y) ≤

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam

1,0đ


1 1 1 
c) Cho x, y, z thỏa mãn  + + ÷: 


1
÷= 1.
x
y
z
x
+
y
+
z


 

21
21
11
11
y +z
z 2017 + x 2017
Tính giá trị của biểu thức B = x + y

(

2c
(2đ)

)(

)(

)

1 1 1 

1 1 1
1
Ta có:  + + ÷: 
÷ = 1 ⇔  + + ÷( x + y + z ) = 1
 x y z  x+ y+z
x y z
⇔ (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz

⇔ xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz
⇔ (xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = 0
⇔ x(yz + zx + y2+ yx)+ z(y2 + yz + xz + xy) = 0
x = − y
⇔ (yz + zx + y2+ yx)( x+ z) = 0 ⇔ ( x + y )( y + z )( x + z ) = 0 ⇔  y = − z
 z = − x

1,0đ

1,0đ

Thay vào B tính được B = 0
a) Với n chẵn (n ∈ N) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – 1 M323
Ta có: 323=17.19
• 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n)
20n – 1 M19
3a 16n – 3nM19 (n chẵn)
(2đ) Do đó 20n + 16n – 3n – 1 M19
(1)
n
n
n
n
n
n
• 20 + 16 – 3 – 1= (20 – 3 ) + (16 –1)
n
20 – 3n M17
16n –1n M17 ( n chẵn)
Do đó 20n + 16n – 3n – 1 M17

(2)
Mà (17;19) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra 20n + 16n – 3n – 1 M323

1,0đ

1,0đ

b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: ( y + 2) x 2017 − y 2 − 2 y − 1 = 0

Nếu y+2=0 ⇔ y = −2 lúc đó phương trình có dạng 0 x 2017 − 1 = 0 (vô nghiệm).
Nếu y ≠ −2 thì ta có x 2017 =

1,0đ

y2 + 2 y +1
1
= y+
y+2
y+2

3b
1
(2đ) Vì x, y nguyên nên y + 2 nguyên y + 2 ∈ Ư(1) = { −1;1} .

Với y + 2 = −1 ⇒ y = −3 ⇒ x 2017 = −4 (loại ).

1,0đ

Với y + 2 = 1 ⇒ y = −1 ⇒ x 2017 = 0 ⇔ x = 0 .
Vậy số nguyên x,y thỏa mãn đề bài là : x=0,y=-1

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam


a) Chứng minh SAHG = 2SAGO
• D ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK
Nên KC ^ AC
Mà BE ^ AC (gt)
Suy ra KC // BE hay KC // BH
Chứng minh tương tự ta có KB // CH
Nên tứ giác BHCK là hình bình hành
A

1,0đ

E
F

H
G

B

O

D M

C

1,0đ

K

Gọi M giao điểm của BC và HK nên
4
2
(4đ)
• M là trung điểm của BC mà G là trọng tâm của D ABC nên AG = AM
3

• M là trung điểm của HK nên AM là đường trung tuyến của D AHK.
2
AM nên G là trọng tâm của D AHK
3
Ta có O là trung điểm của AK nên HO là đường trung tuyến của D AHK

Mà G thuộc đoạn AM và AG =

Nên HO đi qua G do đó HG = 2GO
• D AHG và D AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO và HG = 2GO
Do đó SAHG = 2SAGO
HD HE HF
+
+
=1
AD BE CF
1
1
1
HD.BC

HE.AC
HF.AB
HD HE HF 2
2
2
+
+
=
+
+
Ta có:
AD BE CF 1 AD.BC 1 BE.A C 1 CF.AB
2
2
2

b) Chứng minh

S
S
S
+ SHAC + SHAB
S
S
= ABC = 1
= HBC + HAC + HAB = HBC
SABC SABC SABC
SABC
SABC

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam

2,0đ


Tính diện tích tam giác ABM theo R

M
C
D
N

A

B

H

O

Gọi N là giao điểm của AD và BC; H là giao điểm của MN và AB
·
·
Chứng minh AHM
= 900 ; mà CAB
= 450 (gt) nên D AHM vuông cân
⇒ MH = AH
⇒ MH + HB = AH + HB = 2R
(1)

1,0đ

* D MHB vuông tại H
5
(3đ)

• HB=MB.cos MBH ⇒ MB =

HB
HB
=
= 2HB
cos MBH cos 600

MB. 3
• MH= MB.sinMBH ⇔ MH = MB.sin 600 =
= HB. 3
2

MH
3.MH
=
3
3

Từ (1) và (2) ta có MH +
Vậy: S =

⇒ HB=

2,0đ
(2)

3.MH
6R
= 2R Þ MH =
= (3 3
3+ 3

AB.MH 1
= .2R.(3 2
2

3) R = (3 -

3).R

3) R 2

Chú ý:
-Học sinh có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
-Không có điểm vẽ hình.
-Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không có điểm.

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam