Bộ Đề Thi HSG Môn Toán lớp 9(Đề mới)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN

Bài 1: (1,5đ)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 4x – 2y = 10
3x – 4y = 12
b) x
2
– ( 2-
3
)x - 2
3
= 0
c) 4x
2
+ 7x
2
– 2 = 0
Bài 2: (1đ)
Rút gọn:
a)
3
3
13
2
23
2575
+
−
−

−
−
b)
521028521028 +−+++
Bài 3: (1,5đ)
Trong mặt phăng tọa độ Oxy cho hàm số y= -
4
1
x
2
có đồ thị (P) và đường thẳng (D): y = - x
a) Vẽ (P) và (D)
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D)
c) Viết phương trình đường thẳng (D
1
) song song với (D) và cắt (P) tại điểm có hoành độ là
-2
Bài 4: (1đ)
Cho phương trình: x
2
– ( m + 3 )x + m + 2 = 0
a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm x
1,
x
2
với mọi giá trị của m
b) Tính A = x
2
1
+ x

2
2
- 6x
1
x
2
theo m.
Bài 5:(1đ)
Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10m. Người ta làm lối đi rộng 2m
xung quanh vườn. Khi đó diện tích còn lại là 1.656m
2
. Tính chu vi khu vườn hình chữ nhật.
Bài 6: ( 4đ)
Cho đường tròn (O) và 1 điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C
là 2 tiếp điểm ) và cát tuyến AMN ( M nằm giữa A và N) với đường tròn. Gọi E là trung
điểm của dây MN. I là giao điểm thứ 2 của đường thẳng CE với đường tròn.
a) Chứng minh: 4 điểm A, O,E,C cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Chứng minh: AC
2
= AM.AN
c) Chứng minh: BI// MN
d) Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
Câu 1 : (1,5đ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
a) 3x – 4y = 25
5x – 7y =43
b)
2

x
+ (
7
- 1 )x -
7
= 0
c) 6
4
x
-
2
x
- 1 = 0
Câu 2 : ( 1,5đ ) Thu gọn các biểu thức sau :

( )
2 5 2 3 5A = − +

2
a a b b a b
B ab
a b
a b
  
+ +
= −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
−
+

  
với
0; 0;a b a b≥ ≥ ≠
Câu 3 : ( 1,5đ ) Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 80m . Nếu tăng chiều rộng lên 2 lần và giảm
chiều dài 10 m thì diện tích tăng thêm 100
2
m
. Tính kích thước ban đầu của miếng đất ?
Câu 4 : ( 2 đ ) Cho phương trình :
2
x
- 2( m – 1 ) x +
2
m
- 3m - 4 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x
b) Đặt A =
2 2
1 2 1 2
.x x x x+ −
1) Tìm m sao cho A = 20
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng .
Câu 5 : ( 3,5đ ) Cho
∆
ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O ; R ) có BC =

3R
; AD là
đường cao và AM là đường kính của đường tròn ( O ) .
a) Chứng minh : AB . AC = AD . AM .
b) Tia AD cắt đường tròn ( O ) tại K . Chứng minh : Bốn điểm B , C , M , K là đỉnh của
hình thang cân .
c) Gọi H là điểm đối xứng của K qua BC . Tính độ dài AH theo R .
d) Tia BH cắt cạnh AC tại E , tia CH cắt cạnh AB tại D . Tính độ dài DE theo R.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
Bi 1 (1.5đ) Thu gọn biểu thức sau :
a) A =
5 5 5 5
1 1
5 1 5 1
  
− +
+ +
 ÷ ÷
 ÷ ÷
− +
  
b) B =
( )
1
1 1: 1 :
2 1
x
x

x x
−
 
+ +
 
+ +
( x ≥ 0 )
Bi 2 : (1.5đ) Giải cc phương trình v hệ phương trình :
a) 3x
2
– 2x – 1 = 0
b) (x
2

– x)
2
+ x(x – 1) = 6
c)
2 5
6 3 15
x y
x y
− =


− + =



Bi 3 : (2đ)

Cho hm số y = ax
2
v cĩ đồ thị l ( P) qua M(2 ;1)
a) Xc định a v vẽ (P) với a vừa tìm được
b) Cho đường thẳng (D) :
4
m
y x= +
( với m l tham số )
Tìm gi trị của m để (D) cắt ( P) tại 2 điểm phn biệt A, B sao cho x
A
2
+ x
B
2
= 20

Bi 4: (1đ)
Một ơ tơ đi từ A đến B cch nhau 60 km theo một vận tốc đ định . Biết rằng nếu ơ tơ tăng vận
tốc thm 10km/h thì sẽ đến B sớm hơn dự định 18 pht . Tính vận tốc dự định của ơ tơ

Bi 5 (4đ)
Cho ∆ABC (AB <AC) cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp trong đường trịn (O;R) . Đường phn gic trong của
gĩc BAC cắt BC tại D v cắt đường trịn (O) tại M . Từ D kẻ DE v DF lần lượt vuơng gĩc với AB
v AC .
a) Chứng minh tứ gic AEDF nội tiếp . Xc định tm K của đường trịn ny.
b) Chứng minh AB.AC = AM.AD
c) Chứng minh MC l tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp ∆ADC
d) Chứng minh diện tích tứ gic AEMF bằng diện tích ∆ABC