CH 4. PH NG TR NH B C 2 V NH L VI T

CHỦ ĐỀ 4.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ VÀ ĐỊNH LÝ VI-ÉT
LUYỆN THI VÀO 10
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng
ax 2 bx c 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và a 0
II. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai ax 2 bx c  0(a  0)
  b2  4ac

*) NÕu  0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 

b  
b  
; x2 
2a
2a

*) NÕu   0 phơng trình có nghiệm kép :
x1 x 2

b
2a

*) Nếu 0 phơng trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phơng trình bậc hai ax 2  bx  c  0(a  0) vµ b  2b'
 '  b '2  ac

*) NÕu  ' 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x1
*) Nếu ' 0 phơng trình cã nghiÖm kÐp : x1  x 2 

b '
a

b '  '
b '  '
; x2 
a
a

*) NÕu  ' 0 phơng trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - Et vµ øng dơng :
1. NÕu x1; x2 lµ hai nghiệm của phơng trình ax 2 bx c  0(a  0) th× :
b

 x1  x 2   a

x x  c
 1 2 a

2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình :
x 2  Sx  P  0

Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top 1 Hà Nội
Facebook: />1

(Điều kiện để có u và v là S2 4P  0 )
3. NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình ax 2 bx c  0(a  0) cã hai nghiÖm :
c
a
2
NÕu a - b + c = 0 thì phơng trình ax  bx  c  0(a  0) cã hai nghiÖm :
c
x1  1; x 2  
a
x1  1; x 2 

IV: Các bộ điều kiện để phương trình cú nghim tha món c im cho trc:
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) cã:
1. Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm)    0
2. V« nghiƯm   < 0
3. NghiƯm duy nhÊt (nghiÖm kÐp, hai nghiÖm b»ng nhau)   = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiƯm cïng dÊu   0 vµ P > 0
6. Hai nghiƯm tr¸i dÊu   > 0 vµ P < 0  a.c < 0
7. Hai nghiƯm dơng(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 vµ P > 0
9. Hai nghiƯm ®èi nhau   0 vµ S = 0
10.Hai nghiƯm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
B. MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI:
Bµi 1. Giải các phơng trình sau :
a / 2x 2 8  0

c / 2x 2  3x  5  0

b / 3x 2  5x  0

d / x 4  3x 2  4  0
x2
6
f/
3
x 5
2x

e / x3  3x 2  2x  6  0

Gi¶i
a / 2x  8  0  2x  8  x  4  x  2
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x  2
2

2

2

Thầy Huy_Tốn MathMap_Luyện thi vào 10 Top 1 Hà Nội
Facebook: />2


x  0
x  0

b / 3x  5x  0  x(3x  5)  

x  5
3x  5 0
3

5
Vậy phơng trình có nghiệm x 0; x 
3
2
c / 2x  3x  5  0
2

NhÈm nghiÖm :
Ta cã : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => ph¬ng tr×nh cã nghiƯm : x1  1; x 2  

5 5

2 2

d / x 4  3x 2  4 0

Đặt t x 2 (t 0) . Ta có phơng trình : t 2 3t 4 0
a+b+c=1+3-4=0
=> phơng trình có nghiệm : t1  1  0 (tháa m·n);

t2  

4
 4  0 (lo¹i)

1

Với: t  1  x 2  1 x 1
Vậy phơng trình có nghiệm x 1
e / x 3  3x 2  2x  6  0  (x 3  3x 2 )  (2x  6)  0  x 2 (x  3)  2(x  3)  0  (x  3)(x 2  2)  0
x  3  0
 x  3  x  3
 2
 2

x  2  0
x  2
x   2

VËy ph¬ng trình có nghiệm x 3; x 2
x2
6
(ĐKXĐ : x 2; x 5 )
3
x 5
2x
x2
6
Phơng trình :
3
x 5
2x
(x  2)(2  x) 3(x  5)(2  x)
6(x  5)




(x  5)(2  x) (x  5)(2  x) (x  5)(2  x)
 (x  2)(2  x)  3(x  5)(2  x)  6(x  5)
f/

 4  x 2  6x  3x 2  30  15x  6x  30
 4x 2  15x  4  0
  152  4.(4).4  225  64  289  0;  17
15 17
1
(thỏa mÃn ĐKXĐ)
=> phơng trình cã hai nghiÖm : x1 
2.(4)
4
15  17
x2 
 4 (tháa m·n §KX§)
2.(4)

Thầy Huy_Tốn MathMap_Luyện thi vào 10 Top 1 Hà Nội
Facebook: />3


Bài 2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham sè m : x 2  mx  m  3 0 (1)
a/ Giải phơng trình với m = - 2.
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng tr×nh. TÝnh x12  x 22 ; x13  x 32 theo m.
c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : x12  x 22 9 .
d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.

f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào giá
trị của m.
HNG DN GII:
a/ Thay m = - 2 vào phơng trình (1) ta có phơng trình :
x 2  2x  1  0
 (x  1) 2  0
 x 1  0
 x 1

VËy víi m = - 2 phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phơng trình : x 2 mx  m  3  0 (1) Ta có:   m2  4(m  3)  m2  4m 12
Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0
 x1  x 2  m
 x1x 2  m 3

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : 

(a)
(b)

*) x12  x 22  (x1  x 2 )2  2x1x 2  (m)2  2(m  3)  m2  2m  6
*) x13  x32  (x1  x 2 )3  3x1x 2 (x1  x 2 )  (m)3  3(m  3)(m)  m3  3m2  9m
c/ Theo phÇn b : Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0
Khi ®ã x12  x 22  m2  2m  6
Do ®ã x12  x 22  9  m2  2m  6  9  m2  2m 15  0
 '(m)  (1)2  1.(15)  1  15  16  0; (m)  4

1 4
1 4

 5; m2 
 3
1
1
+) Víi m  5    7  0 => lo¹i.
+) Víi m  3    9  0 => tháa mÃn.

=> phơng trình có hai nghiệm : m1
Thử lại :

Vậy với m = - 3 thì phơng trình có hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : x12  x 22 9 .
d/ Theo phần b : Phơng trình cã nghiÖm x1; x 2    0
 x1  x 2  m
 x1x 2  m  3

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :

(a)
(b)

Thy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top 1 Hà Nội
Facebook: />4


HƯ thøc : 2x1 + 3x2 = 5
(c)
Tõ (a) vµ (c) ta có hệ phơng trình :
x1 x 2  m
3x  3x 2  3m
x  3m  5

x  3m  5
 1
 1
 1

2x1  3x 2  5 2x1  3x 2  5
x 2  m  x1
x 2  2m  5

 x1 3m 5
vào (b) ta có phơng trình :
x 2  2m  5

Thay 

( 3m  5)(2m  5)  m  3
 6m 2  15m  10m  25  m  3
 6m 2  26m  28  0
 3m 2  13m  14  0
 ( m)  132  4.3.14 1 0

13 1
2
2.3
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
13 1
7
m2

2.3

3
Thử lại :
+) Víi m  2    0
=> tháa m·n.
7
25
+) Víi m      0 => tháa mÃn.
3
9
7
Vậy với m 2; m phơng trình cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5.
3
e/ Phơng trình (1) có nghiệm x1 3  (3)2  m.(3)  m  3  0  2m  12  0  m  6
m1 

Khi ®ã : x1  x 2  m  x 2  m  x1  x 2  6  (3)  x 2  3
VËy víi m = 6 thì phơng trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.
f/ Phơng trình (1) có hai nghiệm tr¸i dÊu  ac  0  1.(m  3)  0  m  3  0  m 3
Vậy với m < - 3 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Vi-et, ta cã :
 x1  x 2  m
m   x1  x 2

  x1  x 2  x1x 2  3

 x1x 2  m  3
m  x1x 2  3

Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – 3 = 0
Bµi 3:

Cho phơng trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhÊt ®ã?
Thầy Huy_Tốn MathMap_Luyện thi vào 10 Top 1 Hà Nội
Facebook: />5


c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hÃy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
HNG DN GII:
a) + NÕu m-1 = 0  m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0  x =

3
(là nghiệm)
2

+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: =12- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiƯm  ’ = 3m-2  0  m 

2
3

2
th× phơng trình có nghiệm
3
3
b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x = (là nghiệm)
2

+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m

+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai cã: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) cã nghiÖm duy nhÊt  ’ = 3m-2 = 0  m =
Khi ®ã x = 

2
(tho¶ m·n m ≠ 1)
3

1
1

3
2
m 1
1
3

+VËy víi m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
với m =

3
2

2
thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3
3

c) Do phơng trình có nghiệm x1 = 2 nªn ta cã:
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0  4m – 3 = 0  m =
Khi ®ã (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =

Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2 =
VËy m =

3
4
3
1
-1=  ≠ 0)
4
4

3
3

 12  x 2  6
1
m 1

4

3
vµ nghiƯm còn lại là x2 = 6
4

Bài 4: Cho phơng trình: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0
a) Chøng tá rằng phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Thy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top 1 Hà Nội
Facebook: />6

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng ©m
d) T×m m sao cho nghiƯm sè x1, x2 cđa phơng trình thoả mÃn x12+x22 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) H·y biĨu thÞ x1 qua x2
HƯỚNG DẪN GIẢI:
2

1
15
a) Ta cã: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =  m   


2

4

2

1
15
Do  m    0 víi mäi m;
 0   > 0 với mọi m


2

4

Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phơng trình cã hai nghiƯm tr¸i dÊu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3
VËy m > -3
c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0
2(m  1)  0
m  1


 m  3
 (m  3)  0
m  3

VËy m < -3
d) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bµi A  10  4m2 – 6m  0  2m(2m-3)  0
 m  0

 m  0
 m  3

3

m

2
2 m  3  0






2
 m  0

m

0



m  0

3
2m  3  0
 m 
2


VËy m 

3
hc m  0
2

Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top 1 Hà Nội
Facebook: />7

e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiÖm
 x1  x2  2(m  1)
 x  x 2  2m  2
 . 1
 x1 .x2  (m  3)
2 x1 .x2  2m  6

Theo định lí Viet ta có:

x1 + x2+2x1x2 = - 8
VËy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 lµ hƯ thøc liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
f) Tõ ý e) ta cã: x1 + x2+2x1x2 = - 8  x1(1+2x2) = - ( 8 +x2)  x1  
VËy x1  

8  x2
1  2 x2

8  x2
1  2 x2

1
2

( x2   )

Bµi 5: Cho phơng trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n 3x1+2x2 = 1

c) LËp phơng trình ẩn y thoả mÃn y1 x1

1
1
; y 2  x2  víi x1; x2 lµ nghiƯm của
x2
x1

phơng trình ở trên
HNG DN GII:
a) Ta có = 12 (m-1) = 2 m
Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
' 0
2 m  0
m  2



m2
m  1  1
m  2
P  1

VËy m = 2
b) Ta cã ’ = 12 (m-1) = 2 m
Phơng trình có nghiệm   0  2 – m  0  m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bµi: 3x1+2x2 = 1 (3)
 x1  x2  2
2 x  2 x2  4

x  5
x  5
 1
 1
 1
3x1  2 x2  1 3x1  2 x2  1
 x1  x2  2
 x2  7

Tõ (1) vµ (3) ta cã: 

ThÕ vµo (2) ta cã: 5(-7) = m -1  m = - 34 (thoả mÃn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phơng trình đà cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top 1 Hà Nội
Facebook: />8


Khi ®ã: y1  y 2  x1  x2 
y1 y 2  ( x1 

x  x2
1
1
2
2m

 x1  x2  1
 2 


(m≠1)
x1 x2
x1 x2
m 1 1 m

1
1
1
1
m2
(m≠1)
)( x2  )  x1 x2 
 2  m 1
2
x2
x1
x1 x2
m 1
m 1

 y1; y2 lµ nghiƯm cđa phơng trình: y2 -

m2
2m
.y +
= 0 (m1)
m 1
1 m

Phơng trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0

C. MT S BI TP T LUYN
Bài 1Cho phơng tr×nh (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1).
Tìm tất cả các số nguyên m để phơng trình (1) có nghiệm nguyên.
HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0  x  1
* m 1 :

m - 1 + (-2m) +m +1 = 0  x1  1 ; x2 
 m  1  1;2  m   1;0;2;3

m 1
2
 1
m 1
m 1

Bài 2: Cho phơng trình x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 .
Xác định m và n để phơng trình có 2 nghiệm là 3 và -2.
HDÉn :

6m  3n  6
m  2


4m  3n 14
n 2

Bài 3: Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là

1
:
2

mx2 + (mn + 1)x + n = 0

HDÉn :


m  0
m  2



  0
1
n

m
1
2

  mn  1.  n 0
2
4

Bài 4: Cho hai phơng trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) vµ x2 + x - 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph¬ng trình trên có nghiệm .
HDẫn : 1 2  26 > 0  cã 1 biƯt sè kh«ng ©m .
Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top 1 Hà Nội

Facebook: />9


Bài 5: Cho hai phơng trình : x2 + (m - 2)x +

m
=0
4

(1)

vµ 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0 (2)
CMR víi mäi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm .
HDÉn : 1  (m  1)(m  4) ;  2  16(1  m)(m  4)
1 . 2  16(m  1) 2 (m  4) 2  0 có 1 biệt số không âm .
Bài 6: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiƯm chung.
x2 + 2x + m = 0
x2 + mx + 2 = 0
: + m =2 : hai phơng trình có dạng : x2 + 2x +2 = 0 ( v« nghiƯm)
+ m  2 : x 0 = 1 ; m = -3
Bµi 7: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x2 + (m - 2)x + 3 = 0
2x2 + mx + (m + 2) = 0
HDÉn : (m -2)x 0 = m - 2

: + m = 4 : hai phơng trình cã d¹ng : x2 + 2x +3 = 0 ( v«

HDÉn : (m - 4)x 0 = m - 4
nghiƯm)

+ m  4 : x 0 = 1 ; m = -2
Bµi 8 : Gäi x1 vµ x 2 lµ những nghiệm của phơng trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1)
Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phơng trình (1) tho¶ m·n :
3x1  5x2  6

HDÉn :

4
*   (3k  4)  0  k  
3
2

k  0
*
k 32
15


(t/m)

Bài 9 : Cho phơng trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm
x1 , x2 ta cã hÖ thøc : 3x1 x2  5( x1  x2 )  7  0

HDÉn :

7
*   4m  7  0  m 
4

m  2

*
m 4
3


loại m =

4
3

Bài 10: Cho phơng trình x 2  2m  2x  m  1  0 . Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng
trình. Tìm giá trị của m để x1 1 2 x2   x2 1  2 x1   m 2

Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top 1 Hà Nội
Facebook: />10


2

HDÉn :

3
3
*  =  m     0
2
4

'

m  0

m  2

* x1 1  2 x2   x2 1  2 x1   m 2  x1  x2  4 x1 x2  m 2  mm  2  0  
Bµi 11: Cho phơng trình x 2 2m 3x  2m  7  0 (1)

1
1

m
x1  1 x 2 1

Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x1, x2 . hÃy tìm m để
HDẫn :

* = m  42  0
*

7  33
1
1

 m  2m 2  7 m  2  0  m
4
x1 1 x 2 1

Bài 11: Cho phơng tr×nh x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = 0. Tìm các giá trị của m để phơng
trình có hai nghiệm thoả mÃn: - 2HDẫn :

x1  2

m  2

 2  m  3
m  3
 x2  4

*  = 1>0 * x1= m , x2= m + 1  x1 < x2Do ®ã:

Bài 12: Tìm các giá trị của tham số a sao cho phơng trình: x2 + 2ax + 4 = 0 (1) có các
2

2

x x
nghiệm x1, x2 thoả m·n ®iỊu kiƯn  1    2   3
 x2   x1 

HDÉn :

a  2

* ' = a2 - 4  0  
a  2

 x1  x2 2  2 x1 x2 
 x1   x2   x1 x2 
*           2  3  
 5
x1 x2
 x2   x1   x2 x1 



2



2

4a 2  8
 5
4

2

2

a  2

( vì
nên 4a2 - 8 > 0 )
a 2

 a 2  2  5  a  2 5 (t / m)

Bài 13: Cho phơng trình bËc hai mx 2  5m  2x  6m 5 0
1-Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau.
2-Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm nghịch đảo nhau.
Bài 14: Tìm giá trị m để phơng tr×nh:
a) 2x2 + mx + m - 3 = 0

2
5
m  1

(m= )

Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top 1 Hà Nội
Facebook: />11


Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng. ( 0b) x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0
Có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
(m = 1)
2
Bài 15: Xác định m để phơng trình x - (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt sao
cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
0

m 3  8 ; m  3  8



 S  0

m  1

 m  6
 P  0
m  0



2
2
2
 x  x  5

m  6; m 4
2

1


Bài 16: Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình bËc hai :
m  2x 2  2m  1x m 0 .
HÃy xác định giá trị của m để số đo đờng cao ứngvới cạnh huyền là
m  2



'
   0
m  0 
HD GIẢI*  


m  2 
 P  0
 S  0





*

1
x1

2



1
x2

2



1
 2 


 5

2

2
5

.

 m  4(t / m) khi ®ã x1 = 1; x2 = 2

Bµi 17: Cho hai phơng trình x 2 2m nx 3m  0 (1) vµ x 2  m  3nx 6 0 (2)
Tìm m và n để các phơng trình (1) và (2) tơng đơng.
H.DN

*Phơng trình (2) có ac = - 6<0  (2) cã 2 nghiƯm ph©n biÖt.
2m  n  m  3n
m  2

3m  6
n 1

*

* Thử lại, rút kết luận.
Bài 18: Tìm các giá trị của m và n để hai phơng trình sau tơng đơng :
x 2 4m 3nx  9  0 (1) vµ x 2  3m 4nx 3n 0 (2)
H.DN

*Phơng trình (1) có ac = - 9<0  (1) cã 2 nghiƯm ph©n biÖt.
 4m  3n   3m  4n 
 m  n  3
 9  3n

*

* Thư l¹i, rót kÕt ln.

Thầy Huy_Tốn MathMap_Luyện thi vào 10 Top 1 Hà Nội
Facebook: />12


Bài 19: Cho phơng trình x 2 2mx 2m  1  0 . T×m m sao cho A = 2( x 21  x 2 2 ) 5x1 x2
đạt giá trị nhỏ nhất.
* ' m  12  0
2

9
9
9
9
9
* A  8m  18m  9  2 2m       Amin m
4
8
8
8
8

2

Bài 20: Cho phơng trình x 2  2(m  2) x  6m  0 (1). Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phơng trình
(1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của x 21  x 2 2 .
* '  m  12  3  0
* x 21  x 2 2 = 2m  12  15  15  x 21  x 2 2 min  15  m

1
2

Bài 21: Cho phơng trình x 2 2(m  1) x  m  4  0 cã hai nghiƯm x1 , x2 .
Chøng minh r»ng biĨu thøc H = x1 1  x2   x2 1 x1 không phụ thuộc vào m.
2

1
19
HNG DN: * '   m     0
2
4

* H  x1  x2   2x1 x2  2m  1  2m  4  10

Bµi 22: Cho phơng trình x 2 2(m 1) x m  3  0 cã hai nghiÖm x1 , x2 .
Chøng minh r»ng biÓu thøc Q = x1 2007  2006 x2   x2 2007  2008x1  không phụ thuộc vào
giá trị của m.
2

1
15
HNG DN: * '   m     0
2
4

* Q  2007x1  x2   4014x1 x2  20072m  2  4014m  3  16056

Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top 1 Hà Nội
Facebook: />13