...GT Toan roi rac.pdf

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI NGUYÊN VÀ MÔI TRƯỜNG HÀ NỘI

LÊ XUÂN HÙNG

TOÁN RỜI RẠC
(Dành cho sinh viên hệ cao đẳng)

HÀ NỘI, 11- 2011


PHẦN MỞ ĐẦU
Giáo trình Toán rời rạc được biên soạn nhằm phục vụ cho việc giảng dạy và
học tập đối với sinh viên hệ cao đẳng Khoa Công nghệ thông tin trường Đại học Tài
nguyên và Môi trường Hà Nội. Cuốn sách trình bày những vấn đề cơ bản nhưng cần
thiết nhất giúp cho người học được trang bị đầy đủ kiến thức để tiếp tục học các môn
học cơ sở và chuyên ngành Công nghệ thông tin tiếp theo. Nội dung Giáo trình bao
gồm:
Phần I. Kiến thức bổ trợ: Trình bầy một số kiến thức cơ bản về thuật toán, suy
luận toán học, lý thuyết quan hệ.
Phần II. Lý thuyết tổ hợp: Trình bày một số vấn đề của lý thuyết tổ hợp xoay
quanh 4 bài toán cơ bản: bài toán đếm, bài toán tồn tại, bài toán liệt kê và bài toán tối
ưu rời rạc.
Phần III. Lý thuyết đồ thị: Đề cập đến một số vấn đề cơ bản của lý thuyết đồ
thị: một số khái niệm và kết quả kinh điển về đồ thị, ứng dụng đồ thị để giải các bài
toán như bài toán tìm cây khung nhỏ nhất, bài toán tìm đường đi ngắn nhất,… và các
thuật toán để giải quyết chúng được trình bày chi tiết và hướng dẫn cài đặt trên máy
tính.
Phần IV. Hàm Đại số logic: Đề cập tới một số vấn đề như: các phép toán logic;
hàm Boole và biểu thức Boole, các cổng logic và tổ hợp các cổng logic; tối thiểu hóa
hàm Boole.
Trong mỗi phần gồm một số chương, cuối mỗi chương đều có các bài tập giúp

cho người học hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết, rèn luyện tư duy khoa học, kỹ năng tính
toán và khả năng vận dụng toán học giải quyết vấn đề.
Giáo trình được biên soạn lần đầu tiên nên chắc chắn không tránh khỏi những
thiếu sót cả về nội dung và hình thức. Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp của
bạn đọc.
Tác giả

1


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
Phần I. KIẾN THỨC BỔ TRỢ ................................................................................... 5
Chƣơng 1. Thuật toán và suy luận toán học .................................................................. 5
1.1. Thuật toán................................................................................................................ 5
1.1.1. Thuật toán là gì..................................................................................................... 5
1.1.2. Các đặc trưng của thuật toán ................................................................................ 5
1.1.3. Ngôn ngữ thuật toán ............................................................................................. 5
1.2. Suy luận toán học .................................................................................................... 7
1.2.1. Phương pháp quy nạp toán học ............................................................................ 7
1.2.2. Phương pháp đệ quy ............................................................................................. 8
Bài tập Chương 1 ......................................................................................................... 10
Chƣơng 2. Lý thuyết quan hệ ...................................................................................... 12
2.1. Quan hệ và biểu diễn quan hệ ............................................................................... 12
2.1.1. Quan hệ .............................................................................................................. 12
2.1.2. Phương pháp biểu diễn quan hệ ......................................................................... 12
2.2. Quan hệ ngược và quan hệ hợp thành ................................................................... 14
2.2.1. Quan hệ ngược ................................................................................................... 14
2.2.2. Quan hệ hợp thành ............................................................................................. 15
2.3. Quan hệ tương đương ............................................................................................ 15

2.3.1. Định nghĩa .......................................................................................................... 15
2.3.2. Phân hoạch tương đương trên tập hợp ............................................................... 16
2.4. Bao đóng bắc cầu của quan hệ .............................................................................. 18
2.4.1. Định nghĩa bao đóng bắc cầu của quan hệ ......................................................... 18
2.4.2. Xác định bao đóng bắc cầu của quan hệ ............................................................ 18
Bài tập Chương 2 ......................................................................................................... 19
Phần II. LÝ THUYẾT TỔ HỢP ............................................................................... 22
Chƣơng 1. Mở đầu ...................................................................................................... 22
1.1. Khái quát về tổ hợp ............................................................................................... 22
1.2. Một số nguyên lý cơ bản ....................................................................................... 23
1.3. Các cấu hình tổ hợp đơn giản ................................................................................ 25
Bài tập Chương 1 ......................................................................................................... 27
Chƣơng 2. Bài toán đếm ............................................................................................. 29
2.1. Giới thiệu bài toán ................................................................................................. 29
2.2. Nguyên lý bù trừ ................................................................................................... 30
2.3. Quy về các bài toán đơn giản ................................................................................ 32

2


Bài tập Chương 2 ......................................................................................................... 34
Chƣơng 3. Bài toán tồn tại .......................................................................................... 35
3.1. Giới thiệu bài toán ................................................................................................. 35
3.2. Phương pháp phản chứng ...................................................................................... 37
3.3. Nguyên lý Dirichlet ............................................................................................... 37
3.4. Hệ đại diện phân biệt............................................................................................. 38
Bài tập Chương 3 ......................................................................................................... 40
Chƣơng 4. Bài toán liệt kê .......................................................................................... 42
4.1. Giới thiệu bài toán ................................................................................................. 42
4.2. Độ phức tạp tính toán của thuật toán .................................................................... 42

4.3. Phương pháp sinh .................................................................................................. 47
4.4. Phương pháp quay lui ........................................................................................... 48
Bài tập Chương 4 ......................................................................................................... 50
Phần III. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ .............................................................................. 52
Chƣơng 1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị ................................................ 53
1.1. Định nghĩa đồ thị ................................................................................................... 53
1.2. Các thuật ngữ cơ bản ............................................................................................. 55
1.3. Đường đi, chu trình và đồ thị liên thông ............................................................... 56
1.4. Một số dạng đồ thị đặc biệt ................................................................................... 60
Bài tập Chương 1 ......................................................................................................... 64
Chƣơng 2. Biểu diễn đồ thị trên máy tính ................................................................... 68
2.1. Ma trận kề. Ma trận trọng số ................................................................................. 68
2.2. Ma trận liên thuộc đỉnh - cạnh .............................................................................. 70
2.3. Danh sách cạnh ..................................................................................................... 72
2.4. Danh sách kề ......................................................................................................... 73
Bài tập Chương 2 ......................................................................................................... 73
Chƣơng 3. Các thuật toán tìm kiếm trên đồ thị ........................................................... 76
3.1. Tìm kiếm theo chiều sâu trên đồ thị ...................................................................... 76
3.2. Tìm kiếm theo chiều rộng trên đồ thị .................................................................... 77
3.3. Tìm đường đi và kiểm tra tính liên thông ............................................................. 79
Bài tập Chương 3 ......................................................................................................... 85
Chƣơng 4. Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton ................................................................ 86
4.1. Đồ thị Euler ........................................................................................................... 86
4.2. Đồ thị Hamilton..................................................................................................... 91
Bài tập Chương 4 ......................................................................................................... 95
Chƣơng 5. Cây và cây khung của đồ thị ................................................................... 100
5.1. Cây và các tính chất của cây ............................................................................... 100

3

5.2. Cây khung của đồ thị........................................................................................... 104
5.3. Xây dựng tập các chu trình của đồ thị................................................................. 104
5.4. Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất ........................................................................ 106
Bài tập Chương 5 ....................................................................................................... 114
Chƣơng 6. Bài toán tìm đường đi ngắn nhất ............................................................. 118
6.1. Các khái niệm cơ bản .......................................................................................... 118
6.2. Đường đi ngắn nhất xuất phát từ một đỉnh ......................................................... 118
6.3. Thuật toán Dijkstra .............................................................................................. 119
Bài tập Chương 6 ....................................................................................................... 123
Phần IV. ĐẠI SỐ LOGIC ...................................................................................... 125
4.1. Đại số mệnh đề .................................................................................................... 125
4.2. Hàm Boole và biểu thức Boole ........................................................................... 128
4.3. Đại số Boole ........................................................................................................ 133
Bài tập phần IV .......................................................................................................... 144
Tài liệu tham khảo ................................................................................................... 147

4