Bai toan cuc tri va phuong phap giai.doc

Đặt vấn đề
Là giáo viên dạy toán trong các trờng THCS tôi nhận thấy phần đông các em
học yếu môn toán vì các lý do sau :
1/ Không hiểu kiến thức và không nắm vững kiến thức .
2/ Lý do quan trọng hơn là : Các em cha biết cách làm toán mà ta gọi là ph-
ơng pháp, nhất là các phơng pháp đặc trng cho từng dạng, cho từng loại toán.Muốn
chứng minh cho một đẳng thức, một bất đẳng thức thì phải làm sao ? Tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của một biểu thức hàm số thì phải làm thế nào? ... Các em không
nắm chắc.
Vì vậy làm thế nào để giúp HS hiểu rõ bản chất của các loại toán, vân dụng
kiến thức vào để giải hay cụ thể hơn là phơng pháp giải các loại toán thế nào. Giải
quyết đợc vấn đề đó không phải dễ khi mà phân phối chơng trình môn toán THCS
không dành một tiết nào cho giáo viên dạy một cách hệ thống các phơng pháp giải
các bài toán một cách cụ thể mà chúng chỉ xuất hiện đơn lẻ.
Trong chơng trình toán THCS các bài toán tìm GTLN, GTNN chiếm một vị
trí quan trọng. Các bài toán này rất phong phú, nó đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức,
vân dụng một cách hợp lý, khá độc đáo và nhiều cách giải. Vì vậy các bài toán tìm
GTLN, GTNN gọi chung là Những bài toán cức trị theo tôi là dạng toán rất hay,
nó giúp HS phát triển trí thông minh, sáng tạo, khả năng t duy toán học cao.
Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc các tài liệu, nghiên cứu thực tế
giảng dạy của giáo viên, cách học tập của HS, qua những năm dạy toán ở trờng
THCS, kết hợp với vốn kiến thức sau những năm đợc đào tạo tại trờng S phạm tôi đã
rút ra đợc một số bài học kinh nghiệm và mạnh dạn lấy đề tài nghiên cứu Bài toán
cực trị và phơng pháp giải.
Nội dung đề tài
1
I/ Yêu cầu :
1/ Với giáo viên :
- Xây dựng cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị và phơng pháp giải cho từng
dạng toán.
- Phân loại các bài tập và hệ thống từ dễ đến khó.

- Rèn luyện nâng cao khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo
kiến thức trong khi nghiên cứu.
- Trong quá trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra những vớng mắc, sai sót mà HS hay
mắc phải khi giải các bài tập.
2/ Đối với HS :
- Hiểu đợc bản chất các loại toán.
- Nhận dạng từng loại bài tập, vận dụng phơng pháp hợp lý của từng dạng vào giải
toán.
- Phát huy khả năng t duy sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bài
khó và có cách giải hay hơn.
II/ Nội dung cơ bản :
* Khái niệm về toán cực trị .
Trong thực tế có những bài toán yêu cầu ta đi tìm cái nhất trong những mối
quan hệ đã biết. Đó là việc tìm GTLN (cực đại) hay GTNN (cực tiểu) của một đại l-
ợng và gọi chung là những bài toán cực trị.
1/ Cực trị đại số.
2/ Cực trị hình học.
Phần I : Cực trị đại số.
* Một số kiến thức cơ sở :
Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một miền xác định nào đó mà giá trị của
biểu thức A luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại
giá trị của biến để A = k thì k đợc gọi là GTLN (GTNN) của biểu thức A ứng với
các giá trị của biến thuộc miền xác định nói trên.
Nh vậy để tìm GTLN của biểu thức A ta cần :
- Chứng minh rằng A k giá trị của biến và với k là hằng số.
- Chỉ ra dấu = có thể xảy ra giá trị nào đó của biến.
Ta ký hiệu Min A là GTNN của A, Max A là GTLN của A.
* Chú ý : 1/ Nếu chỉ chứng minh đợc A

k hoặc A

k thì cha đủ để kết luận về
GTNN hoặc GTLN của biểu thức .
Ví dụ :
Tìm GTNN của biểu thức : A = (x 1)
2
+ (x 3)
2

2
Giải :
Ta có : (x 1)
2
0 x (1)
(x 3)
2
0 x (2) A 0 x nhng không thể kết luận đợc
Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời (1) và (2).
Ta có : A = x
2
2x + 1 + x
2
6x + 9 = 2(x
2
4x + 5) = 2(x - 2)
2
+ 2 2 x
Vậy Min A = 2 đạt đợc x 2 = 0 x = 2.
2/ Một biểu thức có thể có GTLN, GTNN hoặc chỉ có một trong hai giá trị
trên :

Ví dụ :
Xét biểu thức A = x
2
ta thấy x
2
luôn 0 x và x
2
= 0 x = 0
Vậy A có GTNN khi x = 0 , A không có GTLN.
Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức là một vấn đề không đơn giản. Nhất là
đối với học sinh THCS khi mà các em cha tiếp cận một cách đầy đủ các kiến thức
cơ bản để giải loại toán này. Trong khuôn khổ đề tài nhỏ tôi chỉ đề cập đến một số
loại toán cực trị thờng gặp ở chơng trình THCS.
Phân dạng bài tập và ví dụ minh hoạ
A/ với các đa thức nguyên :
I/ Phơng pháp tìm cự trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc hai
1/ Lý thuyết áp dụng, các ví dụ :
A
2
0 x (x là biến của biểu thức A)
A
2k
0 x
Ví dụ 1:
Tìm Min của biểu thức A = 2(x 3)
2
3
Giải :
Ta thấy (x 3)
2

0 x 2(x 3)
2
0 x
2(x 3)
2
3 - 3 x
Min A = - 3 (x 3) = 0 x = 3
Vậy Min A = - 3 x = 3
Ví dụ 2 :
Tìm GTNN của biểu thức B = (x 1)
2
+ (x 5)
2
Giải :
Ta có B = (x
2
2x + 1)

+ (x
2
10x + 25)
= 2x
2
12x + 26
= 2(x
2
6x + 9) + 8
= 2(x 3)
2
+ 8

Ta thấy 2(x 3)
2
0 x 2(x 3)
2
+ 8 8
Min B = 8 đạt đợc x 3 = 0 x = 3
3
Vậy Min B = 8 x = 3
Chú ý :
Khi giải bài toán này HS có thể mắc sai lầm sau :
Ta có (x 1)
2
0 x
(x 5)
2
0 x
Min B = 0. ở đây kết luận MinB = 0 là sai vì không xảy ra đồng thời hai bất
đẳng thức trên.
Ví dụ 3 :
Tìm GTLN của biểu thức C = - x
2
+ 6x 15
Giải :
C = - x
2
+ 6x 15 = - (x
2
- 6x + 9 + 5)
= - (x - 3)
2

6
Ta có (x - 3)
2
0 x - (x - 3)
2
0 x
- (x - 3)
2
6 - 6 x
Max C = - 6 đạt đợc x 3 = 0 x = 3
Vậy Max C = - 6 x= 3
Ví dụ 4 :
Tìm GTNN của D =
Giải :
TXĐ : Đ = { x R/ x 2004}


Chú ý :
Khi tìm GTLN, GTNN của biểu thức có chứa căn thức ta phải chú ý tới miền
xác định của biểu thức.
4
2004xx

Đ
4
8017
x
4
8015
D MinVậy

Đ
4
8017
x2004 -x
==
==
2
1
0
2
1
4
8015
2
==






2004 -x khi D Min
( )

Đ x2004 -x : cóTa
2004 -x
2004x2004-x
2004 2004x - 2004) - x2004xx D

+=

++=
+==












0
2
1
4
8015
2
1
4
8015
4
1
(
2
2
2
Đ x2004 -x

+






4
8015
4
8015
2
1
2
VÝ dô 5:
T×m GTNN cña biÓu thøc E = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
Gi¶i :
E = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = (x
2
+ 5x + 4)( x
2
+ 5x + 6)
= (x
2
+ 5x + 4)
2
+ 2( x
2
+ 5x + 6) + 1 – 1
= (x

2
+ 5x + 4 + 1)
2
– 1
= (x
2
+ 5x + 5)
2
– 1
Ta cã (x
2
+ 5x + 5)
2
≥ 0 ∀x ⇒ (x
2
+ 5x + 5)
2
– 1 ≥ - 1 ∀x
⇒ Min E = - 1 ⇔ x
2
+ 5x + 5 = 0
⇒
VËy Min E = - 1 ⇔
VÝ dô 6 :
T×m GTNN cña biÓu thøc F(x,y) = x
2
+ 2y
2
– 2xy – 4y + 5
Gi¶i :

F(x,y) = x
2
+ 2y
2
– 2xy – 4y + 5 = x
2
– 2xy + y
2
+ y
2
– 4y + 4 + 1
= (x – y)
2
+ (x – 2)
2
+ 1
Ta cã (x – y)
2
≥ 0 ∀x,y
(x – 2)
2
≥ 0 ∀x,y
⇒ (x – y)
2
+ (x – 2)
2
+ 1≥ 1 ∀x,y
⇒ Min F = 1 ⇔ x – y = 0
y – 2 = 0 hay x = y = 2
VÝ dô 7 :

T×m GTNN cña biÓu thøc
G = x
2
+ 2y
2
– 3z
2
– 2xy + 2xz – 2x – 2y – 8z +2010
Gi¶i :
Ta cã : G = x
2
+ 2y
2
– 3z
2
– 2xy + 2xz – 2x – 2y – 8z +2010
= (x- y + z – 1)
2
+ (y + z – 2)
2
+ (z – 1)
2
+2004
V× : (x- y + z – 1)
2
≥ 0 ∀ x,y,z
(y + z – 2)
2
≥ 0 ∀ y,z
(z – 1)

2
≥ 0 ∀ z
⇒ (x- y + z – 1)
2
+ (y + z – 2)
2
+ (z – 1)
2
+2004 ≥ 2004 ∀x,y,z
x- y + z – 1 = 0
⇒ Min G = 2004 ⇔ y + z – 2 = 0 ⇔ x = y = z = 1
z – 1 = 0
VËy Min G = 2004 ⇔ x = y = z = 1.
5
2
5 - 5 -
x hoÆc
2
5 5 -
x
=
+
=
2
5 - 5 -
x hoÆc
2
5 5 -
x
=

+
=
2/ Các bài tập áp dụng :
Bài 1 :
Tìm GTNN của các biểu thức :
A = 2x
2
+ 3x + 1
B = (x - 1)(x - 2)(x - 3)
C = x
4
+ 2x
3
+ 3
D =
Bài 2 :
Tìm GTLN của các biểu thức :
E = - 5x
2
- 4x + 1
F = - (2x 1)
2
1
Bài 3 :
Tìm GTNN của biểu thức :
H = x
2
+ 2y
2
- 2xy + 2x

I = x
2
+ 6y
2
+ 14z
2
8yz + 6xz 4xy
Ghi nhớ :
Qua các ví dụ và các bài tập trên ta thấy nhng biểu thức có dạng tam thức bậc
hai ax
2
+ bx + c hoặc có thể đa về dạng tam thức bậc 2, hoặc đa về dạng bình ph-
ơng đều có thể giải theo phơng pháp sử dụng tính chất của luỹ thừa bậc hai.
II. Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất trị tuyệt đối :
1/ Lý thuyết áp dụng, các ví dụ :
A + B A + B
A - B A - B
Đẳng thức xảy ra A.B = 0
Ví dụ 1 :
Tìm GTNN của biểu thức : A = x - 1+x - 3
Giải :
Ta có A = x - 1+x - 3=x - 1+3 - x
x 1 + 3 - x= 2
A 2 x
Vậy Min A = 2 (x 1)(3 x) 0 1 x 3
Ví dụ 2 :
Tìm GTNN của biểu thức
Giải :
Ta có :

Min B = 2 x(2 x) 0 0 x 2
6
1993xx

4
4 4xxx B
22
++=
2x2xx2 x) - (2
4 4xxx B
22
x
22
=++=+=
++=
x
Ví dụ 3 :
Tìm GTNN của biểu thức
Giải :
Tập xác định : D = { x R/ x - 1}

Ta có :

Vậy Min C = 2
Ví dụ 4 :
Tìm GTLN của biểu thức
Giải :
Tập xác định : Đ = { a R/ a 1}
Ta có :

Vậy Max D = 2 a 16
2/ Các bài tập áp dụng :
Tìm GTNN của các biểu thức :

III. Phơng pháp tìm cực trị dựa theo bất đẳng thức Cauchy :
7
)1(2) 1 x x1 x 2(1 x C
+++++++=
)1(2) 1 x x1 x 2(1 x
C
+++++++=
1211
22
++++++++=
++++++=
1 xx1 x2 1 x
1 xx1 x2 2 x

0
x11 x1 x
+++
0)1)(1(
1 a 815a1 a 4 - 3 a D
++=
1 a 815a1 a 4 - 3 a D
++=
24242
)4)2
164

22
=+=
=
++=
1 a 1 a 1 a 1 a D
1 a (1 a ( D
1 a 8 1 -a1 a 4 - 1 -a D
22
x 16x - 64x E
++=
232
1997 3994x - xxx F
+++=
2
19963992
)1)1
++++++=
3333
x 2(1 xx 2(1x G
4
1
44
+++=
xxxx
22
H
21111
)1()1(
22
=++++++++=

++++=
1 x1 x1 x1 x
1 x1 x
0x1hay1 x1 x
+++
0)1)(1(
( )( )
042


1 -a1 -a
1a
1/ Lý thuyết áp dụng, các ví dụ :
Bất đẳng thức Cauchy :
Cho n các số không âm a
1
, a
2
, ......, a
n
. Ta luôn có :
Đẳng thức xảy ra khi a
1
= a
2
= ......= a
n
Chú ý :
Từ đó ta suy ra hai mệnh đề cho ta GTLN và GTNN của tổng sau đây :
a/ Nếu a

1
+ a
2
+ ......+ a
n
là hằng số (a
1
.a
2
...... a
n
)Max
a
1
= a
2
= ......= a
n
b/ Nếu a
1
.a
2
...... a
n
là hằng số (a
1
+ a
2
+ ......+ a
n

)Min
a
1
= a
2
= ......= a
n
Ví dụ 1 :
Tìm GTNN của biểu thức :
Giải :
A 4
Vậy Min A = 4
Ví dụ 2 :
Cho x, y là các số thay đổi sao cho 0 x 3, 0 y 4. Tìm GTNN của biểu
thức : B = (3 - x)(4 - y)(2x + 3y)
Giải :
Ta có : B = (3 - x)(4 - y)(2x + 3y)
Với 0 x 3, 0 y 4
thì 6 2x 0 ; 12 3y 0 ; 2x + 3y 0. áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba
số không âm ta có :
(6 - 2x)(12 - 3y)(2x + 3y)
Vậy Max B = 36 6 - 2x = 12 - 3y = 2x + 3y
x = 0 ; y = 2
8
n
n21
n21
a........aa
n
a.......aa

+++
0x với
x
x
A

+
+
=
3
16
( )
3
3
26
3
25
36
3
25
3
3
25
3
9
3
259
3
16

+
+
+
+
+
+++=
+
+
+=
+
+
+
+

=
+
+
=
+
+
=






x
x25
x

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

x
x
A
4x
33
25
3x
=
+
=+
3y)y)(2xx).3(4.2(3
6
1
+=
36B.6
6
1
B

3
3y)3y)(2x2x)(12(6
3

=
+






3
6
3y)3y)(2x2x)(12(6
6
1
+=
Ví dụ 3 :
Cho a, b là hai số dơng, các số dơng x, y thay đổi sao cho
Tìm GTNN của biểu thức : C = x + y.
Giải :
Ta có : C = (x + y) = (x + y)
áp dụng BĐT Cauchy với hai số ta có :
Vậy ta có :
Ví dụ 4 :
Cho a, b là hai số dơng, thoả mãn 5a + 3b = 12.
Tìm GTNN của biểu thức : D = a.b
Giải :
Vì a, b là hai số dơng 5a, 3b cũng là hai số dơng. áp dụng BĐT Cauchy ta có :

12 = 5a + 3b
Ví dụ 5 :
Cho a, b là hai số dơng, thoả mãn ab = 216.
Tìm GTNN của biểu thức : E = 6a + 4b
Giải :
Vì a, b là hai số dơng 6a, 4b cũng là hai số dơng. áp dụng BĐT Cauchy ta có :
6a + 4b
Vậy Min E = 144 đạt đợc 6a = 4b a = 12, b = 18
Ghi nhớ : Qua các ví dụ áp dụng BĐT Cauchy ta thấy bất đẳng thức
Cauchy chỉ áp dụng đợc với hai số dơng. Ngoài điều kiện đó ta không thể áp dụng
đợc.
+ Nếu biết đợc tổng của các số dơng là hằng số thì ta tìm đợc giá trị lớn nhất
của các số đó.
+ Nếu biết đợc tích của các số dơng là hằng số thì ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất
của các số đó.
2/ Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Tìm GTLN của biểu thức sau :
F =
Bài 2 : Tìm GTNN của biểu thức sau :
9
1
=+
y
b
x
a
1
=+
y
b

x
a






+
y
b
x
a






+
y
bx
x
ay
y
bx
x
ay
,
ab

y
bx
x
ay
2
+
b
a
y
x
y
bx
x
ay
ab2ba
ab2ba
MinC
0yx,C
==++
++
=
>
5
6
b2,a65b3a
5
12
DMax:Vậy
5
12

D15D3615ab65a.3b2
=====

144E4.6.2162E6a.4b2

2
x1x
+
0x với
x
44xx
G
2
>
++
=
Bài 3 :
Cho hai số dơng x, y thoả mãn x + y = xy. Tìm GTNN của biểu thức K = x + y
Bài 4 :
Cho hai số x, y, z thoả mãn xy + yz + xz = 100.Tìm GTNN của biểu thức I = xyz.
IV. Phơng pháp tìm cực trị theo BĐT Bunhiacopxki :
1/ Lý thuyết áp dụng và các ví dụ:
BĐT Bunhiacopxki : Cho n cặp số bất kỳ a
1
, a
2
, ......, a
n
, b
1

, b
2
, ......, b
n
ta có BĐT
(a
1
b
1
+ a
2
b
1
+ ......+ a
n
b
n
)
2
(a
2
1
+ a
2

2
+ ......+ a
2

n

)( b
2

1
+ b
2

2
+ ......+ b
2

n
)
Dấu = xảy ra
Ví dụ 1 :
Cho x, y thoả mãn x
2
+ 4y
2
= 25. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : M = x + 2y.
Giải :
áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
(x + 2y)
2
(x
2
+ 4y
2
)(1
2

+ 1
2
) = 50 |x + 2y|
Hay - M

Vậy Max M = 5 Min M = - 5
Ví dụ 2 :
Cho x, y là hai số thực thoả mãn x
2
+ y
2
=1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức :
N =
Giải :
áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
N
2
=
Ta có (x
2
+ y
2
) 2(x
2
+ y
2
) = 2
Ví dụ 3 :
Cho x, y, z là ba số thực thoả mãn xy + yz + xz = 4. Tìm GTLN, GTNN của biểu
thức : P = x

4
+ y
4
+ z
4
Giải :
áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
(xy + yz + xz)
2
(x
2
+ y
2
+ z
2
) (x
2
+ y
2
+ z
2
) (1)
10

b
a

b
a

b
a
n
n
2
2
1
1
===
........
50
50
50
2
4
25
2
25
=
=
y
x
2
4
25
2
25
=
=
y

x
1xy1yx
+++
( )
( )
( )
( )
2yxN
2yxyx1xy1yx
22
2
++
++++++
22;22
2222
22
+=+=
+++
+++
NMin N MaxVậy
N22N
222yx
2
16 (x
2
+ y
2
+ z
2
)

2

Mặt khác áp dụng hai lần BĐT Bunhiacopxki ta có :
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
(1
2
+ 1
2
+ 1
2
)( x
4
+ y
4
+ z
4
) (2)
Từ (1) và (2) ta có 3( x
4
+ y
4
+ z
4

) 16

Ví dụ 4 :
Cho hai số dơng a, b ; Hai số dơng x, y thay đổi sao cho
Tìm x, y để x + y đạt GTLN.
Giải :
áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
x + y =
Đẳng thức sảy ra khi :
Vậy Min (x + y) =
Ví dụ 5 :
Cho x, y, z, t 0 thoả mãn :
Tìm GTLN của biểu thức : S = x + y + z + t
Giải :
áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
(x + y + z + t)
2
(1
2
+ 1
2
+ 1
2
+ 1
2
)( x
2
+ y
2
+ z

2
+ t
2
)
Từ giả thiết ta suy ra :
Kết hợp (1) và (2) ta có :
S
2
S 2 0 - 1 S 2
11
3
32
3
16
3
16
z y x
444
====
++
z y x khi P MinVậy
( ) ( )
babybaax
ba
ba
yx
b
y
a
x

+=+=
+=
+
+
==
;
( )
2
2
2
2
..
bayx
y
b
y
x
a
x
y
b
x
a
yx
y
b
x
a
yx
2222

++

+








++=++
( )
( ) ( )
babybaax
ba
+=+=
+
;

2
4
1
4
1
tt
4
1
yy
4
1
xx
++

( )
1 t z y x t) z y (x
22222

++++++

4
1
( )
2 t) z y (x t z y x
2222

2
1
4
1
++++++

2
1
4
1
4
1
++++++
t) z y (x - t).2 z y (x

2
1

1
x
a
=+
y
b