SKKN Một số phương pháp giải toán trong BDHSG Tin học

Sở GD&ĐT QUảNG BìNH
TRờng thpt số 1 bố trạch

TI:

MT S PHNG PHP GII TON TRONG
BI DNG HC SINH GII TRNG PT

Gv:

Nguyễn Hữu Đức
Tổ: Tin Học

Năm học 2012-2013


Mục lục
I.

Lý do chọn đề tài

Tr 3

II.

Phần nội dung đề tài

Tr 4

1. Cơ sở lý luận của đề tài

Tr 4

2. Thực trạng của vấn đề

Tr 4

3. Các biện pháp giải quyết vấn đề

Tr 4

a. Giới thiệu phương pháp đánh dấu

Tr 4

b. Giới thiệu phương pháp sinh

Tr 6

c. Xây dựng công thức truy hồi

Tr 9

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Tr 10

III.

Tr 11

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Tr 12

2


Tên đề tài :
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRONG
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Ở TRƯỜNG PT
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ rất cần thiết và quan trọng đối với
mỗi giáo viên, việc tìm tòi, sưu tầm, biên tập và tích lũy các dạng toán, các
phương pháp giải là công việc thường nhật của mỗi giáo viên nhằm nâng cao
trình độ chuyên môn nghiệp vụ, tích lũy kinh nghiệm cho bản thân.
Trong quá trình giảng dạy môn Tin học 11, các vấn đề đã được đề cập theo
kiến thức kỹ năng của chương trình Tin học phổ thông và áp dụng vào giải một
số bài tập thực tế có hiệu quả, tuy nhiên các vấn đề đó mới được giới thiệu ở
mức độ cơ bản, giải các bào toán đơn giản với dữ liệu vào nhỏ, chưa nghiên cứu
ở mức độ sâu rộng hơn, việc giải các bài toán trong các đề thi học sinh giỏi gặp
rất nhiều khó khăn, chính vì vậy, để phục vụ cho quá trình giảng dạy và đặc biệt
là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THPT, tôi đã tổng hợp được một số
phương pháp giải toán cơ bản nhằm phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh
giỏi bộ môn Tin học ở trường PT.
Mục đích là giới thiệu một số phương pháp cùng thuật toán giải các bài toán
tiêu biểu cho phương pháp đó. Dưới đây là một số phương pháp:
- Tìm hiểu thuật toán phương pháp đánh dấu.
- Tìm hiểu thuật toán phương pháp sinh.

- Xây dựng công thức truy hồi.
- Giới thiệu một số thuật toán và cài đặt chương trình thể hiện các thuật toán
đó.

3


II. PHẦN NỘI DUNG
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
Việc bồi dưỡng học sinh giỏi là việc làm thường nhật hằng năm của giáo
viên, nếu chỉ sử dụng những kiến thức được trang bị theo yêu cầu của chương
trình phổ thông sẽ gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí có nhiều bài toán không giải
được theo yêu cầu với dữ liệu vào lớn và thời gian thực hiện ngắn. Mặt khác
việc phân loại các phương pháp giải toán trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
hiện nay chưa nhiều.
Dựa vào cấu trúc đề ra môn Tin học qua các kì thi học sinh giỏi Tỉnh
Dựa vào các kiến thức cơ bản mà học sinh đã được học trong chương trình
Tin học phổ thông
2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
- Những kiến thức trong chương trình Tin học phổ thông còn hạn chế hoặc
không đủ đáp ứng cho việc giải một số bài toán trong các kì thi học sinh giỏi
Tỉnh khi có yêu cầu dữ liệu lớn cùng thời gian thực hiện ngắn.
- Việc tổng hợp các phương pháp giải nhằm giúp học sinh có thể so sánh các
cách giải, các kết quả còn ít.
3. CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Từ thực trạng trên, tôi xin tổng hợp một số phương pháp để giải một số dạng
toán cơ bản trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tỉnh như sau:
a. Giới thiệu phương pháp đánh dấu
Kỹ thuật đánh dấu phần tử thường được sử dụng khi giải các bài toán cần đến
chọn những phần tử theo yêu cầu nào đó. Để chọn phần tử ta thực hiện đánh dấu

phần tử đó bằng cách: sử dụng một mảng M, đánh dấu M[i]:=true để chọn phần
tử i, M[i] := false để không chọn phần tử i.
Bài toán ví dụ:
Viết chương trình in ra tệp NT.OUT tất cả các số nguyên tố <=60000. (Yêu
cầu chương trình chạy không quá 2 giây)
Với bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thông thường để giải:
Var i,d: word;
F: text;
function nguyento(n: word): boolean;
var j: byte;kt:boolean;
begin
if n<=1 then nguyento:=false else
4


begin
j:=2; kt:=true;
while (j<=sqrt(n)) and (kt=true) do
if n mod j =0 then kt:=false else j:=j+1;
if kt=true then nguyento:=true else nguyento:=false;
end;
end;
Begin
Assign(f, ‘NT.OUT’);
Rewrite(f);
for i:=2 to 60000 do
if nguyento(i)=true then
write(f,i,' '); close(f);
readln
end.

Tuy nhiên khi viết chương trình như ở trên, sẽ không đảm bảo yêu cầu về
mặt thời gian. Ta có thể sử dụng phương pháp đánh dấu để giải bài toán trên như
sau. Ta thấy với bất kỳ số nguyên N (N>1) thì bội của N (khác N) đều không
phải nguyên tố. Giả sử N là nguyên tố, khi đó ta đánh dấu tất cả các số là bội của
N đều bằng false. Như vậy ta không cần kiểm tra đối với các số đã được đánh
dấu đó nữa. Để đánh dấu ta sử dụng một mảng gồm 60000 phần tử kiểu
Boolean. Thuật toán được mô tả như sau:
B1: Khởi tạo mảng A[]=true;
B2: Lặp: với mỗi n ⒂[2..60000] ta thực hiện:
Nếu A[n]=true thì
Đánh dấu tất cả các bội của n thành false (i:=2 ⅴ60000 div i:
A[n*i]:=false)
B3: Duyệt mảng A, nếu A[i]=true thì in i
Chương trình:
uses crt;
type mm= array[1..60000] of boolean;
var a: mm;
n,i,j,d: word;
5


begin
clrscr;
for i:=1 to 60000 do a[i]:=true;a[1]:=false;
for i:=2 to 60000 do
if a[i]=true then
for j:=2 to 60000 div i do a[i*j]:=false;
for i:=2 to 60000 do
if a[i]=true then
write(i,' ');

readln
end.
Với cách giải này, thời gian máy thực hiện không quá 2 giấy.
b. Giới thiệu về phương pháp sinh
Phương pháp sinh có thể áp dụng để giải bài toán liệt kê tổ hợp đặt ra nếu
như hai điều kiện sau thoả mãn:
- Có thể xác định được một thứ tự trên tập các cấu hình tổ hợp cần liệt kê.
Từ đó có thể xác định được cấu hình đầu tiên và cấu hình cuối cùng trong thứ tự
đã xác định
- Xây dựng được thuật toán từ cấu hình chưa phải cấu hình cuối, sinh ra
được cấu hình kế tiếp nó.
Phương pháp sinh có thể mô tả như sau:
<Xây dựng cấu hình đầu tiên>;
Repeat
<Đưa ra cấu hình đang có>;
<Từ cấu hình đang có sinh ra cấu hình kế tiếp nếu còn>;
Until <hết cấu hình>;
* Bài toán ví dụ: LIỆT KÊ CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N
Một dãy nhị phân độ dài n là một dãy x = x 1x2...xn trong đó xi ∈ {0, 1} ( ∀ i : 1
≤ i ≤ n).
Dễ thấy: một dãy nhị phân x độ dài n là biểu diễn nhị phân của một giá trị
nguyên p(x) nào đó nằm trong đoạn [0, 2n - 1]. Số các dãy nhị phân độ dài n = số
các số nguyên ∈ [0, 2n- 1] = 2n. Ta sẽ lập chương trình liệt kê các dãy nhị phân
theo thứ tự từ điển có nghĩa là sẽ liệt kê lần lượt các dãy nhị phân biểu diễn các
số nguyên theo thứ tự 0, 1,..., 2n-1.
6


Ví dụ: Khi n = 3, các dãy nhị phân độ dài 3 được liệt kê như sau:
p(x)

0

X 000 001

1

2

3

4

5

6

010

011

100

101

110

111

7

Như vậy dãy đầu tiên sẽ là 00...0 và dãy cuối cùng sẽ là 11...1. Nhận xét rằng
nếu dãy x = (x1, x2, ..., xn) là dãy đang có và không phải dãy cuối cùng thì dãy
kế tiếp sẽ nhận được bằng cách cộng thêm 1 ( theo cơ số 2 có nhớ) vào dãy hiện
tại.
Ví dụ khi n = 8:
Dãy đang có:

10010000

cộng thêm 1:

+1

Dãy mới:

10010001

Dãy đang có:

10010111

cộng thêm 1:
Dãy mới:

+1
10011000

Như vậy kỹ thuật sinh cấu hình kế tiếp từ cấu hình hiện tại có thể mô tả như
sau: Xét từ cuối dãy về đầu (xét từ hàng đơn vị lên), gặp số 0 đầu tiên thì thay

nó bằng số 1 và đặt tất cả các phần tử phía sau vị trí đó bằng 0.
i := n;
While (i > 0) and (xi = 1) do i := i - 1;
If i > 0 then
Begin
xi := 1;
For j := i + 1 to n do xj := 0;
End;
Cụ thể:
Dữ liệu vào (Input): nhập từ file văn bản NHIPHAN.INP chứa số nguyên
dương n ≤ 100
Kết quả ra (Output): ghi ra file văn bản NHIPHAN.OUT các dãy nhị phân
độ dài n.
NHIPHAN.INP

NHIPHAN.OUT

3

000
001
7


010
011
100
101
110
111

Chương trình thể hiện thuật toán sinh dãy nhị phân
Program nhiphan;
Const max = 100;
fi = ‘Nhiphan.inp’;
fo = ‘Nhiphan.out’;
type mm= Array[1..max] of Integer;
Var A: mm;
n, i,j: Integer;
f1,f2:text;
Begin
Assign(f1, fi); Reset(f1);
Assign(f2, fo); Rewrite(f2);
Readln(f1,n);
FillChar(A, SizeOf(A), 0);
If n=0 then Write(f2,0)
Else
Repeat
for i := 1 to n do Write(f2,A[i]);
Writeln(f2);
i := n;
While (i > 0) and (x[i] = 1) do Dec(i);
if i > 0 then
Begin
A[i] := 1;
for j:=i+1 to n do A[i]:=0;
End;
8


until i = 0;

Close(f1); Close(f2);
End.

c. Xây dựng công thức truy hồi.
Đây là bước rất quan trọng trong việc giải các bài toán bằng phương pháp
quy hoạch động.
Cơ sở xây dựng công thức truy hồi: Xét xem bài toán có thể tìm được nghiệm
từ các bài toán nhỏ hơn hay không, việc xây dựng công thức tổng quát để tìm
nghiệm của bài toán từ các bài toán con gọi là công thức truy hồi.
Bài toán ví dụ: Cho số tự nhiên n (n<=100). Hãy cho biết có bao nhiêu cách
phân tich số n thành tổng của dãy các số nguyên dương. (Các cách phân tích là
hoán vị của nhau chỉ tính một cách. Nếu n=0 cũng có 1 số cách phân tích)
(Ví dụ: n=5 có 7 cách:

5=1+1+1+1+1 )
5=1+1+1+2
5=1+1+3
5=1+2+2
5=1+4
5=2+3
5=5

• Phương pháp:
Nếu gọi F[m,v] là số cách phân tích số v thành tổng các số nguyên dương
<=m. Khi đó số cách phân tích có 2 loại:
- Loại 1: Không chứa số m trong phép phân tích, lúc này số cách phân tích
loại này chính là số cách phân tích số v thành tổng các số - Loại 2: Chứa ít nhất một số m: Khi đó nếu ta bỏ đi một số m thì ta có số
cách phân tích số v-m thành tổng các số <=m, tức là số cách phân tích là: F[m,vm]
Như vậy, trường hợp m>v thì chỉ có loại 1, còn nếu m<=v thì phải cả loại 1

và loại 2, nên ta có công thức:
+ Nếu m>v thì F[m,v]=F[m-1,v]
+ Nếu m<=v thì F[m,v]=F[m-1,v] + F[m,v-m]
Đây chính là công thức truy hồi tính F[m,v] thông qua F[m’,v’] với dữ liệu
bé hơn. Vậy với bài toán trên, ta sẽ lấy kết quả là: F[n,n] chính là số cách phân
tích số n thành tổng các số <=n.
9


Theo bài ra ta có F[0,0]=1; F[0,v]=0 vì không có cách nào để phân tích số v
nguyên dương thành tổng các số <=0. Như vậy ta cần sử dụng một mảng 2 chiều
và khởi tạo giá trị ban đầu như trên, sau đó dùng công thức truy hồi để tính
F[n,n] chính là số cách phân tích cần tìm.
Chương trình:
type mm=array[0..100,0..100] of byte;
var f: mm;
n,m,v,k: byte;
Begin
write('n= ');readln(n);
fillchar(f[0],sizeof(f[0]),0);
f[0,0]:=1;
for k:=1 to n do
for v:=0 to n do
if k>v then f[k,v]:=f[k-1,v]
else f[k,v]:=f[k-1,v]+f[k,v-k];
writeln('so cach phan tich la: ',f[n,n]);
readln
end.

4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Qua các năm giảng dạy và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Tỉnh, tôi đã áp
dụng các phương pháp trên để thực hiện giảng dạy và đạt được kết quả bước
đầu. Trong khi giảng dạy, học sinh có được phương pháp mới để làm bài nên các
em rất có hứng thú trong học tập, từ đó mà các em đam mê Tin học hơn.
Kết quả bồi dưỡng học sinh giỏi từ những năm gần đây đều đạt giải, cụ thể:
năm học 2009-2010 một giải 3, năm 2010-2011 một giải ba, năm 2011-2012: hai
giải ba, ba giải KK, năm 2012-2013: một giải ba, một giải KK.

10


III. KẾT LUẬN:
Từ thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy: Với mỗi dạng
toán cần có phương pháp giải phù hợp, với mỗi bài toán cần tìm giải thuật tối ưu
cùng với việc xây dựng cấu trúc dữ liệu lưu trữ hợp lý. Đồng thời phải phù hợp
với sự phát triển tâm sinh lý và trí tuệ của học sinh. Qua các năm giảng dạy,
cùng với sự tìm tòi các tài liệu, các bài viết trên mạng Internet cùng với cấu trúc
đề ra và kiến thức cơ bản qua các kì thi chọn học sinh giỏi Tỉnh, tôi thấy với ba
phương pháp cơ bản trên học sinh có thể tiếp thu để giải nhiều bài toán. Với mỗi
phương pháp chúng ta có thể đưa ra rất nhiều ví dụ để học sinh có thể vận dụng,
tuy nhiên trong phạm vi của một sáng kiến kinh nghiệm, tôi chỉ đưa ra một ví dụ
để trình bày cho một phương pháp. Trên đây là một số phương pháp cơ bản
trong bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổ thông. Vì kinh nghiệm chưa nhiều,
không thể tránh khỏi các hạn chế, rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô
giáo.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

11

Tài liệu tham khảo:
1. Sách giáo khoa Tin học 11, sách giáo viên Tin học 11.
2. Ngôn ngữ lập trình Turbo Pascal – Quách Tuấn Ngọc
3. Tài liệu tập huấn bối dưỡng học sinh giỏi – Lê Thủy Thạch
4. Tài liệu tập huấn – Nguyễn Xuân Huy
5. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật – Đỗ Xuân Lôi

12