Hoc sinh gioi-De 6

Sở Giáo Dục - Đào Tạo đáp án và hớng dẫn chấm
NAM Định đề Thi chọn học sinh giỏi Toàn Tỉnh
Năm học 2007 2008
Môn: Toán Lớp 9 thcs

Bài 1(2 điểm-Trắc nghiệm khách quan) mỗi câu đúng cho 0,50 điểm:
Câu1: A/ Câu2: C/ Câu3: B/ Câu4: D/
Bài 2 (4,0 điểm)
1) (2,75 điểm)
Phơng trình tơng đơng
( )
( )
2
2
2
2
x 2
x 2 2y 0
x
+
+ =
0,25
Vậy phơng trình xác định khi
x 0
Khi đó, phơng trình tơng đơng
2
x 2
x 2 2y 0
x
+
+ =

0,50
2
x x 2 2y 0
x
+ + =
(1) 0,25
Nếu x và y là những số nguyên thoả mãn ptrình (1) thì
2
x
Â
(vì
x x 2 2y+ Â
) 0,25
= = = = M2 x x 1 hoặc x 2 x 1;x 2
0,25
- Với x = 1 thay vào (1)

2 + 1 + 1 2y = 0

y = 2
Â
. 0,25
- Với x = - 1 thay vào (1)

2 + 1 + 3 2y = 0

y = 3
Â
. 0,25
- Với x = 2 thay vào (1)

1 + 2 2y = 0


= Â
3
y
2
(loại) 0,25
- Với x = - 2 thay vào (1)

1 + 2 + 4 2y = 0


= Â
7
y
2
(loại) 0,25
Vậy các giá trị nguyên của (x; y) là (1; 2) và (- 1; 3). 0,25
2) (1,25 điểm)
( )
( )
= =
+ +
+
1 n n n
n n 1 n n 1
n n 1
0,25

= = +

ữ ữ ữ ữ
+ + +



2 2
1 1 1 1 1 1
n n
n n 1 n n 1 n n 1
0,25


= +
ữ
ữ
ữ
+
+


1 1 n
1
n 1
n n 1
0,25
Mà khi n nguyên dơng thì

< < < + <
+ +
n n
0 1 0 1 2
n 1 n 1
0,25
( )

<
ữ
+ +

1 1 1
2
n n 1 n n 1
0,25
đề chính thức
Bài 3 (4,5 điểm)
1) (2,5 điểm)
Điều kiện XĐ:
y 0
0,25
Từ phơng trình
+ =
2
x 3x y 2y 0
, coi x là ẩn (hoặc phân tích thành nhân tử) ta đợc
( ) ( )

=

=


=

x y
x y x 2 y 0
x 2 y
0,50
- Với
=x y
thay vào phơng trình thứ hai của hệ, có:
+ =y 3y 2 y 1 0
=3y y 1 0
0,25
Đặt
= y t 0
, có phơng trình:
( )

+
= >


=


= <

2
1 13
t 0
6
3t t 1 0
1 13
t 0 loại
6
0,25
Vậy

+ + +
= = =
ữ
ữ

2
1 13 1 13 7 13
y y y
6 6 18
0,25
Hệ có nghiệm
( )

+ +
=
ữ
ữ

1 13 7 13

x;y ;
6 18
. 0,25
- Với
=x 2 y
thay vào phơng trình thứ hai của hệ, có:
+ =2 y 3y 2 y 1 0
= =
1
3y 1 0 y
3
.
0,25
Hệ có nghiệm
( )

=
ữ
ữ

2 3 1
x;y ;
3 3
0,25
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) là

+ +
ữ
ữ

1 13 7 13
;
6 18
và

ữ
ữ

2 3 1
;
3 3
. 0,25
2) (2,0 điểm)
Phơng trình đã cho tơng đơng:
+ + = +
2 2
3 1
x 2 x 1 x 2 x 3
3 3
(1)
Ta có:
( )

+ = + +
ữ
ữ

2
2
3 1 3

x 2 x 3 x 3 3 x
3 3 3
Ta sẽ chứng minh:
( )
+ +
2
x 2 x 1 3 x
0,50
Thật vậy, ta luôn có
+
2
x 1 x
. Vậy
+ + >
2
x 2 x 1 0 x
0,25
Do đó
( )
(
)
+ + + + + +
2
2 2 2 2
x 2 x 1 3 x 4x x 1 4x 4 3
(
)
+ + + + + +
2
2 2 2 2

x 1 4 x 1.x 4x 0 x 1 2x 0
(luôn đúng với mọi x)
0,75
Từ (*) và (**), suy ra: phơng trình (1) tơng đơng với

+ =

=


+ + =

2
3
x 0
3
x
3
3
x 1 2x 0
0,50
Bài 4 (6,0 điểm)
1) (2,5 điểm)
Có d
1
//AI
ã
ã
=ECA CAI
(so le trong)

Do ED//AB
ã
ã
=EDA IAB
(1) (so le trong)
0,50
Mà
ã ã
=CAI IAB
(do AI là phân giác góc A)
ã
ã
=ECA EDA
và các điểm C, D nằm về cùng một phía đối với đờng thẳng EA

Tứ giác CDAE nội tiếp đờng tròn
0,50
Chứng minh tơng tự cũng có tứ giác CEBD nội tiếp đờng tròn 0,50
Các tứ giác CDAE và CEBD có 3 đỉnh C, D, E chung nên 5 điểm A, E, C, D, B cùng
nằm trên một đờng tròn
0,50
ã
ã
=EDA ABE
(2) (góc nội tiếp chắn cung AE của đòng tròn trên)
Từ (1) và (2) suy ra
ã
ã
=IAB ABE
Mà

ã
ã
ã
ã
= =
1 1
IAB CAB, ABE CBA
2 2
ã
ã
= CAB CBA ABC
cân ở C.
0,50
2) (3,5 điểm)
Gọi A, B theo thứ tự là tiếp điểm của của (I, r)
với cạnh CB, CA và K là tiếp điểm của (I, r) với d.
Đặt BC = a, CA = b, AB = c
Chứng minh đợc: CB = CA =
+ a b c
2
(1) 0,50
Mặt khác, do
MN // AB
nên
+ +
= = =
+ +
MN CN CM MN MN CN CM
c a b c a b c
(2) 0,5

Mà MN = MK + NK và MK = MB, NK = NA
( ) ( )
+ + = + + + = + + +MN CN CM MB' NA' CN CM MB' MC NA' NC
= +CB' CA'
.
Vậy từ (1) suy ra MN + CN + CM = a + b c
0,50
Và a + b + c = 12 thay vào (2)
( )
c b a c
MN
12
+
=
(3) 0,50
Ta có: (b + a c) + 2c
( )
2 b a c 2c +
0,50
( )
2 2 b a c c b a c 12 + + + =
( )
( )
2
c b a c
8c b a c 12 8 12
12
+
+
và theo (3)

3
8MN 12 MN
2

0,50
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b + a c = 2c
a b 3c + =
Tồn tại

ABC có 3 cạnh là a = 4(cm), b = 5(cm), c = 3(cm) thoả mãn a + b + c =12 và
a + b = 3c. Vậy
( )
3
max MN cm
2
=
0,5
A
B
C
M NK
B
A
I
.
A
B
C
d
1

d
2
E
D
I
Bài 5 (3,5 điểm)
1) (2,0 điểm)
Từ giả thiết
+ + +
= +
n 3 n n 2 n 1
a a 1 a a (1) n 1
+ +
= +
n 2 n 1 n 1 n
a a 1 a a (2) n 2
0,50
Từ (2)
+ +
=
n 2 n 1 n 1 n
1 a a a a
thay vào (1) ta có
+ + + + +
= +
n 3 n n 2 n 1 n 1 n n 2 n 1
a a a a a a a a
( ) ( )
+ + + +
+ = +

n n 3 n 1 n 2 n 1 n 1
a a a a a a
+ + +
+
+ +
=
n 1 n 3 n 1 n 1
n 2 n
a a a a
(3) n 2
a a
0,75
Từ (3) lần lợt cho n nhận các giá trị nguyên dơng lẻ bằng 2007; 2005; ; 3 ta đợc:
+ + +
= = =
2008 2010 2006 2008 2 4
2009 2007 3
a a a a a a
...
a a a
.
0,25
Mà
+
= = = = =
3 2
2 3 1 4
1
1 a a
a 2; a 3; a 1; a 7

a
0,25
+ +
= =
2008 2010 2 4
2009 3
a a a a
3
a a
0,25
2) (1,5 điểm)
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
= + = + + +
3 2 3
3 3 2
2 a 2 a a 3a 2 a 3a 2 a 2 a
Mà
( ) ( )
> +
2 3
2 a 0; a 0 3a 2 a 2 a 0
( ) ( )
+
3 3 2
2 a 3a 2 a 1
0,25
Mặt khác
( ) ( ) ( ) ( )
= + = + + +

3 2 3
3 3 2
1 b 1 b b 3b 1 b 3b 1 b 1 b

( ) ( ) ( )
= + + +
2
3 2
b 3b 1 b 1 b 2b 1
Mà
( ) ( ) ( )
+ > +
2 2
1 b 0; 2b 1 0 1 b 2b 1 0
( ) ( )
+
3 3 2
1 b 3b 1 b 2
0,50
Từ (1) và (2)
( ) ( )

+ + + +

3 3 3 3 2 2
2 1 a b 3 a 2 a b 1 b
( )
( ) ( )

+ + + +

3 3 2 2 2 3 3
9 a b 3 a b 2 a b 3 a b a b
0,50
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 2, b = 1.
Vậy
( )
+ =
3 3
max a b 9
0,25
Chú ý:
- Mọi lời giải khác của thí sinh nếu lập luận đúng và phù hợp kiến thức trong chơng trình, tổ giám
khảo thống nhất cho điểm tơng ứng.
- Điểm của bài thi là tổng các điểm thành phần và không làm tròn; điểm thành phần không chia
nhỏ hơn 0,25 điểm.