Hoc sinh gioi_Dap an4

Sở giáo dục đào tạo
Nam định
đáp án - biểu điểm
đề thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh
Năm học 2007 - 2008
Môn: Toán - Lớp 12 BT THPT
Đáp án gồm 05 trang
A. Phần trắc nghiệm (2,0 điểm)
Câu 1. C Câu 2. A Câu 3. C Câu 4. D
B. Phần tự luận (18,0 điểm)
Câu1. (4.0 điểm)
y = 3x
2
- m

y = 6x
y = 6x =0

x =0 ; y đổi dấu

đồ thị có điểm uốn I( 0; m-2)
0,25
y
(0)
= -m
Phơng trình tiếp tuyến của (c ) tại điểm uốn I là y = - mx + m - 2
0,25

m(1-x) (y+2)= 0

m

=+
=
02y
0x1
(*)




=
=
2y
1x



0,25
Toạ độ điểm cố định của tiếp tuyến là nghiệm của hệ (*)
Vậy điểm cố định của tiếp tuyến là A(1;-2)
0,25
Với m = 3 y = x
3
- 3x +1
Tập xác định D = R
0,25
y = 3x

2
- 3 = 0





=
=
1x
1x
0,25
Xét dấu y
x -

-1 1 +

y + 0 - 0 +
0,25
Điểm cực đại, cực tiểu
Tại x = -1 hàm số đạt cực đại y
cd
= 3
0,25
Đề 2
T¹i x = 1 hµm sè ®¹t cùc tiÓu y
ct
= -1
y” = 6x =0
⇔

x = 0, y” ®æi dÊu khi x qua x = 0
⇒
®å thÞ cã ®iÓm uèn I(0;1) 0,25
B¶ng biÕn thiªn
x -
∞
-1 0 1 +
∞
y’ + 0 - - 0 +
y 3 +
∞

1
+
∞
-1
0,25
§å thÞ
Giao víi trôc hoµnh khi y = 0
⇒
x
1
= 1,53; x
2
= -1,87; x
3
= 0,35.
Giao víi trôc tung khi x = 0
⇒
y = 1.

0,5
Ph¬ng tr×nh: x
3
- 3x - k + 1 = 0
⇒
x
3
- 3x + 1 = k 0,25
NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ c víi ®êng th¼ng
y=k
Tõ ®å thÞ ta thÊy



>
−<
3k
1k
ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm
0,25
-1 < k < 3 ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm 0,25




=
−=
3k
1k
ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm

0,25
C©u 2 ( 4 ®iÓm )
I =
∫
π
+
2
0
dx
xcos1
xsin4
3
=
∫
π
+
−
2
0
dx
xcos1
xsin)xcos1(4
2
§Æt t = cosx
⇒
dt = - sinx.dx
x
0
2
π

t 1 0
0,5
I = -
∫
+
−
0
1
2
dt
t1
)t1(4
= 4
∫
+
−
1
0
2
dt
t1
)t1(

0,5
= 4
∫
−
1
0
dt)t1(

0,25
= 4 ( t -
2
t
2
)
1
0
=2
0,5
Gi¶i ph¬ng tr×nh
4cosx - 2cos2x - cos 4x = 1
⇔
4 cosx-2cos2x = 1 + cos4x = 2cos
2
2x 0,25
⇔
4 cosx=2cos2x(cos2x+1) 0,25
⇔
cosx= cos2x. cos
2
x
⇔
cosx(1- cos2x. cosx)=0
0,25
⇔





=
=
)2(1xcosx2cos
)1(0xcos
0,25
Víi cosx = 0 x =
π+
π
k
2
; k
∈
z
0,25
v×





≤
≤
1xcos
1x2cos
cos2x. cosx =1
⇔











−=
−=



=
=
)4(
1xcos
1x2cos
)3(
1xcos
1x2cos
0,5
NÕu cosx=1 th× cos2x = 2cos
2
x - 1 =1
⇒
(3) cã nghiÖm x = 2k’
π
0,25
NÕu cosx=-1 th× cos2x = 1 vËy (4) v« nghiÖm . 0,25
Tóm lại nghiệm của phơng trình là

=
+

=
'k2x
k
2
x
với k, k

Z
Câu 3. (4,0 điểm).
Mặt phẳng (P) phơng trình x-2y-3z+14=0
P
n

( 1; -2; -3)
0,25
Vì mặt phẳng (

) //mặt phẳng (P) nên véc tơ pháp tuyến của (P) là 1 véc tơ
pháp tuyến của (

)
Mặt phẳng (

) : x-2y-3z + D = 0
0,25
Vì M(1;-1;1)

(

)1+2-3+D = 0D=0
0,25
Phơng trình mặt phẳng (

): x-2y-3z = 0 0,25
Gọi

là đờng thẳng đi qua M(1;-1;1) và


mặt phẳng (P)
véc tơ pháp tuyến của (P) là véc tơ chỉ phơng của



u

(1;-2;-3)
0,25
Phơng trình tham số của

:

=
=
+=
t31z
t21y
t1x
t

R
0,5
Gọi H là hình chiếu của M(1;-1;1) lên mặt phẳng (P) toạ độ H (x,y,z) thoả
mãn hệ
( )
( )







=+
=
=
+=
4014z3y2x
3t31z

)2(t21y
)1(t1x
0,5
Thế (1),(2),(3) vào (4) ta có 14t+14=0 t =-1
0,5
Vậy H(0;1;4) 0,5
Gọi N(x;y;z) là điểm đối xứng của M(1;-1;1) qua mặt phẳng (P)
MN = 2MH
( )





=
+=+
=
1421'z
)11(21'y
)10(21'x






=
=
=
7'z

3'y
1'x
0,5
Vậy N(-1;3;7) 0,25
Câu 4 (4,0 điểm)
Từ phơng trình : 24x
2
- 25y
2
= 600
Đa về phơng trình chính tắc của hypebol
1
24
y
25
x
2
2
=
a = 5, b=2
6
0,25
Toạ độ đỉnh A
1
(-5; 0)
Toạ độ đỉnh A
2
(5; 0)
0,5
c

2
= a
2
+ b
2
= 25 + 24 = 49 0,25
Toạ độ tiêu điểm F
1
(-7; 0) ; F
2
(7; 0) 0,5
Tâm sai e =
5
7
a
c
=
0,25
Đờng thẳng y = kx -1 có điểm chung với hypebol
phơng trình hoành độ điểm chung 24x
2
25(kx-1)
2
= 600 có nghiệm
0,25
(24-25k
2
) x
2
+50kx-625=0 có nghiệm

0,5


= 25
2
.k
2
+ 625( 24- 25k
2
) 0
0,25
k
2
+24-25k
2
0
0,5
k
2


1
0,25
-1

k

1
0,25
Vậy với -1

k

1 đờng thẳng y = kx -1 có điểm chung với hypebol đã
cho
0,25
Câu 5 (2điểm)
Vì (2-
3
)(2+
3
)=1 0,25
Nên đặt t =
(
)
x
32

>0 thì
(
)
x
32
+
=
t
1
0,25
(
)

x
32

+
(
)
x
32
+
=4 t+
t
1
=4
0,25
t
2
-4t+1=0




=
+=
32t
32t
0,25
(
)
x
32

=(2+
3
)=(2-
3
)
-1
x=-2
0,5
( )
x
32

=(2-
3
) x=2
0,25
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x
1
=2; x
2
=-2
0,25