ĐỀ THI HSG & ĐÁP ÁN

Sở GD-ĐT Sơn La CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán
(Đề đề nghị)
(Thời gian 180 phút không kể thời gian phát đề thi)
BÀI 1:( 6 điểm ) Cho hàm số:
1
x m
y
x
−
=
+
Với
m
là tham số;Gọi đồ thị là:
( )
m
c
1/ Chứng minh rằng:
2; 1m m∀ ≠ − ≠ −
,đường thẳng:
y x m
= − +

( )
d
luôn luôn cắt đồ thị
( )
m

c
tại hai điểm phân biệt A và B.
2/ Với
0m ≥
. Xác định
m
để độ dài AB ngắn nhất.
BÀI 2: ( 3,5 điểm )
1/ Trong một chiếc hộp kín có chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ. Giả
thiết rằng kích thước và trọng lượng của tất cả các quả cầu nói trên là y hệt như nhau, Lấy
hú hoạ 5 quả cầu. Tìm xác suất của biến cố : Trong 5 quả cầu được lấy ra có đúng 3 quả
cầu đỏ.
2/ Giải phương trình:
3 2
14
x
x x
A C x
−
+ =
(1)
BÀI 3: ( 4,50 điểm)
1/Với giá trị nào của
k
∈
¢
phương trình sau có nghiệm:

2 2
1 2

sin 1 os 2sin 2
3 2 3 4 2
x x x
c k
π
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
2/ Giải phương trình:

lg 7
lg 1
4
10
x
x
x
+
+
=
BÀI 4: ( 6 điểm )
1/ Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng:

( )
: 6 0d x y+ − =
và
( )
1
: 2 13 0d x y+ − =

và chắn trên hai trục toạ độ những đoạ thẳng
bằng nhau.
2/ Trong không gian Oxyz cho bốn điểm
( ) ( )
2;4; 1 ; 1;4; 1A B− −
;
( ) ( )
2;4;3 ; 2;2; 1C D −
a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AB;AC;AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính
thể tích khối tứ diện đó
b/ Viết phương trình mặt cầu
( )
s
đi qua bốn điểm A;B;C;D.
GỢI Ý CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
(Đề đề nghị )
A/ VẤN ĐỀ CHUNG:
+/ Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
+/ Điểm của bài làm bằng: Tổng điểm của các phần và giữ nguyên không làm tròn.
+/ Đáp án có thể chưa tối ưu. Nếu học sinh làm theo cách khác tối ưu hơn, điểm thưởng tối
đa là 1 điểm.
+/ Giám khảo có thể chia thang điểm nhỏ hơn,nhưng phải có sự thống nhất và không được
vượt quá khung điểm đã qui định trong phần đó.
B/ GỢI Ý CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM :

Câu Ý GỢI Ý NỘI DUNG Điểm
Ghi
chú
1
1

Xét phương trình:
1
x m
x m
x
−
= − +
+
;
1x
≠ −

( )
1
Đường thẳng
( )
d
cắt đường cong
( )
m
c
tại hai điểm phân biệt
A và B khi và chỉ khi phương trình
( )
1
có hai nghiệm phân
biệt.
1x ≠ −
1,00 Nếu
thiếu

1x ≠ −
trừ
0,50đ
( ) ( )
2
1 2 2 0x m x m⇔ + − − =

( )
2
có hai nghiệm phân biệt
1x
≠ −
Ta có:
( ) ( )
2 2
2 8 2 0 2
x
m m m m∆ = − + = + > ∀ ≠ −
0,50
Do đó phương trình
( )
2
luôn luôn có hai nghiệm phân biệt:
1 2
2;x x m= − =
vì
2; 1m m≠ − ≠ −
nên
2
1x m= ≠ −

do đó
phương trình
( )
1
luôn có hai nghiệm phân biệt. Đường thẳng
( )
d
cắt đường cong
( )
m
c
tại hai điểm phân biệt A và B.
1,50
2
Gọi: Toạ độ điểm Alà:
1
2
A
x x= = −
2
A
y m⇒ = +
( )
2;2A m⇒ − +
Toạ độ điểm B là:
( )
2
0 ;0
B B
x x m y B m= = ⇒ = ⇒

1,00
AB ngắn nhất khi và chỉ khi
2
AB
bé nhất
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2 2 8AB m m m⇔ = + + + = + ≥
Dấu “=” xẩy ra
khi
0m =
(vì gt cho
0m ≥
)
Vậy với:
0m
=
thì đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm
phân biệt A và B có độ dài
2 2AB =
ngắn nhất.
2,00
2 1 Số quả cầu trong hộp kín là 10+8=18 . Mỗi lần lấy 5 quả 0,50
cầu,số phần tử của không gian mẫu là:
5
18
18!
36.17.14
5!.13!

c = =
Số cách lấy 3 quả cầu đỏ trong 8 quả là:
3
8
8!
8.7
3!.5!
c = =
Số cách lấy 2 quả cầu trắng trong 10 quả là:
2
10
10!
5.9
2!.8!
c = =
Vậy số biến cố thoả mãn bài toán là:
3 2
8 10
. 8.7.5.9c c =
1,00
Vậy xác suất để xẩy ra biến cố này là:
3 2
8 10
5
18
.
8.7.5.9 5
36.17.14 17
c c
c

= =
0,25
2
ĐK:
3x ≥
(*)
0,25
( )
( ) ( )
2
! !
1 14 2 5 25 0
3 !.3! 2 !.2!
x x
x x x
x x
⇔ + = ⇔ − − =
− −
5
5
2
x
x
=


⇔

=


So sánh vói ĐK (*)
5x =
là nghiệm của phương trình.
1,50
3 1 Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2 2
sin cos 1 cos 2
3 3 2
x x
x k
π
 
+ + − − =
 ÷
 
2 sin 2 sin 2 2x k x k
⇔ − = ⇔ = −
(*)
1,25
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*)
có nghiệm:
1 3
2 2 1
2 2
k k⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤
Vì:
k ∈ ¢
nên
1k =
1,00

2 ĐK:
0 1x
< ≠
Vì cả hai vế đều dương lấy lôgarit cả hai vế ta được:
lg 7
.lg lg 1
4
x
x x
+
= +
1,00
2
4
10
lg 1
lg 3lg 4 0
1
lg 4
10
x
x
x x
x
x
=

=



⇔ + − = ⇔ ⇔


= −
=


Thoả mãn ĐK
1,25
4 1 Giao điểm của hai đường thẳng là A là nghiệm của hệ pt:
6 0 7
2 13 0 1
x y x
x y y
+ − = =
 
⇔
 
+ − = = −
 
( )
7; 1A⇔ −
0,25
Phương trình đườnh thẳng cắt hai trục toạ độ những đoạn bằng
nhau có phương trình:
0x y a± − =
Đi qua điểm
( )
7; 1A −
nên

( )
6
7 1 0
8
a
a
a
=

± − − = ⇒

=

1,50
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn ĐK bài toán: 0,25

6 0x y+ − =

8 0x y− − =

2 A/ Các đường thẳng: AB;AC;AD vuông góc với nhau từng đôi
một khi và chỉ khi
. 0
. 0
. 0
AB AC
AB AD
AC AD

=



=


=


uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
(*)
0,25
Mà:
( ) ( ) ( )
1;0;0 ; 0;0;4 ; 0; 2;0AB AC AD− −
uuur uuur uuur
nên:
( )
( ) ( )
( )
. 1 .0 0.0 0.4 0
. 1 .0 0. 2 0.0 0
. 0.0 0. 2 4.0 0
AB AC
AB AD
AC AD

= − + + =



= − + − + =


= + − + =


uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur

AB AC
AB AD
AC AD
⊥


⇔ ⊥


⊥

0,50

1
3
V Bh=
Trong đó: B là diện tích đáy khối chóp
h là chiều cao khối chóp
0,25

Do:
A
AB AC
B AD
AC AD
⊥


⊥


⊥

Nên
1 1
. .1.4 2
2 2
B AB AC= = =
uuur uuur

2h AD= =
uuur
vậy:
1 1 4
. . .2.2
3 3 3
V B h= = =
1,00
B/ Gọi mặt cầu tâm
( )

; ;I x y z
bán kính
R
đi qua bốn điểm
A;B;C;D
IA IB R
IA IC R
IA ID R
= =


⇔ = =


= =

0,75
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 4 1 1 4 1
2 4 1 2 4 3
2 4 1 2 2 1
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z


− + − + + = − + − + +


⇔ − + − + + = − + − + −


− + − + + = − + − + +


0,25
3
2 3
2
8 8 3
4 12 1
x
x
z y
y z

=

=



⇔ = ⇔ =
 
 
= =





21
4
R⇒ =
Vậy mặt cầu cần tìm là:
( ) ( )
2
2 2
2 21
3 1
3 4
x y z
 
− + − + − =
 ÷
 
1,00