SKKN HƯỚNG dẫn học SINH lớp 8 GIẢI bài TOÁN PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử

PHẦN I : SƠ YẾU LÝ LỊCH.

Họ và tên:

Nguyễn Văn Điệp

Ngày, tháng, năm sinh:

20/6/1973

Đơn vị công tác:

Trường THCS Đình Cao

Trình độ chuyên môn:

Đại học sư phạm Toán

Chức vụ:

Chủ tịch Công đoàn trường

Tên sáng kiến kinh nghiệm:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 8 GIẢI BÀI TOÁN
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1


PHẦN II: NỘI DUNG
A.MỞ ĐẦU.

I. ĐẶT VẤN ĐỀ .
1.Thực trạng của vấn đề.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm các lớp 8, lớp 9 ở trường THCS Đình
Cao, và qua quá trình kiểm tra đánh giá (bài kiểm tra 15 phút, 45 phút, học kì).
Tôi nhận thấy kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử ở các em còn nhiều hạn
chế. Đa số các em chỉ làm được các bài phân tích đa thức thành nhân tử ở mức
độ dễ khi áp dụng các phương pháp đơn giản như PP đặt nhân tử chung, PP
dùng hằng đẳng thức. PP nhóm… mà không làm được các bài tập đòi hỏi kĩ
năng tổng hợp các PP. Thực tế khi giải một bài toán phân tích đa thức thành
nhân tử hay có sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử thì không phải đơn
thuần như vậy mà đòi hỏi các em phải có kĩ năng nhìn nhận tìm hướng đi cho
một bài toán; có kĩ năng tổng hợp, khéo léo sử dụng phối hợp các PP đã học .
Với những khó khăn của học sinh, đòi hỏi cần đưa ra việc hướng dẫn học
sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử sao cho hiệu quả, giúp cho các
em tháo gỡ được những khó khăn, tạo điều kiện cho các em tiếp thu được các
kiến thức về phần này được dễ dàng hơn góp phần nâng cao kết quả học tập
cũng như tình cảm đối với bộ môn Toán.
2.Ý nghĩa và tác dụng của việc hướng dẫn học sinh học giải bài toán phân
tích đa thức thành nhân tử.
Giáo dục nước nhà đã dần có những thay đổi, từ việc đổi mới sách giáo
khoa cho đến việc đổi mới phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp, để đáp ứng
nhu cầu của xã hội, đào tạo ra những con người mới có đầy đủ kiến thức, có khả
năng giải quyết các vấn đề thực tế cuộc sống mắc phải. Giáo dục không còn đơn
thuần chỉ truyền thụ kiến thức theo một hướng thầy thuyết trình, học sinh bị
động tiếp thu kiến thức. Việc dạy học theo hướng đổi mới, học sinh là trung tâm,
giáo viên là người định hướng, điều khiển hoạt động của học sinh để học sinh có
thể chiếm lĩnh kiến thức, vận dụng kiến thức đã học, biến kiến thức đã học thành
của mình.
2

Đối với việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử các em được học ở
lớp 8, và thường xuyên được sử dụng để giải toán ở lớp 8 cũng như lớp 9 như
một kiến thức công cụ. Do vậy việc học tốt bài toán phân tích đa thức thành
nhân tử sẽ góp phần đắc lực cho các em nâng cao kết quả học tập năm lớp 8
cũng như các năm học tiếp theo. Việc các em có định hướng tốt khi giải toán, có
kĩ năng giải toán linh hoạt, mềm dẻo… sẽ giúp các em tích cực, chủ động, tự tin,
sáng tạo trong học tập cũng như trong cuộc sống đáp ứng các yêu cầu của con
người mới mà xã hội đòi hỏi.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài.
a. Đối tượng nghiên cứu:
Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8 THCS.
b. Phạm vi nghiên cứu.
Trong phạm vi nghiên cứu của sáng kiến này, tôi chỉ nghiên cứu và áp
dụng giảng dạy cho học sinh ở lớp 8B, 8D trường THCS Đình Cao trên cơ sở
các bài toán về “ phân tích đa thức thành nhân tử” của Chương I - Đại số
Toán 8 tập 1, các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử trong một số sách
tham khảo.
II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH
1. Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn.
a. Cơ sở lí luận:
Đại số 8 nói chung và bài toán phân tích thành nhân tử là một nội dung rất
hay và phong phú, nó rèn kỹ năng tính toán và óc tư duy linh hoạt cho học sinh.
Đây là những kiến thức cơ bản làm nền móng cho việc tiếp thu kiến thức ở các
lớp trên.
Việc giải quyết tốt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử sẽ hỗ trợ đắc
lực cho việc giải phương trình, rút gọn biểu thức hữu tỉ, biểu thức chứa căn ở
lớp 8 và 9.
Do yêu cầu đổi mới SGK, đổi mới phương pháp giảng dạy đối với bộ
môn toán 8 theo tinh thần " lấy học sinh làm trung tâm ", nên việc tổ chức

hướng dẫn để các em tìm tòi cách giải toán là yêu cầu cần thiết của người thầy.
3


Mặt khác, kiến thức SGK rất cơ bản nên việc phát hiện bổ sung kiến
thức, tìm tòi các phương pháp mới trên cơ sở nền tảng kiến thức SGK là điều
cần thiết, nó tạo cho các em tính “tò mò khoa học”, “ tính tự lập” và hình thành
thói quen tự học.
Hơn thế nữa, toán 8 là một mắt xích quan trọng trong trục chương trình,
không những nó giúp các em học toán tốt hơn ở những năm học sau này, mà còn
giúp các em học tốt hơn cả những môn học tự nhiên khác.
Khi giải quyết được vấn đề này, đồng thời các em cũng giải quyết được
nhiều mặt khác như :
+ Củng cố kiến thức
+ Rèn kỹ năng tính toán, phân tích, tổng hợp, ...
+ Phát triển tư duy
+ Tạo ra một “lưng vốn kiến thức” cho những năm học sau này.
Từ những tâm huyết và trăn trở nêu trên, tôi đã xây dựng một đề tài mang
tên “Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân
tử ”.
b. Cơ sở thực tiễn:
Về mặt phương pháp các em còn hiểu rất sơ sài mà chủ yếu, các phương
pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm nhiều hạng tử. Việc vận
dụng các phương pháp còn mang tính nhỏ lẻ thiếu đồng bộ và không hệ thống.
Bắt đầu thực hiện đề tài này tôi cho các em làm bài kiểm tra khảo sát chất
lượng Kết quả bài kiểm tra đạt chất lượng thấp, cụ thể có khoảng trên 50% đạt
điểm dưới trung bình, gần 10% đạt điểm giỏi. Như vậy chưa đáp ứng được chỉ
tiêu, yêu cầu của bộ môn trong năm học.
2. Các biện pháp tiến hành và thời gian nghiên cứu.
a. Các phương pháp tiến hành.

Ngay từ đầu năm học, nhận thấy vấn đề tồn tại của học sinh khi học
mảng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử. Tôi đã tiến hành thu thập dữ

4


liệu, phân tích dữ liệu, đề ra cách khắc phục các khó khăn, với các phương
pháp sử dụng như :
- Phương pháp kiểm tra đánh giá.
- Phương pháp phân tích tổng hợp.
- Phương pháp so sánh.
- Phương pháp tổng quát hoá .
- Phương pháp phỏng vấn, trao đổi.
b. Thời gian nghiên cứu
Từ ngày 5 tháng 9 năm 2015 đến 15 tháng 3 năm 2016 tiến hành nghiên
cứu và hoàn thiện sáng kiến này.
B. NỘI DUNG
I. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI.
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh gặp khó khăn khi giải các bài toán
phân tích đa thức thành nhân tử tôi thấy cần phải tạo ra cho các em có những
kiến thức vững vàng về mảng kiến thức này, xây dựng niềm yêu thích say mê
học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời cho các em.
Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng
của mình trong quá trình học tập. Đề tài này giúp người học bổ sung lại các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, có kỹ năng quan sát đánh giá để
định hướng cách giải bài toán đồng thời được mở rộng nâng cao kiến thức. Qua
sáng kiến này giúp giáo viên có cách nhìn đầy đủ từ đó có những biện pháp
giảng dạy hiệu quả khi dạy bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học
sinh học và tiếp thu phần này dễ dàng hơn.

II. GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI.
1. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Việc nắm vững kiến thức cơ bản là một điều rất cần thiết sẽ giúp các em
giải quyết bài toán một cách thuận lợi và dễ dàng hơn. Kiến thức cơ bản là
xương sống để từ đó phát triển mở rộng các phương pháp giải bài tập.
Từ những quan điểm trên tôi trang bị cho học sinh những kiến thức sau
đây:
5


1.

Các hằng đẳng thức đáng nhớ

2.

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (SKG toán 8 -

tập 1)
-

Phương pháp đặt nhân tử chung

-

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

-

Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

-

Phối hợp các phương pháp

-

Phương pháp tách hạng tử; thêm bớt cùng một hạng tử

3.

Nghiệm của đa thức

Nếu f(a) = 0 thì x- a là nhân tử của đa thức f(x)
Khi đó f(x) = (x-a)g(x)
4.

trong đó g(x) là đa thức

Đồng nhất hệ số

an = bn
a = b
 n−1
n −1
Nếu anxn + an-1xn-1 + ...+ a1 = bnxn + bn-1xn-1 + ...+ b1 thì 
...........
a1 = b1
5.

Cho đa thức n biến A(x1,x2,....,xn)
Nếu: tại x1=a1 mà A(x1,x2,....,xn)= 0
tại x2=a2 mà A(x1,x2,....,xn)= 0
.............................................
thì A(x1,x2,....,xn) = k(x1-a1)(x2-a2)..... ( k là hằng số)

6.

Tam thức bậc hai

Tam thức ax2+bx+c phân tích được thành nhân tử khi b 2-4ac ≥ 0 (thừa
nhận dấu hiệu này) vì kiến thức này được học ở lớp 9
2. Các dạng bài tập và cách giải.

2.1.Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “tách một
số hạng tử thành nhiều hạng tử”
2.1.1. Cơ sở :
Nếu f(a) = 0 thì f(x) = (x-a)g(x) với f(x) và g(x) là các đa thức
6


Quy tắc: tách một số hạng tử thành một số hạng tử khác làm xuất hiện nhân
tử chung hoặc hằng đẳng thức từ đó bài toán được giải quyết.
2.1.2. Các bài toán
*Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = x2 - 4x+3
Phân tích tìm lời giải:
Ta phải tách một trong ba hạng tử thành các hạng tử mới để gộp với hai
hạng tử còn lại trở thành các nhóm, mỗi nhóm xuất hiện nhân tử giống nhau,
nhờ thế bài toán được giải quyết.

Lời giải
Cách 1: (Tách hạng tử giữa)
A = x2 - x - 3x +3 = x(x-1)-3(x-1) = (x-1)(x-3)
Cách 2: (Tách hạng tử cuối)
A=x2-4x-1+4 = x2-1-4x+4 = (x-1)(x+1)-4(x-1) = (x-1)(x+1-4) = (x-1)(x-3)
Cách 3: (Tách hạng tử cuối)
A=x2-4x+4-1 =(x-2)2-1 = (x-2+1)(x-2-1) = (x-1)(x-3)
Cách 4: (Tách hạng tử cuối)
A=x2-4x-9+12 = x2-9-4x+12 = (x-3)(x+3)-4(x- 3)=(x-3)(x+3-4) = (x-3)(x1)
Bài toán trên không phức tạp các em có thể dễ dàng tiếp thu. Tôi muốn đưa
ra bài toán này để giúp các em có học lực yếu cũng có thể nhận thức được. Việc
giải bài toán theo nhiều cách giúp các em biết xem xét bài toán ở nhiều góc
cạnh từ đó các em có cái nhìn phong phú hơn.
A = x2-2x-2x+3 = x2-2x+1-2x+2
*Bài toán 2: Phân tích đa thức B = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 :(Tách hạng tử thứ hai)
B=4x2+2x- 6x-3=2x(2x+1)- 3(2x+1)=(2x+1)(2x-3)
Cách 2 :(Tách hạng tử thứ ba)
B = 4x2- 4x+1-4 =(2x-1)2- 4 =(2x-1-2)(2x-1+2) = (2x+1)(2x-3)
7


Nhận xét :
Việc tách hạng tử với mục đích tạo ra các hệ số tỷ lệ từ đó xuất hiện các
thừa số chung, nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức.
2.1.3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a)

x2- 6x+8

b)

9x2+ 6x- 8

c)

x + 3 x - 4 (với x không âm )

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) -c2(a-b)+b2(a-c)-a2(b- c)
Gợi ý: tách a- c=(a-b)+(b-c)
a)

(x- y)-x3(1- y)+y3(1- x)

Gợi ý: tách 1- y=(x- y)+(1- x)
2.2. Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “thêm và bớt
cùng một hạng tử”
2.2.1. Cơ sở : thêm và bớt cùng một hạng tử vào đa thức làm xuất hiện các
nhóm có nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức từ đó cho ra kết quả.
2.2.2. Các bài toán
*Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 4x4+81
Phân tích tìm lời giải:
Ở bài toán này chúng ta chưa thể sử dụng được bất kỳ hằng đẳng thức nào,
mặt khác cũng chưa có nhân tử chung vì thế cần thêm bớt như thế nào đó để có
hằng đẳng thức . Đến đây, tôi đặt câu hỏi cho học sinh : “Nếu sử dụng hằng đẳng
thức a 2 +2ab + b 2 thì thiếu bộ phận nào”.
Lời giải:

4x4+81 =4x4+36x2+81-36x2
=(2x2+9)2-(6x)2
=(2x2+9-6x)(2x2+9+6x)
=(2x2-6x+9)(2x2+6x+9).
8


Việc giải bài toán là một phép thêm bớt đơn giản và dễ dàng cho kết quả
nhưng chưa được hướng dẫn thì quả là một vấn đề khó đối với các em. Qua bài
toán này các em sẽ có những kiến thức và kinh nghiệm mới cho việc giải bài
toán phân tích đa thức thành nhân tử
*Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

x6-1

Phân tích tìm lời giải :
Ta thấy x6-1 có thể phân tích thành (x3)2 - 1 hoặc (x2)3-1 để sử dụng ngay
hằng đẳng thức mặt khác ta cũng có thể thêm bớt để xuất hiện các hằng đẳng
thức hoặc để nhóm.
Lời giải :
Cách 1: (Nối từ x6 đến 1)
x6-1 = x6-x5+x5-x4+x4-x3+x3-x2+x2-x+x-1
=x5(x-1)+ x4(x-1)+ x3(x-1)+ x2(x-1)+ x(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x5+ x4+ x3+ x2+ x+1)
=(x-1)[x4(x+1)+x2(x+1)+(x+1)]
=(x-1)(x+1)(x4+x2+1)
=(x-1)(x+1)[x4+2x2+1-x2]
= (x-1)(x+1)[(x2+1)2-x2]
= (x-1)(x+1)(x2+1-x)(x2+1+x)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)

Cách 2:
x6-1= x6+x3-x3-1
=x3(x3+1)-(x3+1)
=(x3+1)(x3-1)
=(x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1)
Cách 3:
x6-1= x6+x4+x2-x4-x2-1
=x2(x4+x2+1)-(x4+x2+1)
=(x4+x2+1)(x2-1)
9


=( x4+2x2+1-x2)(x-1)(x+1)
= (x2-x+1) (x2+x+1) (x-1) (x+1)
Cách 4:
x6-1 = (x3)2-1
=(x3-1)(x3+1)
= (x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1)
Cách 5:
x6-1= (x2)3-1
= (x2-1)(x4+x2+1) = (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 6:
x6-1= x6-3x4+3x2-1+3x4-3x2
=(x2-1)3+3x2(x2-1)
=(x2-1)[(x2-1)2+3x2]
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 7:
x6-1 = x6-x2+x2-1
=[(x3)2-x2]+(x2-1)

=(x3-x)(x3+x)+(x2-1)
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 8:
x6-1= x6-x2+x2-1
=x2(x4-1)+(x2-1)
=x2(x2-1)(x2+1)+(x2-1)
=(x2-1)[x2(x2+1)+1]
= (x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 9:
10


x6-1= x6-x4+x4-1
=x4(x2-1)+(x2-1)(x2+1)
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Các cách làm trên có những cách rất đơn giản nhưng cũng có những cách
phức tạp song tôi muốn dẫn dắt các em theo nhiều hướng khác nhau với mục
đích để các em sẽ có cái nhìn phong phú hơn, khi đứng trước một bài toán các
em có kỹ năng nhận biết cách nào đơn giản nhất, từ đó có định hướng đúng cho
việc giải bài tập.
Mặt khác, việc đưa ra nhiều cách làm là tạo cho các em có một “lưng vốn
kiến thức” để khi gặp một bài toán có thể “làm cách này không được thì làm
cách khác”.
* lưu ý: những đa thức có dạng x 3n+ 2 + x 3m+1 +1 luôn chứa thừa số x 2 + x+1
2.2.3. Bài tập tự luyện
Phân tích đa thức thành nhân tử :
a)

x5+x4+1

b)

x8+x+1

c)

4x4+1

d)

x8+98x2+1

2.3. Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “đổi biến
số”
2.3.1. Cơ sở
Khi gặp một bài toán có một số biểu thức lặp đi lặp lại trong các hạng tử
nhưng luỹ thừa khác nhau để đơn giản hoá bài toán ta có thể đặt biểu thức đó
thành một biến mới rồi giải quyết bình thường. Sau khi giải bài toán với biến
mới, ta phải thay về biến ban đầu và tiếp tục phân tích ( nếu được).
2.3.2. Các bài toán
*Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a.

A = (x2+x)2+4(x2+x)-12
11

B = (x2+x+1)(x2+x+2)-12

b.

Phân tích tìm lời giải:
a)

Dễ dàng nhận thấy x2+x lặp đi lặp lại

b)

x2+x+2 = (x2+x+1)+1
Lời giải
Đặt x2+ x = y thì

a.
A= y2+4y+12

=y2-2y+6y-12
=y(y-2)+6(y-2)
=(y-2)(y+6)
Thay y = x2+x
A = (x2+x-2)(x2+x+6)
= (x-1)(x+2)(x2+x+6)
b, Đặt x2+x+1=t
B = t(t+1)-12
= t2+t-12
= t2-9+t-3
=(t-3)(t+3)+(t-3)
=(t-3)(t+4)

Thay t=x2+x+1
A = (x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)
* Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = x4+6x3+7x2- 6x+1
Lời giải :
6 1
1
1
2
2
A = x2(x2+6x+7- + 2 ) = x [( x + 2 ) + 6( x − ) + 7]
x x
x
x
Đặt x −

1
=y ⇒
x

y2 = x2 − 2 +

1
x2

⇒

y2 + 2 = x2 +

(*)
1
x2

Thay vào (*), ta có: A = x2(y2+2+6y+7) = x2(y2+6y+9)
12


=x2(y+3)2
=(xy+3x)2
Thay y = x −

1
x

1
A = [ x( x − ) + 3x]2
x
2
= ( x + 3 x − 1)2

Cách 2:
x4+6x3+7x2-6x+1

= x4+6x3-2x2+9x2-6x+1

=x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2
=(x2+3x-1)2
Nếu làm phép so sánh giữa cách 2 và cách 1 thì rõ ràng cách 2 đơn giản
hơn rất nhiều. Vậy phải chăng cách tôi đã làm phức tạp hoá vấn đề một cách

không cần thiết ?
Tôi muốn đưa ra bài toán trên cho học sinh không phải chỉ để làm phong
phú cách làm toán mà nhằm mục đích trang bị cho các em kiến thức để sau này
khi giải phương trình bậc 4 dạng đối xứng các em có thể giải quyết nhanh gọn.
2.3.3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
x(x+1)(x+2)(x+3)+1
Gợi ý:
x(x+1)(x+2)(x+3)

= x(x+3)(x+1)(x+2)

=(x2+3x)(x2+3x+2)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
(x2+y2+z2)-(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2
Gợi ý:
Đặt x2+y2+z2=a
xy+yz+zx=b
2.4. Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “hệ số bất
định”
13


2.4.1. Cơ sở
an = bn
a = b
 n−1
n −1
n
n-1

n
n-1
Nếu anx + an-1x + ...+ a1 = bnx + bn-1x + ...+ b1 thì 
...........
a1 = b1
2.4.2. Các bài toán
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
x4-6x3+12x2-14x+3

(1)

Phân tích tìm lời giải: Ta thấy, 3 có các ước ± 1, ± 3 nhưng không là
nghiệm của 1, vậy việc tìm ra nghiệm rất khó khăn và cũng có thể không có
nghiệm, vì thế việc định hướng để phân tích ra nhân tử bậc 1 rất khó khăn. Nếu
(1) phân tích được thì sẽ có dạng (x2+ax+b)(x2+cx+d)
Lời giải
Giả sử (1) phân tích được thành nhân tử, ta có

x4-6x3+12x2-14x+3 = (x2+ax+b)(x2+cx+d)

a + c = −6
ac + b + d = 12

⇒
ad + bc = −14
bd = 3

Cho b=3 -> d=1 ->a=-2;c=-4.
Vậy ta có dạng đã phân tích của (1) là (x2-2x+3)(x2-4x+1)
Đây là bài toán khó, dạng toán phức tạp chỉ có một số ít các em làm được.

Mục đích tôi đưa ra bài toán này là giúp học sinh khá giỏi giải quyết các bài toán
tương tự, từ đó mở ra một định hướng mới cho việc phân tích đa thức thành
nhân tử. bài toán có ý nghĩa như một chìa khoá cho việc giải các bài toán khó
phân tích. Mặt khác việc làm tốt phương pháp này, tạo thuận lợi cho các em học
tốt hơn ở các lớp học tiếp theo.
Vì đây là dạng toán khó, nên đại bộ phận học sinh trong lớp không làm
được, nếu tiếp tục đưa vào các bài tập dạng này sẽ gây tâm lý hoang mang,
choáng váng cho học sinh có lực học trung bình và yếu. Vì thế tôi nhanh chóng
chuyển sang dạng toán khác.
14


2.4.3. Bài tập tự luyện
Dùng phương pháp hệ số bất định, phân tích đa thức thành nhân tử
a)

4x4+4x3+5x2+2x+1

b)

3x2+22xy+11x+37y+7y2+10

2.5. Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “xét giá trị
riêng”
2.5.1.Cơ sở:
Phân tích đa thức A(x1,x2,....,xn) thành nhân tử
Nếu: tại x1=a1 mà A(x1,x2,....,xn)= 0
tại x2=a2 mà A(x1,x2,....,xn)= 0
.............................................
thì A(x1,x2,....,xn) = k(x1-a1)(x2-a2)..... ( k là hằng số)

2.5.2. Bài toán
Phân tích đa thức P = ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) thành nhân tử
Lời giải
a = b

Nếu thay b = c vào (1) thì P = 0 -> a-b, b-c, c-a là những nhân tử của P.
c = a
Mặt khác P có bậc 3. Vậy P = k(a-b)(b-c)(c-a)

(2) với k là hằng số

Nếu thay a = 1, b = 2, c = 0 và biểu thức ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)= k(a-b)(b-c)(ca), ta có k = 1.
Đây là dạng toán phức tạp nhưng tôi cố gắng chọn ra bài toán thật đơn
giản, nếu đưa bài toán phức tạp thì vừa mất thời gian lại không hiệu quả.
2.5.3. Bài tập tự luyện
Phân tích đa thức thành nhân tử
M = x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)
N = a(b+c-a)2+b(c+a-b)2+c(a+b-c)2+(a+b-c)(b+c-a)
(c+a-b)
15


2.6.Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “tìm nghiệm
của đa thức”
2.6.1.Cơ sở:
- Nếu f(a)=0 thì x-a là nhân tử của đa thức f(x)
Khi đó f(x)=(x-a)g(x), trong đó f(x), g(x) là các đa thức
- Nếu tam thức ax2+bx+c có hai nghiệm là x1 , x2 thì phân tích được thành
a ( x − x1 ) ( x − x2 )

- Đối với đa thức một biến x : nếu tổng các hệ số bằng không thì đa thức
có một nghiệm là 1 do đó có nhân tử là x - 1. Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng
tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức có một nghiệm là -1 do đó có nhân tử là x+1
2.6.2. Các bài toán
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

x3+3x2-4

Phân tích tìm lời giải:
Dễ nhẩm thấy x=1 là nghiệm của đa thức -> đa thức chứa nhân tử x-1, vậy
ta phải biến đổi đa thức làm xuất hiện nhân tử x-1.
Lời giải
x3+3x2-4 =x3-1+3x2-3 = (x-1)(x2+x+1)+3(x2-1) = (x-1)[x2+x+1+3(x+1)]
=(x-1)(x2+4x+4) = (x-1)(x+2)2
Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a)

x2+3x+2

(1)

b)

x2-x+12

(2)

Gợi ý: Hãy tìm nghiệm của đa thức
Giải
a)

Dễ thấy x=-1 và x=-2 là nghiệm của đa thức (1). Vậy

x2+3x+2=(x+1)(x+2)
Trên cơ sở các em hiểu thật kỹ phần a, tôi cho các em về nhà tự làm phần b.
Bài toán trên rất đơn giản, nhưng lại mở ra một hướng mới cho việc suy
luận tìm lời giải, nó có tác dụng định hướng cho việc phân tích làm xuất hiện
nhân tử chung.
16


Mặt khác, tôi muốn đưa ra dạng toán này để các em sớm tiếp cận và làm
quen với nghiệm của phương trình đặc biệt là phương trình bậc hai mà các em sẽ
học rất nhiều ở lớp 9 và các năm học sau này. Vấn đề của bài toán tuy không “to
tát” song bài toán đã hé mở cho các em một ý tưởng mới.
2.6.3. Bài tập tự luyện
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2-4x+3
b) 2x3-2x2-x+1
c) x3-2x2+1
2.7. Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều
phương pháp
2.7.1. Các bài toán
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b)
Lời giải
A

= b2c+bc2+ac2-a2c-a2b-ab2

=(abc- a2b)+(ac2-a2c)+(b2c-ab2)+(bc2-abc)

(thêm bớt abc)

= ab(c-a)+ac(c-a)+b2(c-a)+bc(c-a)
=(c-a)(ab+ac+b2+bc)
=(c-a)[a(b+c)+b(b+c)]
=(c-a)(b+c)(a+b)
Bài toán trên có vai trò củng cố các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử, mặt khác nó là sự tổng hợp các kiến thức giúp các em có sự nhìn nhận
thấu đáo hơn khi làm toán.
Bài toán 2: Chứng minh rằng
n n2 n3
A= +
+
là số nguyên
3 2
6
Phân tích tìm lời giải: Ta quy đồng biểu thức thành một phân thức nếu
phân thức là số nguyên thì tử chi a hết cho mẫu. Vậy bài toán trở về việc chứng
minh tử chia hết cho mẫu sau khi đã quy đồng.
17


Lời giải:
n n 2 n 3 2n + 3n 2 + n 3
+ +
=
.Ta có
3 2

6
6

2n+3n2+n3 = n(2+3n+n2) = n[(n2+n)+(2n+2)] = n[n(n+1)+2(n+1)] = n(n+1)
(n+2).
Vì n∈Z nên n(n+1)(n+2) là tích của ba số nguyên liên tiếp -> có một thừa
số chia hết cho 2, một thừa số chia hết cho 3 -> n(n+1)(n+2) chia hết cho 6.
Vậy

2n + 3n 2 + n 3
6

∈ Z hay A ∈ Z (đpcm).

Bài toán giải quyết được vấn đề mới đồng thời có sự liên hệ với kiến thức
cũ qua đó các em được củng cố kiến thức thấy được sự liên hệ, tính hệ thống,
móc xích và thống nhất của chương trình.
Chắc chắn rằng qua các bài tập trên, các em sẽ hiểu sâu sắc hơn, có cái nhìn
toàn diện và đặc biệt có hệ thống phương pháp tốt để làm bài tập, từ đó tôi cho
các em làm các bài tập sau:
2.7.2. Bài tập tự luyện
Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử
a4+4a3+a+ 4
Bài 2 : Tính nhanh
a3- a2b- ab2+b3 với a=5,75; b=4,25
Bài 3 : Tìm x biết
a)

x2+x = 2

b)

6x3+x2=2x

Trên đây là hệ thống các bài tập từ dễ đến khó mà tôi đã cung cấp cho học
sinh. Qua đó, tôi thấy trình độ tiếp thu kiến thức của các em khá lên rất nhiều,
việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng và giải các bài toán
nói chung các em đã tiến hành có hệ thống, có định hướng đúng và đặc biệt đối
tượng học sinh có học lực yếu đã biết làm các bài tập dạng tương tự.
3– Khả năng thực hiện, lợi ích của sáng kiến và những kết quả bước đầu
đạt được.
18


3.1.Khả năng ứng dụng của đề tài.
Đây là một đề tài có khả năng ứng dụng trong chương trình giảng dạy toán 8
dễ dàng,

nó không chỉ dùng cho giáo viên giảng dạy toán 8 mà cũng rất hiệu

quả đối với giáo viên khi giảng dạy môn toán 9 khi dạy học sinh giải phương
trình bậc cao hay các bài toán có sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Đồng thời đây cũng là tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh tự tìm tòi học hỏi
khi học về dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử.
3.2.Lợi ích kinh tế, xã hội của đề tài.
Để thực hiện tốt yêu cầu đề ra trong việc giải bài toán “phân tích đa thức
thành nhân tử” với thời lượng lên lớp chính khóa chỉ có 6 tiết là rất khó, đòi hỏi
người giáo viên cần nắm vững kiến thức về các bước giải bài toán dạng này, tích
cực áp dụng giảng dạy trong giờ học chính khóa cũng như ngoại khóa. Cùng với
sự tích cực học tập của học sinh chắc chắn các em sẽ học tốt dạng toán phân tích

đa thức thành nhân tử. Trên cơ sở đó giúp học sinh tự tin, chủ động khi giải các
bài toán khó trong học tập cũng như sự tự tin trong cuộc sống, xây dựng nên
những con người mới, vừa năng động vừa có kiến thức. Đây cũng là một trong
những mục tiêu cần đạt được của giáo dục trong giai đoạn hiện nay.
3.3. Kết quả thực hiện.
Sau khi thực nghiệm sáng kiến kinh nghiệm tại lớp 8 trường THCS Đình
Cao tôi thấy học sinh đã có kỹ năng tốt khi giải bài toán phân tích đa thức thành
nhân tử được thể hiện qua kết quả thực nghiệm.Trước khi thực hiện phương
pháp này, đầu năm học tôi cho các học sinh của 2 lớp 8 (năm học: 2015-2016)
do tôi phụ trách ( gồm 61 em) làm một bài kiểm tra toán lớp 8(Bài số 1) nội
dung về phân tích đa thức thành nhân tử. Sau khi thực hiện đề tài trong quá trình
dạy chính khóa và dạy phụ đạo, tôi tiến hành cho các em làm bài kiểm tra (Bài
số 2) cũng về nội dung phân tích đa thức thành nhân tử . Kết quả ghi lại như
sau :

Số bài Điểm DTB Điểm 5-6
Bài số 1 61
32 53 % 17
28 %
Bài số 2 61
5
8% 18
30%

Điểm 7- 8
7
11%
26
42%

Điểm 9- 10
5
8%
12
20 %
19


Rõ ràng kết quả học tập của học sinh đã tăng lên rõ rệt.
Một kết quả khác mà học sinh của tôi đạt được thông qua trao đổi trò chuyện
với các em học sinh. Tôi thiết nghĩ không thể nói lên bằng các con số đó là:
- Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú trong học toán , từ đó nó
tạo cho các em tính tự tin, độc lập suy nghĩ.
- Phát triển tư duy logic, óc quan sát, suy luận toán học.
C. KẾT LUẬN
Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế những
năm giảng dạy của bản thân tôi.Với những việc làm như đã nêu ở trên, bản thân
tôi tự nghiên cứu áp dụng. Bước đầu tôi thấy có một số kết quả sau:
- Trong quá trình giải các bài tập đã giúp các em có khả năng phân tích,
suy ngẫm, khái quát vấn đề một cách chặt chẽ, các em không còn ngại khó, mà
đã tự tin vào khả năng học tập của mình.
- Nhiều em khá giỏi đã tìm ra được cách giải hay và ngắn gọn phù hợp.
- Cách làm bài của các em cũng đa dạng, nhiều cách khác nhau.
Tuy vậy bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn còn một số ít học sinh
học yếu, lười học, chỉ có khả năng tự mình giải được những bài toán phân tích
đa thức thành nhân tử ở mức đơn giản nhất.
Một yếu tố cũng ảnh hưởng đến chất lượng học của các em có lẽ là
phương pháp giảng dạy của bản thân tôi đôi lúc chưa thực sự hợp lí.
Trong quá trình giảng dạy, chắc hẳn ai cũng mong muốn cho học sinh
hiểu bài, chất lượng học tập của các em tốt hơn, tạo cho các em có đầy đủ điều

kiện bước vào cuộc sống hoặc học lên nữa. Để đạt được các kết quả đó đòi hỏi
mỗi giáo viên và học sinh cần phải :
- Giáo viên cần có một kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ
phù hợp với từng đối tượng học sinh.
- Học sinh phải nắm vững lý thuyết, biết vận dụng thực hành từng loại
toán,
giải nhanh, thành thạo bằng nhiều cách. Trên cơ sở giải bài tập, biết đặt ra bài
tập mới để kích thích sự say mê học toán của mình.
20


- Kiến thức SGK rất cơ bản và bao quát, song không thể “lột tả” hết các
ngõ ngách kiến thức, vì thế người thầy cần phải biết khai thác “các mắt” kiến
thức tạo chiều sâu trong bài giảng.
- Trong giảng dạy, người thầy tránh chữa bài tập một cách tràn lan, mà cần
có sự hệ thống, phân dạng bài tập và đặc biệt hướng dẫn cho các em về mặt
phương pháp.
- Người thầy tránh làm thay các em mà phải tổ chức cho các em tìm tòi
phát hiện kiến thức, từ đó tạo dựng ý thức tự học cho học sinh.
Những biện pháp và việc làm của tôi như đã trình bày ở trên,bước đầu
chưa đạt được kết quả chưa thật mỹ mãn đối với tâm ý của bản thân. Tuy nhiên,
nếu thực hiện tốt tôi nghĩ nó cũng góp phần đổi mới phương pháp dạy học mà
ngành đang quan tâm và chỉ đạo. Mặt khác, với cách trình bày như trên Tôi thiết
nghĩ , chúng ta có thể áp dụng cho một số phần khác như: Giải phương trình bậc
cao; Rút gọn phân thức Đại số
Tôi tin chắc rằng những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện
pháp nhỏ bé trong vô vàn kinh nghiệm được đúc kết qua sách vở cũng như của
các quý thầy giáo, cô giáo đi trước và các bạn đồng nghiệp. Vì vậy, bản thân tôi
rất mong được sự góp ý, xây dựng của quý thầy giáo, cô giáo, cùng các bạn
đồng nghiệp, nhằm giúp tôi từng bước hoàn thiện phương pháp giảng dạy của

mình. Để bản thân tôi có điều kiện cống hiến nhiều hơn nữa trí lực của mình cho
sự nghiệp giáo dục, sự nghiệp mà toàn Đảng, toàn dân ta hằng quan tâm. Tôi xin
chân thành cảm ơn.
Đây là SKKN của bản thân tôi viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Đình Cao, ngày 18 tháng 3 năm
2016.
Người viết

21


Nguyễn Văn Điệp

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 8 tập 1 - Tôn Thân.
2. Sách giáo viên toán 8 tập 1- Tôn Thân.
3. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8 đại số và hình học -Vũ Hữu Bình - Tôn
Thân.
4. Ôn tập đại số 8 – Nguyễn Ngọc Đạm – Vũ Dương Thụy.
5. Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8 -Vũ Dương Thụy.
6. Nâng cao và phát triển Toán 8 - Vũ Hữu Bình .
7. Toán bồi dưỡng học sinh Đại số 8 -Vũ Hữu Bình.
8. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 – Bùi Văn Tuyên.
. 9. Phương pháp giải các dạng toán 8- Nguyễn Văn Nho.

22


MỤC LỤC

NỘI DUNG

TRANG

A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề

2

1. Thực trạng vấn đề nghiên cứu.

2

2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp.

2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài.

3

II. Phương pháp tiến hành nghiên cứu.

3

1. Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn

3

2. Các biện pháp tiến hành, thời gian nghiên cứu.

4

B. NỘI DUNG

5

I .Muc tiêu của đề tài

5

II. Giải pháp của đề tài.

5

1. Các PP phân tích đa thức thành nhân tử

5

2. Các dạng bài tập và cách giải .

6

3. Khả năng thực hiện, lợi ích và những kết quả đạt được

18

C. KẾT LUẬN

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

22

23


XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG THCS ĐÌNH CAO
Tổng điểm:..................................Xếp loại : .....................................
TM. Hội đồng khoa học
Hiệu Trường
Nguyễn Văn Hạnh

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÙ CỪ
Tổng điểm:..................................Xếp loại : .....................................
TM. Hội đồng khoa học

24