Đề tài Giúp học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử toán THCS

SKKN: Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử
PHẦN I
MỞ ĐẦU
1 - Đặt vấn đề:
Trong thời đại ngày nay, các ngành khoa học được đặc biệt quan tâm, trong
đó, toán là bộ môn khoa học trí tuệ, đỉnh cao, là chìa khoá mở cửa cho tất cả các
nghành khoa học khác, là một trong bốn môn khoa học công cụ của nghành Giáo
dục.
Trong chương trình toán cấp II hiện nay các thể loại rất đa dạng, phong phú
nhưng không ít phức tạp, rắc rối mà học sinh học gặp nhiều khó khăn trong quá
trình học tập và nghiên cứu. Một bài toán có thể coi là công cụ của nhiều dạng
bài toán khác đó là: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Để giúp học sinh có được kiến thức cơ bản này, qua thực tế giảng dạy và
tiếp xúc với học sinh từ lớp 8 đến lớp 12 tôi mạnh dạn trình bày một số kinh
nghiệm "Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử" bởi một số
lý do sau:
- Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở của rất nhiều bài toán
khác như: Biến đổi đồng nhất các biểu thức; Rút gọn biểu thức; Giải phương
trinhg đưa về phương trình tích
- Để giải được bài tập dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết và vận dụng linh
hoạt nhiều kiến thức, từ đó rèn luyện kỹ năng phân tích suy đoán.
- Học sinh phải tư duy và nắm chắc các kiến thức liên quan đã học, đồng
thời phải có kỹ năng lựa chọn các phương pháp thích hợp trước một bài toán cụ
thể.
- Xây dựng cho học sinh một thuật toán về phân tích đa thức thành nhân tử,
khắc sâu kiến thức, phát triển năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh.
Đó là lý do tôi chọn đề tài: "Hướng dẫn học sinh giải bài toán Phân tích
đa thức thành nhân tử".
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1
SKKN: Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN II
NỘI DUNG
CHƯƠNG I - CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN.
1. Định luật phân phối giữa phép nhân với phép cộng và quy tắc về dấu để
sử dụng trong phương pháp: Đặt nhân tử chung.
Ví dụ 1: Phân tích thành tích.
a. 10x
2
y - 5x
3
=5x
2
. 2y - 5x
2
.x = 5x
2
(2y - x)
b. 3x
2
(y - 2z) - 15x (2z - y) =
= 3x [x (y - 2z) + 5 (y - 2z)] =
= (y - 2z) (3x
2
+ 5)
2. Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
3. Các bài toán liên quan.
4. Định lý về nghiệm của đa thức.
* Nếu x
0
là nghiệm của đa thức f(x) thì:

f(x) = (x - x
0
) g(x)
* Đặc biệt: Nếu f(x) = ax
2
+ bx + c có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì f(x) = ax
2
+ bx + c
= a (x- x
1
) (x - x
2
).
* Nếu đa thức có tổng các hện số bằng 0 thì chia hết cho: x - 1
* Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chắn bằng tổng các hệ số
của hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho: x + 1.
Ví dụ:
a. f(x) = x
2
- 3x + 2 = (x - 1) (x - 2).
b. f(x) = 2x
2
+ 5x + 3 = 2 (x + 1) (x+ 3/2).
CHƯƠNG II - CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN HƯỚNG DẪN THỰC HIỆN
I - Các phương pháp cơ bản:
1. Phương pháp đặt nhân tử chung:

Trước hết là hiểu rằng: Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức thành
dạng tích của các nhân tử . Vấn đề đặt ra là khi nào thì biểu thức không thể phân
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2
SKKN: Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử
tích được, hay nói cách khác học sinh phải biết biểu thức nào phân tích được,
biểu thức nào không phân tích được, sau đó ta sử dụng định luật phân phối và
quy tắc về dấu để phân tích:
Ví dụ 1: phân tích thành tích:
A = 5a
2
(b - 2c) - 15a (b - 2c)
2
.
Ta biết: A = 5a (b - 2c) [a - 3 (b - 2c)]
= 5a (b - 2c) (a - 3a + 6c).
Chú ý: Một biểu thức bậc nhất không thể phân tích được nữa.
Ví dụ 2: B = 2x (y - z) + (z - y) (x + y).
Nhận xét: y - z = - (z - y).
Từ đó: B = 2x (y - z) - (y - z) (x + y)
= (y - z) [(2x - (x+ y)] =
= (y - z) (x - y).
Ví dụ 3: C = x
3
- 2x
2
+ 2x
= x (x
2
- 2x + 2)

* Biểu thức x
2
- 2x + 2 = (x - 1)
2
+ 1 ≥ 1 > 0 ∀ x
nghĩa là đa thức x
2
- 2x + 2 không có nghiệm nên không thể phân tích được
nữa.
(ta cũng có thể dùng phương pháp phản chứng để chứng minh x
2
- 2x + 2
không thể phân tích được nữa).
2. Phương pháp hằng đẳng thức.
Ví dụ 4: Phân tích thành tích
D = 4x
2
+ 12x + 9
* Nhận xét: D không có nhân tử chung nên ta viết:
D = (2x
2
+ 2 (2x) .3 + 3
2
Áp dụng: (b + a)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
Với a = 2x; b = 3 ta có:

D = (2x)
2
+ 2 (2x).3 + 3
2
= (2x + 3)
2
Ví dụ 5: E = 1

- 8x
6
y
3
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3
SKKN: Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử
Chú ý: ta viết 1 = 1
2
= 1
3
= 1
n
(n
Khi đó E = 1
3
- (2x
2
y)
3
Áp dụng: a
3

- b
3
= (a - b) (a
2
+ ab + b
2
)
E = (1 - 2x
2
y) (1 + 2x
2
y + 4x
4
y
2
)
Hướng dẫn thực hiện:
* Nếu đa thức không có nhân tử chung ta nhận định xem có thể áp dụng
hằng đẳng thức nào.
Ví dụ 6: F = - x
4
y
2
- 8x
2
y - 16
F = [(x
2
y)
2

+ 2.4x
2
y + 4
2
]
= - (x
2
y) + 4)
2
* Trước tiên ta xét hạng tử bậc cao nhất kết hợp với số hạng tự do (nếu có)
là luỹ thừa bậc mấy để có thể nhận định dùng hằng đẳng thức nào.
Chẳng hạn: D = 4x
2
+ 12x + 9
Hạng tử cao nhất: 4x
2
có dạng (2x)
2
và số hạng tự do 9 = 3
2
nên ta dùng
hằng đẳng thức (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
E = 1 - 8x
6
y

3
Hạng tử bậc cao nhất: 8x
6
y
3
có dạng (2x
2
y)
3
và 1 có thể viết: 1 = 1
3
nên ta
dùng hằng đẳng thức: a
3
- b
3
= (a - b) (a
2
+ ab + b
2
).
2. Phương pháp nhóm các hạng tử.
* Một đa thức nếu không dùng được phương pháp đặt nhân tử chung, cũng
không dùng được phương pháp hằng đẳng thức thì ta xét một trong các hạng tử,
những hạng tử nào có cùng nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức thì ta nhóm lại
với nhau.
Ví dụ 7: G = xy - 5y + 2x - 10
Rõ ràng G không phân tích được bằng phương pháp đặt nhân tử chung và
hằng đẳng thức.
Trong 4 hạng tử xuất hiện:

xy - 5y = y (x - 5) và 2x - 10 = 2 (x - 5)
hoặc xy + 2x = x (y + 2) và - 5y - 10 = - 5 (y + 2)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
4
SKKN: Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử
Cả hai hướng đều cho ta kết quả:
G = (x - 5) ( y + 2)
= (y + 2) (x - 5)
Việc chia nhóm phải đạt được mục đích là sau đó xuất hiện nhân tử chung
của các nhóm.
Ví dụ 8: H = x
2
+ 2x + 1 - y
2
Trong 4 hạng tử có: x
2
+ 2x = x (x + 2)
nhưng 1 - y
2
= (1 + y) (1 - y). Giữa hai nhóm không có nhân tử chung và ta
nhận thấy:
x
2
+ 2x + 1 = (x + 1)
2
Khi đó: H = (x + 1)
2
- y
2
là hiệu 2 bình phương

nên H = (x + 1 + y) (x + 1 - y)
Ví dụ 9: I = 81x
2
- 6yz - 9y
2
- z
2
Ta có: - 6yz - 9y
2
= - 3y (2z + 3y)
81x
2
- 9y
2
= (9x + 3y) (9x - 3y) cũng không có nhân tử chung
Ta nhận thấy - (9y
2
+ 6yz + z
2
) = - (3y + z)
2
nên
I = 81x
2
- (9y
2
+ 6yz + z
2
)
= 81x

2
- (3y + z)
= (9x + 3y + z) (9x - 3y - z)
3. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
Khi các phương pháp đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức và kể cả nhóm các
hạng tử không có kết quả ta có thể tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để xuất
hiện nhân tử chung giữa các nhóm hạng tử hoặc hằng đẳng thức.
Thông thường ta tách hạng tử chứa đa số các thừa số còn lại để xuất hiện các
nhóm có nhân tử chung hoặc tách hạng tử tự do để xuất hiện nhân tử chung hoặc
hằng đẳng thức.
Ví dụ 10: K = x
2
+ 5x + 6
Vì K có 3 hạng tử nên việc nhóm 2 hạng tử để xuất hiện nhân tử chung là
không thể được. Ta tách: 5x = 3x + 2x
Khi đó: K = x
2
+ 3x + 2x + 6
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
5
SKKN: Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử
K = (x
2
+ 3x) + (2x +6) = x (x + 3) + 2 (x + 3)
= (x + 3) (x + 2)
hoặc: K = (x
2
+ 2x) + (3x + 6) = x (x + 2) + 3 (x + 2)
= (x + 2) (x + 3).
Ví dụ 11: L = x

2
- x - 6
L = x
2
- 3x + 2x - 6 = x (x - 3) + 2 (x - 3)
= (x - 3) (x + 2)
hoặc: L = x
2
- x - 2 - 4 = (x
2
- 4) - (x - 2)
= (x - 2) (x + 2) - (x + 2)
= (x + 2) (x - 2 - 1)
= (x + 2) (x - 3)
4. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Đa thức có dạng tổng quát của các bình phương ta sẽ thêm bớt cùng một
hạng tử sao cho xuất hiện bình phương của một tổng hay một hiệu.
Ví dụ 12: M = x
4
+ 4
Rõ ràng đây là tổng các bình phương chứ không phải là hiệu các bình
phương nên không thể sử dụng công thức hiệu bình phương.
Ta thấy: M = (x
2
)
2
và 4 = 2
2
nên M = (x
2

)
2
+ 4x
2
+ 2
2
- 4x
2
= (x
2
+ 2)
2
- (2x)
2

= (x
2
+ 2x + 2) (x
2
- 2x + 2)
Chú ý: x
2
+ 2x + 2 = x
2
+ 2x + 1 + 1 = (x + 1)
2
+ 1
x
2
- 2x + 2 = x

2
- 2x + 1 + 1 = (x - 1)
2
+ 1
Đều ≥ 1 > 0 ∀ x nên không tiếp tục phân tích được nữa
Ví dụ 13: Giải phương trình.
5 x
2
- 4(x
2
- 2x + 1) - 5
Cách 1: 5 x
2
- 4(x
2
- 2x + 1) - 5 = 0
⇔ 5 (x
2
- 1) - 4(x
2
- 2x + 1) - 5 = 0
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
6
SKKN: Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử
⇔ (x - 1) [5 (x

+ 1) - 4 (x - 1) ] = 0
⇔ (x - 1) (5x

+ 5 - 4x + 4) = 0

⇔ (x - 1) (x

+ 9) = 0 ⇔ x = 1
x = - 9
Ta áp dụng phương pháp nhóm các hạng tử để phân tích vế trái thành tích.
Cách 2: 5 x
2
- 4(x
2
- 2x + 1) - 5 = 0
⇔ 5 x
2
- 4x
2
+ 8x - 4 - 5 = 0
⇔ x
2
+ 8x

- 9 = 0
⇔ x
2
+ 9x

- x - 9 = 0
⇔ x
2
(x

+ 9) - (x + 9) = 0

⇔ (x

+ 9) (x - 1) = 0 ⇔ x = - 9
x = 1
CHƯƠNG III - CÁC BƯỚC GIẢI.
Qua thực tế giảng dạy và nghiên cứu bài toán phân tích đa thức thành nhân
tử bằng một sô ví dụ ở phần trên tôi mạnh dạn đưa ra trình tự các bước giải bài
toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau:
Bước 1:
- Nhận xét bài toán nếu thấy tất cả các hạng tử có nhân tử chung thì đặt nhân
tử chung.
- Nếu tất cả các hạng tử không có nhân tử chung thì kiểm tra phương pháp
hằng đẳng thức.
- Nếu không sử dụng được phương pháp hằng đẳng thức thì nhóm các số
hạng để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
- Nếu việc nhóm các số hạng không xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng
thức thì ta sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm
bớt cùng một hạng tử.
Bước 2:
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
7
SKKN: Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử
Tuỳ theo phần đa thức còn lại đơn giản hay phức tạp mà sử dụng các
phương pháp như đã thực hiện ở bước 1.
Một vấn đề học sinh còn rất lúng túng và mất nhiều thời gian đólà: Khi nào
thì kết thúc quá trình phân tích.
Do kiến thức về đa thức ở lớp 8 mới dừng ở mức độ khái niệm cơ bản, các
em chưa được trang bị về đa thức bất khả quy nên:
+ Quá trình phân tích sẽ kết thúc nếu các phân tử là các nhị thức bậc nhất,
hoặc nếu là các biểu thức từ bậc hai trở lên thì chúng luôn khác 0 (hoặc lớn hơn 0

hoặc nhỏ hơn 0 ∀ x).
Trên đây là các bước tiến hành giải một bài toán: phân tích đa thức thành
nhân tử. Tuy nhiên chỉ áp dụng đối với những đa thức đơn giản, đặc biệt chỉ sử
dụng các phương pháp đã học ở lớp 8. Còn nói chung đối với các đa thức phức
tạp hơn sẽ được trình bày tỉ mỉ ở phần dành cho học sinh khá giỏi.
Trong khuôn khổ đề tài này, tôi chỉ muốn đưa ra những vấn đề cụ thể, bức
thiết và đơn giản nhằm giúp các em giải được bài toán "Phân tích đa thức thành
nhân tử" và áp dụng vào các dạng bài toán khác một cách linh hoạt, thực tế.
CHƯƠNG IV - CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
5x + 5
Bài toán 1: Cho A = –––––––––
x
2
+ 8x + 7
1. Rút gọn P.
2. Tính giá trị của P với x = 1999
Hướng dẫn giải:
1. Để rút gọn P trước hết ta tìm tập xác định của A. Rõ ràng A xác định
⇔ x
2
+ 8x + 7 ≠ 0 có nghĩa ta phải phân tích x
2
+ 8x + 7 thành tích:
x
2
+ 8x + 7 ≠ 0 ⇔ x
2
+ x + 7x + 7 ≠ 0
⇔ x (x +1) + 7(x + 1) ≠ 0
⇔ (x +1) (x + 7) ≠ 0 ⇔ ⇔ x ≠ -1

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
8
SKKN: Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử
x ≠ - 7
5(x + 1) 5
Khi đó A = ––––––––––– = –––––
(x + 1) (x + 7) x + 7
5
2. Thay x = 1997 vào A ta có A = –––––
2006
Từ bài toán 1 ta có bài toán 1' như sau:
5x + 5 5
Chứng minh A = ––––––––– = –––– (x ≠ - 1; x ≠ - 7)
x
2
+ 8x + 7 x + 7
Bài toán 2: Giải phương trình.
x
3
+ 8x
2
+ 17x + 10 = 0
Hướng dẫn giải:
Rõ ràng đây là phương trình bậc ba đầy đủ mà học sinh không có lời giải
tổng quát, vì vậy chỉ có thể đưa về phương trình tích.
x
3
+ 8x
2
+ 17x + 10 = x

3
+ x
2
+ 7x
2
+ 10x + 7x + 10
= x
2
(x + 1) + 7x (x + 1) + 10 (x + 1) =
= (x + 1) (x
2
+ 7x +10) =
= (x + 1) (x
2
+ 2x + 5x + 10) =
= (x + 1) [x (x + 2) + 5 (x + 2)] =
= (x + 1) (x + 2) (x +5)
x
3
+ 8x
2
+ 17x + 10 = 0 ⇔ (x + 1) (x + 2) (x +5) = 0 x = - 1
x = -2
x = -5
PHẦN III
HIỆU QUẢ
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
9
SKKN: Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử
Sau khi áp dụng bồi dưỡng các em theo đề tài này tôi thấy có kết quả rõ rệt,

ở những năm học trước đa số các em chưa giải nổi các bài toán phải sử dụng
phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạng
tử.
Trước đây các em gặp rất nhiều khó khăn và không có hứng thú giải loại
toán này, song sau khi được học theo phương pháp đã trình bày các em đã rất
ham mê không những chỉ phân tích đa thức thành nhân tử mà còn nghiên cứu,
thực hiện giải các bài toán liên quan.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
10
SKKN: Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử
PHẦN IV
KẾT LUẬN
Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được thực hiện suất quá trình học
tập, nó liên quan và kết hợp với các phương pháp giải các bài toán khác tạo nên
sự lôgic chặt chẽ toán học.
Với những thao tác đơn giản, cơ bản, giúp học sinh dễ dàng nhận biết được
hướng đi của lời giải bài toán, rìu cho các em có kĩ năng phân tích lôgic, phát huy
trí tuệ của các em qua giải bài tập. Đồng thời giúp các em tiếp thu kiến thức một
cách có hệ thống sâu sắc, rèn luyện tính chuyên cần, chính xác, phân tích phán
đoán tổng hợp, tạo hứng thú cho các em khi giải bài tập.
Mặc dù kinh nghiệm thực tế của bản thân chưa nhiều nhưng qua trao đổi
cùng những đồng nghiệp có kinh nghiệm, bằng việc tiếp xúc với tất cả các em tôi
đã cố gắng và mạnh dạn trình bày những kinh nghiệm ít ỏi của mình trong khuôn
khổ của đề tài này, chắc chắn sẽ có nhiều điều bất cập rất mong sự đóng góp, chỉ
bảo của các cấp lãnh đạo và đồng nghiệp để những kinh nghiệm ít ỏi này có thể
góp một phần vào việc nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu xã hội
hiện nay.
Tôi xin chân thành cảm ơn !.
Văn Nghĩa, ngày 10 tháng 05 năm 2008
NGƯỜI THỰC HIỆN

Đinh Thị Thu Hiền
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
11
SKKN: Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
12