SKKN phương pháp giải một số bài toán cực trị đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS

SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS

PHẦN I: LÍ LỊCH

Họ và tên: PHẠM XUÂN HÀ
Chức vụ : Phó hiệu trưởng
Đơn vị công tác : Trường THCS Đình Cao

Sáng kiến kinh nghiệm :

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ
Ở LỚP 8 VÀ LỚP 9 THCS

N¨m häc 2014-2015

Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

1


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
PHẦN II: NỘI DUNG
A - MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề :
1) Thực trạng của vấn đề
Các bài toán với yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, diện tích lớn nhất,
diện tích nhỏ nhất, độ dài đoạn thẳng ngắn nhất …gọi chung là các bài toán cực trị.

Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mang một nội dung vô cùng sâu sắc
trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán: đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài
nhất, v.v …trong một bài toán, để dần dần hình thành cho học sinh một thói quen đi
tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó cho cuộc sống sau này.
Qua việc nghiên cứu và thực tế giảng dạy toán THCS, tôi nhận thấy khái
niệm cực trị chưa được xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉ
hình thành từng bước cho học sinh qua một số bài tập đơn giản trong SGK. Nhưng
các bài toán cực trị rất hay gặp trong các kỳ thi, các bài kiểm tra định kỳ hàng năm
của học sinh lớp 8, lớp 9.
Thực tế hiện nay, học sinh nắm khái niệm cực trị và phương pháp cơ bản để
giải các dạng toán cực trị thường gặp trong chương trình học của các em là rất yếu.
Ngay cả đối với những học sinh giỏi, khi làm bài tập về cực trị cũng gặp không ít
những khó khăn và mắc những sai lầm đáng tiếc trong lập luận hoặc vận dụng các
phép biến đổi thiếu chính xác do không nắm vững khái niệm cực trị, phương pháp,
điều kiện của phép biến đổi khi vận dụng.
Về phía giáo viện giảng dạy bộ môn toán, thực tế có không ít những giáo
viên còn hạn chế trong việc dạy học sinh giải toán cực trị. Một trong những nguyên
nhân dẫn đến tình trạng đó là do giáo viên nghiên cứu những tài liệu có liên quan
đến cực trị nhưng chưa tìm cách phân loại, chỉ ra phương pháp cơ bản cho từng
dạng bài cụ thể, chưa tuyển chọn và sắp xếp các dạng toán cực trị theo một trật tự
phù hợp với đối tượng học sinh.
Chính vì những lí do trên đây, tôi đã chọn sáng kiến Phương pháp giải một
số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS nhằm tháo gỡ một phần khó
Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

2

SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
khăn cho học sinh khi làm các bài toán cực trị, đồng thời đây là một tài liệu giúp
ích cho giáo viên khi dạy học dạng toán này cho học sinh lớp 8, lớp 9.
2) Ý nghĩa, tác dụng của đề tài:
Đề tài này nhằm giúp cho học sinh lớp 8, lớp 9 một số phương pháp giải
bài toán cực trị và giúp các em giảm bớt khó khăn về đường lối, phương pháp
suy luận hạn chế chững sai lầm đáng tiếc khi học toán nói chung và việc giải
các bài toán cự trị nói riêng. Qua đó phần nào gây được hứng thú học tập môn
toán cũng như việc giải các bài toán cực trị có trong chương trình học tập của
các em.
Đề tài này cũng cho giáo viên dạy học một tài liệu ôn tập, ôn thi HSG hữu ích
, là một sáng kiến nên được áp dụng rộng rãi cho học sinh lớp 8 và lớp 9; Sáng
kiến cũng nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục hiện nay.
3) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài:
Đối tượng khảo sát và thực nghiệm là học sinh lớp 8 và 9 THCS Đình Cao
Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng toán cực trị thường gặp trong đại số có
trong chương trình toán 8; 9 THCS.
II) Phương pháp tiến hành
1) Cơ sở lý luận và thực tiễn:
a) Cơ sở lý luận:
Trong chương trình toán THCS thì khái niệm cực trị không được xây dựng
thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉ hình thành từng bước cho học sinh
qua một số bài tập trong sách giáo khoa. Nhưng các bái toán cực trị lại là một vấn
đề thường gặp trong các kỳ thi, các đợt kiểm tra hàng năm. Do đó việc hình thành
khái niệm cực trị một cách hệ thống cho học sinh và việc giải quyết các bài toán
này của học sinh còn gặp nhiều trở ngại .
Vận dụng phương pháp giải một số dạng bài toán cực trị vào giải toán ngoài
việc học sinh được rèn luyện các kỹ năng toán học thì học sinh còn được nâng cao

về mặt tư duy toán học như các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái
quát hoá, đặc biệt hoá… Các thao tác này được thường xuyên rèn luyện.
Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

3


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
Thông qua việc giải các bài toán cực trị ta có thể ôn lại cho học sinh các kiến
thức về phân tích đa thức thành nhân tử , biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt
đối, biểu thức chứa căn thức bấc hai, cách áp dụng một số bất đẳng thức như BĐT
Cauchy, BĐT Bunhia-côp-xki … , cách lập bảng xét dấu các tam thức bậc hai…
b) Cơ sở thực tiễn
Sau nhiều năm dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, xuất phát từ những kinh
nghiệm có được của bản thân qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy khả năng vận
dụng phương pháp giải các dạng bài toán cực trị vào việc giải các bài toán cực trị
cụ thể của học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Việc vận dụng các kỹ năng biến đổi đại
số cũng như hình học còn lúng túng hay mắc sai lầm. Khả năng vận dụng bài toán
này cho các bài toán khác, kỹ năng chuyển đổi bài toán, khai thác bài toán theo
hướng đắc biệt hoá, khái quát hoá chưa cao. Học sinh chưa có thói quen tổng hợp
và ghi nhớ những tri thức phương pháp qua từng bài toán, dạng toán...
Trên đây cũng là những lí do nữa mà tôi muốn làm sáng kiến này để góp phần
giải quyết các vấn đề khó khăn đã nêu.
2) Các biện pháp tiến hành: Giáo viên cần:
- Xây dựng được cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị.
- Tuyển chọn, phân loại được các bài tập cơ bản và nêu lên được các phương

pháp chính giải từng dạng bài tập cự trị cụ thể.
- Dự đoán được các sai sót của học sinh, nêu được những điểm cần chú ý khi
giải các bài toán cực trị.
* Thời gian tạo ra giải pháp: 10/2014 – 2/2015
B – NỘI DUNG
I) Mục tiêu: Giúp học sinh:
- Hiểu được khái niệm cực trị và nắm vững các bước giải của bài toán cực trị.
- Nhận dạng được từng loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phương
pháp giải toán cực trị vào từng bài cụ thể, từ dễ đến khó đẻ làm được bài. Dần thấy
được những điểm mà bản thân mình hay sai khi giải toán cực trị và từ đó có ý thức
khắc phục những sai lầm đó.
Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

4


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
- Bước đầu thấy được những tình huống dẫn đến bài toán cực trị, cách xây
dựng một bài toán cực trị. Trên cơ sở đó có ý thức vận dụng kiến thức về toán
cực trị vào các môn học khác như vật lý, hoá học , … và thấy được tính ứng dụng
của toán cực trị vào đời sống hàng ngày.
II) Nội dung:
II.1: PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ:
Do tính chất sư phạm, để nhằm mục đích học sinh hiểu được khái niệm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (cực trị), giáo viên khi dạy nên đưa khái niệm thật đơn
giản tránh lý thuyết kinh viện. Chính vì thế ta có thể cho học sinh tìm hiểu khái

niệm cực trị thông qua cực trị của hàm một biến như dưới đây.
1. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền (D).
a) M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền (D) nếu như hai điều kiện sau
1) f(x)≤ M víi ∀x ∈ (D)
2) ∃x0 ∈ (D) sao chof(x0) = M

đồng thời được thoả mãn: 

Kí hiệu: M = max f(x), x ∈ (D).
b) m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền (D) nếu như hai điều kiện sau
1) f(x)≥ m víi ∀x ∈ (D)
2) ∃x0 ∈ (D) sao chof(x0 ) = m

đồng thời được thoả mãn: 

Kí hiệu: m = min f(x), x ∈ (D).
Như vậy, theo trên để giải một bài toán cực trị đại số thông thường ta tiến
hành theo hai bước sau:
Bước 1: Chỉ rõ f(x) ≥ m (hoặc f(x) ≤ M), ∀x ∈(D) (với m, M là hắng số).
Bước 2: Chỉ ra được x0 ∈(D) để sao cho f(x) = m (hoặc f(x) = M).
2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ( BĐT) THƯỜNG DÙNG ĐỂ LÀM BÀI TOÁN
CỰC TRỊ:
a) x2 ≥ 0, tổng quát [f(x)]2k ≥ 0 với ∀x; k ∈ Z.
Từ đó suy ra: [f(x)]2k + m ≥ m hoặc M - [f(x)]2k ≤ M.
Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

5


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
a/ x≥ 0

b)

b/ x + y≤ x+ y

; dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu.

c/ x - y≥ x- y

; dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu.

c) Bất đẳng thức Côsi (Cauchy)(cho 2 số) có các dạng sau:
a) (a + b)2 ≥ 4ab,
b)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.

a b
+ ≥ 2, với a.b > 0; dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
b a

c) a + b ≥ 2 ab , (a ≥ 0; b ≥ 0), dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
d) BĐT Bunhia-cop-xki ( cho 2 bộ số(a,b) và (x,y)): Với mọi a,b,x,y ta có :
( ax + by )2 ≤ ( a2 + b2 )( x2 + y2 )

a b
= (a, b, x, y ≠ 0)
x y

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

3. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ THƯỜNG DÙNG
TRONG ĐẠI SỐ.
a) Phương pháp tam thức bậc hai:
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D =
Lời giải:Ta có: D =

x 2 + x +1

( x + 1) 2

x2 + x + 1
( x + 1) 2

2
(
x + 1) − ( x + 1) + 1
1
1
=
=
1
−
+
x + 1 ( x + 1) 2

( x + 1) 2
2

1
1
3 3
= t , khi đó D có dạng:D = t2 - t + 1=  t −  + ≥
Đặt
x +1
 2 4 4

với mọi t.

2

3
1
1
 1
D = ⇔ t −  = 0 ⇔
= ⇔ x = 1.
4
x +1 2
 2
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của D bằng , đạt được khi x = 1.
4

b) Phương pháp xét khoảng:
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:M = | x - 5| + | x + 2|

Lời giải:
* Nếu x < - 2, ta có:M = - x + 5 - x - 2 = - 2x + 3 > 4 + 3 = 7.
* Nếu - 2 ≤ x ≤ 5, ta có:M = - x + 5 + x + 2 = 7.
* Nếu x > 5, ta có:M = x - 5 + x + 2 = 2x - 3 > 10 - 3 = 7.
Vậy trong mọi trường hợp ta có minM = 7, đạt được khi - 2 ≤ x ≤ 5.
Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

6


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
* Lưu ý : Trong ví dụ trên ta có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức:
x + y≤ x+ y
c) Phương pháp miền giá trị của hàm số:
Giả sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị (D). Gọi y 0 là
một giá trị nào đó của f(x) với x ∈ (D). Điều này có nghĩa là phương trình
f(x) = y 0 ( với x ∈ (D) ) phải có nghiệm.
Sau khi giải phương trình, điều kiện có nghiệm thường dẫn đến bất đẳng thức:
m ≤ y0 ≤ M.
Từ đó suy ra: min f(x) = m với x ∈ (D); max f(x) = M với x ∈ (D).
Cũng có trường hợp ta chỉ tìm được giá trị nhỏ nhất mà không có giá trị lớn
nhất, hoặc ngược lại.
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số:a) y = 7x2 - 4x + 1

b)y = - 6x2 + 5x - 2.

Lời giải:
a) Hàm số xác định với ∀x ∈ R. Giả sử y0 là một giá trị nào đó của y suy ra: y 0 =
7x2 - 4x + 1
Do đó phương trình (biến x): 7x2 - 4x + 1 - y0 = 0 phải có nghiệm.
⇔ ∆' = 4 - 7(1 - y0) = 7y0 - 3 ≥ 0 ⇔ y0 ≥
Vậy min y =

3
.
7

3
2
, đạt được khi và chỉ khi x = (nghiệm kép vì lúc đó ∆' = 0).
7
7

b) Làm tương tự câu a) ta có max y = −
Ví dụ 2: Cho A =

23
5
, đạt được khi và chỉ khi x = .
24
12

2( x 2 + x + 1)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A.
x2 +1

Lời giải: Vì x2 + 1 > 0 với ∀x nên A xác định với ∀x.
Phương trình: A(x2 + 1) = 2(x2 + x + 1)⇔ (A - 2)x2 - 2x + (A - 2) = 0 (*)
Phương trình có nghiệm khi ∆' = 1 - (A - 2)2 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ A ≤ 3.
1) Khi A = 1, từ (*) suy ra - x2 - 2x - 1 = 0⇔ (x + 1)2 = 0 ⇔ x = - 1.
2) Khi A = 3, từ (*) suy ra x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ (x - 1)2 = 0 ⇔ x = 1.
Vậy min A = 1 khi và chỉ khi x = - 1; max A = 3 khi và chỉ khi x = 1.
Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

7


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
Chú ý: Ở ví dụ 2 trên ta có thể giải bài toán theo cách khác.
1) A =

( x + 1) 2
2( x 2 + x + 1) ( x 2 + 1) + ( x 2 + 2x + 1)
=
=
1
+
≥1
x 2 +1
x 2 +1
x 2 +1
vì

( x + 1) 2

≥ 0 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = - 1.

x 2 +1

Vậy min A = 1 khi và chỉ khi x = - 1.

( x − 1) 2
2( x 2 + x + 1) 3( x 2 + 1) − ( x 2 − 2 x + 1)
=
= 3− 2
≤3
2) A =
x 2 +1
x 2 +1
x +1
( x − 1) 2 ≥ 0
vì 2
. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 1.
x +1

Vậy max A = 3 khi và chỉ khi x = 1.
d) Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức phụ:
Nội dung của phương pháp này là vận dụng các bất đẳng thức đã chỉ ra ở mục
các BĐT thường dùng để chỉ ra giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a)A=3-(2x - 1)

2

b) B = 4x - x + 2c) c) C =
2

2
5x 2 + 21
d) D = 2
x 2 − 4x + 9
x +3

Lời giải:
a) (2x - 1)2 ≥ 0 với ∀x, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

x=

1
.
2

⇔ - (2x - 1)2 ≤ 0 ⇔ 3 - (2x - 1)2 ≤ 3.
Vậy max A = 3 khi và chỉ khi x =

1
.
2

b) B = 4x - x2 + 2 = 6 - (x2 - 4x + 4) = 6 - (x - 2)2 ≤ 6 Vậy max B = 6 ⇔ x = 2.
c) x2 - 4x + 9 = (x - 2)2 + 5 ≥ 5, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Vì mẫu luôn luôn dương nên phân thức đã cho luôn có nghĩa, tử là hằng số

dương nên phân thức sẽ lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất, do đó:
max C =

2
khi và chỉ khi x = 2.
5

5x 2 + 21 5x 2 + 15 + 6
6
d) D = 2
=
=5+ 2
2
x +3
x +3
x +3
Phạm Xuân Hà
-

THCS Đình Cao

8


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
Ta có: x2 + 3 ≥ 3 ⇒

6
6
≤ = 2.

x +3 3
2

Vậy max D = 5 + 2 = 7 khi và chỉ khi x = 0.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của :a) E = x + 8 − x

b) F = | x - 3| + | x - 5|

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức | x| + | y| ≥ | x + y|
a) E = x + 8 − x ≥ x + 8 − x = 8 , khi và chỉ khi x(8 - x) ≥ 0
Lập bảng xét dấu:
x
…
0
x
0
8-x
+
x(8 - x)
0
Vậy min E = 8 khi và chỉ khi 0 ≤ x ≤ 8.

8
+
+
+

…
+
-

0
0

b) Ta có: F = | x - 3| + | x - 5| = | x - 3| + | 5 - x| ≥ | x - 3 + 5 - x| = 2.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x - 3)(5 - x) ≥ 0 ⇔ 3 ≤ x ≤ 5.
Vậy min F = 2 khi và chỉ khi 3 ≤ x ≤ 5.
Ví dụ 3: Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức:a) M = x +
b) N =

( x + a )( x + b )
x

16
với x > 2
x−2

với x > 0; a, b là các hằng số dương.

Lời giải:
a) M = x +

16
16
= ( x − 2) +
+2
x−2
x−2

Vì x > 2 ⇒ x - 2 và

Nên tổng (x - 2) +
x-2 =

16
16
là hai số dương có tích không đổi: (x - 2).
= 16
x−2
x−2
16
sẽ nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau:
x−2

16
⇔ (x - 2)2 = 16 ⇔ x2 - 4x - 12 = 0.
x−2

Phương trình này có hai nghiệm x1 = 6, x2 = - 2 nhưng nghiệm x2 = - 2 không phù
hợp với điều kiện x > 2.

Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

9


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS

Vậy min M = (6 - 2) +

16
+ 2 = 10 khi và chỉ khi x = 6.
6−2

Chú ý: Ta cũng có thể áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi với hai số dương x - 2 và
16
16
, ta có (x - 2) +
≥ 2
x−2
x−2

b) N =

( x − 2 ).

16
= 2.4 = 8 .
x−2

( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab = x + ab + ( a + b )
x

x

x

x+

ab
ab
≥ 2 x.
= 2 ab , dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
x
x

x=

ab
⇔ x2 = ab ⇔ x = ±
x

ab , vì x > 0 nên x =

Vậy min N = a + b + 2 ab =

(

a+ b

)

2

ab .

khi và chỉ khi x =

ab .

1 1 1
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của P = ( a + b + c )  + +  , với a, b, c > 0.
a b c
1 1 1
a b
b c
c a
Lời giải: P = ( a + b + c )  + +  = 1 +  +  + 1 +  +  + 1 +  + 
a b c
b a
c b
a c

Áp dụng hằng đẳng thức

a b
+ ≥ 2 (với a, b > 0) ta được:
b a

P ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9. Vậy min P = 9 khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 5: Tìm giá trị lơn nhất của biểu thức:
G = | x + 2y + 3z| biết rằng ba số x, y, z thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 1.
Lời giải:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski, ta có:
(x + 2y + 3z)2 ≤ (12 + 22 + 33)(x2 + y2 + z2) = 14
⇒ | x + 2y + 3z| ≤

14 , dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

x y z
= = ⇒ y = 2x, z = 3x.
1 2 3

Vậy max G = 14 khi và chỉ khi y = 2x, z = 3x.
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x + 5 + 3 − x
Lời giải:
* Điều kiện xác định: - 5 ≤ x ≤ 3.
Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

10


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
Ta có thể giải bài toán trên theo những cách vận dụng bất đẳng thức như sau:
Cách 1:
Ta có A 2 = x + 5 + 3 − x + 2 ( x + 5)( 3 − x ) = 8 + 2 ( x + 5)( 3 − x ) ≤ 8 + ( x + 5) + ( 3 − x ) = 16.
⇒A2 ≤ 16 ⇒A ≤ 4. A = 4 khi và chỉ khi x + 5 = 3 - x ⇔ x = -1 (TMĐK).
Vậy max A = 4 khi và chỉ khi x = - 1.
Cách 2: Chứng minh bất đẳng thức phụ: a + b ≤

2( a 2 + b 2 ) (BĐT Bunhiacôpski)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: A = x + 5 + 3 − x ≤ 2( x + 5 + 3 − x ) = 4 .
A = 4 khi và chỉ khi

x + 5 = 3 − x ⇔ x + 5 = 3 - x ⇔ x = - 1.

Vậy max A = 4 khi và chỉ khi x = - 1.
Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có:

[

]

1
1  x + 5 + 4 3 − x + 4  1 16
A = . (x + 5).4 + (3 − x).4 ≤ .
+
 = 2. 2 = 4
2
2
2
2


x + 5 = 4
A=4⇔
⇔ x = −1 .Vậy max A = 4 khi và chỉ khi x = - 1.
3
−
x
=
4

4. MỘT SỐ CHÚ Ý KHI TÌM CỰC TRỊ:

a) Chú ý 1: Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ta có thể đổi
biến. Chẳng hạn ta xét ví dụ sau đây:
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5)
Lời giải:Ta có P = (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = (x2 + 4x - 5)(x2 + 4x + 3).
Đặt x2 + 4x - 1 = t, khi đó P có dạng:P = (t - 4)(t + 4) = t2 - 16 ≥ - 16. ∀t.
P = - 16 khi và chỉ khi t = 0 ⇔ x2 + 4x - 1 = 0 ⇔ x = −2 − 5 hoặc x = −2 + 5
Vậy min P = - 16 khi và chỉ khi x = −2 − 5 hoặc x = −2 + 5 .
b) Chú ý 2: Khi tìm cực trị của biểu thức nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức
này đạt cực trị bởi biểu thức khác đạt cực trị (xét biểu thức phụ)
A lớn nhất (A > 0) ⇔

1
nhỏ nhất.; A lớn nhất (A > 0) ⇔ A2 lớn nhất.
A

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của B =
Phạm Xuân Hà

-

x4 +1

(x

2

)

+1

2

THCS Đình Cao

11


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
Lời giải: Ta thấy x4 + 1 > 0 ∀x và (x2 + 1)2 > 0 ∀x ⇒ B > 0 nên:
B lớn nhất ⇔

(

)

1
1
nhỏ nhất; B nhỏ nhất ⇔
lớn nhất.
B
B

2

1
x 2 +1
x 4 + 2x 2 + 1
2x 2
Ta có: = 4
(*)

=
=
1
+
B
x +1
x 4 +1
x4 +1

a) Tìm giá trị lớn nhất của B:
Vì 2x2 ≥ 0 ∀x, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
x4 + 1 > 0. Suy ra

1
2x 2
1
2x 2
≥
0
∀x.
;
Từ
(*):
=
1
+
≥
1
⇒
min

= 1⇔ x = 0.
B
B
x4 +1
x4 +1

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B:
Ta có: (x2 - 1)2 ≥ 0, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x2 = 1 ⇔ x = ± 1.
⇔ x4 + 1 ≥ 2x2. Vì x4 + 1 > 0, chia hai vế cho x4 + 1 ta được
Từ (*) ⇒

2x 2
≤1.
x 4 +1

1
≤ 1 + 1 = 2 ⇒ min B = 2 khi và chỉ khi x = ± 1.
B

II.2. CÁC DẠNG TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG
PHÁP GIẢI:
DẠNG 1: Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Các phương pháp thường dùng để giải các bài toán dạng này gồm:
* Chia khoảng, xét trong từng khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối. So sánh các giá
trị trong tất cả các trường hợp để tìm ra giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.
* Sử dụng các bất đẳng thức phụ:
+ | A| + | B| ≥ | A + B| . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A.B ≥ 0.
+ | A| - | B| ≤ | A - B| . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi B.(A - B) ≥ 0.
1

+ | A| + A ≥ 2 ( A ≠ 0) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A = ± 1.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = | x - 5| + | x + 2| .
Lời giải:
Cách 1: Ta xét các trường hợp sau
Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

12


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
* Nếu x < - 2, ta có M = - x + 5 - x - 2 = - 2x + 3 > 4 + 3 = 7.
* Nếu - 2 ≤ x ≤ 5, ta có M = - x + 5 + x + 2 = 7.
* Nếu x > 5, ta có M = x - 5 + x + 2 = 2x - 3 > 10 - 3 = 7.
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7 đạt được khi và chỉ khi - 2 ≤ x ≤ 5.
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức | A| + | B| ≥ | A + B| ta có:
M = | x - 5| + | x + 2| = | 5 - x| + | x + 2| ≥ | 5 - x + x + 2| = 7.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (5 - x)(x + 2) ≥ 0 ⇔ - 2 ≤ x ≤ 5.
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7 đạt được khi và chỉ khi - 2 ≤ x ≤ 5.
Cách 3:
Áp dụng | A| ≥ A, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A ≥ 0, ta có:
M = | x - 5| + | x + 2| = | 5 - x| + | x + 2| ≥ 5 - x + x + 2 = 7.
5 − x ≥ 0
x ≤ 5
⇔

⇔ −2 ≤ x ≤ 5.
x + 2 ≥ 0
 x ≥ −2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
Lời bình:

- Theo cách 1, nếu bài toán có n dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét (n + 1) trường
hợp ứng với (n + 1) khoảng giá trị của x. Rõ ràng với cách này làm cho lời giải bài
toán rất dài nếu biểu thức có nhiều dấu giá trị tuyệt đối.
- Theo cách 2 và cách 3 lời giải của bài toán rất gọn ngay cả khi đề bài có chứa
nhiều dấu giá trị tuyệt đối. Nhưng để làm theo cách 2 hoặc cách 3 thì ta cần phải có
thao tác đổi dấu của biểu thức nằm ở một trong hai dấu giá trị tuyệt đối của M
trước khi vận dụng bất đẳng thức phụ. Làm như vậy thì sau khi áp dụng bất đẳng
thức phụ để đánh giá sẽ được một hằng số. Chính điều này khi dạy, giáo viên cần
chỉ ra cho học sinh tại sao phải làm như vậy, làm như vậy nhằm mục đích gì?.
Thực tế học sinh rất dễ sai ở thao tác này khi làm bài.
- Nếu đối tượng là học sinh lớp 9, giáo viên nên chỉ ra biểu thức M ở trên có thể
thay thế bởi M = x 2 − 10x + 25 + x 2 + 4x + 4 , chính điểm này giúp cho học sinh lớp
9 có thể giải được không ít các bài tập cực trị có chứa căn thức có trong chương trình.
Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

13


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: N = | x2 + 2x + 3| + | x2 + 2x - 15| .
Lời giải: Ta có: x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 > 0 ∀x.
Do đó: | x2 + 2x + 3| = x2 + 2x + 3 ∀x.Suy ra ta có:
N = | x2 + 2x + 3| + | x2 + 2x - 15|
= x2 + 2x + 3 +| - x2 - 2x + 15| ≥ x2 + 2x + 3 - x2 - 2x + 15 = 18
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi - x2 - 2x + 15 ≥ 0
⇔ - (x + 1)2 + 16 ≥ 0 ⇔ - 4 ≤ x + 1 ≤ 4 ⇔ - 5 ≤ x ≤ 3
Vậy min N = 18 khi và chỉ khi - 5 ≤ x ≤ 3.
Lời bình:
- Từ ví dụ 1 và ví dụ 2, giáo viên khi dạy có thể cho học sinh nhận xét về đặc
điểm của biểu thức M và N (số dấu giá trị tuyệt đối, cách làm …) qua đó thấy được
ưu thế của phương pháp sử dụng bất đẳng thức phụ | A| + | B| ≥ | A + B| .
- Đến đây giáo viên có thể khái quát bài toán qua ví dụ 1 và ví dụ 2 đó là:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức | f(x) + a| + | f(x) + b| .
Nhưng để đi đến bài toán tổng quát, giáo viên cần tiếp tục đưa thêm những ví
dụ và đặt ra những câu hỏi trọng tâm để học sinh phát hiện ra vấn đề.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = | x - 5| + | x + 4| + | x - 2| + | x - 1| .
b) B = | x + 20| + 11| 3x - 5| + | x - 4| .
c) C = | x - y| + | y + 3| + | - x2 + x| .
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) | x + 5| - | x - 1| ;
b) | x - 7| + | x - 2| .
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
M = | x| + | 2x + 1| + | 3x + 2| + … + | 98x + 97| + | 99x + 98| .

(x
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: H =
Phạm Xuân Hà

-

2

)(

+ 16 x + 48 x 2 + 12 x + 27

)

x2
THCS Đình Cao

14


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
DẠNG 2: Biểu thức là đa thức.
Các phương pháp thường dùng:
- Sử dụng bất đẳng thức A2m ≥ 0 ∀m ∈ N*. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A = 0.
- Sử dụng phương pháp đưa dần các biến vào hằng đẳng thức.
- Phương pháp miền giá trị, biến đổi đưa về tam thức bậc hai, …
1. Đa thức một biến:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = x2 + x + 4

b) B = 2x2 - x + 5,

c) C = ax2 + bx + c (với a > 0, a, b, c là các hằng số)

2

Lời giải: a)Ta cã:
A=

1  15 
1  15 15

A = x + x + 4 =  x2 + x +  +
= x+  +
≥ ∀x
4 4 
2
4
4

2

15
1
15
1
khi và chỉ khi x = - .Vậy min A =
đạt được khi x = - .
4
2
4
2
2

x 1  39 
1
39 39

b)Ta cã: B = 2 x2 − +  +
= 2 x −  +
≥ ∀x
2 16 8
4
8 8



B=

39
1
39
1
khi và chỉ khi x = .Vậy min B =
đạt được khi x = .
8
4
8
4
2


b
b2 

b2
b
b2 − 4ac b2 − 4ac

c)Ta cã: C = a x2 + x + 2  + c −
= a x +  −
≥−
a
4a
2a
4a
4a
4a




2

b2 − 4ac
b

vì a x +  ≥ 0∀x doa > 0 ; C = −
khi và chỉ khi
2a
4a


2

b

a x +  = 0 ⇔
2a


b
b
b2 − 4ac
x=. VËyminC = −
khi x = - .
2a
2a
4a

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) M = - x2 - 3x + 4,b) N = - 3x2 + 2x - 1,
c) P = ax2 + bx + c

(với a < 0, a, c, b là hằng số).
2

Lời giải: a)Ta cã:
M=

9  25 
3
25 25

M= − x − 3x + 4 = −  x2 + 3x +  +

= − x +  +
≤ ∀x
4 4
2
4 4


2

25
3
25
3
khi và chỉ khi x = - .Vậy min M =
đạt được khi x = - .
4
2
4
2

Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

15


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS

2

b)Ta cã:

2
1
2
 1 2
N= -3 x -  − ≤ − ∀x N = − khi và chỉ khi x = .
3
3
3
 3 3

Vậy min N = −

2
1
đạt được khi x = .
3
3
2


b
b2 
b2
b
b2 − 4ac b2 − 4ac


c)Ta cã: P = a x2 + x + 2  + c −
= a x +  −
≤−
∀x
a
4a
2a
4a
4a
4a




2

b2 − 4ac
b

vì a x +  ≤ 0∀x doa < 0 , P = −
khi và chỉ khi
2a
4a


2

b
 b
a x +  = 0 ⇔ x = 2a

 2a

b
b2 − 4ac
khi x = - .
VËymaxP = −
2a
4a

Lời bình: Ví dụ 1, ví dụ 2 là các đa thức bậc hai, phương pháp thường dùng để tìm
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức dạng này là đưa các biến vào hằng đẳng
thức và sử dụng bất đẳng thức A2m ≥ 0 ∀m ∈ N*. Đối với biểu thức dạng này, nếu
là đối tượng học sinh lớp 9 cuối học kỳ II , giáo viên có thể giới thiệu phương pháp
miền giá trị để các em là quen.
Từ kết quả ví dụ 1c và ví dụ 2c ta rút ra được kết luận sau:
b
b2 − 4ac
+ Đa thức ax + bx + c (a > 0) có giá trị nhỏ nhất là −
khi x = - .
2a
4a
2

+ Đa thức ax2 + bx + c (a < 0) có giá trị lớn nhất là −

b
b2 − 4ac
khi x = - .
2a
4a

Qua hai ví dụ ở trên, khi dạy giáo viên nên cho học sinh rút ra nhận xét khi nào
thì đa thức ax2 + bx + c có giá trị lớn nhất, có giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + 2042.
b) B = (x - 1)(x - 4)(x - 5)(x - 8) + 2006.
Lời giải:a) Ta có A = [(x - 1)(x + 6)][(x + 2)(x + 3)] + 2042
= (x2 + 5x - 6)(x2 + 5x + 6) + 2042= (x2 + 5x)2 - 62 + 2042
= (x2 + 5x)2 + 2006 ≥ 2006 ∀x.
A = 2006 khi và chỉ khi x2 + 5x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = - 5.
Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

16


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
Vậy min A = 2006 khi x = 0 hoặc x = - 5.
b) Ta có B = [(x - 1)(x - 8)][(x - 4)(x - 5)] + 2006
= (x2 - 9x + 8)(x2 - 9x + 20) + 2006
= [(x2 - 9x + 14) - 6].[(x2 - 9x + 14) + 6] + 2006
= (x2 - 9x + 14)2 - 62 + 2006
= (x2 - 9x + 14)2 + 1970 ≥ 1970 vì (x2 - 9x + 14)2 ≥ 0 ∀x
B = 1970 ⇔ x2 - 9x + 14 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 7.
Vậy min B = 1970 khi x = 2 hoặc x = 7.
Lời bình:Bài toán ở ví dụ 3 trên có bài toán tổng quát là:
Tìm giá trị nhỏ nhất của: (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + e với a, b, c, d, e là các

hằng số và a + b = c + d.
Đối với dạng toán này giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phương pháp đổi
biến (đặt ẩn phụ) để đưa về tam thức bậc hai rồi vận dụng cách làm như ví dụ 1, 2.
Khi hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ cần lưu ý: có nhiều cách đặt ẩn phụ đối
với dạng toán này, nhưng thường cách đặt sau đây đem lại hiệu quả và giúp ta có
lời giải gọn hơn:Biểu thức dạng: [f(x) + a].[f(x) + b] ta đặt ẩn phụ t = f(x) +

a+b
.
2

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = (x + 5)4 + (x + 1)4

b) B = (x - 3)4 + (x + 7)4.

Lời giải:a) Đặt y = x + 3 ta có: A = (y + 2)4 + (y - 2)4
= y4 + 8y3 + 24y2 + 24y + 16 + y4 - 8y3 + 24y2 - 24y + 16
= 2y4 + 48y2 + 32 ≥ 32 ∀y.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi y = 0 ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = - 3.
Vậy min A = 32 khi x = - 3.
b) Đặt y = x + 2 ta có:B = (y - 5)4 + (y + 5)4
= y4 - 20y3 + 150y2 - 500y + 625 + y4 + 20y3 + 150y2 + 500y + 625
= 2y4 + 300y2 + 1250 ≥ 1250 ∀y
B = 1250 khi và chỉ khi y = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = - 2.Vậy min B = 32 khi x = - 2.
Lời bình: Ví dụ 4 a, b có bài toán tổng quát là:
Phạm Xuân Hà
-

THCS Đình Cao

17


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
Tìm giá trị nhỏ nhất của: (x + a)4 + (x + b)4 (a, b là hằng số).
Với bài toán này ta thường chọn cách đặt ẩn phụ là y = x +

a+b
.
2

Bằng cách đặt ẩn phụ như vậy sau khi khai triển và rút gọn ta sẽ nhận được
một đa thức dạng a0y4 + b0y2 + c0 với a0, b0, c0 > 0. Đến đây hoàn toàn ta có thể giải
tiếp được bài toán.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) (x - 3)2 + (x + 1)2; b) (x - 1)2 + (x + 3)2 + (x + 5)2
c) (x - a)2 + (x - b)2 + (x - c)2,

(a, b, c là các hằng số).

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) b) (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7)
c) (x2 + 8x + 8)(x2 + 8x + 16)
2. Biểu thức là đa thức bậc hai nhiều biến:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) M = 2x2 + y2 - 2xy - 2x - 2y + 12, b) N = x2 + 5y2 - 4xy + 6x - 14y + 15.
Lời giải:a) Ta có:
M = 2x2 + y2 - 2xy - 2x - 2y + 12= (x2 + y2 - 2xy) + (2x - 2y) + 1 + (x2 - 4x + 4) + 7

= (x - y)2 + 2(x - y) + 1 + (x - 2)2 + 7= (x - y + 1)2 + (x - 2)2 + 7 ≥ 7 ∀x, y
x − y + 1 = 0
x = 2
M=7⇔
⇔
. Vậy min M = 7 khi x = 2 và y = 3.
x − 2 = 0
y = 3

b) Ta có:N = x2 + 5y2 - 4xy + 6x - 14y + 15
= x2 - 2x(2y - 3) + (2y - 3)2 + 5y2 - (2y - 3)2 - 14y + 15
= (x - 2y + 3)2 + (y2 - 2y + 1) + 5= (x - 2y + 3)2 + (y - 1)2 + 5 ≥ 5 ∀x, y.
x − 2 y + 3 = 0
 x = −1
N=5⇔ 
⇔
.Vậy min N = 5 khi x = - 1 và y = 1.
y − 1 = 0
y = 1

Lời bình: Lời giải ở ý a) là ta tìm cách tách các hạng tử của M một cách thích hợp
để đưa các biến vào hằng đẳng thức và đưa M về dạng tổng các bình phương. Với
cách làm này khi học sinh áp dụng để làm các câu khác cùng loại thường gặp khó
khăn vì thao tác tách như như thế nào để được kết quả như ý. Như vậy việc đi tìm
18
Phạm Xuân Hà
THCS Đình Cao


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS

cách tách đó mang tính chất mò mẫm, mất nhiều thời gian, không thể hiện được
đường lối phương pháp chung cho loại biểu thực này.
Lời giải ở ý b) đã chỉ rõ cho ta một đường lối để đạt được mục đích là đưa
biểu thức ban đầu về dạng tổng các bình phương đó là:
- Đầu tiên ta đi nhóm các hạng tử chứa ẩm x lại rồi thêm bớt để đưa toàn bộ
các hạng tử chứa ẩn x vào bình phương của một đa thức.
- Tiếp đó ta đi thêm bớt để đưa nốt ẩn y vào bình phương của một đa thức còn lại.
Với cách làm này, học sinh chỉ cần nắm vững về hằng đẳng thức đáng nhớ,
cùng với thao tác thêm bớt hạng tử đưa dần từng biến của biểu thức vào các hằng
đẳng thức. Phương pháp này gọi là phương pháp đưa dần các biến vào hằng đẳng
thức, vận dụng phương pháp này học sinh dễ dàng làm tốt các bài tập với biểu thức
là đa thức bậc hai nhiều biến. Nhưng điều hạn chế của phương pháp này là lời giải
của bài toán thường hơi dài hơn so với cách tách hợp lí các hạng tử. Ta xét ví dụ
sau đây để làm rõ thêm điều này:
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: H = 4x2 +3y2 - 2xy - 10x - 14y + 30.
Lời giải:
Cách 1: Ta có:H = 4x2 +3y2 - 2xy - 10x - 14y + 30
= (x2 + y2 + 1 - 2xy + 2x - 2y) + 3(x2 - 4x + 4) + 2(y2 - 6y + 9) - 1
= (x - y + 1)2 + 3(x - 2)2 + 2(y - 3)2 - 1 ≥ - 1 ∀x, y.
x − y + 1 = 0
x = 2

H = −1 ⇔ x − 2 = 0
⇔
.Vậy min H = - 1 khi x = 2 và y = 3.
y
=
3

y − 3 = 0



Cách 2: Ta có:H = 4x2 +3y2 - 2xy - 10x - 14y + 30
2
2

 y +5   y +5  
 y +5 
2
= 4 x 2 −2x. 
+
+
3y
−
÷ 
÷

÷ −14y +30
 4   4  
 4 



2

2

y +5 
11y 2 −66y +95
y +5 

11
95 99


2
= 4 x −
= 4 x −
−
÷+
÷ + . ( y −6y +9 ) +
4
4
4
4
4
4




2

y +5 
11
2

= 4 x −
÷ + ( y −3 ) −1 ≥−1∀x, y
4 
4



y+5

=0
x = 2
x −
H = −1 ⇔ 
⇔
4
.Vậy min H = - 1 khi x = 2 và y = 3.
y = 3
 y − 3 = 0

Bài tập vận dụng:
Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

19


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) 5x2 + 2y2 + 2xy - 26x - 16y + 54, b) (x - y)2 + (x + 1)2 + (y - 5)2 + 2006,
c) (x - 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) x2 + 2y2 + 3z2 - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2014,

b) x2 + 6y2 + 14z2 - 8yz + 6zx - 4xy + 2005,
c) x2 + 5y2 + 3z2 - 4xy + 2xz - 2yz - 6z + 2014.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của:
a) A = 4xy + 8yz - 4x2 - 10y2 - 3z2 - 4xz - 12z + 1969,
b) B = xy, biết x, y là hai số thực thoả mãn x + 2y = 1.
DẠNG 3: Biểu thức là phân thức một biến.
Các phương pháp thường dùng:
- Sử dụng phép biến đổi: Nếu A ≥ B ⇒

1 1
≤ (với A.B > 0);
A B

- Đặt ẩn phụ đưa về tam thức bậc hai;
- Phương pháp miền giá trị;
- Phương pháp bất đẳng thức phụ; …
Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn nhất của: A =

1
;
9x − 12x + 11

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của: B =

2

1
.
- 4x 2 + 20x − 29

Lời giải:a) Ta có: 9x2 - 12x + 11 = (9x2 - 12x + 4) + 7 = (3x - 2)2 + 7 ≥ 7 > 0 ∀x.
⇒A=

1
1
1
2
≤ ∀x. A =
⇔ 3x - 2 = 0 ⇔ x = .
9x − 12x + 11 7
7
3
2

1
2
khi x = .
7
3

Vậy max A =

b) Ta có: - 4x2 + 20x - 29 = - (4x2 - 20x + 25) - 4 = - (2x - 5)2 - 4 ≤ - 4 < 0 ∀x.
⇒B=

1
1
1
5
≥ − ∀x.B = − ⇔ 2x - 5 = 0 ⇔ x = .

4
- 4x + 20 x − 29
2
4
2

Vậy min B = −
Phạm Xuân Hà

1
5
khi x = .
2
4

-

THCS Đình Cao

20


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
Lời bình:- Biểu thức A và B trong ví dụ trên là phân thức một biến có tử là hằng số
và mầu là tam thức bậc hai. Để biểu thức dạng này tồn tại giá trị nhỏ nhất hay lớn
nhất trên tập xác định của nó thì mẫu thức luôn phải nhận giá trị âm hoặc dương
với mọi giá trị của biến.
- Với biểu thức dạng này, ta cũng có thể làm theo cách nhận xét về dấu của
tử và mẫu của biểu thức đã cho từ đó chuyển bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất hoặc
giá trị lớn nhất của mẫu. Đối với học sinh cuối lớp 9, khi các em đã học về phương

trình bậc hai một ẩn giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp
miền giá trị.
5x 2 − 26x + 41
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D =
, với x ≠ 2.
( x − 2) 2

Lời giải:

(

)

5x 2 − 26x + 41 5 x 2 − 4x + 4 − 6( x − 2) + 9
1
1
=
= 5 − 6.
+ 9.
Cách 1: Ta có: D =
2
2
x−2
( x − 2)
( x − 2)
( x − 2) 2
2
 3  2
 3  
 3


= 
− 1 + 4 ≥ 4∀x ≠ 2.
 − 2
 + 1 + 4 = 
x
−
2
x
−
2
x
−
2









D=4⇔

3
− 1 = 0 ⇔ x = 5 .Vậy min D = 4 khi x = 5.
x−2

Cách 2: D =

5x 2 − 26x + 41

( x − 2) 2

( x - 5) 2
vì
( x − 2) 2

=

(

)

4 x 2 − 4x + 4 + x 2 − 10x + 25

( x − 2) 2

≥ 0∀x ≠ 2 , D = 4 ⇔

( x - 5) 2
( x − 2) 2

2
(
x - 5)
=4+
( x − 2) 2

≥4

=0 ⇔x =5.

Vậy min D = 4 khi x = 5.
Lời bình:- Biểu thức trong ví dụ 2 ở trên là loại phân thức một biến có mẫu là bình
phương của một nhị thức.
- Với cách giải 1, hoàn toàn đã thể hiện được phương pháp chung để làm với
những biểu thức loại này. Với cách biến đổi này ta cũng có thể đổi biến bằng cách

Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

21


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
đặt t =

1
trong ví dụ trên ta sẽ được D = 9t 2 - 6t + 5, đây là biểu thức quen
x−2

thuộc đã được xét đến.
- Với cách 2, cơ sở của việc tách đó là không khả thi đối với các biểu thức cùng
loại có hệ số phức tạp. Lẽ dĩ nhiên các biểu thức loại này vẫn có thể sử dụng
phương pháp miền giá trị để làm.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: A =

4x + 3
.
x2 +1

Lời giải:* Vì x2 + 1 > 0 ∀x nên A xác định với mọi x.
Cách 1:Ta có: A =
⇒A ≤ 4 ∀x vì

(

) (

)

( 2x − 1)
4x + 3 4 x 2 + 1 − 4x 2 − 4x + 4
=
=
4
−
x 2 +1
x 2 +1
x 2 +1
2
(
2x − 1)
−

x 2 +1

Vậy max A = 4 khi x =

(

≤ 0∀x .A = 4 ⇔ 2x - 1 = 0 ⇔ x =

2

1
.
2

1
.
2

) (

)

( x + 2 ) ≥ −1∀x.
4x + 3 - x 2 + 1 + x 2 + 4x + 4
Ta lại có: A = 2
=
= -1 + 2
2
x +1
x +1

x +1
2

A = - 1 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = - 2.Vậy min A = -1 khi x = - 2.
Cách 2:* Vì x2 + 1 ≠ 0 ∀x, nên A xác định với mọi x.
Gọi A0 là một giá trị nào đó của biểu thức A =
A0 =

4x + 3
, khi đó phương trình:
x2 +1

4x + 3
⇔ A 0 x 2 − 4x + A 0 − 3 = 0 (1) phải có nghiệm.
2
x +1

3
+> Nếu A0 = 0 thì (1) ⇔ - 4x - 3 = 0 ⇔ x = − .
4
+> Nếu A0 ≠ 0 thì (1) có nghiệm ⇔ ∆' > 0
⇔ 4 - A0(A0 - 3) ≥ 0⇔ (4 - A0)(A0 + 1) ≥ 0⇔ - 1 ≤ A0 ≤ 4.
•

A0 = - 1 khi và chỉ khi ∆' = 0 ⇔ x =

Phạm Xuân Hà

-

2
= −2
A0

THCS Đình Cao

22


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
•

A0 = 4 khi và chỉ khi ∆' = 0 ⇔ x =

Vậy max A = 4 khi x =

2
1
=
A0 2

1
, min A = -1 khi x = - 2.
2

Lời bình:Biểu thức A trong ví dụ 3 ở trên thuộc loại phân thức một biến có mẫu là
một tam thức bậc hai khác 0 với mọi giá trị của biến, tử là một nhị thức.
Cách giải 1 là cách giải có thể giới thiệu, hướng dẫn cho cả học sinh lớp 8 và
lớp 9. Nhưng dựa trên cơ sở nào để mọi bài tập có dạng như trên ta đều có thể tìm
được cách tách như vậy.

Ta thấy, theo cách 1 thì ta cần tách tử thức thành tổng của một đa thức chia hết
cho mẫu thức và một đa thức có thể viết được dưới dạng bình phương của một nhị
thức. Điều này có thể hiểu như sau:

(

) (

4x + 3 a x 2 + 1 + − ax 2 + 4x + 3 − a
Ta có: A = 2
=
x +1
x 2 +1

)

Ta cần tìm a để - ax2 + 4x + 3 - a là một bình phương của một nhị thức.
⇒ ta phải có: ∆' = 4 + a(3 - a) = 0⇔ a2 - 3a - 4 = 0 ⇔ a = - 1 hoặc a = 4.
+ Với a = 4, ta có cách tách để tìm max A như trên.
+ Với a = - 1, ta có cách tách để tìm min A như trên.
Đến đây ta thấy, để giải được bài toán dạng này học sinh cần phải biết cách
tìm điều kiện để một tam thức bậc hai có thể viết được dưới dạng bình phương của
một nhị thức khi mà chưa được học về phương trình bậc hai. Vậy trước khi dạy
đến dạng này giáo viên nên cho học sinh tìm điều kiện của a, b, c để ax 2 + bx + c
có thể viết được thành bình phương của một nhị thức (b2 - 4ac = 0).
Cách giải 2, là ta đã sử dụng phương pháp miền giá trị để tìm min A, max A.
Tuy nhiên cách giải này chỉ đề cập được khi học sinh lớp 9 đã học về phương trình
bậc hai. Ngoài ra, bài toán trên có thể giải theo phương pháp tham biến, tuy nhiên
hai phương pháp đã chỉ ra qua hai cách giải ở trên là 2 phương pháp thường dùng
nhất để giải các bài toán cực trị loại này.

Bài tập vận dụng:
Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

23


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A =

7
11x 2 − 70 x + 112
;
b)
B
=
(víi x ≠ 3);
− 25x 2 + 10x − 12
x 2 − 6x + 9

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) M =

5
x 2 + 10 x + 20
; b) N = 2

(víi x ≠ −3) ;
4x 2 − 4 x + 21
x + 6x + 9

x 2 + 4 x − 14
c) P = 2
(víi x ≠ 1).
x − 2x + 1

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) D =

2x + 1
2x 2 − 2 x + 9
2( x 2 + x + 1)
;
b)
E
=
;
c)
F
=
x2 + 2
x 2 + 2x + 5
x2 +1

;

DẠNG 4: Biểu thức có chứa căn thức.

Kiến thức cần nhớ:
2n

A cã nghÜa
⇔ A ≥ 0 (víi n∈ N * ) ;

2n

A = 0 ⇔ A = 0 (víi n∈ N * )

Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki, Mincôpxki.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A = x 2 − 4x + 3

b) B = x 2 − 2x + 4

Lời giải:a) * Điều kiện để A có nghĩa: x2 - 4x + 3 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3.
Ta có: A = x 2 − 4x + 3 =

(x

2

)

− 4x + 4 − 1 =

( x − 2) 2 − 1 ≥ 0

∀x.

A = 0 ⇔ (x - 2)2 = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.
Vậy min A = 0 khi x = 1 hoặc x = 3.
b) * Ta có: x2 - 2x + 4 = (x - 1)2 + 3 > 0 ∀x, vậy B có nghĩa với mọi x.
Ta có: B = x 2 − 2x + 4 =

(x

2

)

− 2x + 1 + 3 =

( x − 1) 2 + 3 ≥

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x - 1)2 = 0 ⇔ x = 1.Vậy min B =

3∀x

3 khi x = 1.

Lời bình:Biểu thức A, B trong ví dụ 1 có dạng tổng quát là M = ax 2 + bx + c
với a > 0 và a, b, c là các số cho trước.

Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

24


SKKN: Phương pháp giải một số bài toán cực trị Đại số ở lớp 8 và lớp 9 THCS
2

b
b 2 − 4ac
Với a > 0 ta có: M = ax + bx + c = a  x +  −
2a 
4a

2

+ Nếu b2 - 4ac ≥ 0 thì min M = 0;
+ Nếu b2 - 4ac < 0 thì min M = −

b 2 − 4ac
;
4a

+ M không có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) C = - x 2 + 2 x + 7 b) D = - 3x 2 + 2x + 5
Lời giải:a) * Điều kiện để C có nghĩa: - x2 + 2x + 7 ≥ 0 ⇔ 1 − 2 2 ≤ x ≤ 1 + 2 2

(

)

Ta có: C = - x 2 + 2x + 7 = − x 2 − 2x + 1 + 8 = − ( x − 1) 2 + 8 ≤ 8∀x
C = 8 ⇔ (x - 1)2 = 0 ⇔ x = 1 (TMĐK).Vậy max C = 8 khi x = 1.
b) * Điều kiện để D có nghĩa: - 3x2 + 2x + 5 ≥ 0 ⇔

1− 4 3
1+ 4 3
.Ta có:
≤x≤
3
3
2

2
1  16
1  16
16


D = - 3x + 2x + 5 = − 3 x 2 − x +  +
= − 3 x −  +
≤
3
9 3
3
3
3



2

D=

1
1
16
⇔ x − = 0 ⇔ x = (TMĐK),Vậy max D =
3
3
3

1
16
đạt được khi x = .
3
3

Lời bình:Biểu thức tổng quát của biểu thức C và D là: N = ax 2 + bx + c với a <
0 và a, b, c là các số cho trước.
2

b
b 2 − 4ac
Với a < 0 ta có: N = ax + bx + c = a  x +  −
2a 
4a

2

+ Nếu b2 - 4ac < 0 thì N vô nghĩa;
+ Nếu b2 - 4ac = 0 thì N = 0 ⇔ x = −
2

+ b - 4ac > 0 thì max N =

b
;
2a

b 2 − 4ac
và min N = 0.
−
4a

Với những bài toán chứa căn thức khi dạy giáo viên cần chú ý yêu cầu học sinh
Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

25