HOCTHUE.NET: Tổng hợp sách, giáo trình, bài giảng, bài tập xác suất thống kê (có lời giải)

Chương 4

Biến ngẫu nhiên hai
chiều rời rạc
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

1


Yêu cầu
•
•
•
•

Phân phối lề
Phân phối và các đặc trưng có điều kiện
Cov(X, Y)
Hệ số tương quan

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

2


Khái niệm vectơ ngẫu nhiên
•

•
•

Một vectơ ngẫu nhiên n chiều là một bộ có thứ tự (X1, X2,…,Xn) với X1, X2,…,Xn là các biến
ngẫu nhiên.
Vectơ ngẫu nhiên 2 chiều ký hiệu là (X,Y) với X là biến ngẫu nhiên thứ nhất, Y là biến ngẫu
nhiên thứ 2.
Vectơ ngẫu nhiên n chiều liên tục hay rời rạc nếu tất cả các biến ngẫu nhiên thành phần là liên
tục hay rời rạc.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

3


Biến (Vectơ) hai chiều (X,Y)
•
•
•
•
•

Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu nhiên.
Nếu X và Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc
Nếu X và Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục
Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rất phức tạp nên ta không xét trường hợp này.
Trong phần này ta chỉ xét biến hai chiều rời rạc (X,Y).

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

4


Hàm ppxs đồng thời
•
•

Cho biến ngẫu nhiên (X, Y)
Hàm ppxs của biến hai chiều (X,Y): F(x,y)

F ( x, y ) = P ( X < x , Y < y ) ,

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

∀x, y ∈ R

Nguyễn Văn Tiến

5


Tính chất
i)

0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1

ii ) F ( x, y ) khô
ng giả
m theo từ
ng biế
n.
iii ) F ( −∞, y ) = F ( x, −∞ ) = 0
F ( +∞, +∞ ) = 1

iv) Vớ
i x1 < x2 ; y1 < y2 tacó
:

P ( x1 ≤ X < x2 , y1 ≤ Y < y2 ) =

F ( x2 , y2 ) − F ( x2 , y1 ) − F ( x1 , y2 ) + F ( x1 , y1 )

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

6


Chú ý
F ( x; +∞ ) = P ( X < x, Y < +∞ ) = P ( X < x ) = FX ( x )
F ( +∞; y ) = P ( X < +∞; Y < y ) = P ( Y < y ) = FY ( y )
•

Đây là các phân phối riêng của X và Y tương ứng. Chúng được gọi là phân phối biên duyên
(phân phối lề) của biến hai chiều (X, Y).

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

7


Tính độc lập của các biến nn
•
•

Hai biến ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị này hay giá trị
khác không ảnh hưởng đến phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên kia.

Định lý: Giả sử F(x,y) là hàm phân bố của biến ngẫu nhiên (X,Y). Khi đó, X và Y độc lập khi và
chỉ khi:

F ( x, y ) = FX ( x ) .FY ( y )
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

8


Bảng ppxs của (X,Y)
y1

y2

…

yj

…

ym

∑

x1

p11

p12

…

p1j

…

p1m

p1●

x2

p21

p22

…

p2j

…

p2m

p2●

…
xi

…
pi1

…
pi2

…

…
pij

…

…

pim

…
pi●

…
xn

…
pn1

…
pn2

…

…

…

…
pnj

…

…
pnm

…
pn●

∑

p●1

p●2

…

p●j

…

P●m

1

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

…

…

Nguyễn Văn Tiến

9


Ppxs đồng thời của (X,Y)
•

Trong đó:

i ) pij = P ( X = xi , Y = y j )
ii )

n

m

∑∑ p
i =1 j =1

ij

=1

m

n

j =1

i =1

iii ) pi• = ∑ pij ; p• j = ∑ pij

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

10


Ppxs thành phần (phân phối lề)
•

Bảng phân phối xác suất của X:

X
•

P

x1
p1●

x2
p2●

…
…

xn
pn●

y2
p●2

…

…

ym
p●m

Bảng phân phối xác suất của Y:

Y
P

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

y1
p●1

Nguyễn Văn Tiến

11


Ví dụ 1
•

Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối xác suất:

X
•
•

Y

1
Tính F(2,3) 2

1

2

3

0,10
0,15

0,25
0,05

0,10
0,35

Tìm luật ppxs của các biến X và Y.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

12


Hai bnn độc lập
•

•

Từ định nghĩa, hai biến rời rạc X và Y gọi là độc lập nếu:

P ( X = xi , Y = y j ) = P ( X = xi ) P ( Y = y j )
Dấu hiệu:

hay

pij = pi• × p• j

• Hai hàng bất kỳ tỷ lệ.
• Hai cột bất kỳ tỷ lệ.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

13


Ví dụ 2
•

Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau:

X

Y

1

2

6
0,10
0,05
0,15
≥2)
• Tính P(X=6)7và P(X ≥ 7, Y 0,05
và tính E(X), E(Y).0,20
• Lập bảng ppxs
8 thành phần 0,10

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

3
0,15
0,10
0,10

Nguyễn Văn Tiến

14


Ppxs có điều kiện
•

Từ công thức điều kiện ta có:

(

)

P X = xi Y = y j =

P ( Y = y j X = xi ) =

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

P ( X = xi , Y = y j
P(Y = yj

)

P ( X = xi , Y = y j
P ( X = xi

)

)=
)=

pij
p• j
pij
pi•

,

,

Nguyễn Văn Tiến

i = 1, n

j = 1, m

15


Bảng ppxs điều kiện 1
•

PPXS của X với điều kiện Y=yj

X

(

P X = xi Y = y j

•

)

x1

x2

.....

p1 j

p2 j

p• j

p• j

.....

xn
pnj
p• j

Kỳ vọng của X với điều kiện Y=yj

(

E X Y = yj

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

)

1
=

x1 p1 j + x2 p2 j + ... + xn pnj )
(
p• j
Nguyễn Văn Tiến

16


Bảng ppxs điều kiện 2
•

•

PPXS của Y với điều kiện X=xi

Y

y1

y2

P ( Y = y j X = xi

pi1
pi•

pi 2
pi•

)

.....

ym

.....

pim
pi•

Kỳ vọng của Y với điều kiện X=xi

1
E ( Y X = xi ) =
( y1 pi1 + y2 pi 2 + ... + ym pim )
pi•
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

17


Ví dụ 3
•

Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau:

X

Y

1

2

6
0,10
0,05
7 của X với đk0,05
0,15
Y=2. Tính E(X|Y=2)?
• Lập bảng ppxs
X=8. Tính E(Y|X=8)?
• Lập bảng ppxs
8 của Y với đk0,10
0,20

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

3
0,15
0,10
0,10

Nguyễn Văn Tiến

18

Ví dụ 4
•

Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y (triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồng
thời như sau:

Y
X

500
700
900
(400-600) (600-800) (800-1000)

30
50
80
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

0,10
0,15
0,05

0,05
0,20
0,05
Nguyễn Văn Tiến

0
0,05

0,35
19


Ví dụ 4
•

Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì chi phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu?

A. 60,5

B. 48,3333

C. 51,6667

D. 76,25

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

20


Các tham số đặc trưng của bnn
•
•
•
•

Kỳ vọng
Phương sai
Hệ số tương quan
Hiệp phương sai

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

21


Kỳ vọng của X
•

Bảng phân phối xác suất của X:

X

x1
p1●

P

x2
p2●

…
…

xn
pn●
n

E ( X ) = ∑ xi .P ( X = xi ) = ∑ xi p1• = µ X
i

E ( X ) = ∑∑ xi pij
i

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

i =1

j

Nguyễn Văn Tiến

22


Kỳ vọng của Y
•

Bảng phân phối xác suất của Y:

Y

y1
p●1

P

y2
p●2

…
…

ym
p●m
m

E ( Y ) = ∑ y j .P ( Y = y j ) = ∑ y j p• j = µY
j =1

j

E ( Y ) = ∑∑ y j pij
j

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

i

Nguyễn Văn Tiến

23

Kỳ vọng của hàm theo X,Y
•
•

Cho X,Y có phân phối đã biết. Đặt Z=g(X,Y) là biến mới.
Ta có:

E ( g ( X , Y ) ) = ∑∑ g ( xi , y j ) P ( X = xi , Y = y j )
i

j

E ( g ( X , Y ) ) = ∑∑ g ( xi , y j ) pij
i

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

j

Nguyễn Văn Tiến

24


Ví dụ
•

Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau:

(X,Y)

pij

(0;0)
0,1

(0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)
0,2 0,3 0,05 0,15 0,2

E ( Z ) = E ( X + Y ) = ( 0 + 0 ) .0,1 + ( 0 + 1) .0, 2

+ ( 0 + 2 ) .0,3 + ( 1 + 0 ) .0, 05 + ( 1 + 1) .0,15
+ ( 1 + 2 ) .0, 2 = 1, 75

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

Nguyễn Văn Tiến

25