SKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy số

Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
A.đặt vấn đề
Một trong những nhiệm vụ trọng tâm của giáo dục Tiểu học
là nâng cao chất lợng đại trà, chú trọng mũi nhọn, quan tâm
đến đối tợng các học sinh yếu kém. Vì vậy nâng cao chất lợng
dạy học nói chung và môn toán nói riêng là yếu tố quan trọng nhất
của quá trình dạy học, là cơ sở để nhà trờng tạo niềm tin đối với
địa phơng, phụ huynh học sinh và cấp trên.
Dạy học cũng nh bồi dỡng học sinh có năng khiếu đạt chất lợng tốt còn biểu hiện tính nghề nghiệp của ngời thầy trong xã
hội hiện nay.
Với ý thức trách nhiệm của ngời giáo viên, tôi luôn học hỏi và
tìm tòi áp dụng phơg pháp dạy học mới để bồi dỡng cho học sinh
khá giỏi có hiệu quả hơn, học sinh tiếp thu bài và thực hiện tốt
các yêu cầu của bài tập cũng nh tìm ra nhiều cách giải đúng,
nhanh, khoa học đồng thời nắm đợc cách học nhận dạng bài toán
và lựa chọn phơng pháp để giải.
1 Cơ sở lí luận
Trong chơng trìnhTiểu học, môn Toán chiếm thời lợng rất lớn.
Việc nâng cao hiệu quả và bồi dỡng năng khiếu toán lớp 4,5 là
một yêu cầu cấp thiết. Để đáp ứng với yêu cầu trên ngời giáo viên
nên làm rõ cơ sở khoa học của kiến thức về môn toán ở bậc Tiểu
học. Nhiệm vụ cơ bản hàng đầu của việc bồi dỡng năng khiếu
toán ở bậc Tiểu học là làm cho học sinh nắm đợc hệ thống kiến
thức và kĩ năng cơ bản về toán học. Hình thành cho mình một
phơng pháp dạy toán phù hợp hoàn cảnh và khả năng tiếp thu bài
của học sinh, đặc biệt khi giải toán cần hình thành cho học sinh
phơng pháp giải và tìm ra nhiều cách giải

1

Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
Chơng trình toán lớp 4,5 đã đa ra rất nhiều bài toán về
tính tổng của dãy số viết theo quy luật, nhằm phát huy khả năng
t duy của học sinh. Khi giải những bài toán này đòi hỏi học sinh
phải tìm ra quy luật của dãy số. Sau đó tuỳ theo quy luật để có
phơng pháp giải thích hợp
2 Cơ sở thực tiễn
Các bài toán về dãy số thờng có một số dạng sau:
- Điền số tiếp theo vào dãy số đã cho
- Điền số tiếp theo vào dãy số
- Xác định quy luật của dãy số, xét xem số a có thuộc dãy số
đó không
- Tìm dãy có bao nhiêu số hạng
- Tìm tổng của dãy số
- Đặc biệt trong chơng trình lớp 4,5 học sinh thờng gặp khó
khăn khi giải các bài toán tính tổng của một dãy số. Học sinh thờng lúng túng không tìm ra đợc cách giải.
Ví dụ : bớc đầu tôi ra cho các em bài tập sau:
1. Tính bằng cách hợp lí :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + 19
2.Viết thêm cho đầy đủ các số hạng rồi tính tổng
1 1 1
1
+ + ++
2 4 8
128

Phần lớn học sinh không viết đợc do không nắm đợc quy luật
của dãy số. Khi tính tổng học sinh chủ yếu tìm tổng theo cách

tính quy đồng mẫu số rồi tính đối với bài tập 2 hoặc bằng cách
ghép cặp đối với bài tập 1, cha biết cách tính nhanh vì các em
cha đợc học phơng pháp tính tổng của dãy số bằng cách nhanh
nhất. Kết quả khảo sát nhận thấy.

2


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
Số

học

sinh
15

Số bài

Giải
đúng
5

15

Tỷ lệ

Giải

33%

nhanh
2

Tỷ lệ
13%

Trớc thực trạng nói trên bản thân trực tiếp bồi dỡng hết sức
băn khoăn, lo lắng tìm ra một số biện pháp để hớng dẫn học
sinh khá giỏi lớp 4,5 giải bài toán tìm tổng của dãy số có hiệu
quả.
B. GIảI quyết vấn đề
1 Biện pháp thực hiện
Để giúp học sinh nắm phơng pháp giải một cách tốt nhất,
đầu tiên giáo viên phân dạng các bài toán về tính tổng của dãy
số sau đó hớng dẫn phơng pháp giải từng dạng cụ thể, hớng dẫn
học sinh thông qua một số ví dụ đi từ dễ đến khó.
Dạng 1: Tính tổng của dãy số trong đó mỗi số luôn luôn
bằng số liền trớc cộng với một lợng không đổi
Ví dụ1: Tính nhanh tổng sau:
S = 1+2 +3 ++ 98+ 99 +100
Cho học sinh nhận xét đặc điểm của dãy số và nêu cách
tính.
- Dãy trên là dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 nên có
100 số hạng, hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị
nên có khoảng cách là1
- GV gợi ý hớng dẫn vận dụng tính chất giao hoán và kết hợp
để ghép cặp rồi tính
S = 1+ 2 +3++ 98+ 99+100
S = (1+100) + (2+99) + (3+98)+ ( 50+51) ( vì có 100 số hạng

nên có 100:2= 50 cặp))

50 tổng
3


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
S = 101 + 101 + 101 + + 101
50 số hạng
S = 101 ì 50 = 5050
GV hớng dẫn thêm cách 2
S = 1+ 2 +3++ 98+ 99+100
Phép cộng có tính chất giao hoán nên ta có thể viết:
S = 100 + 99 + 98 + + 3 + 2 +1
2S= (1+100) + (2+99) + (3+98)+.+ (3+98) +(2+99) +
(1+100)
100 tổng
2S =101 + 101 + 101 + + 101
100 số hạng
2S =101 ì 100 =10100
S =10100 : 2 = 5050
Qua cách giải trên giúp học sinh nắm một số kiến thức về:
Số hạng, số số hạng, khoảng cách, nhận xét rút ra cách giải tổng
quát:
Ta gọi các dãy số trong đó mỗi số luôn luôn bằng số liền trớc
cộng với một số lợng không đổi là dãy số cách đều thì:
Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : khoảng cách +
1
Số cuối

= Số đầu + (Số số hạng- 1) x khoảng cách

Tổng S

=

(Số hạng cuối + Số hạng đầu) x Số số hạng
2

Ra thêm một số bài tập cho học sinh vận dụng công thức
để tính
Bài tập: Tính nhanh tổng sau:
S=

100 +101 +102+.+788 + 789

Nhận xét đặc điểm của dãy số:
4


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
- Số hạng đầu là 100, số hạng cuối là 789
- Các số hạng trên là dãy số tự nhiên liên tiếp nên có khoảng cách
là1:
- Vậy dãy trên có số số hạng là: (789 -100 ) : 1+1 = 690
Ta có S = 100 +101 +102+.+788 + 789
(789 + 100) ì 690
= 306705

2

S =

Khi HS nắm đợc phơng pháp giải
GV lấy một số bài tập yêu cầu học sinh tự luyện
1.Tìm tổng sau:
a Các số có hai chữ số chia hết cho 5
b. Các số có hai chữ số chia hết cho 3
c. 100 số chẵn đầu tiên.
Dạng 2 . Dạng tính tổng S = 1 ì 2 + 2 ì 3 + 3 ì 4 ++n
ì (n +1)

Ví dụ2: tính nhanh tổng sau:
S = 1 ì 2 + 2 ì 3 + 3 ì 4 ++98 ì 99 + 99 ì 100
Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm loại trừ từng
cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của S với 3. Thừa số 3 này đợc
viết dới dạng 3- 0 ở số hạng thứ nhất, 4-1 ở số hạng thứ hai, 5-2 ở
số hạng thứ 3;, 101- 98 ở số hạng cuối cùng. Ta có:
S ì 3 = 1 ì 2 ì 3+2 ì 3 ì (4-1)+ 3 ì 4 ì (5-2) +..+98 ì 99 ì
(100- 97)+
99 ì 100 ì (101- 98)
S ì 3 = 1 ì 2 ì 3 + 2 ì 3 ì 4 - 1 ì 2 ì 3+ 3 ì 4 ì 5 - 2 ì 3 ì 4+
.
+ 98 ì 99 ì 100 - 97 ì 98 ì 99 + 99 ì 100 ì 101 - 98 ì 99 ì 100
Loại bỏ tất cả các hiệu sau, vì chúng đều bằng 0
1ì 2 ì 3 - 1ì 2ì 3
5

Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
2ì 3ì 4 - 2ì 3ì 4
3 ì 4ì 5 - 3 ì 4ì 5
v.v
98 ì 99 ì 100 - 98 ì 99 ì 100
S ì 3 = 99 ì 100 ì 101= 999900
S = 999900 : 3
S = 333300
Nhận xét: Trong cách tính trên ta đã phân tích mỗi số hạng 1 ì2
ì 3; 2 ì 3 ì 3 ;

3 ì 4 ì 3;thành một hiệu trong đó số bị trừ của hiệu sau thì
bằng số trừ của hiệu liền trớc . Nhờ thế ta có thể rút gọn các số
ấy với nhau để làm cho S ì 3 chỉ còn lại số hạng 99 ì 100 ì 101. Ta
tính kết quả rồi đem chia cho 3 đợc S
Qua ví dụ trên ta rút ra cách tính tổng quát
S = 1 ì 2 + 2 ì 3 + 3 ì 4 ++n ì (n +1) =

n ì (n + 1) ì (n + 2)
3

Bài tập tự luyện
1 tính nhanh tổng sau
a.1 ì 2 + 2 ì 3 + 3 ì 4 ++98 ì 99
b.1 ì 2 + 2 ì 3 + 3 ì 4 ++101 ì 102
Dạng 3 : Tính tổng của dãy số mà mỗi số hạng đều bằng
số thứ tự của nó nhân với chính số thứ tự ấy
Ví dụ 3:

Viết thêm cho đầy đủ rồi tính tổng

S = 1 + 4 +9 +16 + .+ 81 +100
Nhận xét: Mỗi số hạng đều bằng số thứ tự của nó nhân với
chính số thứ tự ấy
1 = 1 ì 1; 4 = 2 ì 2; 9 = 3 ì 3;

81 = 9 ì 9 ; 100 = 10 ì 10

Ta có thể viết

6


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
S = 1 ì 1 + 2 ì 2 + 3 ì 3 + 4ì 4 + 5ì 5 + 6 ì 6 + 7ì 7 + 8ì 8 + 9ì
9 +10 ì 10
Phân tích một thừa số của số hạng thành hiệu với 1
S = 1 ì (2-1) + 2 ì ( 3-1 ) + 3 ì (4 -1) + 4 ì (5-1) + 5 ì (6-1) +6 ì (71) + 7 ì (8-1) + 8 ì (9-1) +9 ì (10-1) +10 ì (11-1)
S = 1 ì 2-1 + 2 ì 3 - 2 + 3 ì 4 -3 + 4 ì 5- 4 + 5 ì 6- 5 + 6 ì 7- 6 +
7 ì 8 - 7 + 8 ì 9- 8 + 9 ì 10-9 + 10 ì 11-10
S

= 1

ì 2 + 2 ì 3 +3 ì 4+ 4 ì 5 +5 ì 6 + 6 ì 7 +7 ì 8+ 8 ì 9 +9 ì 10 +10 ì 11-( 1+2+3

+4+5+6+7+8+9+10)

S1

-

Vận dụng cách tính ở ví dụ1 và ví dụ 2
440 ;

S2
: ta tính đợc S 1=

S 2= 55

S = 440 55 = 385
Cách tính tổng quát:
1 ì 1 + 2 ì 2 +3 ì 3 ++n. n =

n ì ( n + 1) ì (n + 2) n ì ( n + 1)
3
2

Bàt tập tự luyện:
1.Tính nhanh tổng sau:
1 + 4 + 9 +16 ++ 169
Dạng 4 . Tính tổng của dãy số bắt đầu tính từ số hạng
nào đó trở đi bằng tổng của hai số hạng trớc nó
Ví dụ 4: Viết thêm cho đầy đủ các số hạng rồi tính tổng
1 +2 +3+ 5 +8 +13 ++ 233
Nhìn vào dãy số ta thấy kể từ số hạng thứ 3 trở đi mỗi số hạng
bằng tổng của hai số hạng liền trớc nó
5 = 2 +3;

8 = 3 + 5;

13 = 5 +8

Vậy có thể viết đầy đủ
S = 1 + 2 + 3 + 5 +8 + 13 + 21 +34 + 55 + 89 +144 +
233
7


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
S =

3

+3+

13

+13 +

55

+ 55 +

233

+

233
S = 2 ì ( 3 +13 +55 +233)
S = 2 ì 304 = 608
* Phơng pháp giải dạng này là ghép cặp .
Bài tập tự luyện
1Tính nhanh tổng sau:
a. 4 + 4 + 8 +12 + 20 +32 + 52 + 84 + 136
b. 2 + 5 + 7 + 12 + 19 + 31 + 50 +81 + 131
Dạng 5: Tính tổng của dãy các phân số viết theo quy luật
5.1. Tính tổng của dãy số mà tử số của mỗi phân số đều
bằng1, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi, mẫu số
bằng mẫu số của số hạng liền trớc nhân với một số (q)
không đổi.
.Ví dụ 5.1: Viết thêm cho đầy đủ các số hạng trong dãy rồi tính
tổng:
1 1 1
1
1
+
+ + + ..+
2 4 8
128 256

Bớc1: Hớng dẫn học sinh nhận xét rút ra quy luật
- Nhìn vào dãy số ta thấy tất cả các số hạng của dãy đều có tử số
bằng 1
-Mẫu số của phân số thành phần bất kì trong tổng bằng
hai lần mẫu số của phân số đứng liền trớc nó.
-Từ chỗ tìm ra đợc quy luật các em sẽ dễ dàng tìm đợc các

số hạng để viết thêm cho đầy đủ
Số hạng thứ t mẫu số là 8 ì 2 = 16 suy ra số hạng là:

1
16

Số hạng thứ năm mẫu số là 16 ì 2 = 32 suy ra số hạng là:

1
32

Số hạng thứ sáu mẫu số là 32 ì 2 = 64 suy ra số hạng là:

1
64

8


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
Số hạng thứ bảy mẫu số là 64 ì 2 = 128 suy ra số hạng là:
1
128

Số hạng thứ tám mẫu số là 128 ì 2 = 256 suy ra số hạng là:
1
256

Dãy số đợc viết đầy đủ là:

1 1 1
1
1
1
1
1
+
+ + + + + +
2 4 8
16 32 64
128 256

Bơc 2: Tính tổng
Trớc hết cho các em nêu cách tính
Hầu hết các em đều nêu quy đồng mẫu số các phân số
rồi tính
GV nhận xét đó là một cách song với dãy số có nhiều số hạng
sẽ mất nhiều thời gian
Giáo viên hớng dẫn: Ta thấy
1
1
=1 - ;
2
2

1 1 1
1
1 1
1
1

1
= - ; = - ;..
=
4 2 4
8
4 8
256 128 256

Nên ta có thể viết
1 1 1
1
1
1
1
1
+
+ + + + + +
2 4 8
16 32 64
128 256

=1=1=

1
1 1
1 1
1
1
+ - + - +. +
2

2 4
4 8
128 256
1
256

255
256

Từ cách giải trên cho HS nhận xét rút ra cách giải tổng quát
Cách (1) Phân tích mỗi số hạng thành hiệu trong đó số bị
trừ của hiệu sau thì bằng số trừ của hiệu liền trớc rồi tính
GV hớng dẫn thêm Cách (2)
9


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
Dãy số này có mẫu số của số hạng liền sau gấp đôi mẫu
của số hạng liền trớc nên ta có thể đa về dạng tính tổng s = s x
2s
Ta có S ì 2 =

1
1
1
ì 2 + ì 2 + ì 2 + ..+
2
4
8

1
2

1
4

1
8

S ì2 = 1 + + + +
1
2

1
4

1
8

1
1
ì2+
ì2
128
256

1
1
1
1

1
+
+ + +
16 32 64
128 256

S x 2 S = 1 + + + +

1
1
1
1 1 1 1
1 1 1
+ + +
- - + - - 16 32 64
128 2 4 8 16 32 64

1
1

128 256

S =1-

1
256

255
256

S =

Thông qua các bớc trên cho học sinh nhận xét rồi rút ra cách
giải tổng quát
*Cách giải: Gọi tổng là S, gọi q là khoảng cách. Để tính
tổng của dãy số hạng này ta làm nh sau:
- Nhân S với q
- Sau đó tính S ì q S
- Từ đó suy ra S
Bài tập1:Tính nhanh tổng sau:
1
3

1
6

S= + +

1
1
1
+.+
+
12
192 384

Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm của dãy số
+ Các số hạng trên đều có tử số bằng1
+Mẫu số của phân số thành phần bất kì trong tổng bằng
hai lần mẫu số của phân số đứng liền trớc nó.

Bớc 2: Giải
Từ nhận xét trên ta thấy bài toán có dạng ở ví dụ1, từ đó áp
dụng cách giải ở ví dụ 1
10


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
Có thể chọn một trong hai cách
Giải theo cách hai
1
3

1
6

S= + +

1
1
1
+.+
+
12
192 384
1
3

1
6

S ì 2 = 2ì ( + +
=

1
1
1
+.+
+
)
12
192 384

2
1 1
1
1
+ + + +.+
3
3 6 12
192

S = S ì 2- S =

2
1 1
1
1
1 1
1

1
+ + + +.+
- ( + + +.+
+
3
3 6 12
192
3 6 12
192

1
)
384
2
1 1
1
1
1 1 1
1
1
+ + + +.+
- - - -.3
3 6 12
192 3 6 12
192 384

=
2
3

1
384

= -

S =

275
384

Bài tập2: Tính tổng sau bằng cách nhanh nhất
1 1 1
1
1
1
+ +
+ +
+
3 9 27 81 243 729

- Đầu tiên hớng dẫn học sinh nhận xét rút ra quy luật
- Nhìn vào dãy số ta thấy tất cả các số hạng của dãy đều có
tử số bằng 1
- Mẫu số của phân số thành phần bất kì trong tổng bằng
ba lần mẫu số của phân số đứng liền trớc nó.( Nên q bằng 3)
1
3

1
9

Sì 3 = ( + +
1
3

1
1
1
1
1 1 1
1
1
+ +
+
) x3= 1+ + + + +
27 81 243 729
3 9 27 81 243

1
9

S x3- S = 1+ + +
1
3

1
9

1
1

1
1 1 1
1
1
1
+ +
+
-( + + + +
)
27 81 243 3 9 27 81 243 729

S x2 = 1+ + +
Sx2 =1-

1
1
1 1 1 1
1
1
1
+ +

-
27 81 243 3 9 27 81 243 729

1
729
=
729 729

11


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
S =

728
:2
729

S =

364
729

Dạng 5.2 Tính tổng của dãy số mà tử số của mỗi phân số
đều bằng1, mẫu số có dạng tích của hai số tự nhiên liên
tiếp trong đó mẫu số của phân số liền sau có thừa số thứ
nhất bằng thừa số thứ hai ở mẫu số của phân số liền trớc
Ví dụ 5.2: Viết thêm cho đầy đủ các số hạng trong dãy rồi tính
tổng:
S=

1
1
1
1
1
1

+ + + +.+
+
2
6
12 20
90 110

Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm của dãy số
+ Các số hạng trên đều có tử số bằng 1
+ Mẫu số có dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp, trong đó
hai phân số liền nhau thì mẫu số của phân số liền sau có thừa
số thứ nhất bằng thừa số thứ haỉ ở mẫu số của phân số liền trớc.
( Tử bằng khỏang cách ở mẫu)
2 = 1 ì 2 ; 6 = 2 ì 3 ; 12 = 3 ì 4 ; .; 90 =9 ì 10; 110 = 10
ì 11

Vậy các số hạng tiếp theo có thể điền:
S=

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ + + + +

+
+ +
+
2
6
12 20 30
42
56 72
90 110

áp dụng cách 1 ở ví dụ 5.1: Phân tích mỗi số hạng thành hiệu
rồi giải
Bớc 2: Giải Ta thấy

1
1
2 1
2
1
1

=
=
=
=12
1ì 2
1ì 2 1ì 2 1ì 2
2

1

1
32
3
2
1 1
=

= =
=
6
2ì3 2ì3 2ì3 2ì3 2 3


1
1
11 10
11
10
1 1
=
=

=

=
110
10 ì 11 10 ì 11 10 ì 11 10 ì 11 10 11

12

Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
Do đó ta có thể viết:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ + + + +
+
+ +
+
2
6
12 20 30
42
56 72
90 110

S=

1
1
1

1
1
+
+
+.+
+
1ì 2 2 ì 3 3 ì 4
9 ì 10
10 ì 11

=

1
2

1 1
1 1
1 1
+ - +..+
2 3
3 4
10 11

= 1- + = 1-

1
10
=
11
11

*Cách giải:
- Phân tích mỗi số hạng thành hiệu trong đó số bị
trừ của hiệu sau thì bằng số trừ của hiệu liền trớc
- Rút gọn rồi tính S
Ví dụ5.3: Tính tổng sau bằng cách hợp lí
S=

2
2
2
2
+
+
+.+
1ì 3 3 ì 5 5 ì 7
97 ì 99

Bớc 1: Nhận xét đặc điểm của dãy số
+ Tử số đều là 2
+ Mẫu số của mỗi phân số là thành phần của tổng đều là
tích của hai số lẻ liên tiếp nên hơn kém nhau 2 đơn vị ( có
khoảng cách là2)
+Tử bằng khoảng cách ở mẫu
Cách giải tơng tự ví dụ5.1
Bớc 2: Phân tích mỗi số hạng thành hiệu rồi tính tổng
Ta thấy:

2
1

=1- ;
1ì 3
3

2
1 1
= ;
3ì 5 3 5

2
1 1
2
1
1
= ;
=
5ì7
5 7
97 ì 99 97 99

Vậy ta có thể viết :
S = 1S = 1S=

1
1 1 1 1
1
1
+ + +..+
3
3 5 5 7

97 99
1
99

98
99

13


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
Dạng 5.3 Tính tổng của dãy số mà tử số của mỗi phân số
đều bằng1, mẫu số có dạng a1 ì a2; a2 ì a3
an+2 ( a1,a2 a

nlà

;

a3 ì a4;.. an ì

dãy số cách đều khoảng cách là h)

Ví dụ 5.4:Viết thêm cho đầy đủ các số hạng rồi tính tổng
S=

1
1
1

1
+ +
+.+
3
15
35
143

Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm của dãy số
+ Các số hạng trên đều có tử số bằng1
+ Mẫu số có dạng tích của hai số lẻ liên tiếp ( có khoảng cách
là 2)
+ Tử không bằng khoảng cách ở mẫu
3 =1 ì 3 ; 15 = 3 ì 5 ;

35 = 5 ì 7 ;.;143 = 11 ì 13

Vậy dãy tính trên có các số hạng đợc viết đầy đủ là:
S=

1
1
1
1
1
1
+
+ +
+
+

3
15
35
63 99
143

Nhận xét: + Các số hạng trên đều có tử số bằng1, mẫu số có
khoảng cách là 2 nên đa về dạng ví dụ 5.3 ( Tử bằng khoảng
cách mẫu) bằng cách nhân các số hạng trên với 2
Bớc2: Giải
Ta có S ì 2 = 2 ì (
=

1
1
1
1
1
1
+
+ +
+
+
)
3
15
35
63 99
143

2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
1 ì 3 3 ì 5 5 ì 7 7 ì 9 9 ì 11 11 ì 13

=1-

1
1 1 1 1
1 1
+ + +..+
3
3 5 5 7
11 13

= 1-

1
12
=
13
13

S=

12
6
:2=
13
13

Từ ví dụ trên rút ra cách giải tổng quát tính tổng của dãy
số dạng :
14


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
1

1

1

S = a ì a + a ì a + ...+ a ì a
1
2
2
3
n 1
n
Trong đó a1; a2 ;an là dãy số cách đều có khoảng cách là h

Cách giải:
+ Nhân S với h
+ Phân tích mỗi số hạng thành hiệu
+ Rút ra S
Qua những ví dụ trên sau khi phân tích học sinh đã nắm
đợc cách giải, GV đa ra thêm một sốví dụ nâng cao hơn để học
sinh suy luận biến đổi về dạng đã học để áp dụng phơng pháp
đã học rồi giải
Bài tập1 : Tính nhanh tổng sau:
S=

1
1
1
1
+
+
+..+
1ì 2 ì 3 2 ì 3 ì 4 3 ì 4 ì 5
15 ì 16 ì 17

Học sinh vận dụng cách giải ở ví dụ 4 để giải:
S ì 2=
Ta

2
2
2
2
+

+
+..+
1ì 2 ì 3 2 ì 3 ì 4 3 ì 4 ì 5
15 ì 16 ì 17
2
=
1ì 2 ì 3

thấy:

1
1
;
1ì 2 2 ì 3

2
1
1
2
=
;;
=
15 ì 16 ì 17
2ì 3ì 4 2ì 3 3ì 4

1
1

15 ì 16 16 ì 17

S ì 2=
Sì 2 =
S=

1
1
1
1
1
1

+
+.. +
1ì 2 2 ì 3 2 ì 3 3 ì 4
15 ì 16 16 ì 17

1
1
1
1
135
=
=
1 ì 2 16 ì 17
2 272 272
135
135
:2 =
272
544

Bài tập 2 :Tính nhanh tổng sau:
4
4
4
4
4
4
+
+
+ ..... +
+
+
1ì 3 3 ì 5 5 ì 7
17 ì 19 19 ì 21 21 ì 23

Bớc 1: Nhận xét đặc điểm của dãy số
Các số hạng trên đều có tử số bằng 4
15


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
Mẫu số có dạng a1 ì a2; a2 ì a3 ; a3 ì a4;.. an ì an+2 ( a1,a2 có
khoảng cách là 2)
Bớc 2: Hớng dẫn học sinh biến đổi về dạng có tử số bằng 2( tử
bằng khoảng cách ở mẫu ) để phân tích mỗi số hạng bằng hiệu
rồi giải
Để có tử số bằng 2( bằng khoảng cách ở mẫu) ta có thể
đặt thừa số 2 ra ngoài

Ta có : S =

4
4
4
4
4
4
+
+
+ ..... +
+
+
1ì 3 3 ì 5 5 ì 7
17 ì 19 19 ì 21 21 ì 23

S = 2 ì(
S = 2 ì (1-

2
2
2
2
2
2
+
+
+ ..... +
+
+

)
1ì 3 3 ì 5 5 ì 7
17 ì 19 19 ì 21 21 ì 23
1
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
+ + +.+ + + )
3
3 5 5 7
17 19 19 21 21 23

S = 2 ì ( 1S=

1
22
)=2ì
23
23

44
23

BT ra cho học sinh tự giải
a.

4
4
4
4
4
+
+
+ ......... +
+
( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tây năm
2ì 4 4ì6 6ì8
16 ì 18 18 ì 20

1999-2000)

b.

2
2
2
2
+
+
+ ....... +
1ì 2 2 ì 3 3 ì 4
1999 ì 2000

(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tây Năm

1998- 1999)

2.Kết quả
Sau khi hớng dẫn học sinh nắm vững cách giải từng dạng
trên tôi ra một số bài tập tơng tự thì thấy học sinh không còn bỡ
ngỡ và làm bài rất tốt.Tôi đã tiến hành khảo sát kết quả luyện tập
giải các bài toán dạng này của học sinh lớp do tôi bồi dỡng kết quả
đạt nh sau:
Lần

Tổng số Tổng
HS

bài

số Giải
nhanh
16

đúng

và Tỷ lệ


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
II

(

Cuối 15

15

14

94%

kì1)
Qua sử dụng kinh nghiệm trên, bản thân tôi đã giúp học sinh
khá giỏi lớp 4,5 giải toán dạng tính tổng của dãy số viết theo quy
luật làm bài rất tốt. Các em có hứng thú khi học toán, không còn
chán nản khi nhìn thấy dãy số dài.
3.Bài học kinh nghiệm
Muốn cho học sinh học tốt môn toán nói chung và luyện tập
một số bài tập nâng cao của môn toán nh điền số còn thiếu vào
dãy số, tính tổng của dãy số nói riêng, ngời giáo viên phải không
ngừng tìm tòi học hỏi đúc rút kinh nghiệm cho bản thân, không
ngừng đổi mới phơng pháp dạy học, phát huy tính tích cực của
học sinh, phải làm sao giúp cho học sinh nắm đợc cách học, hứng
thú học toán, không bao giờ bằng lòng với những gì mình có,
một bài toán có thể tìm ra nhiều cách giải khác nhau và biết
cách giải hay nhất.
Giáo viên phải nắm đợc những khó khăn, các tình huống sai
lầm đã và sẽ xảy ra với học sinh để có cách hớng dẫn tốt nhất.
Giáo viên phải giúp học sinh nắm đợc cách học hơn là chú
trọng tìm ra kết quả của một bài toán
Không coi trong hay lạm dụng một phơng pháp naò để giải
nhiều dạng toán.
C. kết luận- khuyến nghị
1Kết luận:

Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà bản thân rút ra
trong công tác giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi lớp 4,5 đạt kết quả.
Xin trình bày trớc bạn bè đồng nghiệp với mong muốn góp phần
17


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
nâng cao chất lợng dạy toán nói chung và bồi dỡng học sinh giỏi
nói riêng.
- Rất mong đợc sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp
2 Khuyến nghị
- Đối với tổ chuyên môn nhà trờng:
Cần thờng xuyên tổ chức các chuyên đề về phơng pháp
giải toán để tạo nên phong trào học tập, bồi dỡng năng lực chuyên
môn có chất lợng và hiệu quả cho toàn giáo viên.
Cần có chính sách động viên hợp lí, kịp thời với những giáo
viên có sáng kiến kinh nghiệm hay và mạnh dạn đa sáng kiến vào
thực tế giảng dạy đạt hiệu quả tốt, góp phần nâng cao chất lợng
dạy và học./.

18


Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh kh¸ giái líp 4,5
gi¶i bµi to¸n t×m tæng cña d·y sè

19

Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số

Kinh nghiệm
hớng dẫn học sinh lớp 4 , 5 giải bài toán tìm tổng của dãy
số có liên quan đến phân số
A.đặt vấn đề
Một trong những nhiệm vụ trọng tâm của giáo dục Tiểu học là
nâng cao chất lợng đại trà, chú trọng mũi nhọn, quan tâm đến
đối tợng các học sinh yếu kém. Vì vậy nâng cao chất lợng dạy
học nói chung và môn toán nói riêng là yếu tố quan trọng nhất
của quá trình dạy học, là cơ sở để nhà trờng tạo niềm tin đối với
địa phơng, phụ huynh học sinh và cấp trên.
Dạy học cũng nh bòi dỡng học sinh khá giỏi có chất lợng tốt còn
biểu hiện tính nghề nghiệp của ngời thầy trong xã hội hiện nay.
Với ý thức trách nhiệm của ngời giáo viên, tôi luôn học hỏi và
tìm tòi áp dụng phơg pháp dạy học mới để bồi dỡng cho học sinh
khá giỏi có hiệu quả hơn, học sinh tiếp thu bài và thực hiện tốt
các yêu cầu của bài tập cũng nh tìm ra nhiều cách giải đúng,
nhanh, khoa học đồng thời nắm đợc cách học nhận dạng bài
toánvà lựa chọn phơng pháp để giải
1 Cơ sở lí luận
Trong chơng trìnhTiểu học, môn Toán chiếm thời lợng rất lớn.
Việc nâng cao hiệu quả và bồi dỡng năng khiếu toán lớp 4,5 là
một yêu cầu cấp thiết. Để đáp ứng với yêu cầu trên ngời giáo viên
nên làm rõ cơ sở khoa học của kiến thức về môn toán ở bậc Tiểu
học. Nhiệm vụ cơ bản hàng đầu của việc bồi dỡng năng khiếu
toán ở bậc Tiểu học là làm cho học sinh nắm đợc hệ thống kiến
thức và kĩ năng cơ bản về toán học. Hình thành cho mình một
phơng pháp dạy toán phù hợp hoàn cảnh và khả năng tiếp thu bài

20


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
của học sinh. đặc biệt khi giải toán cần hình thành cho học sinh
phơng pháp giải và tìm ra nhiều cách giải
Chơng trình toán lớp 4,5 đã đa ra rất nhiều bài toán về
tính tổng của dãy số, nhằm phát huy khả năng t duy của học
sinh. Khi giải những bài toán này đòi hỏi học sinh phải tìm ra
quy luật của dãy số. Sau đó tuỳ theo quy luật để có phơng pháp
giải thích hợp
2 Cơ sở thực tiễn
Các bài toán về dãy số liên quan đến phân số thờng có một số
dạng sau:
- Điền số tiếp theo vào dãy số đã cho
- Điền số tiếp theo vào dẫy số
- Xác định quy luật của dãy số,xét xem số a có thuộc dãy số
đó không
- Tìm dãy có bao nhiêu số hạng
- Tìm tổng của dãy số
-Đặc biệt trong chơng trình lớp 4,5 học sinh thờng gặp khó
khăn khi giảicác bài toán tính tổng của một dãy số có liên quan
đến phân số. Học sinh thờng lúng túng không tìm ra đợc cách
giải.
Ví dụ: Viết thêm cho đầy đủ các số hạng trong dãy rồi tính
tổng:
1 1 1
1
+ + + ..+

2 4 8
64

Phần lớn học sinh không viết đợc do không nắm đợc quy luật của
dãy số. Khi tính tổng học sinh còn làm sai và không làm đợc. Chủ
yếu tìm tổng theo cách tính quy đồng mẫu số rồi tính, cha
biết cách tính nhanh vì một số giáo viên còn lúng túng trong
việc cung cấp cho học sinh phơng pháp tính tổng.
21


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
Vậy làm thế nào để giúp học sinh giải quyết những bế
tắc nói trên đó là điều làm tôi băn khoăn. Vì vậy mà tôi đã
quyết định chọn đề tài: Hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5 giải
bài toán tìm tổng của dãy số có liên quan đến phân số
B GIảI quyết vấn đề
1 Biện pháp thực hiện
- Để học sinh nắm đợc cách giải nhanh hơn tôi đã hớng dẫn
học sinh thông qua một số ví dụ đi từ dễ đến khó.
Ví dụ 1: Viết thêm cho đầy đủ các số hạng trong dãy rồi tính
tổng:
1 1 1
1
1
+
+ + + ..+
2 4 8
128 256

- Đầu tiên hớng dẫn học sinh nhận xét rút ra quy luật
- Nhìn vào dãy số ta thấy tất cả các số hạng của dãy đều có tử số
bằng 1
- Kể từ số hạng thứ hai mẫu số bằng mẫu số của số hạng đứng trớc nhân với 2
-Từ chỗ tìm ra đợc quy luật các em sẽ dễ dàng tìm đợc các số
hạng để viết thêm cho đầy đủ
Số hạng thứ t mẫu số là 8 ì 2 = 16 suy ra số hạng là:

1
16

Số hạng thứ năm mẫu số là 16 ì 2 = 32 suy ra số hạng là:

1
32

Số hạng thứ sáu mẫu số là 32 ì 2 = 64 suy ra số hạng là:

1
64

Số hạng thứ bảy mẫu số là 64 ì 2 = 128 suy ra số hạng là:

1
128

Số hạng thứ tám mẫu số là 128 ì 2 = 256 suy ra số hạng là:
Dãy số đợc viết đầy đủ là:
1 1 1

1
1
1
1
1
+
+ + + + + +
2 4 8
16 32 64
128 256

22

1
256


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
- Tính tổng
Trớc hết cho các em nêu cách tính
Hầu hết các em đều nêu quy đồng mẫu số các phân số rồi
tính
GV nhận xét đó là một cách song với dãy số có nhiều số hạng sẽ
mất nhiều thơi gian
Giáo viên hớng dẫn: Ta thấy
1
1
=1 - ;
2

2

1 1 1
1
1 1
1
1
1
= - ; = - ;..
=
4 2 4
8
4 8
256 128 256

Nên ta có thể viết
1 1 1
1
1
1
1
1
+
+ + + + + +
2 4 8
16 32 64
128 256
1
1 1
1 1

1
1
+ - + - +. +
2
2 4
4 8
128 256
1
=1256

=1-

=

255
256

Từ cách giải trên cho HS nhận xét rút ra cách giải tổng quát
Cách (1) Phân tích mỗi số hạng thành hiệu rồi tính
Cách (2) : Gọi tổng là S
Dãy số này có mẫu số của số hạng liền sau gấp đôi mẫu của số
hạng liền trớc nên ta có thể đa về dạng tính tổng s= s x 2 s
1
x2+
2
1 1 1
Sx2 = 1 + + + +
2 4 8

Ta có S x 2 =

1
2

1
1
x 2 + x2 + ..+
4
8
1
1
1
1
1
+
+ + +
16 32 64
128 256
1
4

1
8

S x 2 S =1 + + + +

1
1
ì2+
ì2

128
256

1
1
1
1 1 1 1
1 1 1
+ + +
- - + - - 16 32 64
128 2 4 8
16 32 64

1
1

128 256

=1=

1
256
255
256

Thông qua các bớc trên cho học sinh nhận xét rồi rút ra cách giải
tổng quát
23

Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
Cách giải: Gọi tổng là S, gọi q là khoảng cách. Để tính tổng của
dãy số hạng này ta làm nh sau:
- Nhân S với q
- Tính S x q - S
- Suy ra S
Từ dạng toán 1 nâng dần lên dạng 2:
Ví dụ 2: Viết thêm cho đầy đủ các số hạng trong dãy rồi tính
tổng:
S=

1
1
1
1
1
1
+ + + +.+
+
2
6
12 20
90 110

Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm của dãy số
+ Các số hạng trên đều có tử số bằng1
+ Mẫu số có dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp
2 = 1 ì 2 ; 6 = 2 ì 3 ; 12 = 3 ì 4 ; .; 90 =9 ì 10; 110 = 10 ì 11
Vậy các số hạng tiếp theo có thể điền:

S=

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ + + + +
+
+ +
+
2
6
12 20 30
42
56 72
90 110

áp dụng cách 1 ở ví dụ 1: Phân tích mỗi số hạng thành hiệu
Ta thấy

1
1
2 1
2

1
1

=
=
=
=12
1ì 2
1ì 2 1ì 2 1ì 2
2
1
1
32
3
2
1 1
=

= =
=
6
2ì3 2ì3 2ì3 2ì3 2 3



1
1
11 10
11
10

1 1
=
=

=

=
110
10 ì 11 10 ì 11 10 ì 11 10 ì 11 10 11

Do đó ta có thể viết:

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ + + + +
+
+ +
+
2
6
12 20 30
42

56 72
90 110
1
1
1
1
1
=
+
+
+.+
+
1ì 2 2 ì 3 3 ì 4
9 ì 10
10 ì 11
1 1 1
1 1
1 1
= 1- + - + - +..+
2 2 3
3 4
10 11
1
10
= 1=
11
11

S=

Từ dạng 2nâng dần lên dạng 3
Ví dụ 3: Tính tổng sau bằng cách hợp lí
S=

2
2
2
2
+
+
+.+
1ì 3 3 ì 5 5 ì 7
97 ì 99

Bớc1: Nhận xét đặc điểm của dãy số
+ Tử số đều là 2
+ Mẫu số là tích của hai số lẻ liên tiếp ( có khoảng cách là2)
24


Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5
giải bài toán tìm tổng của dãy số
+Tử bằng khoảng cách ở mẫu
Bớc 2: Phân tích mỗi số hạng thành hiệu rồi tính tổng
Ta thấy:

2
1
=1- ;
1ì 3

3

Vậy ta có thể viết : ì

2
1 1
= ;
3ì 5 3 5

2
1 1
2
1
1
= ;
=
5ì7
5 7
97 ì 99 97 99

1
1 1 1 1
1
1
+ + +..+
3
3 5 5 7
97 99
1
S = 199

98
S=
99

S = 1-

Từ dạng 3 nâng dần lên dạng 4
Ví dụ 4:Viết thêm cho đầy đủ các số hạng rồi tính tổng
S=

1
1
1
1
+ +
+.+
3
15
35
143

Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm của dãy số
+ Các số hạng trên đều có tử số bằng1
+ Mẫu số có dạng tích của hai số lẻ liên tiếp ( có khoảng cách
là 2)
3 =1 ì 3 ; 15 = 3 ì 5 ;
35 = 5 ì 7 ;.;143 = 11 ì 13
Vậy dãy tính trên có các số hạng đợc viết đầy đủ là:
S=

1
1
1
1
1
1
+
+ +
+
+
3
15
35
63 99
143

Nhận xét: + Các số hạng trên đều có tử số bằng1, mẫu số có
khoảng cách là 2 nên đa về dạng ví dụ 3 ( Tử bằng khoảng cách
mẫu) bằng cách nhân các số hạng trên với 2
1
1
1
1
1
1
+
+ +
+
+
)

3
15
35
63 99
143
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
1 ì 3 3 ì 5 5 ì 7 7 ì 9 9 ì 11 11 ì 13
1
1 1 1 1
1 1
=1- + + +..+
3
3 5 5 7
11 13
1
= 113
12
=
13

12
6
S= :2=
13
13

Ta có S ì 2 = 2 ì (

Từ ví dụ trên rútt ra cách giải tổng quát tính tổng của dãy số
dạng :
S=

1
1
1
+
+ ............+
aìa
aìa
aìa

Trong đó a1; a2 ;an là dãy số cách đều có khoảng cách là h
25