de thi hsg toan lop 10 tinh ha nam 69809

ONTHIONLINE.NET
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (5,0 điểm)
Cho hàm số: y = − x 2 + 2( m + 1) x + 1 − m 2 , (1) ( m là tham số) và điểm K (2; −2)
1) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho tam giác KAB vuông tại K .
2) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 1]
bằng 1.
Câu 2 (5,0 điểm)
1) Giải phương trình: 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1 ( x ∈ ¡ )
2) Giải hệ phương trình:
(2 x + y ) 2 − 5(4 x 2 − y 2 ) + 6(2 x − y ) 2 = 0

1

 2x + y + 2x − y = 3


( x; y ∈ ¡ )

Câu 3 (5,0 điểm)
·
1) Cho góc xOy

= 600 . Gọi M , N là hai điểm tương ứng di động trên Ox, Oy thỏa mãn:
1
1
2012
+
=
. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
OM ON 2013
2) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c . Gọi O, H tương ứng là tâm đường
tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC ; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC .

Chứng minh rằng: AH 2 = 4 R 2 − a 2
Câu 4 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy ) cho 3 điểm A(1;1) , B(2;0) và C (3; 4) . Viết phương trình
đường thẳng ∆ đi qua điểm A sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm B và C đến đường
thẳng ∆ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 2013 . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
P=

xy
+
x + y + 2z

yz
zx
+
y + z + 2x

z + x + 2y

------------HẾT-------------

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:……………………………….


Người coi thi số 1:……………………………...Người coi thi số 2:…………………………