Bài giảng và bài tập cơ lý thuyết

25/04/2010

BK

TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH

CƠ HỌC LÝ THUYẾT

Phần I: TĨNH HỌC

PGS. TS. TRƯƠNG Tích Thiện

Tp. Hồ Chí Minh, 01/ 2007

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật

PHẦN 1: TĨNH HỌC
Tĩnh học là một phần của cơ học lý thuyết, nhằm giải quyết hai nhiệm vụ sau:
+ Thu gọn một hệ nhiều lực phức tạp đang tác động lên hệ thống thành một hệ
ít lực hơn, đơn giản và tương đương (tối giản). Tập hợp các dạng tối giản
khác nhau của các hệ lực được gọi là các dạng chuNn của hệ lực.
+ Xây
y dựng
ự g các điều kiện
ệ cân bằng
g cho một
ộ hệệ thống
g nhiều lực.
ự

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ CỦA TĨNH HỌC
§ 1: CÁC ĐNN H N GHĨA CỦA TĨN H HỌC
1. 1/ Ba định nghĩa cơ bản của tĩnh học.
1. Vật rắn tuyệt đối
Là loại
l i vật
ật rắn
ắ có
ó hình
hì h dáng
dá vàà thể tích
tí h không
khô thay
th đổi dưới
d ới mọii tác
tá động
độ
từ bên ngoài.
2. Trạng thái cân bằng
Trạng thái cơ học của vật rắn là quy luật chuyển động của vật rắn trong
không gian theo thời gian.

1


25/04/2010

Cân bằng là một trạng thái cơ học đặc biệt của vật chất sao cho mọi chất
điểm thuộc vật đều có gia tốc bằng không.

Có hai dạng cân bằng của vật:
+ Tịnh tiến thẳng đều.
+ Vật đứng yên. (Có thêm tính chất vận tốc bằng 0).
3. Lực
a. Định
Đị h nghĩa:
hĩ
Lực là một đại lượng vector được dùng để đo lường sự tương tác cơ học giữa
các vật chất với nhau.
b. Tính chất của lực: (hình 1.1). r
F
-Điểm đặt.
A
-Phương và chiều.
(l ): đường tác dụng của lực.
-Độ lớn.
Ký hiệu của lực:

r
F, N;
1 N = 1 kg .m / s 2
1. 2. Các định nghĩa khác về lực:

Hình 1.1

1. Hệ lực:
Là một tập hợp nhiều lực đang tác động lên đối tượng khảo sát.

Ký hiệu hệ n lực như sau:

r

(F ),
j

j = 1, n

2. Hệ lực tương đương:
Hai hệ lực được gọi là tương đương với nhau về cơ học nếu hai hệ lực này
cùng gây ra một kết quả cơ học trên một vật.
Ký hiệu:
hiệ
r
r

( F j ) ~ (Qk )

j = 1, n

k = 1, m

3. Hợp lực:
a. Định nghĩa:
N ếu một
ộ hệệ nhiều lực
ự tươngg đươngg với một
ộ hệệ mới chỉ có duy
y nhất một
ộ lực,
ự ,

lực duy nhất đó được gọi là hợp lực của hệ nhiều lực.
Ký hiệu của hợp lực như sau:

r
r
(Fj ) ~ R

; j = 1, n

b. Tính chất của hợp lực: hợp lực có 2 tính chất.
+ Vector hợp lực được xác định bằng vector tổng của các vector lực trong hệ.

2


25/04/2010

r n r
R = ∑ Fj

y

j =1

n
⎧
⎪ Rx = ∑ F jx
j =1
⎪
n

⎪⎪
→ ⎨ R y = ∑ F jy
j =1
⎪
n
⎪
⎪ R ʓ = ∑ F jʓ
⎪⎩
j =1

r
Fj

F jy

A

α

O
r
F jx = F j . cos α

B

x

F jx
Hình 1.2

r
F jy = F j . sin α

* Hình chiếu củar một vector lên một trục là một giá trị đại số (hình 1.2).
+ Vector hợp lực R của hệ lực chỉ nằm trên một đường tác dụng duy nhất
trong không gian R3.
Có những hệ lực luôn có hợp lực và cũng có những hệ lực không bao giờ có
hợp lực.

4. Hệ lực cân bằng:
Là loại hệ lực không làm thay đổi trạng thái cơ học của vật rắn khi vật chịu
tác động của loại hệ lực này.
Ký hiệu:

r
( F j ) ~φ

; j = 1, n

1 3 Phân loại hệ lực.
1.3
lực
1. Cách 1: r e
- Ngoại lực: F j

Là những lực được sinh ra do những đối tượng bên ngoài hệ thống khảo sát
sinh ra để tác động
r i vào những vị trí bên trong hệ thống đang xét.
- Nội lực: F j
Là những lực do những đối tượng bên trong hệ thống khảo sát sinh ra để tác

động vào những vị trí bên trong hệ thống
ố đang xét.
Ví dụ:(hình 1.3).
C
Xét hệ
r khảo sát gồm : vật+ trái đất
Î P là nội lực.
P
Xét hệ
r khảo sát gồm chỉ có vật
Trái Đất
Î P là ngoại lực
Hình 1.3

3


25/04/2010

2. Cách 2:
- Lực tập trung:
Là loại lực chỉ tác dụng một điểm duy nhất trên vật
- Lực phân bố:
Là loại lực tác động lên nhiều điểm trên vật cùng lúc.
+ Lực phân bố theo đường:
Là loại
l i lực
l phân
h bố có các điểm
điể tác động

đ
l vật tạo thành
lên
h h một đường
đ
trên
vật (Đường thẳng, đường tròn, ellipse, …). Đơn vị: N /m.
Ví dụ:
Bánh xe lu hình trụ tròn tác động lực lên mặt đường. (hình 1.4)
q: cường độ của lực phân bố.
Đơn vị: N /m.
/m

q

P
Hình 1.4

+ Lực phân bố theo mặt:
Là loại lực phân bố mà quỹ tích các điểm tác dụng lên vật tạo thành một
mặt trên vật.

Ví dụ: áp lực nước tác dụng lên thành đê. (hình 1.5).
r
P: áp lực.
Đơn vị: N /m2.

r
P
Hình 1.5

r
3
+ Lực phân bố theo thể tích:γ ( N m )
Ví dụ: Trọng lực tác dụng lên vật. (hình 1.6).

(V )

Thể tích cực nhỏ.

r

γ

C

r
P

Trọng lực là lực tập trung: khái
niệm đúng nhưng không thật!

Hình 1.6

4


25/04/2010

1. 4 Quy đổi lực phân bố trên đoạn thẳng về lực tập trung tương

đương:
1. Tổng quát: (hình 1.7).

Ω
C
O
xA

A

B
x

Q

q(x)
x

~

C
O

A

B
xD

D

xC
xB

x

b)

a)
Hình 1.7
xB
⎧
Với: ⎪Q = ∫ q( x).dx ≡ Ω
xA
⎪
⎨
xB
⎪
⎪ xD = ∫ q( x).x.dx Q ≡ xC
xA
⎩

Trong đó:
T
đó
x A : tọa độ của điểm A bắt đầu.
x : tọa độ của điểm bất kỳ.
x C : tọa độ của trọng tâm C.
x B : tọa độ của điểm B kết thúc.
x D : tọa độ x của điểm D.

2. Trường hợp riêng:
a. Lực phân bố đều: (hình 1.8).

l

A

l 2

B
C

Ω = q.l

~

l 2

A

q = const

D

B

C
Q ≡ Ω = q.l

a)

b)
Hình 1.8

b. Lực phân bố tam giác: (hình 1.9).

qmax
A

1
Ω = qmax .l
2

C

l

2l 3

B

Q≡Ω=

~

A

1
qmax .l
2

C

D

2l 3

B

b)

a)
Hình 1.9

5


25/04/2010

§ 2: CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
Gồm có 6 tiên đề:
¾ Tiên đề 1: Tiên đề về hai lực cân bằng
Điền kiện cần và đủ để cho hệ hai lực cân bằng là chúng có cùng đường tác
dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ. (hình 2.1).

F′

B

A

a)

F

F′

Hình 2.1

B

A

F

b)

¾ Tiên đề 2: Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng:
Tác dụng của một hệ lực không thay đổi nếu thêm hoặc bớt hai lực cân bằng
Hệ quả 1:
FA
Định lý trượt lực:
B
A
Tác dụng của lực lên vật rắn tuyệt
F B′
FB
đối không thay đổi khi trượt lực trên
đường tác dụng của nó.(hình 2.2)
Hình 2.2
Cần chú ý rằng tính chất nêu trên chỉ đúng đối với vật rắn tuyệt đối.

¾ Tiên đề 3: Tiên đề hình bình hành lực.
Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm tương
đương với một lực đặt tại điểm đặt chung và
có vector lực bằng vector đường chéo hình
bình hành mà hai cạnh là hai vector biểu
diễn hai lực thành phần. (hình 2.2)

F1

O

F

F2
Hình 2.3
23

¾ Tiên đề 4: Tiên đề tác dụng và phản tác dụng.
Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai vật có cùng đường tác dụng,
hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ. (hình 2.4).
Chú ý rằng lực tác dụng và
phản tác dụng không phải là hai
F′
F
A
lực cân bằng vì chúng không tác
B
d
dụng

lê cùng
lên
ù một
ộ vật
ậ rắn.
ắ
a)
Tiên đề 4 là cơ sở để mở rộng
các kết quả khảo sát một vật F ′
sang khảo sát hệ vật và nó đúng
A
B
cho hệ quy chiếu quán tính
b)
cũng như hệ quy chiếu không
Hình 2.4
quán tính.

F

6


25/04/2010

¾ Tiên đề 5: Tiên đề hóa rắn.
Một vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực thì khi hóa rắn
lại nó vẫn cân bằng dưới tác động của hệ lực đó (hình 2.5).

F

F′

F′

F

a))

b))

Hình 2.5
Chú ý: (hình 2.6)

F

Sợi dây
Hóa rắn

F

Sợi dây

F′

F′

F

F′

Hóa rắn

F Thanh thép F ′

Thanh thép
a)

b)

Hình 2.6

¾Tiên đề 6: Tiên đề giải phóng liên kết.
Vật không tự do (tức vật chịu liên kết) cân bằng có thể được xem là vật tự
do cân bằng nếu giải phóng các liên kết, thay thế tác dụng của các liên kết
được giải phóng bằng các phản lực liên kết tương ứng (hình 2.7).

q

q

RA

RB

A

B

b)

a)
Hình 2.7

7


25/04/2010

§ 3. Moment của lực
3. 1 Khái niệm:
Dưới tác động của một lực vật rắn có thể chuyển động tịnh tiến, chuyển động
quay, hoặc vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay đồng thời. Tác dụng của lực
làm vật rắn quay sẽ được đánh giá bởi đại lương moment của lực.
3. 2 Các loại moment của lực:
1. Moment của lực đối với một tâm
• Khảo sát lực F tác động tại điểm A trên vật. Đường tác dụng của lực là
đương thẳng l . Giả sử rằng lực có xu hướng làm vật rắn quay quanh tâm O.
Dựng hệ trục vuông góc 3 chiều Oxyʓ có gốc tại tâm O như hình vẽ:(hình 3.1).

r

ʓ

Dựng vectơ r ≡ OA

r
Gọi α là góc hợp bởi vectơ
ectơ r vàà lực F.
F

r r
α = (r , F )

d

B

r
Fα

r
r

O

d: cánh tay đòn của lực F đối với tâm O.

d = OH ⊥ ( l )
⇒ d = r . sin α

H

(l )

A

y

x
Hình 3.1

• Khả năng của lực F làm vật rắn quay quanh tâm O sẽ được đánh giá bởi
vector moment của lực F đối với tâm O như sau: (hình 3.2).

uur
r
r
r
(∧ : tích có hướng.)
M O (F ) = r ∧ F
uur
r
⎧ M O ( F ) ⊥ m p (O A B )
uur
r
⎪
⇒ ⎨ Chiều M O ( F ) : R H R
uur
⎪ M O ( Fr ) = r . F . s in α = F . d = 2 . S ( Δ O A B )
⎩
r
r
™ Định lý:
M O (F )

Điều kiện cần và đủ để lực F không có
khả năng làm vật rắn quay quanh tâm O r
F
r
r

là:

(F ) = 0
r
⇔ M O (F ) = 0
M

O

⇔ d = 0 ⇔ O ∈ (l )

⊕

Hướng
ngón cái
bà tay
bàn
t
phải

r
r

Hướng các ngón còn
lại của bàn tay phải.
Hình 3.2

8

25/04/2010

2. Moment của lực đối với một trục.
- Khảo sát lực F tác động tại điểm A trên vật. Giả sử rằng lực có xu hướng
làm vật rắn quay quanh trục ʓ. Để đo lường khả năng của lực F làm vật rắn
quay quanh trục ʓ người ta xác định moment của lực F đối với trục ʓ theo hai
bước sau đây: (hình 3.3).
ʓ
+ Bước 1: xác định hình chiếu
H
vuông góc của lực F lên mặt
r
B
phẳng vuông góc của trục r r
F
α
M O (F )
d
quay ʓ.

r
r
Fxy = hc xy(F)

r
M Oʓ (F )

r
r

(l )

A

y

O

x
+ Bước 2: moment của lực F đối với trục
ʓ là một đại lượng đại số được định
nghĩa bằng (+) hoặc (–) độ lớn của
vector moment lực hình chiếu Fxy đối
với tâm O.

Bxy r
Fxy

Axy

Hình 3.3

Quy ước:
Moment của lực F đối với trục quay ʓ sẽ được quy ước là đại lượng (+ ) nếu
nhìn dọc theo trục quay ʓ từ ngọn của trục ấy ta thấy lực hình chiếu Fxy sẽ có
xu hướng quay quanh tâm O ngược chiều kim đồng hồ và ngược lại.

r
r r
M ʓ (F) = ± M O (Fxy ) = ±2.S( ΔOA xy Bxy )

ƒ Định lý:
+ Hình chiếu vuông góc lên trục ʓ của vector moment lực F đối với tâm O
bằng moment của lực F đối với trục ʓ.

r r
r
hcʓ [MO (F )] = Mʓ (F ), ∀O ∈ z.
+ Điều kiện cần và đủ để lực F không có khả năng làm vật rắn quay quanh
trục ʓ là moment của lực F đối với trục ʓ bằng 0.

r
M ʓ (F ) = 0 ⇔ S(ΔOAxy Bxy ) = 0 ⇔ mp(OAB) // ʓ ⎫
⎬ ⇔ Trục ʓ ∈ mp(OAB)
Mà trục ʓ cắt mp (OAB) tại O ⎭
⇔ [ ʓ ,(l)] đồng phẳng.

9


25/04/2010

r r r
M ( F , F ′)

3. Ngẫu lực
a. Định nghĩa:
N gẫu lực là một hệ hai lực thỏa
đồng thời các điều kiện sau đây:
Cùng phương, cùng độ lớn,

ngược chiều và không cùng
đường tác dụng (hình 3.4).
3 4)
Ký hiệu ngẫu lực như sau:

(l )

A

r
F

d
A′

P

r r r
r
(F, F ') : F ' = −F

r (l ′)
F′

Hình 3.4

b. Tính chất của ngẫu lực :
• N gẫu lực là một hệ lực không cân bằng, nghĩa là dưới tác động của ngẫu
lực mộtrvậtr rắn tự do hoàn toàn, đang đứng yên sẽ thực hiện chuyển động
quay: ( F , F ' )

φ
• N gẫu lực là loại hệ lực không bao giờ
r có
r hợp lực.
r N ghĩa là ngẫu lực là
một dạng tối giản của các hệ lực: ( F , F ' )
R
c. Moment của ngẫu lực:
• Khả năng làm quay vật của ngẫu lực sẽ phụ thuộc vào 4 yếu tố của ngẫu
lực: mặt phẳng tác dụng (P), cánh tay đòn d, độ lớn của các lực và chiều
quay của ngẫu lực.

‫؂‬

‫؂‬

• Để đo lường khả năng làm quay vật của ngẫu lực người ta định nghĩa đại
lượng vector moment của ngẫu lựcr như
r sau:
r

(

)
(
)

⎧ M F, F′ ⊥ mp(P)
⎫⎪ ⎪⎪
r r r

⎬ ⇒ ⎨ Chiều M F, F′ : RHR
⎭⎪ ⎪ r r r
⎪ M F, F′ = F.d
⎩
• Có hai cách ký hiệu ngẫu lực:
r r r
r
M F, F′ = MA′
r
= MA

(

)

r
F
r
F′

( )
( )

(

)

o Liệt kê 2 lực của ngẫu.

r r

r r r

o ( F , F ′ ) ∼ M ( F , F′ )
d. Các định lý của ngẫu lực:
™ Định lý 1:
Hai ngẫu lực được xem là tương đương về cơ học nếu và chỉ nếu hai vector
moment của chúng bằng nhau

(F , F ′) ∼ (F , F ′) ⇔ M (F , F ′) = M (F , F ′)
r r
1

1

r r
2

2

r r r

r r r

1

2

1

2

™ Định lý 2:
Từ một ngẫu đã cho ta có thể tìm được vô số ngẫu khác tương đương với nó

10


25/04/2010

™ Định lý 3:
Tổng các vector moment của hai lực trong ngẫu lấy đối với một tâm O trong
không gian sẽ không phụ thuộc vào vị trí của tâm O đó và bằng vector
moment của ngẫu lực.

( )

( )

(

)(

r r
r r
r r r
M O F + M O F ′ = M F , F ′ , ∀O ∈ R3

)

™ Định
ị lýý 4:
Một hệ nhiều ngẫu lực bao giờ cũng có một ngẫu tương đương với chúng.
Vector moment của ngẫu tương đương bằng tổng các vector moment của các
ngẫu thành phần.

(

r r
Fj , Fj′

)∼(

)

(

)

(

)

n r r r
r r
r r r
Q, Q′ ⇒ M Q, Q′ = ∑ M Fj , Fj′ ,

4. Ký hiệu moment.
™ Có 3 cách ký hiệu Moment:

• Cách 1: Ký hiệu Moment bằng một
vector thẳng hai đầu. (Dùng trong bài
toán không gian 3 chiều.). (hình 3.5).
Vector càng dài vật rắn quay càng
nhanh.

• Cách 2: Ký hiệu moment bằng một
ngẫu hai lực nằm trong mặt phẳng
tác dụng vuông góc với vector
moment của cách 1 sao cho vector
moment của ngẫu lực bằng vector
moment cần biểu diễn. (Dùng trong
bài toán không gian 2 chiều va
và 3
chiều.). (hình 3.6)
9 Chú ý rằng có rất nhiều ngẫu có thể
chọn để biểu diễn một moment.
• Cách 3: Biễu diễn moment bằng một
vector cong, phẳng nằm trong mặt
phẳng tác dụng của ngẫu lực. Chiều
của vector cong được xác định tuân
theo quy tắc bàn tay phải so với
chiều vector moment thẳng của cách
1. Hay chiều của vector moment
cong sẽ cùng chiều quay của ngẫu
lực. (Dùng trong bài toán không gian
2 chiều.). (hình 3.7).

j = 1, n

j =1

r
M

P
Hình 3.5

r
M

r
F′

r
F

P
Hình 3.6

r
M

r
M

P
Hình 3.7

11

25/04/2010

§ 4. Liên kết. Phản lực liên kết
4. 1 Khái niệm:
1. Vật rắn tự do hoàn toàn.
™ Là vật rắn có thể thực hiện được mọi dạng chuyển động trong không
gian mà không có bất kỳ cản trở nào
ậc tự do của vật rắn.
ắ .
2.. Bậc
a. Định nghĩa (Dof):
™ Là số chuyển động độc lập mà vật rắn ấy có thể thực hiện đồng thời
trong không gian. Ví dụ: chuyển động của quạt trần và của trái đất.
• Ký hiệu bậc tự do của vật rắn là Dof (Degree of freedom).
b. Xác định Dof của vật rắn tự do hoàn toàn:
y
• Trong không gian hai chiều: 2D (hình 4.1).
S

( )

DofVR = 3

②

① : tịnh tiến thẳng theo phương ngang;
② : tịnh tiến thẳng theo phương đứng;③: quay.

Có ① và ② : tịnh tiến theo phương xiên.
Có cả 3 vừa tịnh tiến vừa quay đồng thời.

9 Chú ý rằng một chuyển
động độc lập bao gồm cả
hai chiều chuyển động
theo một phương.

x

①
Hình 4.1

• Trong không gian 3 chiều: 3D (hình 4.2).

DofVR = 6

③

O

(V )

z

3
6
O

4

x 1

5
2

y

Hình 4.2

3. Liên kết:
a) Định nghĩa: Là những đối tượng có tác dụng hạn chế khả năng chuyển
động của vật rắn trong không gian.
b)) Ràng
g buộc
ộ của liên kết: Rlk là số chuyển
y độc
ộ lập
ập bịị mất do liên kết.
lk
™ R Là một thông số đánh giá khả năng cản trở chuyển động của liên kết
đối với vật và nó được định nghĩa bằng số chuyển động độc lập mà vật
rắn bị mất đi do liên kết ấy.
9 Chú ý: Một chuyển động độc lập gồm cả hai chiều chuyển động theo một
phương. N ếu vật rắn chỉ chuyển động theo một chiều của một phương thì
vật ấy có 0,5 chuyển động độc lập.

12


25/04/2010

c) Bậc tự do của hệ nhiều vật rắn có liên kết với nhau:
• Khảo sát một hệ thống cơ học gồm có n vật rắn được liên kết với nhau
bởi m liên kết.
m

o

Tổng các ràng buộc của các liên kết trong hệ là: ∑ R
j=1

lk
j

c1 Xét một cơ hệ
c1.
hê trong không gian hai chiều (2D):
m

Lúc này Dof hệ = 3n -

∑R
j=1

lk
j
m

c2. Trong không gian ba chiều: Dofhệ = 6n -

∑R
j=1

lk
j

Với n là số vật rắn trong hệ.
• Khi Dof hệ > 0: hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.
• Khi Dof hệ <= 0: hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.
4. Phản lực liên kết
a) Định nghĩa:
™ Là những lực do các liên kết phản tác dụng lên vật (hình 4.3).

™ Phản lực liên kết là
những lực thuộc loại lực
thụ động (bị động).

r
RA

r
RB

A

r
PA

B

(V )
r
PB

Hình 4.3

b) Tính chất :
• Tính chất 1: Số phản lực liên kết của một loại liên kết sẽ bằng số làm
tròn của ràng buộc liên kết ấy [= round (Rlk ) ].
o Ví dụ: Rlk = 2,5 Æ liên kết có 3 phản lực liên kết.
• Tính chất
ấ 2: Vị trí đặt các phản lực liên kết
ế trùng với vị trí của các liên
kết ấy (Đặt tại vị trí có liên kết).
• Tính chất 3: Phương của các phản lực liên kết sẽ trùng với phương của
các chuyển động độc lập bị mất đi.
• Tính chất 4: Chiều của các phản lực liên kết sẽ ngược với chiều của các
chuyển động độc lập bị mất đi.

13


25/04/2010

4.2. Phản lực liên kết của 9 loại liên kết cơ bản
1. Liên kết dây.
Rdây = 0,5

r dây
TA

⇒ Có 1 phản lực liên kết.

A

r
Ví dụ: Lực căng dây TA .

(V )

(hình 4.4).

Hình 4.4

2. Tựa nhẵn. (Tựa trơn không ma sát.)
Rtựa = 0,5

r
NA

tA

phản lực
ự liên kết: đặt
ặ tại
ạ
⇒ Có 1 p
vị trí liên kết. (hình 4.5)
tA: tiếp tuyến chung.

A

r
N A: phản lực pháp tuyến. Thẳng

góc với mặt tựa (mặt tiếp xúc) và
hướng vào vật khảo sát.

r
NA

tB : tiếp tuyến riêng của vật tại
vị trí điểm B.
tuyến.

Hình 4.5-a

(S )

tA : tiếp tuyến riêng của bề
mặt cố định tại điểm gẫy A.

r
r
N A , N B : phản lực pháp

(V )

r
NB

tB

B
tA

A

Hình 4.5-b

3. Khớp bản lề cố định (khớp bản lề ngoại cố định).
Loại liên kết này có
S
chiều phản lực, độ lớn
của phản lực liên kết
VA
chưa biết. (hình 4.6)

( )

Rbl = 2

HA

⇒ Có 2 phản lực
liên kết.

Lực phán đoán
Hình 4.6

14


25/04/2010

4. Khớp bản lề trượt (khớp bản lề ngoại trượt).
Rblt = 1

(V )

⇒ Có 1 phản lực liên kết.

r
NA

Loại liên kết này chỉ cho phép trượt qua lại
theo phương trượt và quay trong mặt phẳng
nhưng không tịnh tiến thẳng lên, xuống theo
phương
h
vuông
ô góc
ó với
ới phương
h
t t Đê
trượt.
Để trượt
t t
nhẹ người ta lắp thêm con lăn. (hình 4.7).

Chiều và độ lớn phản lực chưa biết.
5. Khớp bản lề nội. (xem hình 4.8)

Hình 4.7

⇒ Có 2 phản lực liên kết. Tác động lên từng vật thỏa tiên đề 4.

Rbln = 2

①

②

②

①

∼
Hình 4.8-a

r
r
⎧⎪H 2 = − H1
r
⎨r
⎪⎩V2 = −V1

V2

①

H1

②

H2

V1
Hình 4.8-b

6. Ngàm phẳng:
ẳ
(ngàm hai chiều
ề ) (xem hình 4.9)
Rngàm2D = 3
⇒ Có 3 phản lực liên kết.

VA
A

HA

B

MA
Hình 4.9

7. Khớp cầu: (xem hình 4.10)
Rcầu = 3
⇒ Có 3 phản lực liên kết.

15


25/04/2010

ʓ

(V )
ʓ

A

r
xA

r
A yA

y

x

ʓ

Hình 4.10

8. Ngàm không gian (ngàm 3 chiều )
(xem hình 4.11)
Rngàm3D = 6

ʓ

⇒ Có 6 phản lực liên kết.

x

Mr yA A M xA
xA A r
y
MʓA A

y

Hình 4.11

9. Liên kết thanh.
Khảo sát thanh thẳng hoặc cong thỏa đồng thời ba điều kiện sau: (hình 4.12)
• Có trọng lượng rất bé nên có thể bỏ qua được.
• Có hai liên kết ở hai đầu cuối của mỗi thanh thuộc ba loại liên kết sau
đây: khớp cầu, khớp bản lề, tựa nhẵn.
• Các thanh không chịu tác động của lực hoặc moment ở giữa thanh.
N ếu những thanh thỏa mãn đồng thời
các điều kiện như trên được dùng làm
các liên kết cho vật rắn thì chúng sẽ
r
r
V
được gọi là các liên kết thanh. Mỗi liên
RB

RD
kết thanh sẽ có một ràng buộc và sinh
ra một phản lực tác động lên vật. Phản
D
B
lực của liên kết thanh luôn có tính chất
nằm trên một đường thẳng nối liền hai
đầu có liên kết thanh.
A: khớp cầu; B,D: bản lề; C: tựa nhẵn.

( )

r
⎧⎪ R ⊂ AB
AB, CD : 2 liên kết thanh ⇒ ⎪⎨ r B
⎪⎪RD ⊂ CD
⎩

C

A
Hình 4.12

16


25/04/2010

CHƯƠNG 2: THU GỌN HỆ LỰC VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA
HỆ LỰC.

§1. Hai Thành Phần Cơ Bản Của Hệ Lực.

r

ƒ Khảo sát hệ nhiều lực ( Fj ) . Mọi hệ nhiều lực luôn có hai thành phần cơ
j =1, n

bản được định nghĩa như sau:
1.1 Vector chính của hệ lực:
1. Định nghĩa:
™ Vector chính của một hệ nhiều lực là
vector tổng của tất cả các vector lực
trong hệ
hê.
o N ó được ký hiệu và xác định như
sau:

n
⎧
′
=
R
Fjx
⎪ x ∑
j =1
⎪
n
r n r
⎪
R′ = ∑ Fj ⇒ ⎨ Ry′ = ∑ Fjy

j =1
j =1
⎪
n
⎪
′
=
R
⎪ ʓ ∑ Fj ʓ
j =1
⎩

2. Tính chất của vector chính.
• Đối với một hệ lực đã cho vector chính của hệ lực ấy là một vector hằng.
Đây được gọi là bất biến thứ nhấtuuuuur
của hệ lực.

r
R′ = const

• Vector chính của hệ lực là một vector tự do. N ghĩa là vector chính của hệ
ự có thể được
ợ đặt
ặ tại
ạ một
ộ vịị trí tùy
y ý trong
g không
gg
gian.

lực
1.2 Moment chính của hệ lực đối với một tâm.
1. Định nghĩa :
™ Moment chính của hệ lực đối với tâm O là một đại lượng vector bằng tổng
các vector moment của các lực trong hệ lực lấy đối với cùng tâm O ấy.
o N ó được xác định và ký hiệu như sau:
n

n r
r
MO = ∑ MO
j=1

⎧
⎪ M Ox = ∑ M x
j=1
⎪
n
⎪⎪
r
Fj ⇒ ⎨ M Oy = ∑ M y
j=1
⎪
n
⎪
⎪ M Oz = ∑ M
ʓ
⎪⎩
j=1

( )

r

(F )
j

r

(F )
j

r

(F )
j

17


25/04/2010

2.Tính chất của moment chính.
ƒ Tính chất 1: Moment chính của hệ lực đối với một tâm không phải là
vector hằng và sẽ phụ thuộc vào vị trí của tâm O ấy.
ƒ Tính chất 2: Hình chiếu vuông góc của vector moment chính hệ lực đối
với một tâm lên phương của vector chính của hệ lực ấy là một hằng số
với mọi O trong không gian. Đây được gọi là bất biến thứ 2 hệ lực. (hình
2 1)
2.1)

r
hcRr′ (MO ) = const , ∀O ∈ R3
r
M O1
r
R′

O1

r
hcRr′ ( MO2 )

O2

r
R′
r
M O2

r
r
hcRr′ ( MO1 ) ≡ hcRr′ ( M O2 )

b)

a)
Hình 2.1

§ 2. Các Định Lý Cơ Bản Của Tĩnh Học

2.1 Định lý ba lực. (định lý một chiều).
™ N ếu vật rắn đã cân bằng dưới tác dụng của hệ ba lực thì hệ ba lực ấy sẽ
thỏa đồng thời hai điều kiện sau: (hình 2.2)
• Đồng phẳng.
• Hoặc đồng quy hoặc song song trong mặt phẳng.
9 Chú ý: Định lý này
là định lý một chiều
nghĩa là nếu hệ 3
lực thỏa mãn đồng
thời 2 điều kiện như
trên thì chưa chắc
ắ
hệ 3 lực ấy là hệ 3
lực cân bằng.

Hình 2.2

18


25/04/2010

(F )
r

2.2 Định lý dời lực song song.

A

Có thể di dời song song một

lực đến một điểm đặt mới
nằm ngoài đường tác dụng
của nó nếu trong quá trình di
dời song song ấy ta bổ sung
vào lực ấy
ấ một moment bằng
ằ
moment của lực trước khi di
dời lấy đối với điểm sẽ được
di dời đến. (hình 2.3)

( ) ∼ [( )
r
FA

( ) ],

r
r r
F B; MB F

A

(l )

(F ) = (F )
r

r

B

A

A
B

uur r
MB F

( )

∀B ∈ R3

A

Hình 2.3

2 3 Định lý thu gọn hệ nhiều lực về một tâm.
2.3
tâm
Một hệ nhiều lực khi thu gọn về một tâm O tùy ý trong không gian bao giờ
ta cũng tương đương với một hệ mới gồm hai vector cùng đặt tại tâm thu
gọn O đã chọn. Đó là hai thành phần cơ bản của hệ lực đối với tâm thu gọn
r
r r
ấy.
3

(F ) ∼ (R′, M

j
j =1, n

O

) , ∀O ∈ R

2.4 Định lý về hai hệ lực tương đương.
™ Điều kiện cần và đủ để hai hệ lực tương đương với nhau là khi thu gọn
về một tâm tùy ý trong không gian các thành phần thu gọn cơ bản cùng
tên của chúng phải đồng loạt bằng nhau:

r
r
r
⎧ RF′ = RQ′
Qk ⇔ ⎨ r F r Q
k =1, n
⎩M O = M O

( ) ∼( )
r
Fj

j =1, n

§ 3. Điều Kiện Cân Bằng Của Hệ Lực
3.1 Điều kiện tổng quát
™ Điều
Điề kiện

kiệ cần
ầ vàà đủ đê
để một
ột hệ
hê nhiều
hiề lực
l cân
â bằng
bằ là cảả hai
h i thành
thà h phần
hầ cơ
bản của hệ lực ấy đối với tâm thu gọn O bất kỳ trong không gian phải
đồng loạt bị triệt tiêu.

(F ) ∼ (R′, M ) ∼ φ ,
r

j
j =1,n

r r

O

∀O ∈ R3

19

25/04/2010

n
⎧
⎧
′
=
R
(1)
∑
⎪
⎪ x j =1 Fjx = 0
⎪
⎪
n r
n
r ⎪
r
⎪
′
′
=
=
⇔
=
R
F
0
R
( 2)

∑ j
⎨ y ∑ Fjy = 0
⎪
j =1
j =1
⎪
⎪
n
⎪
⎪
′
R
Fj ʓ = 0
=
( 3)
∑
⎪ ʓ
⎪
j =1
⎩
⎪⎪
⇔⎨
⎪
n
r
⎧
⎪
=
M
M

F
∑
Ox
x
j =0
⎪
⎪
j =1
⎪
⎪r
n r
n
r ⎪
r
r
⎪ MO = ∑ MO Fj = 0 ⇔ ⎨ MOy = ∑ My Fj = 0
j =1
j =1
⎪
⎪
⎪
n
r
⎪
M
M
F
=
⎪
⎪ Oʓ ∑ ʓ j = 0

j =1
⎪⎩
⎩

( )

( )

( 4)

( )

( 5)

( )

( 6)

3.2 Trường hợp riêng.
1. Hệ lực phẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy
Xét trường hợp n lực Fj cùng nằm trong
một mặt phẳng. Dựng hệ trục tọa độ
Oxy nằm trong mặt phẳng của hệ lực.
(hình 2.4).
(1), (2), (6).
Chỉ cần thỏa (1), (2), (6’) đối với hệ
lực phẳng.

r

r
F1

y

j =1

MO

n

O

j =1

( )

ngược chiều kim đồng hồ.
2. Hệ lực song song với trục Y.
(xem hình 2.5)
(2), (4), (6).

x

Hình 2.4

r

r
ế lực

l Fj quay quanh
hO
Fj > 0 : N ếu

N

r
Fn

( 6) ⇔ ∑ M ʓ ( Fj ) ≡ ∑ MO ( Fj ) = 0 ( 6′)
n

r
F2

y

r
F1

r L
F2
ʓ

r
Fn

O

x

Hình 2.5

20


25/04/2010

‰ Hệ lực song song y và đồng phẳng trong Oxy:
(2), (6).

y
M

‰ Hệ lực đồng trục y. (hình 3.3).
(2)

Hình 3.3

3. Hệ lực đồng quy. (hình 3.4).

y

(1), (2), (3)
¾ Hệ lực đồng phẳng trong
mặt phẳng Oxy:
(1), (2)

ʓ

r
F1

O

r
F2

M

r
Fn

x

Hình 3.4

§ 4. Các Dạng Chuẩn (Tối Giản) Của Hệ Lực
Dựa vào 2 thành phần cơ bản của hệ lực khi thu gọn về một tâm người ta sẽ
phân các hệ lực ra làm 4 dạng tối giản. (dạng chuN n).

r

r

r

r

4.1 Dạng chuẩn 1: R ′ = φ , M O = φ : hệ lực không gian cân bằng.

r

r

r

r r

r

r

4.2 Dạng chuẩn
ẩ 2: R ′ = φ , M O ≠ φ : hệ lực không gian
đương với
uuuuur
r tương
một ngẫu lực và sẽ không bao giờ có hợp lực, lúc này M O = const , ∀O ∈ R 3

r

4.3 Dạng chuẩn 3: R ′ ≠ 0, M O .R ′ = 0 : hệ lực không gian tương đương với
1 lực, tức hệ lực không gian có hợp lực.
• Trong trường hợp (4.3) hệ lực không gian có hợp lực, ta có định lý sau:
Định lý Varinhông:
Trong trường hợp hệ lực không gian có hợp lực thì moment của hợp lực đối
với một tâm bất kỳ bằng tổng moment của các lực thành phần đối với tâm ấy.
n
r r

r r
mO ( R) = ∑ mO ( Fk )
k =1

21


25/04/2010

r

r

r

r

4.3.1 Khi M O = 0 : hợp lực của hệ lực R = R ′ và đặt tại O. (hình 4.1)

r r
R ≡ R′

O
Hình 4.1

r
r
r r
4.3.2 Khi R ′ ⊥ M O : hợp lực của hệ lực R = R ′ và đặt tại O*. (hình 4.2)
r

r
MO
′
R
r
r
uuuuur R ′ ∧ M
M
O
OO * =
⇒ d ≡ OO* = O
2
R′
( R′ )
O
r r
R = R′
d

O*
Hình 4.2

4.4 Dạng chuẩn 4: Hệ lực xoắn vít động

r r

r

Khi R ′.M O ≠ 0 : hệ lực này không bao giờ có hợp lực.

§ 5. Ma Sát
5.1 Khái niệm.
Ma sát là một hiện tượng tổng hợp (cơ học, điện học, nhiệt học, hóa học,…),
phản ánh sự cản trở chuyển động trượt tương đối giữa hai bề mặt vật chất
đang tiếp xúc với nhau.
5.2 Các loại ma sát.
1. Ma sát trượt.
a.) Ma sát trượt tĩnh.
Xảy ra khi giữa hai vật tiếp xúc chưa trượt với nhau.
- Khảo sát vật rắn (A) tựa trên mặt phẳng ngang cố định.

(

r r

)

• Vật rắn sẽ cân bằng dưới tác động của hệ hai lực: P, N ~ φ
Lúc này chưa xuất hiện lực ma sát.
• Tác động lên vật (A) một lực kéo Q.
o Khi lực kéo Q<<1 thì vật vẫn cân bằng.

22


25/04/2010

r r r uuur
Lúc này vật cân bằng dưới tác động của bốn lực: ⎡⎢ P, N , Q, Fmst ⎤⎥ ~ φ

)(

(

⎣

r uuur
⇒ Q, Fmst ~ φ

(

)

)⎦

o Tăng dần độ lớn của Q, khi Q có giá trị chưa đủ lớn, thì vật vẫn cân bằng.
Do đó lực ma sát trượt tĩnh Fmst có độ lớn tăng kịp theo Q.
o Khi độ
đô lớn
lớ Q đạt
đ t đến
đế một
ột gia
i ́ trị
t ị giới
iới hạn
h Q = Qgh thi
thì vật
ật chớm
hớ trượt!

t t!
Do đó: Fmst = Qgh =Fmsgh =f t.N

( Định luật Coulomb).

Với ft là hệ số ma sát trượt tĩnh, không có đơn vị. Xác định bằng thí nghiệm.
o Khi lực kéo Q > Qgh : vật trượt.
• Điều kiện để vật không trượt: Fmst ≤ Fmsgh = ft .N
b.) Ma sát trượt động.
Khi lực kéo Q > Qgh thì vật sẽ trượt. Lúc này lực ma sát cản trượt trên bề mặt
tiếp xúc sẽ có độ lớn được xác định theo định luật ma sát trượt động như sau:
Fmsđ = fđ .N
Với fđ là hệ số ma sát trượt động: ft > fđ (khi kéo vật sẽ nhẹ hơn lúc vật tĩnh).

2. Ma sát lăn.
Khảo sát một hình trụ tròn
đặc đặt trên mặt phẳng nằm
ngang.
Hình trụ sẽ cân bằng dưới tác
ụ g của 2 lực
ự N và P. ((hình
dụng
5.1)

r
N

O

R

r
P
Hình 5.1

• Tác động thêm lên vật này một lực đN y Q. Lực này tác động tại tâm của
hình trụ và … (hình 5.2)
o Khi Q << 1: vật vẫn cân bằng
dưới tác dụng của hệ lực :

r r r uuur
( P, N , Q, Fmst , M msl ) ~ φ

Với Mmsl : moment ma sát cản lăn.

M msl

O

r
N

r
Q

R
uuur
Fmst

r
P

Hình 5.2

23


25/04/2010

o Khi tăng dần Q, khi Q chưa đủ lớn, vật vẫn cân bằng.
Do đó: Mmsl = R.Q (tăng theo Q!)
o Khi Q = Q*gh : vật chớm lăn.
Lúc này Mmsl = R.Q*gh = k.N (định luật ma sát lăn)
Với k là hệ số ma sát lăn, đơn vị là cm, xác định bằng thí nghiệm.
3. Ma sát dây. (xem hình 5.3)

ft

α: góc tiếp xúc (góc ôm); rad

Euler : Q = P.e(− ft .α) =
Vì

P

α

( ft .α)

e

r
Q

e(− ft .α) >1 nên
ê Q
Ví dụ: với α = 2π ; ft =10
Thì ta có:

e(

f t .α )

= e 20 π = 1,94.1027

r
P
Hình 5.3

§ 6. Trọng Tâm Của Vật Rắn
(Tự đọc)
§ 7. Trình Tự Giải Các Bài Toán Tĩnh Học
™ N ói chung mọi bài toán tĩnh học sẽ được giải theo trình tự 5 bước
Bước 1: Chọn đối tượng trong hệ để khảo sát sự cân bằng. Đối tượng được
chọn có thể là toàn hệ, có thể là một số vật rắn trong hệ, có thể là một vật
rắn hoặc một bộ phận của hệ nhưng phải có liên quan đến các N n số cần tìm.
Bước 2: Tự do hóa đối tượng đã chọn. N ghĩa là tách các đối tượng được
chọn ra khỏi các liên kết nối đối tượng với bên ngoài (vẫn giữ lại các liên
kết
ế bên trong đối

ố tượng ấy)
ấ và thay thếế vào các liên kết
ế đã bỏ đi bằng
ằ các
phản lực liên kết phù hợp.
Bước 3: Viết các phương trình cân bằng tĩnh học cho các đối tượng đã tự
do hóa ở bước 2. Số lượng các phương trình cân bằng sẽ viết phụ thuộc vào
loại hệ lực đang tác động lên đối tượng.

24


25/04/2010

Bước 4: N ếu số phương trình cân bằng đã biết nhỏ hơn số N n số cần tìm thì
ta tiếp tục chọn thêm đối tượng mới trong hệ khảo sát sự cân bằng và đối
với mỗi đối tượng mới ta lập lại các công việc của bước 2 và bước 3. Bước
4 sẽ kết thúc khi số phương trình cân bằng đã thiết lập bằng với số các N n số
cần tìm.
Bước 5: Giải hệệ các p
phươngg trình cân bằng
g đã thiết lập
ập được
ợ ở bước 4 để
tìm các N n số cần tìm của bài toán. N hận xét và bình luận các kết quả thu
được.

25