Ví dụ và bài tập tích phân mặt

Bài tập tích phân mặt
Bài 1: Tính các tp sau
I1 = òò xdydz + ydzdx + zdxdy S là phía trên nửa mặt
cầu x2+y2+z2=4, z≥0
S
I2 = òò zdxdy + y 2dxdz S là phía ngoài vật thể gh bởi
0 ≤z ≤1-x2-y2
S
I3 = òò y 2dzdx + x 2dydz - zdxdy S là phía dưới nửa
mặt cầu x2+y2+z2=4,
S
z≥0
I4 = òò ( y - z )dydz + ( z - x )dzdx + ( x - y )dxdy
S

S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1
x 2
I5 = òò zdxdy + ( + )dydz + ( y 2 + z )dxdz S là phía
2 x
S
dưới phần mặt z=1-x2 với z≥0 bị chặn bởi -1≤y≤1


Bài tập tích phân mặt
I1 = òò xdydz + ydzdx + zdxdy S là phía trên nửa mặt
cầu x2+y2+z2=4, z≥0
S
Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị của mặt S
Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-4=0, z≥0, suy ra:
Ñ F = (2 x,2y ,2z )
S là phía trên tức là pháp vecto của S cùng hướng

với nửa dương trục Oz nên γ≤π/2 → cosγ≥0
Suy ra, dấu ta lấy cho pháp vecto đơn vị là “+”
u
r
1
n = + ( x, y , z ), z ³ 0
2
Tiếp theo, ta có thể chọn 1 trong 2 cách: Tính trực tiếp
hoặc chuyển về tp mặt loại 1


Bài tập tích phân mặt
Với tp này, ta sẽ chuyển về tp mặtu
rloại 1 bằng cách
dùng CT , với pháp vecto đơn vị n = (cos a,cos b,cos g)

òò Rdxdy + Qdxdz + Pdzdy
S
= òò( P cos a + Q cos b + R cos g) ds
S

u
r
1
Từ I1 = òò xdydz + ydzdx + zdxdy , n = + ( x, y , z ), z ³ 0
2
S
1 2
2
2

Suy ra: I1 = òò ( x + y + z ) ds
S 2
Với tp mặt loại 1 này, ta đang có : x2+y2+z2=4 (pt mặt)
2dxdy
2
2
Hình chiếu Dxy: x +y ≤4 Vi phân ds =
2
2
4- x - y


Bài tập tích phân mặt
1
2dxdy
I1 = òò 4.
Vậy:
2 Dxy
4 - x2 - y 2
2
dr
x=rcosφ 2p
4 ò dj ò r
2
y=rsinφ 0
4- r
0

=16π

Bài tập tích phân mặt
I2 = òò zdxdy + y 2dxdz S là phía ngoài vật thể gh bởi
0≤z≤1-x2-y2
S
Mặt S gồm 2 mặt: S1 là phía dưới mp z=1, S2 là phía
trên mặt paraboloid z=1-x2-y2
Trước hết, ta tìm pháp vecto
đơn vị của mặt S1:
ur
n1 = - (0,0,1)
Và pháp vecto đơn vị của
mặt S2:
uu
r
1
n2 = +
(2 x,2y ,1)
2
2
4 x + 4 y +1


Bài tập tích phân mặt
Ta tính tp trên mặt S1 bằng cách
ur chuyển về tp mặt
loại 1 vì S1 là mặt phẳng có n1 = - (0,0,1)
I21 = òò zdxdy + y 2dxdz = òò ( (- 1)z ) ds = 0
S1

( z=0)

Còn tp trên mặt S2 thì ta sẽ tính trực tiếp
I22 = òò zdxdy + y 2dxdz
S2

Tp theo dxdy với: pt mặt z=1-x2-y2, h/c Dxy: x2+y2≤1
uu
r
1
Pháp vecto: n2 = +
(2 x,2y ,1) → cosγ>0
4 x 2 + 4 y 2 +1
p
2
2
Suy ra: I221 = +òò (1- x - y )dxdy ↔ I221 = 2
Dxy


Bài tập tích phân mặt
2
2
2
I
=
y
dxdz
Pt
mặt:

y
=z+x
-1
Tp theo dxdz: 222 òò
S2
uu
r
1
(2 x,2y ,1) Suy ra:
Pháp vecto: n2 = +
2
2
4 x + 4 y +1
cosβ cùng dấu với y, tức là ta phải chia S2 thành 2
nửa ứng với y dương và y âm.
Tuy nhiên, pt mặt paraboloid S2 chẵn với y nên 2 nửa
này đối xứng nhau qua mp y=0, hình chiếu xuống mp
y=0 của 2 nửa này như nhau
Do đó, tp I222 chia thành 2 tp mà sau khi chuyển về
tp kép thì là tổng của 2 tp kép trái dấu nhau. Tức là:
I222=0
Vậy: I2 = I21 + I221 + I222 = p
2


Bài tập tích phân mặt
I2 = òò zdxdy + y 2dxdz S là phía ngoài vật thể gh bởi
0≤z≤1-x2-y2
S
S là mặt cong kín phía ngoài nên ta sẽ áp dụng CT

Gauss để tính I2 nhanh hơn
CT Gauss:
òò Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S

= ±òòò (Px¢+ Qy¢+ Rz¢)dxdydz
V

Ta có:
I2 = +òòò (0 + 2y +1)dxdydz
V


Bài tập tích phân mặt
I2 = +òòò (0 + 2y +1)dxdydz
V

I2 =

1- x 2 - y 2

òò dxdy

x 2 +y 2 £ 1

2p

1

0

0

ò (2y +1)dz
0

I2 = ò dj ò r (2r sin j +1)(1- r 2 )dr
p
I2 =
2


Bài tập tích phân mặt
I3 = òò y 2dzdx + x 2dydz - zdxdy S là phía dưới nửa
mặt cầu x2+y2+z2=4,
S
z≥0
Nhận xét: Pt mặt S chẵn với
2 biến x, y nên khi tính tp
theo dydz, dzdx ta sẽ chia S
thành 2 nửa đối xứng có 2
pháp vecto tương ứng
ngược dấu nhau. Vậy mỗi tp
đó trở thành tổng 2 tp kép
có miền lấy tp như nhau,
hàm dưới dấu tp như nhau
nhưng trái dấu nhau.


Bài tập tích phân mặt

Từ đó ta được: I31 = òò y 2dxdz = 0
S

I32 = òò x 2dydz = 0
S

Còn lại tp thứ ba: I33 = - òò zdydx
S

Pt mặt S (z dương): z = 4 - x 2 - y 2
Hình chiếu Dxy: x2+y2≤4
S là phía dưới tức là pháp vecto quay xuống dưới
so với nửa dương trục Oz nên γ≥π/2 → cosγ≤0
2
2
16p
Vậy: I = I = 4
x
y
dxdy
=
òò
3
31
3
x 2 +y 2 £ 4


Bài tập tích phân mặt
I4 = òò ( y - z )dydz + ( z - x )dzdx + ( x - y )dxdy

S

S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1
Ta viết lại pt mặt S:

F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 - z(= 0)

æ x
y
ç
ÑF =ç
,
,ç
ç
è x2 + y 2 x2 + y 2
S là phía ngoài nón tức là
pháp vecto quay xuống
dưới, cosγ≤0 nên
u
r
1 æ
x
y
ç
n =+ ç
,
,ç
2ç
è x2 + y 2 x2 + y 2

ö
÷
1÷
÷
÷
÷
ø

ö
÷
1÷
÷
÷
÷
ø


Bài tập tích phân mặt
Đưa tp I4 về tp mặt loại 1 với
æ
u
r
1 ç
x
y
n =+ ç
,
,ç
2
2

2
2
2ç
x +y
è x +y

ö
÷
1÷
÷
÷
÷
ø

I4 = òò ( y - z )dydz + ( z - x )dzdx + ( x - y )dxdy
S

é
ù
1
x
y
ú
I4 =
(
y
z
)
+
(

z
x
)
+
(
1)(
x
y
)
òò ê
ú
2
2
2
2
2 S ê
x +y
x +y
ê
ú
ë
û
é
ù
1
- xz + yz
ê
úds
I4 =
+

(
1)(
x
y
)
òò ê 2
ú
2
2 S ê
ú
ë x +y
û

1
I4 =
2( y - x ) 2dxdy = 0
òò
2 x 2 +y 2 £1