tong hop dang toan hay ve giai tich co vi du va bai tap

+ Bài toán về tiếp tuyến với đường cong:
Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
' .y f x x x y= − +
1. Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm
( )
0 0
;M x y
thuộc đồ thò hàm số
(tức là tiếp tuyến duy nhất nhận
( )
0 0
;M x y
làm tiếp điểm).
Phương trình tiếp tuyến với hàm số
( ) ( )
: C y f x=
tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈

( hoặc tại
0
x x=
) có dạng:
( ) ( )
0 0 0
' .y f x x x y= − +

2. Lập phương trình tiếp tuyến
( )
d
với đường cong đi qua điểm
( )
;
A A
A x y
cho trước, kể
cả điểm thuộc đồ thò hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua điểm
( )
;
A A
A x y
)
Cho hàm số
( ) ( )
: C y f x=
. Gỉa sử tiếp điểm là
( )
0 0
;M x y
, khi đó phương trình tiếp
tuyến có dạng:
( ) ( ) ( )
0 0 0
' . y f x x x y d= − +
.
Điểm
( ) ( )

;
A A
A x y d∈
, ta được:
( ) ( )
0 0 0 0
' .
A A
y f x x x y x= − + ⇒
.
Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến
( )
d
.
3. Lập phương trình tiếp tuyến
( )
d
với đường cong biết hệ số góc
k
Cho hàm số
( ) ( )
: C y f x=
. Gỉa sử tiếp điểm là
( )
0 0
;M x y
, khi đó phương trình tiếp
tuyến có dạng:
( ) ( ) ( )
0 0 0

' . y f x x x y d= − +
.
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến
( )
d
là nghiệm của phương trình:

( )
0 0
'f x k x= ⇒
, thay
0
x
vào hàm số ta được
( )
0 0
y f x=
Ta lập được phương trình tiếp tuyến
( ) ( ) ( )
0 0 0
' . y f x x x y d= − +
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
Phương trình đường thẳng đi qua một điểm
( )
0 0
;M x y
có hệ số góc
k
có dạng:

( ) ( ) ( )
0 0
. y g x k x x y d= = − +
Điều kiện để đường thẳng
( )
y g x=
tiếp xúc với đồ thò hàm số
( )
y f x=

là hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x

=


=


.
Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến
( )
d
.
6/ Cho hàm số
( )

3 2
3 2 y x x C= − +
.
a/ Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thò
( )
C
, từ điểm
23
; 2
9
M
 
−
 ÷
 
.
b/ Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thò
( )
C
, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng
( )
: 3 5 4 0x y∆ − − =
.
Giải:
a/ Gỉa sử tiếp điểm là
( )
0 0
;M x y
, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0
: ' : 3 6 3 2 1d y y x x x y d y x x x x x x= − + ⇔ = − − + − +
Điểm
23
; 2
9
M
 
−
 ÷
 
thuộc
( )
d
, ta được:
( )
( )
2 3 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
23 20 1
2 3 6 3 2 2 2 2 0 2 3
9 3 3
x x x x x x x x x x x
   
− = − − + − + ⇔ − − + − = ⇔ = ∨ = ∨ =

 ÷  ÷
   
Với
0
2x =
thay vào
( )
1
ta được tiếp tuyến
( )
1 1
: 2d y = −

Với
0
3x =
thay vào
( )
1
ta được tiếp tuyến
( )
2
: 9 25d y x= −

Với
0
1
3
x =
thay vào

( )
1
ta được tiếp tuyến
( )
3
5 61
:
3 27
d y x= − +

b/ Đường thẳng
( )
: 3 5 4 0x y∆ − − =
có hệ số góc
3
5
. Từ giả thiết , ta có:
( )
3
' . 1
5
y x = −

2 2
1 2
5 1 5
3 6 9 18 5 0
3 3 3
x x x x x x⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ = ∨ =
. Hệ số góc tiếp tuyến là

5
3
k = −
.
Với
1
1
3
x =
ta được tiếp tuyến
( ) ( )
1 1
5 1 1 5 61
: :
3 3 3 3 27
d y x y d y x
   
= − − + ⇒ = − +
 ÷  ÷
   

Với
2
5
3
x =
ta được tiếp tuyến
( ) ( )
2 2
5 5 5 5 29

: :
3 3 3 3 27
d y x y d y x
   
= − − + ⇒ = − +
 ÷  ÷
   
7/ Cho hàm số
( )
4 2
y x x C= −
.
Chứng tỏ rằng qua điểm
( )
1;0A −
có thể kẽ được ba tiếp tuyến đến
( )
C
. Lập phương trình
các tiếp tuyến đó.
Giải:
Gỉa sử tiếp điểm là
( )
0 0
;M x y
. Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )

3 4 2
0 0 0 0 0 0 0 0
: ' . : 4 2 . 1d y f x x x y d y x x x x x x= − + ⇔ = − − + −
Điểm
( )
1;0A −
thuộc
( )
d
, ta có:
( )
( ) ( )
( )
3 4 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
0 4 2 1 . 1 3 2 0 1 0
3
x x x x x x x x x x x x= − − − + − ⇔ + + − = ⇔ = − ∨ = ∨ =
Với
0
1x = −
thay vào
( )
1
ta được tiếp tuyến
( )
1
: 2 2d y x= − −

Với
0
0x =
thay vào
( )
1
ta được tiếp tuyến
( )
2
: 0d y =

Với
0
2
3
x =
thay vào
( )
1
ta được tiếp tuyến
( )
3
4 4
:
27 27
d y x= − −
Chọn Lọc Các Bài Toán Thường Gặp Về Đồø Thò trong kỳ thi Tuyển Sinh Đại Học, Cao
Đẳng các năm gần đây
Bài 1 Cho hàm số
( )

2
1
2 3
x
y
x
+
=
+
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số
( )
1
.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
( )
1
, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục
tung lần lượt tại hai điểm phân biệt
, A B
và tam giác
OAB
cân tại gốc tọa độ
O
.
(Đại Học Khối A năm 2009)
Đáp số:
2y x= − −
.
Bài 2 Cho hàm số
( )

4 2
2 4 y x x C= −
.
a/ Khảo sát vẽ đồ thò
( )
C
.
b/ Với các giá trò nào của
m
, phương trình
2 2
2x x m− =
có đúng 6 nghiệm phân biệt?
(Đại Học Khối B năm 2009)
Đáp số:
( )
0; 1m∈
Bài 3 Cho hàm số
( ) ( )
4 2
3 2 3
m
y x m x m C= − + +
,
m
là tham số.
a/ Khảo sát vẽ đồ thò hàm số khi
0m
=
.

b/ Tìm
m
để đường thẳng
1y = −
cắt đồ thò
( )
m
C
tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn
2.
(Đại Học Khối D năm 2009)
Đáp số:
1
; 1 ; 0
3
m m
 
∈ − ≠
 ÷
 
.
Bài 4 Tìm các giá trò của tham số
m
để đường thẳng
y x m
= − +
cắt đồ thò hàm số
2
1

x
y
x
−
=
tại hai điểm phân biệt
, A B
sao cho
4AB =
.
(Đại Học Khối B năm 2009)
Đáp số:
2 6; 2 6m m= = −
Bài 5 Tìm các giá trò của tham số
m
để đường thẳng
2y x m= − +
cắt đồ thò hàm số

2
1

x x
y
x
+ −
=
tại hai điểm phân biệt
, A B
sao cho trung điểm của đoạn thẳng

AB
thuộc trục
tung.
(Đại Học Khối D năm 2009)
Đáp số:
1m
=
.
Bài 6 Cho hàm số
( )
3 2
4 6 +1 1y x x= −
.
a/ Khảo sát vẽ đồ thò hàm số
( )
1
.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
( )
1
, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua
điểm
( )
1; 9M − −
.
(Đại Học Khối B năm 2008)
Đáp số: Các tiếp tuyến cần tìm là:
15 21
24 15;
4 4

y x y x= + = −
Bài 7 Cho hàm số
( )
3 2
3 +4 1y x x= −
.
a/ Khảo sát vẽ đồ thò hàm số
( )
1
.
b/ Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm
( )
1; 2I
với hệ số góc
( )
3k k > −
đều
cắt đồ thò của hàm số
( )
1
tại ba điểm phân biệt
, , I A B
đồng thời
I
là trung điểm của đoạn
thẳng
AB
.
(Đại Học Khối D năm 2008)
Bài 8 Cho hàm số

( )
2

1
x
y C
x
=
+
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số
( )
C
.
b/ Tìm tọa độ điểm
M
thuộc
( )
C
, biết tiếp tuyến của
( )
C
cắt 2 trục
, Ox Oy
tại
, A B
và
tam giác
OAB
có diện tích bằng
1

4
.
(Đại Học Khối D năm 2007)
Đáp số:
( )
1 2
1
; -2 ; 1; 1 ;
2
M M
 
−
 ÷
 
.
Bài 9 Cho hàm số
( )
3 2
2 9 12 4 y x x x C= − + −
a/ Khảo sát vẽ đồ thò
( )
C
.
b/ Với các giá trò nào của
m
, phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12 4x x x m− + − =
. (Đại Học Khối A năm 2006)

Đáp số:
( )
4; 5m∈
Bài 10 Cho hàm số
( )
3
3 2 y x x C= − +
a/ Khảo sát vẽ đồ thò
( )
C
b/ Gọi
( )
d
là đường thẳng đi qua điểm
( )
3; 20A
và có hệ số góc là
m
. Tìm
m
để đường
thẳng
( )
d
cắt đồ thò
( )
C
tại 3 điểm phân biệt.
(Đại Học, Cao Đẳng Khối D năm 2006)
Đáp số:

15
4
24
m
m

>



≠

Bài 11 Cho hàm số
( )
2
1

2
x x
y C
x
+ −
=
+
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò
( )
C
, biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận
xiên của
( )

C
?
(Đại Học, Cao Đẳng Khối B năm 2006)
Đáp số: Phương trình 2 tiếp tuyến cần tìm là:
2 2 5; 2 2 5.y x y x= − + − = − − −
Bài 12 Cho hàm số
( )
2
1

1
x x
y C
x
+ −
=
−
Tìm các điểm trên đồ thò
( )
C
mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thò
( )
C
vuông góc với
đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của
( )
C
?
(Cao Đẳng Y Tế I năm 2006)
Đáp số:

1 2
2 5 2 5
1 ;3 ; 1 ;3
3 3
6 6
M M
   
− − + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Bài 13 Cho hàm số
( )
1
2
2
y x C
x
= + +
+
Tìm các giá trò
m
để đường thẳng
y m=
cắt đồ thò
( )
C
tại hai điểm sao cho khoảng
cách giữa chúng bằng 12 ?
(Cao Đẳng Sư Phạm Hải Dương năm 2006)

Đáp số:
4; 4m m= = −
Bài 14 Cho hàm số
( )
3 2
2 3 1 y x x C= − −
a/ Khảo sát vẽ đồ thò
( )
C
b/ Tìm
m
để đường thẳng
1y mx= −
,
m
là tham số cắt đồ thò
( )
C
tại 3 điểm phân
biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương.
(Cao Đẳng Sư Phạm Trà Vinh năm 2006)
Đáp số:
9
; 0
8
m
 
∈ −
 ÷
 

Bài 15 Cho hàm số
( )
3 2
1 1

3 2 3
m
m
y x x C= − +
a/ Khảo sát vẽ đồ thò khi
2m
=
.
b/ Gọi
M
là điểm thuộc
( )
m
C
có hoành độ bằng
1−
. Tìm
m
để tiếp tuyến của
( )
m
C
tại
điểm
M

song song với đường thẳng
5 0x y− =
.
(Đại Học, Cao Đẳng Khối D năm 2005)
Đáp số:
4m
=
Bài 16 Cho hàm số
( )
3

2
x
y C
x
+
=
+
Chứng minh rằng đường thẳng
1
2
y x m= −
luôn cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
, A B
.
Xác đònh
m

sao cho độ dài
AB
là nhỏ nhất?
(Cao Đẳng Kinh Tế Kỷ Thuật I năm 2005)
Đáp số:
2m
= −
Bài 17 Cho hàm số
( )
3
3 2 y x x C= − + +
a/ Khảo sát vẽ đồ thò
( )
C
b/ Tìm
m
để phương trình
3
3 2 6 0
m
x x− + − =
có 3 nghiệm phân biệt.