Ví dụ và bài tập tích phân kép (2)

CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI
§0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
§1: TÍCH PHÂN KÉP
I. Định nghĩa và Cách tính
II. Đổi biến trong tích phân kép
III. Ứng dụng của tích phân kép
§2: TÍCH PHÂN BỘI BA
I. Định nghĩa và Cách tính
II. Đổi biến trong tích phân bội ba
III. Ứng dụng của tích phân bội ba `


§0. Một số mặt bậc hai thường gặp
I. Mặt Ellipsoid:

x 2 y 2 z2
+ 2 + 2 =1
2
a
b c

1. Phương trình:
2. Cách gọi tên mặt:
Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0, z = 0 ta
đều nhận được giao tuyến của mặt với 3 mặt tọa độ
là các đường Ellipse.
Nếu cả 3 giao tuyến của 1 mặt cong S với 3 mặt tọa
độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ đều
là ellipse thì ta sẽ gọi mặt S là mặt Ellipsoid
3. Cách vẽ hình
Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ

§0. Một số mặt bậc hai thường gặp

Vẽ đường
ellipse

x2
a

2

+

y2

= 1 trên mặt phẳng nằm
b
ngang z = 0
2


§0. Một số mặt bậc hai thường gặp

Vẽ thêm đường ellipse

y2
b2

+

z2

trên mặt phẳng
=
1
x=0
c2


§0. Một số mặt bậc hai thường gặp
Vẽ mặt ellipsoid
x2
a

2

+

y2
b

2

+

z2
c

2

=1

Trong MatLab, để vẽ ellipsoid trên, ta dùng lệnh
ellipsoid(a,b,c)


§0. Một số mặt bậc hai thường gặp
x2+z2=1, y=0

y2+z2=1,x=0

Có thể vẽ thêm đường ellipse
trên mặt phẳng y = 0

x2
a

2

+

z2
c

2

x2+y2=1,z=0
=1

§0. Một số mặt bậc hai thường gặp
II. Mặt Paraboloid Elliptic: 2
x
y2
+ 2 =z
1. Phương trình :
2
a
b
2. Cách gọi tên mặt:
Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0 thì được 2
giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Parabol và
cho z=c, c>0 ta được đường còn lại là 1 đường
Ellipse.
Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc
các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol,
giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là
Paraboloid Elliptic


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
3. Vẽ hình

Vẽ đường parabol y2 = z trên mặt phẳng x = 0


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

Vẽ đường ellipse x2+y2 = 1 trên mặt phẳng z = 1

§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

Vẽ mặt parabolid x2+y2 = z


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

z=x2, y=0

z=y2, x=0

x2+y2=1,z=1

Vẽ thêm đường parabol x2 = z trên mặt phẳng y = 0


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
III. Mặt Trụ bậc 2:
Định nghĩa mặt trụ bậc 2:
Mặt trụ bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng song
song với 1 phương cố định và tựa lên 1 đường cong
bậc 2 cố định. Các đường thẳng đó gọi là các đường
sinh của mặt trụ, đường cong cố định gọi là đường
chuẩn của mặt trụ.


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Thông thường, ta sẽ chỉ gặp các mặt trụ có đường

sinh song song với 1 trong 3 trục tọa độ.
Mặt trụ song song với trục nào thì phương trình mặt
sẽ thiếu biến đó, còn phương trình bậc 2 chứa 2 biến
còn lại là phương trình đường chuẩn của mặt trụ
trong mặt tọa độ tương ứng và ta gọi tên mặt trụ theo
tên của đường chuẩn


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Ví dụ: Mặt x2+y2 = 1
Phương trình không chứa z nên nó biểu diễn mặt trụ
đường sinh song song với trục Oz, đường chuẩn là
đường tròn x2+y2=1 trong mặt phẳng z = 0 và ta gọi
đây là mặt trụ tròn xoay theo tên của đường chuẩn
Vẽ đường
tròn x2+y2=1,
trên mặt z=0
Mặt trụ tạo bởi
các đường thẳng
song song với Oz
và tựa lên đường
tròn trên


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

Trong MatLab, để vẽ trụ tròn xoay có thể dùng lệnh
cylinder

§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Ví dụ : Mặt z=x2
Phương trình không chứa y nên nó biểu diễn mặt trụ
song song với trục Oy, đường chuẩn là parabol z=x2
trên mặt phẳng y=0 nên ta gọi đây là mặt trụ parabol
Vẽ parabol z=x2 trong
mặt phẳng y=0
Vẽ mặt trụ có đường
sinh song song với trục
Oy, tựa lên đường
chuẩn là parabol z=x2
ở trên


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
IV. Mặt nón bậc 2 :
Mặt nón bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng đi qua
1 điểm cố định và tựa lên 1 đường cong cố định. Các
đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt nón,
đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt nón
và điểm cố định gọi là đỉnh của nón
Ví dụ: Mặt nón x2+y2=z2
Cắt dọc mặt nón bởi các mặt x=0 hoặc y=0 ta được 2
đường thẳng cùng đi qua gốc tọa độ O, cắt ngang bởi
mặt z = c và z = -c , c tùy ý, ta được giao tuyến là 2
đường tròn tâm tại (0,0,c) và (0,0,-c) bán kính bằng c


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Vẽ giao tuyến x2+y2=1, z=1

Và giao tuyến x2=z2, y=0
Vẽ mặt nón x2+y2=z2,
lấy phần z > 0


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Ví dụ: Nhận dạng và vẽ mặt bậc 2 sau z = x2+y2-2x
Giải:
NHẬN DẠNG
Ta lần lượt cho x = 0, y = 0, z = 0 để tìm 3 giao tuyến
của mặt đã cho với 3 mặt tọa độ
x = 0 : z = y2 là phương trình parabol
y = 0 : z = x2-2x là phương trình parabol
z = 0 : 0 = x2+y2-2x là pt đường tròn (ellipse)
Suy ra mặt đã cho là mặt Paraboloid Elliptic


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
VẼ HÌNH:
Vẽ 2 giao tuyến với 2 mặt z = 0, y = 0

Ta được giao
tuyến với z=0

0.5

Truc Oz

x=0:.1:2;
z=0*x;

y=sqrt(2*x-x.^2);
plot3(x,y,z)
hold on
y=-sqrt(2*x-x.^2);
plot3(x,y,z)

1

0

-0.5

-1
1
0
-1
Truc Oy

0

1

0.5
Truc Ox

1.5

2

§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
hold on
y=-2:.2:2;
x=1+0*y;
z=-1+y.^2;
plot3(x,y,z)

3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
2
1
0
2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Vẽ mặt
3
2.5
2

Truc Oz

1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Truc Oy

1.5

2

1

0
Truc Ox


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Ví dụ: Nhận dạng và vẽ mặt bậc 2 sau x2+y2+z2-2z=0
Giải:
NHẬN DẠNG
Ta lần lượt cho x = 0, y = 0, z = 0 để tìm 3 giao tuyến
của mặt đã cho với 3 mặt tọa độ
x = 0 : y2+z2-2z=0 là pt đường tròn (ellipse)
y = 0 : x2+z2-2z=0 là pt đường tròn (ellipse)
z = 0 : 0 = x2+y2là pt đường tròn (ellipse)
Suy ra mặt đã cho là mặt Ellipsoid

§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Ví dụ: Nhận dạng và vẽ mặt bậc 2 sau y2-z2+2y=0
Giải:
NHẬN DẠNG
Pt không chứa x nên nó biểu diễn mặt trụ đường sinh
song song với trục Ox
Trong mp x = 0 : y2 - z2 + 2y = 0 là pt đường hyperbol
tức là đường chuẩn là đường hyperbol.
Suy ra mặt đã cho là mặt Trụ Hyperbol


§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Ví dụ: Nhận dạng và vẽ các mặt bậc 2 sau:
1. y2-z2+2x2=0
2. x2+2x+2z2-3y=0
3. xy=z2
1. 2 trong 3 giao tuyến là 2 cặp đt, giao tuyến thứ 3
là ellipse nên ta có mặt nón ellipse
2. 2 trong 3 giao tuyến là 2 parabol, giao tuyến thứ
3 là ellipse nên ta có mặt Paraboloid elliptic
3. Đặt x=u+v, y=u-v thì ta được pt
u2-v2=z2 <==> u2=v2+z2 là pt của mặt nón