Công thức Newton

NHỊ THỨC NEWTON
ĐỊNH NGHĨA
Nhị thức Newton là khai triển tổng lũy thừa có dạng:
( )
n
0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n
n n n n n
a b C a C a b C a b ... C a b ... C b
- - -
+ = + + + + + +

n
k n k k
n
k 0
C a b (n 0, 1, 2, ...)
-
=
= =
å
.
Số hạng thứ k+1 là
k n k k
k 1 n
T C a b
-
+
=
,
( )
k

n
n!
C
k! n k !
=
-
, thường được gọi là số hạng tổng quát.
Tính chất
i)
k n k
n n
C C (0 k n)
-
= £ £
.
ii)
k k 1 k
n n n 1
C C C (1 k n)
-
+
+ = £ £
.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I. Dùng định nghĩa và tính chất chứng minh hoặc rút gọn đẳng thức
Ví dụ 1. Chứng minh đẳng thức
k k 1 k 2 k 3 k
n n n n n 3
C 3C 3C C C
- - -

+
+ + + =
với
3 k n£ £
.
Giải
Áp dụng tính chất ta có:
k k 1 k 2 k 3
n n n n
C 3C 3C C
- - -
+ + +
( ) ( ) ( )
k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3
n n n n n n
C C 2 C C C C
- - - - -
= + + + + +

( ) ( )
k k 1 k 2 k k 1 k 1 k 2
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
C 2C C C C C C
- - - - -
+ + + + + + +
= + + = + + +

k k 1 k
n 2 n 2 n 3
C C C

-
+ + +
= + =
.
Ví dụ 2. Tính tổng
14 15 16 29 30
30 30 30 30 30
S C C C ... C C= - + - - +
.
Giải
Áp dụng tính chất ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
13 14 14 15 15 16 28 29 30
29 29 29 29 29 29 29 29 30
S C C C C C C ... C C C= + - + + + - - + +

13 29 30 13
29 29 30 29
C C C C= - + =
.
Cách khác:
( )
( ) ( )
30
0 12 13 14 29 30
30 30 30 30 30 30
1 1 C ... C C C ... C C- = - + - + - - +
( ) ( )
30 18 17 14 29 30
30 30 30 30 30 30

C ... C C C ... C C 0Þ - + - + - - + =
( )
16 15 14
30 30 30
S C C C S 0Þ - + - + =
16 15 14 14 15
30 30 30 30 30
2S C C C 2C CÞ = - + = -
.
Vậy
14 15
30 30
2C C
S 67863915
2
-
= =
.
Ví dụ 3. Rút gọn tổng:
0 2006 1 2005 2 2004 k 2006-k 2006 0
2007 2007 2007 2006 2007 2005 2007 2007-k 2007 1
S C C C C C C ... C C ... C C= + + + + + +
.
Giải
Áp dụng công thức ta có:
( )
k 2006-k
2007 2007-k
2007! (2007 k)!
C C .

k! 2007 k ! (2006 k)!1!
-
=
- -
( ) ( )
2007! 2006!
2007.
k! 2006 k ! k! 2006 k !
= =
- -

k
2006
2007C=
với
k 0, 1, 2, ..., 2006" =
.
Suy ra:
( )
( )
2006
0 1 k 2006
2006 2006 2006 2006
S 2007 C C ... C ... C 2007 1 1= + + + + + = +
.
Vậy
2006
S 2007.2=
.
II. Khai triển nhị thức Newton

1. Dạng khai triển
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa là 1 hoặc 1 và – 1 xen kẽ nhau.
i) Khai triển
( )
n
a b+
hoặc
( )
n
a b-
.
ii) Cộng hoặc trừ hai vế của 2 khai triển trên.
Ví dụ 4. Tính tổng
0 1 2 2 3 3 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007 2007
S C 2C 2 C 2 C ... 2 C 2 C= - + - + + -
.
Giải
Ta có khai triển:
2007 0 1 2 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
(1 2) C 2C 2 C ... 2 C 2 C- = - + - + -
.
Vậy
S 1= -
.
Ví dụ 5. Rút gọn tổng
0 2 2 4 4 2004 2004 2006 2006
2007 2007 2007 2007 2007

S C 3 C 3 C ... 3 C 3 C= + + + + +
.
Giải
Ta có các khai triển:
2007 0 1 2 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
(1 3) C 3C 3 C ... 3 C 3 C+ = + + + + +
(1)
2007 0 1 2 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
(1 3) C 3C 3 C ... 3 C 3 C- = - + - + -
(2)
Cộng (1) và (2) ta được:
( )
0 2 2 4 4 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007
2 C 3 C 3 C ... 3 C 4 2+ + + + = -
.
Vậy
( )
2006 2007
S 2 2 1= -
.
Ví dụ 6. Rút gọn tổng
2006 1 2004 3 3 2002 5 5 2007 2007
2007 2007 2007 2007
S 3 .2C 3 .2 C 3 .2 C ... 2 C= + + + +
.
Giải
Ta có các khai triển:

2007
(3 2)+ =

2007 0 2006 1 2005 2 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
3 C 3 .2C 3 .2 C ... 3.2 C 2 C+ + + + +
(1)
2007
(3 2)- =

2007 0 2006 1 2005 2 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
3 C 3 .2C 3 .2 C ... 3.2 C 2 C- + - + -
(2)
Trừ (1) và (2) ta được:
( )
2006 1 2004 3 3 2002 5 5 2007 2007 2007
2007 2007 2007 2007
2 3 .2C 3 .2 C 3 .2 C ... 2 C 5 1+ + + + = -
.
Vậy
2007
5 1
S
2
-
=
.
2. Dạng đạo hàm
2.1. Đạo hàm cấp 1

Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (không kể dấu).
Hai khai triển thường dùng:
2
( )
n
0 1 2 2 k k n n
n n n n n
1 x C C x C x ... C x ... C x+ = + + + + + +
(1)
( ) ( ) ( )
n k n
0 1 2 2 k k n n
n n n n n
1 x C C x C x ... 1 C x ... 1 C x- = - + - + - + + -
(2)
i) Đạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2).
ii) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rồi thay số thích hợp.
Ví dụ 7. Tính tổng
1 2 2 3 28 29 29 30
30 30 30 30 30
S C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C= - + - + -
.
Giải
Ta có khai triển:
( )
30
0 1 2 2 29 29 30 30
30 30 30 30 30
1 x C C x C x ... C x C x+ = + + + + +

(1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
( )
29
1 2 29 28 30 29
30 30 30 30
C 2C x ... 29C x 30C x 30 1 x+ + + + = +
(2)
Thay x = – 2 vào (2) ta được:
( )
29
1 2 2 3 28 29 29 30
30 30 30 30 30
C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C 30 1 2- + - + - = -
.
Vậy
S 30= -
.
Ví dụ 8. Rút gọn tổng
1 2 3 4 5 26 27 28 29
30 30 30 30 30
S C 3.2 C 5.2 C ... 27.2 C 29.2 C= + + + + +
.
Giải
Ta có khai triển:
( )
30
0 1 2 2 29 29 30 30
30 30 30 30 30
1 x C C x C x ... C x C x+ = + + + + +

(1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
( )
29
1 2 29 28 30 29
30 30 30 30
C 2C x ... 29C x 30C x 30 1 x+ + + + = +
(2)
Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta được:
( )
29
1 2 2 3 28 29 29 30
30 30 30 30 30
C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C 30 1 2+ + + + + = +
(3)
( )
29
1 2 2 3 28 29 29 30
30 30 30 30 30
C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C 30 1 2- + - + - = -
(4)
Cộng hai đẳng thức (3) và (4) ta được:
( ) ( )
1 2 3 4 5 26 27 28 29 29
30 30 30 30 30
2 C 3.2 C 5.2 C ... 27.2 C 29.2 C 30 3 1+ + + + + = -
Vậy
( )
29
S 15 3 1= -

.
Ví dụ 9. Rút gọn tổng
0 1 2 2006 2007
2007 2007 2007 2007 2007
S 2008C 2007C 2006C ... 2C C= + + + + +
.
Giải
Ta có khai triển:
( )
2007
x 1+ =
0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007
2007 2007 2007 2007 2007
C x C x C x ... C x C+ + + + +
(1)
Nhân 2 vế (1) với x ta được:
( )
2007
x x 1+ =
0 2008 1 2007 2 2006 2006 2 2007
2007 2007 2007 2007 2007
C x C x C x ... C x C x+ + + + +
(2)
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007
2007 2007 2007 2007 2007
2008C x 2007C x 2006C x ... 2C x C+ + + + +

( )
2006

(1 2008x) x 1= + +
(3)
Thay x = 1 vào (3) ta được:
0 1 2 2006 2007 2006
2007 2007 2007 2007 2007
2008C 2007C 2006C ... 2C C 2009.2+ + + + + =
.
Cách khác:
Ta có khai triển:
( )
2007
x 1+ =
0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007
2007 2007 2007 2007 2007
C x C x C x ... C x C+ + + + +

(1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
0 2006 1 2005 2 2004 2005 2006
2007 2007 2007 2007 2007
2007C x 2006C x 2005C x ... 2C x C+ + + + +
( )
2006
2007 x 1= +
(2)
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:
0 1 2 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
C C C ... C C 2+ + + + + =
(3)

0 1 2 2006 2006
2007 2007 2007 2007
2007C 2006C 2005C ... C 2007.2+ + + + =

(4)
Cộng (3) và (4) ta được:
0 1 2 2006 2007 2006
2007 2007 2007 2007 2007
2008C 2007C 2006C ... 2C C 2009.2+ + + + + =
.
Vậy
2006
S 2009.2=
.
Ví dụ 10. Cho tổng
0 1 2 n 1 n
n n n n n
S 2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C
-
= + + + + + + +
, với
n
+
Î Z
.
Tính n, biết
S 320=
.
Giải
Ta có khai triển:

( )
n
0 1 2 2 n 1 n 1 n n
n n n n n
1 x C C x C x ... C x C x
- -
+ = + + + + +
(1)
Nhân 2 vế (1) với x
2
ta được:
( )
n
0 2 1 3 2 4 n 1 n 1 n n 2 2
n n n n n
C x C x C x ... C x C x x 1 x
- + +
+ + + + + = +
(2)
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
0 1 2 2 3 n 1 n n n 1
n n n n n
2C x 3C x 4C x ... (n 1)C x (n 2)C x
- +
+ + + + + + +

( )
n
2 n 1
2x 1 x nx (1 x)

-
= + + +
(3)
Thay x = 1 vào (3) ta được:
0 1 2 n 1 n n 1
n n n n n
2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C (4 n).2
- -
+ + + + + + + = +
.
n 1
S 320 (4 n).2 320 n 6
-
= Û + = Þ =
.
Cách khác:
Ta có khai triển:
( )
n
0 1 2 2 n 1 n 1 n n
n n n n n
1 x C C x C x ... C x C x
- -
+ = + + + + +
(1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
( )
n 1
1 2 3 2 n n 1
n n n n

C 2C x 3C x ... nC x n 1 x
-
-
+ + + + = +
(2)
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:
0 1 2 3 n 1 n n
n n n n n n
C C C C ... C C 2
-
+ + + + + + =
(3)
1 2 3 n 1 n n 1
n n n n n
C 2C 3C ... (n 1)C nC n.2
- -
+ + + + - + =
(4)
Nhân (3) với 2 rồi cộng với (4) ta được:
0 1 2 n 1 n n 1
n n n n n
2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C (4 n).2
- -
+ + + + + + + = +
.
n 1
S 320 (4 n).2 320
-
= Û + =
.

Vậy
n 6=
.
2.2. Đạo hàm cấp 2
Dấu hiệu nhận biết:
4
Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần từ 1
2
đến
n
2
(không kể dấu).
Xét khai triển:
( )
n
0 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n
n n n n n n
1 x C C x C x C x ... C x C x
- -
+ = + + + + + +
(1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
( )
n 1
1 2 3 2 4 3 n n 1
n n n n n
C 2C x 3C x 4C x ... nC x n 1 x
-
-
+ + + + + = +

(2)
i) Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
2 3 4 2 n n 2
n n n n
1.2C 2.3C x 3.4C x ... (n 1)nC x
-
+ + + + -
n 2
n(n 1)(1 x)
-
= - +
(3)
ii) Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:
( )
n 1
1 2 2 3 3 4 4 n n
n n n n n
C x 2C x 3C x 4C x ... nC x nx 1 x
-
+ + + + + = +
(4)
Đạo hàm 2 vế của (4) ta được:
2 1 2 2 2 3 2 2 n n 1 n 2
n n n n
1 C 2 C x 3 C x ... n C x n(1 nx)(1 x)
- -
+ + + + = + +
(5)
Ví dụ 11. Tính tổng
2 3 4 15 16

16 16 16 16 16
S 1.2C 2.3C 3.4C ... 14.15C 15.16C= - + - - +
.
Giải
Ta có khai triển:
( )
16
0 1 2 2 3 3 15 15 16 16
16 16 16 16 16 16
1 x C C x C x C x ... C x C x+ = + + + + + +
(1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
( )
15
1 2 3 2 15 14 16 15
16 16 16 16 16
C 2C x 3C x ... 15C x 16C x 16 1 x+ + + + + = +
(2)
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
2 3 4 2 16 14 14
16 16 16 16
1.2C 2.3C x 3.4C x ... 15.16C x 240(1 x)+ + + + = +
(3)
Thay x = – 1 vào đẳng thức (3) ta được:
2 3 4 15 16
16 16 16 16 16
1.2C 2.3C 3.4C ... 14.15C 15.16C 0- + - - + =
.
Vậy S = 0.
Ví dụ 12. Rút gọn tổng

2 1 2 2 2 3 2 2006 2 2007
2007 2007 2007 2007 2007
S 1 C 2 C 3 C ... 2006 C 2007 C= + + + + +
.
Giải
Ta có khai triển:
( )
2007
0 1 2 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
1 x C C x C x ... C x C x+ = + + + + +
(1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
( )
2006
1 2 3 2 2007 2006
2007 2007 2007 2007
C 2C x 3C x ... 2007C x 2007 1 x+ + + + = +
(2)
Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:
1 2 2 3 3 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
C x 2C x 3C x ... 2006C x 2007C x+ + + + +

( )
2006
2007x 1 x= +
(3)
Đạo hàm 2 vế của (3) ta được:
2 1 2 2 2 3 2 2 2006 2005 2 2007 2006

2007 2007 2007 2007 2007
1 C 2 C x 3 C x ... 2006 C x 2007 C x+ + + + +


2005
2007(1 2007x)(1 x)= + +
(4)
Thay x = 1 vào đẳng thức (4) ta được
2 1 2 2 2 3 2 2007 2005
2007 2007 2007 2007
1 C 2 C 3 C ... 2007 C 2007.2008.2+ + + + =
.
Vậy
2005
S 2007.2008.2=
.
3. Dạng tích phân
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ 1 đến
1
n 1+
hoặc tăng dần từ
1
n 1+
đến 1.
Xét khai triển:
( )
n
0 1 2 2 n 1 n 1 n n
n n n n n

1 x C C x C x ... C x C x
- -
+ = + + + + +
(1).
Lấy tích phân 2 vế của (1) từ a đến b ta được:
( )
b b b b b
n
0 1 n 1 n 1 n n
n n n n
a a a a a
1 x dx C dx C xdx ... C x dx C x dx
- -
+ = + + + +
ò ò ò ò ò
( )
b
n 1
b b b
b
2 n n 1
0 1 n 1 n
n n n n
a
a a a
a
1 x
x x x x
C C ... C C
n 1 1 2 n n 1

+
+
-
+
Þ = + + + +
+ +
2 2 n n n 1 n 1
0 1 n 1 n
n n n n
b a b a b a b a
C C ... C C
1 2 n n 1
+ +
-
- - - -
Þ + + + +
+
n 1 n 1
(1 b) (1 a)
n 1
+ +
+ - +
=
+
.
Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị của n.
Để nhận biết 2 cận a và b ta nhìn vào số hạng
n 1 n 1
n
n

b a
C
n 1
+ +
-
+
.
Ví dụ 13. Rút gọn tổng
2 2 3 3 9 9 10 10
0 1 2 8 9
9 9 9 9 9
3 2 3 2 3 2 3 2
S C C C ... C C
2 3 9 10
- - - -
= + + + + +
.
Giải
Ta có khai triển:
( )
9
0 1 2 2 8 8 9 9
9 9 9 9 9
1 x C C x C x ... C x C x+ = + + + + +
( )
3 3 3 3 3
9
0 1 8 8 9 9
9 9 9 9
2 2 2 2 2

1 x dx C dx C xdx ... C x dx C x dxÞ + = + + + +
ò ò ò ò ò
( )
3
10
3 3 3 3
3
2 3 9 10
0 1 2 8 9
9 9 9 9 9
2
2 2 2 2
2
1 x
x x x x x
C C C ... C C
10 1 2 3 9 10
+
Þ = + + + + +
10 10 2 2 9 9 10 10
0 1 8 9
9 9 9 9
4 3 3 2 3 2 3 2
C C ... C C
10 2 9 10
- - - -
Þ = + + + +
.
Vậy
10 10

4 3
S
10
-
=
.
Ví dụ 14. Rút gọn tổng
2 3 4 n n 1
0 1 2 3 n 1 n
n n n n n n
2 2 2 2 2
S 2C C C C ... C C
2 3 4 n n 1
+
-
= + + + + + +
+
.
Giải
Ta có khai triển:
( )
n
0 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n
n n n n n n
1 x C C x C x C x ... C x C x
- -
+ = + + + + + +
( )
2 2 2 2 2
n

0 1 2 2 n n
n n n n
0 0 0 0 0
1 x dx C dx C xdx C x dx ... C x dxÞ + = + + + +
ò ò ò ò ò
6
( )
2
n 1
2 2 2
2
2 n n 1
0 1 n 1 n
n n n n
0
0 0 0
0
1 x
x x x x
C C ... C C
n 1 1 2 n n 1
+
+
-
+
Þ = + + + +
+ +
2 3 n n 1 n 1
0 1 2 n 1 n
n n n n n

2 2 2 2 3 1
2C C C ... C C
2 3 n n 1 n 1
+ +
-
-
Þ + + + + + =
+ +
.
Vậy
n 1
3 1
S
n 1
+
-
=
+
.
Ví dụ 15. Rút gọn tổng sau:
2 3 100 101
0 1 2 99 100
100 100 100 100 100
2 1 2 1 2 1 2 1
S 3C C C ... C C
2 3 100 101
- + - +
= + + + + +
.
Giải

Ta có khai triển:
( )
100
0 1 2 2 99 99 100 100
100 100 100 100 100
1 x C C x C x ... C x C x+ = + + + + +
( )
2
100
1
1 x dx
-
Þ + =
ò
2 2 2 2
0 1 99 99 100 100
100 100 100 100
1 1 1 1
C dx C xdx ... C x dx C x dx
- - - -
+ + + +
ò ò ò ò
.
( )
2
101
2 2 2
2
2 100 101
0 1 99 100

100 100 100 100
1
1 1 1
1
1 x
x x x x
C C ... C C
101 1 2 100 101
-
- - -
-
+
Þ = + + + +
101 2 100 101
0 1 99 100
100 100 100 100
3 2 1 2 1 2 1
3C C ... C C
101 2 100 101
- - +
Þ = + + + +
.
Vậy
101
3
S
101
=
.
III. Tìm số hạng trong khai triển nhị thức Newton

1. Dạng tìm số hạng thứ k
Số hạng thứ k trong khai triển
n
(a b)+
là
k 1 n (k 1) k 1
n
C a b
- - - -
.
Ví dụ 16. Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển
25
(2 3x)-
.
Giải
Số hạng thứ 21 là
20 5 20 5 20 20 20
25 25
C 2 ( 3x) 2 .3 C x- =
.
2. Dạng tìm số hạng chứa x
m
i) Số hạng tổng quát trong khai triển
n
(a b)+
là
k n k k f(k)
n
C a b M(k).x
-

=
(a, b chứa x).
ii) Giải phương trình
0
f(k) m k= Þ
, số hạng cần tìm là
0 0 0
k n k k
n
C a b
-
và hệ số của số hạng chứa x
m
là
M(k
0
).
Ví dụ 17. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
18
x 4
2 x
æ ö
÷
ç
+
÷
ç
÷
÷
ç

è ø
.
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển
( )
18
18
1 1
x 4
2 x 4x
2 x
- -
æ ö
÷
ç
+ = +
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
là:
( ) ( )
18 k k
k 1 1 k 3k 18 18 2k
18 18
C 2 x 4x C 2 x
-
- - - -

=
.