Sử dụng Casio để giải bài toán liên quan đến Đơn điệu của hàm số có lời giải chi tiết

Chủ đề 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ PHẦN 1
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một
đoạn.
 Hàm số y  f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  .
TỨC: x TĂNG thì y TĂNG; x GIẢM thì y GIẢM
 Hàm số y  f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  .
 TỨC: x GIẢM thì y TĂNG; x TĂNG thì y GIẢM.
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K .
 Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f   x   0, x  K .
 Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f   x   0, x  K .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K .
 Nếu f   x   0, x  K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
 Nếu f   x   0, x  K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
 Nếu f   x   0, x  K thì hàm số không đổi trên khoảng K .
 Chú ý.
 Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y  f ( x) liên tục trên
đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b và có đạo
hàm f   x   0, x  K trên khoảng  a; b  thì hàm số đồng biến trên đoạn  a; b .
 Nếu f   x   0, x  K ( hoặc f   x   0, x  K ) và f   x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của
K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ).

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P ( x ) (LỚP 10)
Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P( x) , hoặc giá trị của x làm biểu thức P( x) không xác định.
Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm đƣợc theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P( x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.


2. Xét tính đơn điệu của hàm số y  f ( x ) trên tập xác định
Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y  f ( x) .
Bước 3. Tìm nghiệm của f ( x) hoặc những giá trị x làm cho f ( x) không xác định.
Bước 4. Lập bảng biến thiên.
Bước 5. Kết luận.
Phƣơng pháp casio giải các bài toán đơn điệu của hàm số.
1.Hàm không chứa tham số.
Cho

y  f  x  liên tục trên  a; b 

+) Nếu

f '  x   0, x   a; b 

+) Nếu

f '  x   0, x   a; b  suy ra

suy ra

 a; b 
f  x  Nghịch biến trên  a; b 
f  x

đồng biến trên

Phƣơng pháp chung:
Đối với hàm đa thức bậc 3 và bậc 4
Bước 1: Tính y’ và giải BPT y’ > 0 hoặc y’ < 0.
Nhập wR1 để giải bất phƣơng trình.

Bước 2: Đối chiếu kết quả chọn đáp án
Phƣơng pháp này cho kết quả nhanh nhất.
Đối với các hàm khác:
Bƣớc 1: Nhập

d
 f ( x) 
dx
x X

Bƣớc 2: Thử đáp án theo nguyên tắc:
+) Chọn số x0  A và x0  B; C; D , nếu thỏa mãn, nhận đáp án A
+) Chọn số x0  B và x0  C; D ,nếu thỏa mãn, nhận đáp án B
+) Chọn số x0  C và x0  D ,nếu thỏa mãn, nhận đáp án C
+) Nếu cả 3 lần thử đều không thỏa mãn BPT thì chọn D
Chú ý:
Ta cần tìm ra cách thử sao cho nhanh nhất, ít bƣớc thử nhất, và tối đa là 3 lần thử.
Ví dụ 1.


Cho hàm số :

y  x3  3x2  9 x  1.Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

TỰ LUẬN:
TXĐ: D= R

 x  1
x  3

Ta có y '  3x  6 x  9, y '  0  
2

Bảng biếng thiên



x

1



y'



3


0

0



y

Vậy hàm số đồng biến trên
CASIO: Hàm số

A.

 ; 1 va 3;   , nghịch biến trên  1;3

y  x3  3x2  9 x  1 đồng biến trên khoảng nào?

 ; 1 va 3;  

B.

 1;3 Đăng ký mua file word trọn bộ

chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
C.

 3; 

Bước 1: Nhẩm:

D.

 ; 1   1;3

y '  3x 2  6 x  9

Bước 2: Nhậpw R111 (Giải bất phƣơng trình bậc hai)

Nhập: 3=p6=p9==
Kết quả hiện lên:

 x  1;3  x  . Ta chọn đáp án A

Bình luận:
Ở ví dụ này ta sử dụng chức năng giải bất phƣơng trình cho kết quả nhanh nhất.


Ví dụ 2. Cho hàm số

y  x 4  2 x 2  2 , Hàm số nghịch biến tại.

 ; 1 va  0;1
D.  ; 1 va 1;  

 1;0 va 1;  
C.  ;0  va 1;  
A.

B.

CASIO
Bước 1: Nhẩm

y '  4 x3  4 x

Bước 2: Nhậpw R122 (Giải bất phƣơng trình bậc ba)
Nhập 4=0=p4=0==
Kết quả : (x< -1; 0< x <1) => Ta chọn đáp án: B

Ví dụ 3. Cho hàm số y 

x2  2 x  2
. Hàm số nghịch biến tại
x 1

 0;1 va 1;2
B.  ;0  va  2;  
CASIO 1: TXĐ : R\ 1
A.

C.

R\ 1

D.

 0;2 va  2;  

d  x2  2 x  2 
2
Bước 1:Tính y’: Nhập
. x  1


dx 
x  1  x X
Bước 2: Nhập lệnh:r: X ?  X  100



Kết quả: 9800. Ta có biểu thức ở tử số là: X  2 X
2

 Suy ra

y' 

x2  2 x

 x  1

2

Bước 3: NhậpwR1121=p2=0=
Kết quả :

 0  x  2 Ta chọn A

CASIO 2: THỬ ĐÁP ÁN
Bước 1:Nhập

d  x2  2x  2 


dx 
x  1  x X

Bước 2: Thử X =0,5 thuộc đáp án A => Kết quả < 0 (thỏa mãn nghịch biến)
Vậy loại B vì B không chứa 0,5.

Thử X =1, kết quả lỗi MATH ERROR => loại D vì D chứa 1
Thử X = 3; kết quả > 0 (ko thỏa mãn nghịch biến) vậy loại C vì C chứa số 3
Ta chọn A


Ví dụ 4. Cho y 
A.

x3  x  2  x đồng biến trên

 0;1

B.

1; 

C.

 0; 

D.

 ;1

CASIO:
Bước 1: Tìm TXĐ: Nhập:w R123=0=p2
TXĐ:

 X 1

D  1;  
y' 

Bước 2:Tìm y’:

3x 2  1
2 x  x2
3

 1  0, x  1;  

Ta chọn đáp án B
CASIO 2: THỬ ĐÁP ÁN
Bước 1:Nhập

d
dx



x3  x  2  x



x X

Bước 2: Thử X =0,5 thuộc đáp án A => Kết quả MATH ERROR ( ko thỏa mãn)
Vậy loại A; C; D vì cả 3 đáp án đều chứa số 0,5. Ta chọn B
Ví dụ 5. Cho y 

x3  2 x 2  2 x  4 đồng biến trên

 2;  
CASIO: TXĐ: D   2;  
A.

 ; 2

Tính nhanh tử số của

B.

C.

 ;  

y '  3x2  4 x  2  0, x  D

D.

 ;1

.

Ta chọn đáp án B
CASIO 2: THỬ ĐÁP ÁN
Bước 1:Nhập

d
dx



x3  2 x 2  2 x  4



x X

Bước 2: Thử X = -3 thuộc đáp án A => Kết quả MATH ERROR ( ko thỏa mãn)
Vậy loại A; C; D vì cả 3 đáp án đều chứa số -3. Ta chọn B
Ví dụ 6. Hàm số y  x 1  x 2 nghịch biến trên



A.  1;





 2  2 
;1
 va 
2   2 

B.


 2  2

;  
 va 
2   2


D.  

C.  ;



 ; 1  1;  




2 2
;

2 2 


CASIO.



d
x 1  x2
dx

Bước 1: Nhập
Bước 2: Nhậpr



x X

 X  2 . Kết quả trả về: Math ERROR (Lỗi tính toán)

Ta loại C, B
Bước 3: Nhậpr

 X  0  k / q  1  0 Loại đáp án D

Ta chọn đáp án A
Ví dụ 7. Cho hàm số y 

x 1
x2  1

 ;0
C. Đồng biến trên  0;1

điều nào là sai.

1; 
D. Hàm số nghịch biến trên  2; 1

A. Đồng biến trên

B. Hàm số nghịch biến trên

CASIO:
Bước 1:Nhập

d  x 1 


dx  x 2  1  x X

Bước 2:
Nhậpr  X=-0,1 . Kết quả > 0 Ta loại A
X=1,1 Kết quả < 0 Ta loại B
X=0,1 kết quả >0 Ta loại C
X=-1,5 kết quả >0, suy ra D sai.
Ta chọn đáp án D
Ví dụ 8. Cho y 

x2
. Hàm số đồng biến trên:
x  x 1
2


 
C.  ;2  7    2 

A. ;1  5  1  5; 



7; 



CASIO
Bước 1: Nhập

d  x2 


dx  x 2  x  1  x X

Bước 2: Nhậpr




D.  2 

B. 1  5;1  5

X= -10, kết quả <0 loại A, C



7;2  7



X=1 
Ví dụ 9. Cho hàm

5  0.01 kết quả <0 loại B => Ta chọn D

y  x  2cos x hàm số nghịch biến tại . Đăng ký mua file word

trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

A.  0; 


6

 5 
B.  ;


6 6 

5 
C. 
; 
 6



D. R

CASIO
Bước 1: Nhập

d
 x  2cos x  x X
dx

Bước 2: Nhậpr -> X=0.01 kết quả > 0 loại A, loại D
X=


5
 0.01 kết quả <0 ; X 
 0.01 kết quả >0 loại C
6
6

Ta chọn đáp án B
Bình luận:
Ở các ví dụ trên ta dựa vào lý thuyết của hàm đồng biến nghịch biến và sử dụng chức năng tính đạo hàm
của máy tính để thử các đáp án.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Cho hàm số y 

x 1
. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?
1 x

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1  1;   .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1  1;   .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;1 và 1;   .
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;1 và 1;   .


Câu 2.

Cho hàm số y   x3  3x2  3x  2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên ¡ .
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;1 và 1;   .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 và nghịch biến trên khoảng 1;   .
D. Hàm số luôn đồng biến trên ¡ .

Câu 3.

Cho hàm số y   x4  4 x 2  10 và các khoảng sau:
(I):

 ;  2  ;

(II):





2;0 ;

(III):

 0; 2  ;

Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
B. (I) và (II).

A. Chỉ (I).
Câu 4.

Cho hàm số y 

C. (II) và (III).

D. (I) và (III).

3x  1
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
4  2 x

A. Hàm số luôn nghịch biến trên ¡ .
B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2  và  2;   .
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;  2  và  2;   .
Câu 5.

Câu 6.

Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên ¡ ?
A. h( x)  x4  4 x2  4 .

B. g ( x)  x3  3x2  10 x  1 .

4
4
C. f ( x)   x5  x3  x .
5
3

D. k ( x)  x3  10 x  cos2 x .

Hỏi hàm số y 

x 2  3x  5
nghịch biến trên các khoảng nào ?
x 1

A. (; 4) và (2; ) .

B.  4; 2  .

C.  ; 1 và  1;   .

D.  4; 1 và  1; 2  .


Câu 7.

x3
 3x 2  5 x  2 nghịch biến trên khoảng nào?
3

Hỏi hàm số y 

B.  2;3

A. (5; )
Câu 8.

Hỏi hàm số y 

3 5
x  3x 4  4 x3  2 đồng biến trên khoảng nào?
5

A. (;0) .
Câu 9.

D. 1;5 

C.  ;1

B. ¡ .

D. (2; ) .

C. (0; 2) .

Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d . Hỏi hàm số luôn đồng biến trên ¡ khi nào?
 a  b  0, c  0
A. 
.
2
a

0;
b

3
ac

0


 a  b  0, c  0
B. 
.
2
a

0;
b

3
ac

0



 a  b  0, c  0
C. 
.
2
a

0;
b

3
ac

0


a  b  c  0
D. 
.
2
a

0;
b

3
ac

0



Câu 10. Cho hàm số y  x3  3x2  9 x  15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;1 .
B. Hàm số đồng biến trên ¡ .
C. Hàm số đồng biến trên  9; 5 .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  5;   .
Câu 11. Cho hàm số y  3x 2  x 3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;2  .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0  ;  2;3 .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0  ;  2;3 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;3 .
Câu 12. Cho hàm số y 

x
 sin 2 x, x  0;   . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
2

 7   11 
;  .
A.  0;
 và 
 12   12


 7 11
;
B. 
 12 12


.



 7   7 11
C.  0;
;
 và 
 12   12 12

 7 11
D. 
;
 12 12


.


  11 
 và  12 ;   .
 


Câu 13. Cho hàm số y  x  cos2 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn đồng biến trên ¡ .




B. Hàm số đồng biến trên   k ;   và nghịch biến trên khoảng
4





 ;  k  .
4





C. Hàm số nghịch biến trên   k ;   và đồng biến trên khoảng
4





 ;  k  .
4



D. Hàm số luôn nghịch biến trên ¡ .
Câu 14. Cho các hàm số sau:
(I) : y 

1 3
x  x 2  3x  4 ;
3

(IV) : y  x3  4 x  sin x ;

x 1
;
x 1

(II) : y 

(III) : y  x 2  4

(V) : y  x4  x 2  2 .

Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?
A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 5.

Câu 15. Cho các hàm số sau:

(I) : y   x3  3x2  3x  1 ;

(II) : y  sin x  2 x ;

(III) : y   x3  2 ;

(IV) : y 

x2
1 x

Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?
A. (I), (II).

B. (I), (II) và (III).

C. (I), (II) và (IV).

D. (II), (III).


ĐÁP ÁN VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMĐăng

mua file word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
I – ĐÁP ÁN
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

D

A

D

B

C

D

D

B

A

B

B

A

A

C

A

ký


II –HƢỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Chọn D.
TXĐ: D  ¡ \ 1 . Ta có y ' 

2
 0, x  1
(1  x)2

Hàm số đồng biến trên các khoảng (;1) và (1; )

Câu 2.

Chọn A.
TXĐ: D  ¡ . Ta có y '  3x2  6 x  3  3( x 1)2  0 , x ¡

Câu 3.

Chọn D.

x  0
TXĐ: D  ¡ . y '  4 x3  8x  4 x(2  x 2 ) . Giải y '  0  
x   2









Trên các khoảng ;  2 và 0; 2 , y '  0 nên hàm số đồng biến.
Câu 4.

Chọn B.
TXĐ: D  ¡ \ 2 . Ta có y '  

Câu 5.

10

 0, x  D .
(4  2 x)2

Chọn C.
Ta có: f '( x)  4 x4  4 x2  1  (2 x2  1)2  0, x  ¡ .

Câu 6.

Chọn D.
TXĐ: D  ¡ \ 1 . y ' 

x  2
x2  2 x  8
. Giải y '  0  x 2  2 x  8  0  
2
( x  1)
 x  4

y ' không xác định khi x  1 . Bảng biến thiên:
x



y

1

4



0

–

–

0

y





Hàm số nghịch biến trên các khoảng  4; 1 và  1; 2 







11



2

1

Câu 7.

Chọn D.
x  1
TXĐ: D  ¡ . y '  x 2  6 x  5  0  
x  5

Trên khoảng 1;5 , y '  0 nên hàm số nghịch biến
Câu 8.

Chọn B.
TXĐ: D  ¡ . y '  3x4 12 x3  12 x2  3x2 ( x  2)2  0 , x ¡

Câu 9.

Chọn A.
 a  b  0, c  0
y '  3ax 2  2bx  c  0, x  ¡  
2
 a  0; b  3ac  0

Câu 10. Chọn B.
TXĐ: D  ¡ . Do y '  3x2  6 x  9  3( x  1)( x  3) nên hàm số không đồng biến trên ¡ .
Câu 11. Chọn B.
HSXĐ: 3x2  x3  0  x  3 suy ra D  (;3] . y ' 

6 x  3x 2
2 3x 2  x3

, x   ;3 .

Đăng ký mua

file word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
x  0
Giải y '  0  
. y ' không xác định khi
x  2

Bảng biến thiên:

x  0
.

x  3


x



0

y

y



2



||

3



0



||

2
0

0

Hàm số nghịch biến (;0) và (2;3) . Hàm số đồng biến (0; 2)
Câu 12. Chọn A.




x    k

1
1
12
TXĐ: D  ¡ . y '   sin 2 x . Giải y '  0  sin 2 x    
,  k ¢ 
2
2
 x  7  k

12
Vì x   0;   nên có 2 giá trị x 

11
7
và x 
thỏa mãn điều kiện.
12
12

Bảng biến thiên:
x

0

y

||

11
12

7
12


0






0

||

y

 7
Hàm số đồng biến  0;
 12


 và


 11 
; 


 12


Câu 13. Chọn A.
TXĐ: D  ¡ ; y  1  sin 2 x  0 x ¡ suy ra hàm số luôn đồng biến trên ¡
Câu 14. Chọn C .
(I): y  x 2  2 x  3   x  1  2  0, x  ¡ .
2

2
 x  1 
(II): y  
 0, x  1
 
2
 x  1  ( x  1)

(III): y 

(IV): y  3x2  4  cos x  0, x  ¡

(V): y  4 x3  2 x  2 x(2 x 2  1)






x2  4 

x
x2  4


Câu 15. Chọn A.
(I): y '  ( x3  3x2  3x  1)'  3x2  6 x  3  3( x  1)2  0, x  ¡ ;
(II): y '  (sin x  2 x) '  cos x  2  0, x ¡ ;
(III) y  






x3  2  

3x 2
2 x 2
3





 0, x   3 2;  ;

1
 x  2   x  2 
(IV) y '  

 0, x  1
 
 
(1  x) 2
 1 x   x 1 

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851