Thi HSG toán 6 thị xã GN

Bài 1 : ( 4 điểm )
1)Tổng sau là bình phương số nào:
S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 199
2) Cho số
ab
và số
ababab
a) Chứng tỏ
ababab
là bội của
ab
.
b) Số 3 và 10101 có phải là ước của
ababab
không, vì sao?
Bài 2 : ( 4 điểm )
a) Hãy viết thêm đằng sau số 664 ba chữ số để nhận được số có
6 chữ số chia hết cho 5, cho 9 và cho 11.
b)Tìm số nguyên x
∈
Z biết rằng :

2 2
( 1)( 4) 0x x− − <
Bài 3 : ( 4 điểm )
Cho Q =
2 3 10
2 2 2 ... 2
+ + + +

Chứng tỏ rằng :

a) Q M 3
b) Q M 31
Bài 4 : ( 4 điểm ) Cho 4 chữ số a,b,c,d khác nhau và khác 0. Lập số lớn nhất
và số nhỏ nhất có bốn chữ số bao gồm cả bốn chữ số ấy. Tổng của hai số này
bằng 11330. Tìm tổng các chữ số a + b + c + d
Bài 5: (4 điểm) Vẽ tia Ax. Trên tia Ax xác định hai điểm B và C sao cho B
nằm giữa A và C và AC = 8cm, AB = 3BC.
a) Tính độ dài các đoạn AB, BC.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn AB, AC, BC.
Tính độ dài MN, NP.
c) Chứng tỏ rằng B là trung điểm của NC.
---------------- Hết ---------------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TX.GIA NGHĨA
ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI
BẬC THCS CẤP THỊ XÃ
MÔN TOÁN : 6
NĂM HỌC 2008 - 2009
Thời gian : 120’ (Không kể thời gian phát đề)
Đáp án và hướng dẫn chấm môn Toán 6
Bài Đáp Án Thang
điểm
1.1
S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 199
Số số hạng của tổng : ((199 – 1 ) / 2) + 1 = 100
2
1
100
2
100*)1991(

=
+
=
s

0,5
1
1.2
a)
ababab
=
0000ab
+
00ab
+
ab
=
ab
*10000 +
ab
*100 +
ab
ab
*10000
M

ab
,
ab
*100

M

ab
,
ab

M

ab
Do đó
ab
*10000 +
ab
*100 +
ab

M

ab
hay
ababab
M

ab
Vậy
ababab
là bội của
ab
b)
ababab

có tổng các chữ số : a + b + a + b + a + b = 3a + 3b
33 Ma
và
33 Mb
nên
ababab
M
3 hay 3 là ước của số
ababab
.
ababab
= a*100000 + b*10000 + a*1000 + b*100 + a*10 +b
= a*( 100000 + 1000 + 10 ) + b*(10000 + 100 + 1)
= a*101010 + b*10101
Rõ ràng a*101010 chia hết 10101, b*10101 chia hết 10101
Suy ra a*101010 + b*10101
M
10101 hay
ababab
M
10101
Vậy 10101 là ước của
ababab
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2a
Viết thêm vào sau số 664 bà chữ số abc ta được số

664abc
( )
664abc 664000 abc 663795 205 abc
495.1341 205 abc
⇒ = + = + +
= + +

Vì
664abc
chia hết cho 5, cho 9, cho 11
Nếu
( )
664abc 495 205 abc 495⇒ +M M

Vậy
205 abc+
= 495 hoặc
205 abc+
= 990
Do đó:
abc
= 495 – 205 = 290 hoặc
abc
= 990 – 205 = 785
0,5
0,5
0,5
0,5
2b
2 2

/( 1)( 4) 0b x x
− − <
Vì
( ) ( )
2 2
1 4 0x x
− × − <
nên
2
1x
−
và
2
4x
−
trái dấu nhau.
Do đó
2 2
1 4x x
− > −
nên
2
1x
−
> 0 và
2
4x
−
< 0
⇒

2
1 4x
< <
Nên không tồn tại số nguyên x nào thoả mãn điều kiện này
0,5
0,5
0,5
0,5
3a
a) Q=
2 3 4 5 6 7 8 9 10
(2 2 ) (2 2 ) (2 2 ) (2 2 ) (2 2 )
+ + + + + + + + +

=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 5 7 9
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
+ + + + + + + + +

=
( )
3 5 7 9
3 2 2 2 2 2 3
× + + + +
M

1
0,5
0,5

3b
b)

2 3 4 5
6 7 8 9 10
(2 2 2 2 2 )
(2 2 2 2 2 )
Q
= + + + + +
+ + + + +

=
( ) ( )
2 3 4 6 2 3 4
2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
× + + + + + × + + + +
= 2.31 +
6
2 31
×
=
( )
6
31 2 2 31
× +
M
1
0,5
0,5
4

Giả sử a > b > c > d
Ta có : Số lớn nhất
abcd
Số nhỏ nhất
dcab
abcd
dcba
Xét tổng :
11330
Suy ra : d + a = 10
c + b = 12
Vậy : a + b + c + d = 22

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1
5a
Vẽ hình đúng chính xác
AC = 8c m
x
PNM CBA
a) Tính AB, BC
Vì B nằm giữa A và C nên ta có: AB + BC = AC
Mà AB = 3BC
⇒
3BC + BC = AC

⇒
4BC = AC

⇒
BC =
AC 8
2(cm)
4 4
= =

Vậy: AB = 3BC = 3.2 = 6(cm)
0,5
0,5
0,5
b) Ta có M là trung điểm của AB
5b
⇒
AM = MB =
AB 6
3(cm)
2 4
= =

N là trung điểm của AC
⇒
AN = NC =
AC 8
4(cm)
2 2

= =

Vì AM và AN cùng nằm trên tia Ax mà AM < AN (3cm < 4cm)
Do đó điểm M nằm giữa hai điểm A, N
⇒
AM + MN = AN
⇒
3 + MN = 4
⇒
MN = 4 – 3 = 1 (cm)
Mặt khác do P là trung điểm của BC
⇒
PC = PB =
BC 2
1(cm)
2 2
= =

Tương tự ta có P nằm giữa N và C (Vì CP < CN)
⇒
CP + PN = CN
⇒
1 + PN = 4

⇒
PN = 4 – 1 = 3(cm)
0,5
0,5
0,5
5c

c) Ta đã có AN, AB cùng nằm trên tia Ax.
Mà AN < AB (4cm < 6cm)
Nên điểm N nằm giữa hai điểm A, B.

⇒
AN + NB = AB
⇒
4 + NB = 6
⇒
NB = 2(cm)
Mà BC = 2(cm) (Câu a)
⇒
NB = BC (1)
Vì BC, NC cùng nằm trên tia CN; mà BC < NC (2cm < 4cm)
B nằm giữa hai điểm N và C (2)
Từ (1) và (2)
⇒
B là trung điểm của NC
0,5
0,5
Lưu ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa