Đề thi HSG Kim Sơn năm 08 - 09 kèm đáp án

Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 2009
Môn Toán 9
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1 (4 điểm)
Cho biểu thức :
( ) ( )
2
3
1 2 1
1
2 1 2 1
x
A
x
x x
+
=

+
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm GTNN của biểu thức A
Bài 2 (4 điểm)
Giải các hệ phơng trình sau:
a)
( )
2 2
2 2
2 2 0
2 16
x y xy

x y xy

+ + =


+ =


b)
2 2
2
2 1
2
x y
xy x

=


+ =


Bài 3 (3điểm)
Giả sử a và b là hai số nguyên dơng sao cho
1 1a b
b a
+ +
+
là số nguyên. Gọi d là ớc
số của a và b. Chứng minh rằng:

d a b +
Bài 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, tia phân giác của góc A cắt BC tại E và
cắt đờng tròn tại M.
a) Chứng minh : OM vuông góc với BC
b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A cắt đờng tròn tại N. Chứng minh: M,
O, N thẳng hàng
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F. Chứng minh: FB. EC = FC. EB
d) Gọi giao điểm của OM và BC là I. Chứng minh : góc AMI = góc CFA
Bài 5: ( 3 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n
2
+ 2002 là số chính phơng
b) Cho
1 1 1
1 ..
2 3 100
S = + + + +
. Chứng minh rằng S không phải là số
nguyên
Đáp án đề thi học sinh giỏi huyện Kim Sơn Năm 08 09
Bài 1:
a) Để biểu thức A xác đinh thì
0
1 0
x
x

0
1
x
x






b) Với x 0 và x 1 ta có:
( ) ( )
( )
( )
2
3
2
3
2 2
2
2
1 1 2
1
2 1 2 1
1 2

1 1
1 2
1 1
1
1
x
A
x
x x
x
x x
x x x
x x x
x x

+

=


+

+
= +

+ +
=
+ +

=

+ +
Vậy :
2
1
1
A
x x

=
+ +
với x 0 và x 1
c) Ta có : x 0 Suy ra: x
2
+ x + 1 0

2
1
1
1x x

+ +

2
1
1
1
A
x x

=

+ +
, dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy : GTNN của biểu thức A bằng 1 , giá trị này đạt đợc khi x = 0
Bài 2:
Kết quả : a) Hệ phơng trình có 4 nghiệm:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 3; 1 , 1;3 , 1; 3 , 3;1x y =
c) Hệ phơng trình có hai nghiệm là

( ) ( ) ( )
{ }
; 1;1 , 1; 1x y =
Bài 3:
Xét TH: d 1. Hiển nhiên BĐT:
d a b +
đúng với điều kiện ở đề bài
Xét TH: d 2. Đặt : a = d.m và b = d .n (m;n 1 và m;n thuộc Z)

1 1a b
b a
+ +
+
= k (k là số nguyên)

( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2

2
2
2
2
2 .
a b a b kab
a b a b k ab
a b a b k d ab
+ + +

+ + + +


+ + + +

M
M
M
Vì d là ớc của a và b nên
( )
2
2
a b d
+
M
mà
( )
2 2
2 .k d ab d+ M
Do đó:

2
a b d+ M
a+ b d
2
. mặt khác a và b là hai số nguyên dơng và d 2.
Suy ra:
d a b +
Tóm lại :
d a b +
với các điều kiện ở đề bài; Dấu đẳng thức xảy ra tại các giá
trị thích hợp của a và b. Chẳng hạn: a = 2 và b = 2.
Bài 4: ( Quá dễ)
Bài 5:
a) Đặt
2 2
2002 ( )n m m Z+ =

( ) ( )
2002m n m n + =
(*)
Vì m và n là hai số nguyên nên
( ) ( )
;m n m n +
là ớc của 2002
Mặt khác (m n ) và (m + n ) là hai số có cùng tính chẵn lẻ.
Suy ra :Phơng trình (*) vô nghiệm
Vậy không tìm đợc số n để n
2
+ 2002 là số chính phơng.
b)

Trớc hết ta chứng minh:
( ) ( )
1
2 1 2 1n n n n
n
+ < <
với n 1, n N
Thật vậy:
Ta có :
( )
1 2 2
2 1
1
n n
n n n n n
= > = +
+ + +

( )
1 2 2
2 1
1
n n
n n n n n
= < =
+ +
Từ đó ta có:
( ) ( )
1 1 1
2 101 2 .. 2 100 1

2 3 100
< + + + <
Mà
( ) ( )
2 101 2 2 100 1,5 <
Do đó:
1 1 1
17 .. 18
2 3 100
< + + + <
Suy ra:
1 1 1
18 1 .. 19
2 3 100
< + + + + <
Vậy S không phải là số tự nhiên.