Bài tập xác suất thống kê ôn thi Cao học

BÀI TẬP XÁC SUẤT
Câu 1. Một bộ bài có 52 quân bài trong đó có 4 quân Át. Lấy ngẫu nhiên 3 quân bài. Hãy tính xác suất
để:
a. Lấy được 3 quân Át
b. Lấy được đúng 1 quân Át
c. Lấy được ít nhất 1 quân Át
Câu 2.

Từ hộp 6 trắng, 4 đen, lấy ngẫu nhiên 2 quả, tìm xác suất được 2 quả cùng màu khi
a. Lấy lần lượt có hoàn lại
b. Lấy lần lượt không hoàn lại
c. Lấy cùng lúc

Câu 3. Một đề thi có 1 câu lí thuyết, 1 câu bài tập. Xác suất để 1 học sinh làm đúng câu lí thuyết là 0,8,
đúng câu bài tập là 0,4. Mỗi câu chỉ có 2 thang điểm : câu lí thuyết đúng được 4 điểm, sai 0 điểm; câu
bài tập đúng 6 điểm, sai 0 điểm.
a. Tính xác suất để 1 học sinh đạt điểm dưới 5 .
b. Lập bảng phân phối xác suất của số điểm mà học sinh đạt được.
Câu 4. Một người đi làm qua 2 ngã tư có đèn tín hiệu giao thông. Xác suất gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ nhất
là 0,6. Nếu ngã tư thứ nhất đã gặp đèn đỏ thì xác suất gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ 2 là 0,8, còn nếu ngã tư
thứ nhất không gặp đèn đỏ thì xác suất gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ 2 là 0,3. Hãy tính xác suất để khi người
đó đi làm:
a. Gặp đèn đỏ 2 lần
b. Gặp đèn đỏ đúng 1 lần
c. Có gặp đèn đỏ
d. Lập bảng phân phối xác suất và hàm phân phối xác suất của số lần gặp đèn đỏ.
Câu 5. Đề thi trắc nghiệm có 20 câu hỏi, mỗi câu có 4 lựa chọn, chỉ có 1 lựa chọn đúng. Một người đi
thi trả lời tất cả bằng cách chọn bừa. Tính xác suất để người đó:
a. Đúng 4 câu
b. Đúng trên 2 câu
c. Tỉ lệ đúng là 30%

Câu 6. Nhân viên tiếp thị đi tiếp xúc với các khách hàng tiềm năng của công ty và khả năng 1 khách
hàng tiềm năng sau khi tiếp xúc với nhân viên tiếp thị sẽ mua hàng của công ty là 75%. Hãy tính xác
suất để nhân viên tiếp thị đi tiếp xúc với 6 khách hàng tiềm năng sẽ:
a. Bán được hàng cho 4 người
b. Bán được hàng cho ít nhất 1 người.
Câu 7. Có 2 hộp sản phẩm, hộp I gồm 8 chính phẩm và 4 phế phẩm, hộp II gồm 6 chính phẩm và 3 phế
phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp I chuyển sang hộp II, sau đó từ hộp II lấy ra ngẫu nhiên 1 sản


phẩm. Tính xác suất để lấy ra được chính phẩm. (xem xét tình huống chuyển ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ
hộp I sang hộp II?)
Câu 8. Cho X là thời gian làm bài thi (giờ) có hàm phân phối xác suất như sau:
0, x ≤ 1

F ( x) = ( x − 1)3 ,1 < x ≤ 2
1, x > 2

a. Tìm xác suất để một người hoàn thành bài thi trong khoảng 1h20’ đến 1h40’
b. Tìm tỉ lệ người hoàn thành bài thi trước 1 giờ rưỡi
c. Tìm xác suất trong số 5 người có đúng 3 người hoàn thành bài thi sau 1 giờ rưỡi.
d. Tìm hàm mật độ xác suất của X?
Câu 9. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng:
f(x)

k x2

với

x ∈ (0, 3)

0

với

x ∉ (0, 3)

=

a. Tìm hằng số k.
b. Tính kỳ vọng và phương sai của X.
c. Tính P( 1< X < 2 ).
d. Tính xác suất để khi thực hiện 4 phép thử thì có ít nhất 1 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;2)
Câu 10. Cho X (doanh thu hàng tháng của cửa hàng) là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác
suất như sau:
X (triệu / tháng)
Xác suất (p)

13

15

18

20

24

0.15

0.25

0.3

0.2

0.1

a. Tính kì vọng và độ lệch chuẩn của X.
b. Tính tỷ lệ các tháng có doanh thu lớn hơn 19 triệu đồng.
c. Tính xác suất để doanh thu của 1 tháng nào đó sai lệch với doanh thu trung bình không quá 1,5
triệu đồng.
d. Tính xác suất để khi kiểm tra ngẫu nhiên 4 tháng nào đó thì thấy có ít nhất 1 tháng doanh số bán
hàng là trên 20 triệu đồng.
Câu 11. Cho X và Y tương ứng là các biến ngẫu nhiên độc lập chỉ lợi nhuận (tính theo %) hàng năm khi
đầu tư vào hai ngành A và B nào đó. Giả sử E(X) = 12, V(X) = 25, E(Y) = 14, V(Y) = 36. Một người đầu
tư vào cả hai ngành A và B thì cần lựa chọn tỷ lệ đầu tư như thế nào để
a. Lợi nhuận kỳ vọng là lớn nhất
b. Độ rủi ro là ít nhất..


Câu 12. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối A(p) và biến ngẫu nhiên Y=a.X+(1-a)X 2, trong đó a là
hằng số. Hãy tính kỳ vọng toán và phương sai của Y. (KTQD 2004).
Câu 13. Một thùng hàng chứa 100 sản phẩm của xí nghiệp A với 85 chính phẩm và 15 phế phẩm. Một
người lấy ngẫu nhiên lần lượt có trả lại 10 sản phẩm. Gọi X là “ Số chính phẩm lấy được”
a. X tuân theo quy luật phân phối xác suất gì. Vì sao?
b. Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X.
c. Tính xác suất để X nhận giá trị sai lệch so với trung bình của nó không quá 2.
Câu 14. Chiều dài một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 30 cm và
độ lệch chuẩn là 0.3 cm .
a.Tính tỷ lệ sản phẩm có chiều dài từ 29,5 cm đến 30,6 cm.

b.

Tinh xác suất để khi cân thử 5 sản phẩm thì có ít nhất 1 sản phẩm chiều dài nhỏ hơn 29,4 cm.

c.Nếu chiều dài sản phẩm nằm trong khoảng từ 29 cm đến 31 cm thì xem là đạt tiêu chuẩn và khi
đó sản xuất 1 sản phẩm sẽ thu được tiền lãi là 5000 đồng, nhưng nếu sản phẩm không đạt tiêu
chuẩn thì sẽ bị lỗ 50 nghìn. Tính tiền lãi trung bình khi sản xuất ra 1 sản phẩm loại này.
Câu 15. Chiều cao của người trưởng thành là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 175 cm
và độ lệch tiêu chuẩn là 4cm. Hãy xác định:
a. Tỷ lệ người trưởng thành có chiều cao trên 180 cm.
b. Khả năng gặp ngẫu nhiên 1 người có chiều cao từ 166 cm đến 177 cm.
c. Giá trị h nào đó để 40% người trưởng thành cao dưới mức h này.
d. Giới hạn biến động chiều cao của người trưởng thành quanh giá trị trung bình của nó với xác
suất là 90%.
Câu 16. Trọng lượng sản phẩm là phân phối chuẩn với trung bình là 100g, độ phân tán là 2g.
a. Tìm xác suất sản phẩm nặng trong khoảng 97,5 đến 102 g?
b. Tỉ lệ sản phẩm nhẹ hơn 96g là bao nhiêu? Nặng hơn 106 g là bao nhiêu?
c. Chọn ra 20 sản phẩm, số sản phẩm nhẹ hơn 106g trong đó phân phối theo quy luật nào?
d. Tìm trung bình và phương sai của tỉ lệ sản phẩm nhẹ hơn 106g trong số 20 sản phẩm?
e. Trọng lượng của 10 sản phẩm và Trọng lượng trung bình của 10 sản phẩm phân phối theo quy
luật phân phối xác suất gì?
f. Tìm xác suất trọng lượng của 10 sản phẩm vượt quá 1kg
g. Tìm xác suất trọng lượng trung bình của 10 sản phẩm ít hơn 99,5g?


BÀI TẬP THỐNG KÊ
Câu 17. Cho số liệu về một số sản phẩm như sau:
Kích thước sản phẩm (cm)
Số sản phẩm

155
5

156
8

157
12

158
7

159
4

a. Tính các thống kê đặc trưng mẫu: trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn
b. Tỉ lệ sản phẩm dài hơn trung bình mẫu là bao nhiêu?

Câu 18. Điều tra thu nhập (USD) của 100 người lao động tại một công ty thu được thông tin như sau:
100

∑ xi = 15520 ,
i =1

100

∑x
i =1

2

i

= 2409500 . Tính các thống kê đặc trưng mẫu có thể.

Câu 19. Tính các thống kê: trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu sau:
Tiêu hao nhiên liệu (lít/ngày)
Số máy

145-155
15

155-165
18

165-175
35

175-185
22

185-195
10

Câu 20 Cho biến ngẫu nhiên gốc phân phối chuẩn với trung bình 250, phương sai là 64. Với mức xác
suất 0,95
a. Trung bình mẫu của một mẫu kích thước 25 tối đa bao nhiêu?
b. Trung bình mẫu của 36 quan sát nằm trong khoảng nào quanh trung bình của biến gốc?
c. Phương sai mẫu của một mẫu kích thước 25 tối thiểu bao nhiêu?
d. Độ lệch chuẩn mẫu 20 quan sát tối đa bao nhiêu?
Câu 21. Độ dài 1 chi tiết máy được sản xuất trên dây chuyền tự động là đại lượng ngẫu nhiên phân phối

chuẩn với trung bình 200 mm và độ lệch chuẩn 20 mm. Một mẫu gồm 25 chi tiết được lấy 1 cách ngẫu
nhiên.
a. Tính xác suất để độ dài trung bình các chi tiết được lấy ra không nhỏ hơn 210 mm
b. Tìm xác suất để phương sai mẫu ít nhất bằng 230 (mm)2
Câu 22. Chiều dài của 1 loại sản phẩm là 1 biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn có trung bình bằng 30m
và độ lệch chuẩn là 0,2m. Lấy 1 mẫu ngẫu nhiên gồm 25 sản phẩm loại này.
a. Cho biết quy luật phân phối xác suất của trung bình mẫu. Kỳ vọng và phương sai của nó?
b. Hãy tính xác suất để trung bình mẫu tối thiểu bằng 30,06 m
c. Tính số k để tỷ số giữa phương sai mẫu và phương sai tổng thể ít nhất bằng k có xác suất bằng
0,1.
Câu 23. Tỷ lệ phế phẩm của 1 loại sản phẩm là 5%. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm loại này.
a. Tính xác suất để trong đó có không quá 5 phế phẩm
b. Với xác suất 0,95 thì trong số các sản phẩm được kiểm tra có ít nhất bao nhiêu phế phẩm?
(KTQD 2007)


Câu 24. Một lô hàng đạt tiêu chuẩn xuất khẩu nếu tỷ lệ phế phẩm không quá 5%. Nếu kiểm tra ngẫu
nhiên 100 sản phẩm thì tỷ lệ phế phẩm thực tế tối đa là bao nhiêu để có thể cho phép lô hàng xuất khẩu
mà khả năng không mắc sai lầm là 95%.
Câu 25. Tỷ lệ sinh viên nữ của 1 trường đại học là 55%. Kiểm tra ngẫu nhiên 450 sinh viên
a. Tính xác suất để tỷ lệ sinh viên nam nhiều hơn sinh viên nữ trong 450 sinh viên này.
b. Với mức xác suất là 90% thì trong 450 sinh viên kiểm tra có tối thiểu bao nhiêu sinh viên nữ.
Câu 26. Chiều cao thanh niên vùng A là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 165 cm và
độ lệch chuẩn là 10 cm. Người ta đo ngẫu nhiên chiều cao của 100 thanh niên vùng đó.
a. Xác suất để chiều cao trung bình của 100 thanh niên đó sẽ sai lệch so với chiều cao trung bình
của thanh niên toàn vùng không quá 2 cm là bao nhiêu?
b. Khả năng chiều cao trung bình của số thanh niên trên vượt quá 168 cm là bao nhiêu?
c. Nếu muốn chiều cao trung bình đo được sai lệch với chiều cao trung bình của tổng thể không
quá 1 cm với xác suất là 0,99 thì chúng ta phải tiến hành đo chiều cao của bao nhiêu thanh niên?
d. Với kích thước mẫu là 100 thì độ lệch chuẩn mẫu sẽ lớn hơn giá trị thật của nó ít nhất bao nhiêu

lần với xác suất là 0,05.
Câu 27. Sản phẩm sản xuất ra có trọng lượng phân phối chuẩn với trung bình 100gr, độ lệch chuẩn
0,8gr.
a. Với mức xác suất 0,95 thì trọng lượng trung bình của 40 sản phẩm tối đa bằng bao nhiêu?
b. Trọng lượng trung bình của 100 sản phẩm nằm trong khoảng nào quanh giá trị 100gr, với mức
xác suất 90%?
c. Độ phân tán (đo bằng phương sai) của trọng lượng 40 sản phẩm tối thiểu bao nhiêu, với mức xác
suất 0,95?
d. Phương sai của trọng lượng 100 sản phẩm gấp tối thiểu bao nhiêu lần phương sai tổng thể, với
xác suất là 0,05?
e. Trong 400 sản phẩm, có tối đa bao nhiêu sản phẩm nặng hơn 101gr, với xác suất 0,95?
Câu 28. (KTQD 2009) Cho mẫu ngẫu nhiên W = ( X 1 , X 2 , X 3 ) là từ tổng thể phân phối chuẩn N ( µ , σ 2 )
1
1
1
1
1
1
X 1 + X 2 + X 3 và G2 = X 1 + X 2 + X 3
4
2
4
3
6
2
a. Chứng minh G1 và G2 là các ước lượng không chệch của µ
b. Hai ước lượng trên, ước lượng nào tốt hơn cho µ .

. Lập các thống kê G1 =

c. Các thống kê trên có phải là ước lượng hiệu quả nhất của µ không?


Câu 29. Cho mẫu ngẫu nhiên W = ( X 1 , X 2 ,.... X n ) là từ tổng thể có trung bình là µ và phương sai là σ 2
*
. Xét thống kê ước lượng của µ sau đây: µ =

2
( X 1 + 2 X 2 + 3 X 3 + ... + nX n )
n( n + 1)

a. µ * có phải là ước lượng không chệch của µ hay không?
b. Với n>1 thì µ * có phải là ước lượng hiệu quả nhất của µ không?
Câu 30. Hai mẫu ngẫu nhiên độc lập kích thước bằng 4 và 5 được rút ra từ 1 tổng thể phân phối A(p) và
tìm được các tần suất mẫu f1 , f 2 . Xét tập hợp các ước lượng G = α f1 + (1 − α ) f 2 . Tìm ước lượng hiệu
quả nhất của p trong tập hợp các ước lượng trên.
Câu 31. Với tổng thể có trung bình là m, phương sai là σ2, có hai mẫu kích thước tương ứng là n1 = 3 và
n2 = 5, tính được hai trung bình mẫu tương ứng là X 1 , X 2 .
a. Chứng minh rằng hàm sau là ước lượng không chệch của m với α > 0:

m* = α X 1 + (1 − α ) X 2

b. Với giá trị nào của α thì hàm trong câu a. là ước lượng hiệu quả nhất của m trong số các dạng
hàm đó?
Câu 32. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối A(p). Chứng mình rằng tần suất mẫu là ước lượng hiệu
quả nhất của p.
Câu 33. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N ( µ , σ 2 ) . Chứng minh rằng trung bình mẫu là ước
lượng hiệu quả nhất của µ .
Câu 34. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N ( µ , σ 2 ) . Chứng minh rằng phương sai mẫu là ước
lượng không chệch của σ 2 .

Câu 35. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối A(p). Chứng mình rằng tần suất mẫu là ước lượng hợp lý
tối đa của p.
Câu 36. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N ( µ , σ 2 ) . Chứng minh rằng trung bình mẫu là ước
lượng hợp lý tối đa của µ .
Câu 37. Biết sản phẩm sản xuất ra có kích thước phân phối chuẩn với phương sai là 1,96 mm 2. Đo thử
25 sản phẩm thấy kích thước trung bình là 120,5 mm.
a. Với độ tin cậy 95%, kích thước trung bình tất cả các sản phẩm tối đa bao nhiêu?
b. Hãy ước lượng kích thước trung bình bằng khoảng tin cậy tối thiểu với độ tin cậy 90%.
c. Với độ tin cậy 95%, kích thước trung bình của tất cả các sản phẩm nằm trong khoảng nào?
d. Nếu giữ nguyên độ tin cậy, muốn sai số của ước lượng trong câu (c.) còn không quá 0,4mm,
thì cần đo thử thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa


Câu 38. Doanh thu hàng tháng của các hộ kinh doanh mặt hàng A là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn. Điều tra doanh thu hàng tháng của 100 hộ kinh doanh mặt hàng này ta thu được bảng số liệu sau:
Doanh thu (triệu đồng)
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
Số hộ
5
15
20
30
20
10
a. Với độ tin cậy 0,95 hãy ước lượng doanh thu trung bình hàng tháng của các hộ kinh

doanh mặt hàng A.
b. Ước lượng tối đa mức doanh thu trung bình của các hộ kinh doanh mặt hàng A với độ tin
cậy 90%.
c. Nếu độ tin cậy là 0,95 mà ta muốn độ dài khoảng tin cậy ở câu a, không quá 0,3 triệu
đồng thì cần phải điều tra mẫu tối thiểu bao nhiêu hộ kinh doanh mặt hàng này.
d. Nếu ta muốn sai số của ước lượng ở câu a, giảm đi còn 1 nửa thì cần phải điều tra thêm
tối thiểu bao nhiêu hộ kinh doanh mặt hàng này,với độ tin cậy vẫn là 0,95.
Câu 39. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 bao xi măng được đóng bao tự động thu được kết quả sau:
Trọng lượng bao (kg)
48 – 48,5
48,5 – 49
49 – 49,5
49,5 – 50
50 – 50,5
Số bao
7
20
35
25
13
a. Với độ tin cậy 95% , hãy ước lượng trọng lượng trung bình của các bao xi măng.
b. Ước lượng độ phân tán của trọng lượng bao xi măng với độ tin cậy là 0,95.
c. Tìm trọng lượng trung bình tối đa của loại bao xi măng này với độ tin cậy 0,9.
d. Ước lượng tối đa mức độ phân tán của trọng lượng bao xi măng (đo bằng độ lệch chuẩn) với
hệ số tin cậy là 0,95.
Giả thiết trọng lượng bao xi măng được đóng gói tự động là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Câu 40. Người ta theo dõi mức tiêu dùng điện trong một tháng của 100 hộ gia đình và thu được số
liệu cho trong bảng:
Lựợng tiêu dùng (Kwh)

100-120

120-140

140-160

160-180

180-200

Số hộ gia đình
14
25
30
20
Giả thiết rằng lượng điện tiêu dùng của một hộ gia đình tuân theo quy luật.

11

a. Hãy ước lượng bằng khoảng tin cậy đối xứng mức tiêu dùng điện trung bình của các hộ gia
đình với độ tin cậy 95%.
b. Một gia đình được coi là có mức tiêu thụ điện bình thường nếu mức tiêu dùng điện năng
trong 1 tháng không quá 180 KW . Hãy ước lượng tỷ lệ gia đình có mức tiêu dùng điện ở
mức bình thường trên cơ sở số liệu nói trên với độ tin cậy 95%.
c. Ước lượng tối thiểu độ phân tán của mức tiêu dùng điện các hộ gia đình với độ tin cậy 0,9.
Câu 41. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm của một nhà máy thì thấy có 7 phế phẩm.
a. Hãy ước lượng tỷ lệ chính phẩm của nhà máy này bằng khoảng tin cậy đối xứng với độ tin
cậy 0,95.

b. Ước lượng số chính phẩm tối thiểu của nhà máy với độ tin cậy 90% biết rằng nhà máy hiện
có tất cả là 10000 sản phẩm.
c. Nếu muốn giữ độ tin cậy 0,95 và độ chính xác của ước lượng ở câu a không vượt quá 2% thì
phải kiểm tra thêm tối thiểu bao nhiêu sản phẩm.
Câu 42.

Người ta theo dõi lượng nhiên liệu tiêu hao trong một ca sản xuất của 100 động cơ và thu

đượccác số liệu sau:
Lượng tiêu hao (lít)
Số động cơ

11 - 13

13 - 15

15 - 17

17 - 19

19 - 21

12

23

35

20

10

Giả thiết rằng lượng nhiên liệu tiêu hao tuân theo quy luật phân phối chuẩn.
a. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng mức nhiên liệu tiêu hao trung bình của loại động cơ trên
bằng khoảng tin cậy đối xứng.
b. Động cơ được coi là hoạt động bình thường nếu mức tiêu hao nhiên liệu trong một ca sản
xuất không vượt quá 17 lít. Hãy ước lượng tỷ lệ tối đa các động cơ hoạt động bình thường
trên cơ sở số liệu nói trên với độ tin cậy 95%.
Câu 43. Để ước lượng số lượng cá trong hồ, người ta thả thêm vào đó 1000 con và có kí hiệu riêng. Sau
một thời gian bắt lên 400 con thì có 80 con là mới thả thêm. Ước lượng tối đa số cá trong hồ với độ tin
cậy 0,95.
Câu 44. Công ty Goldstar sản xuất máy bơm A và đã bán được 550 máy bơm trên địa bàn kinh doanh
của mình. Để xây dựng kế hoạch kinh doanh, công ty điều tra 1000 hộ gia đình tại địa bàn thấy có 450
hộ có máy bơm và 150 chiếc là loại máy bơm A (mỗi hộ chỉ dùng 1 máy bơm). Hãy ước lượng số hộ có
máy bơm tại địa bàn nói trên bằng khoảng tin cậy 95%.
Câu 45. Trong 400 công nhân ở một khu vực công nghiệp, có 112 người có bệnh về phổi. Với độ tin
cậy 95%,
a. Hãy ước lượng tỉ lệ những công nhân có bệnh phổi ở khu vực này.
b.

Muốn độ dài khoảng tin cậy câu trên không quá 4% thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu
người?

c. Biết khu vực có 100 nghìn công nhân, số người không có bệnh phổi tối thiểu bao nhiêu?
Câu 46. Năm ngoái năng suất cây trung bình/ha là 65 tạ. Biết rằng năng suất cây là biến ngẫu nhiên
phân phối chuẩn với phương sai là 2,25 tạ2, Năm nay, với 25 hecta thu hoạch thử, đo được năng suất trung
bình là 65,7 tạ.
a. Với mức ý nghĩa 5% có thể nói năng suất trung bình đã thay đổi hay không? Nếu mức ý
nghĩa là 1% thì kết luận có thay đổi hay không?
b. Phải chăng năng suất trung bình đã tăng lên, với mức ý nghĩa 5%?

c. Có thể nói năng suất trung bình chưa đến 67 tạ hay không, với mức ý nghĩa 5%


Câu 47. Trọng lượng tiêu chuẩn của một loại sản phẩm là 27,5 kg.
a. Nghi ngờ trọng lượng của sản phẩm giảm đi người ta cần thử 31 sản phẩm và thu được số
liệu sau:
Trọng lượng (kg)
25
26
27
Số sản phẩm
4
6
8
Với mức ý nghĩa 5% hãy kết luận về điều nghi ngờ trên .

28
8

29
5

b. Ước lượng độ phân tán của trọng lượng sản phẩm với tin cậy 95% .
Giả thiết rằng trọng lượng sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Câu 48. Trước đây bệnh nhân đến khám bệnh tại bệnh viên A phải mất 25 phút để làm các thủ tục hành
chính. Thủ tục như vậy là quá phiền hà vì thế bệnh viện đã thay đổi cách thức đón nhận bệnh nhân.
Theo dõi ngẫu nhiên 25 bệnh nhân được tiếp nhận theo cách thức mới này thu đượcbảng số liệu sau:
Thời gian (phút)

15

18

20

22

25

27

Số bệnh nhân

3

4

7

6

3

2

Giả thiết thời gian làm thủ tục hành chính của bệnh nhân là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
a. Với mức ý nghĩa 5% hãy cho biết cách thức mới này có tốt hơn trước không?
b. Hãy ước lượng thời gian trung bình để làm thủ tục hành chính của bệnh nhân theo cách thức
mới này với độ tin cậy 95%.
c. Ước lượng phương sai của thời gian làm thủ tục hành chính với độ tin cậy 0,95.

d. Hãy ước lượng tỷ lệ tối thiểu bệnh nhân thời gian phải làm thủ tục trên 25 phút với độ tin
cậy 0,9.
Câu 49. Định mức tiêu hao nhiên liệu cho một loại xe chạy trên cung đường AB là 15 lít. Do tình hình
đường sá thay đổi, người ta đã theo dõi 25 chuyến xe và thu được bảng số liệu sau:
Lượng tiêu hao (lít)
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
Số chuyến xe
3
5
a. Với mức ý nghĩa 0,05 hãy nghiên cứu xem có cần thay đổi định mức không, biết rằng lượng
nhiên liệu tiêu hao là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
b. Hãy ước lượng mức tiêu hao nhiên liệu trung bình tối đa của loại xe trên với độ tin cậy 0,95.
c. Ước lượng tối thiểu độ phân tán của mức tiêu hao nhiên liệu với độ tin cậy 0,9.
d. Nếu tiêu hao trên 18 lít/chuyến thì bị xem là tốn nhiên liệu. Ước lượng tỷ lệ chuyến xe tốn
nhiên liệu với độ tin cậy 95%.
e. Để độ dài khoảng tin cậy ở câu d, không quá 1% thì cần phải theo dõi ít nhất bao nhiêu
chuyến xe, với độ tin cậy ước lượng vẫn là 0,95.
Câu 50. Điều tra thu nhập của 100 hộ gia đình tỉnh A thấy có 13 hộ thuộc diện nghèo.
a. Ước lượng bằng khoảng tin cậy đối xứng số hộ nghèo của tỉnh A với độ tin cậy 0,95 - nếu tỉnh
có 15.000 hộ


b. Tỷ lệ hộ nghèo của tỉnh B là 10%; với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho rằng tỷ lệ hộ nghèo của
tỉnh A cao hơn tỉnh B hay không?
c. Người ta điều tra ngẫu nhiên 250 hộ gia đình ở tỉnh C thấy có 40 hộ nghèo. Có thể cho rằng tỷ
lệ hộ nghèo tỉnh C thực sự cao hơn tỉnh B hay không, với mức ý nghĩa 5%.

Câu 51. Kiểmtra ngẫu nhiên 250 công nhân ở một khu vực công nghiệp thấy có 130 nữ và 120 nam,
trong đó có 20 nữ và 15 nam có dấu hiệu mắc bệnh phổi. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho rằng :
a. Có thể nói tỉ lệ giới của công nhân là đều nhau không?
b. Phải chăng tỉ lệ mắc bệnh phổi của nam thấp hơn nữ?
Câu 52. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm của 1 lô hàng thì thấy có 90 chính phẩm. Một lô hàng đủ
điều kiện xuất khẩu nếu có tỷ lệ chính phẩm đạt 95% trở lên.
a. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết lô hàng có xuất khẩu được không?
b. Nếu khẳng định tỷ lệ chính phẩm của lô hàng là 95%. Với xác suất 0,9 cho biết khi kiểm tra
mẫu 169 sản phẩm thì có ít nhất bao nhiêu phế phẩm .
Câu 53. Năng suất của một loại cây trồng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn , khi thu hoạch tại
một số điểm ta có số liệu sau:
Năng suất (tạ/ha )
33 34
35
36
37
Số điểm
4
7
9
8
3
a . Hãy ước lượng tối đa năng suất trung bình của cây trồng đó với độ tin cậy 0,95.
b . Trước đây độ phân tán của năng suất là 0,5 ( tạ/ha) 2 . Với mức ý nghĩa 0.05 có thể cho rằng độ
phân tán của năng suất đã tăng lên?
Câu 54. Một giống lúa khi thu hoạch thử ở 41 điểm tại vùng A :tính được năng suất trung bình là
39,75 tạ/ha và độ lệch chuẩn mẫu là 1,2 tạ/ha
a. Ước lượng độ phân tán của năng suất lúa với độ tin cậy 0,95.
b. Giống lúa được gọi là thích hợp với vùng canh tác nếu phải đạt năng suất tối thiểu 40 tạ/ha và
độ phân tán tối đa 1 (tạ/ha) 2 . Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng giống lúa trên thích hợp với

vùng A hay không? (yêu cầu đánh giá cả trung bình và phương sai )
Biết rằng năng suất lúa tuân theo qui luật chuẩn .
Câu 55. Hai máy tiện cùng loại hoạt động trong các điều kiện thời tiết khác nhau. Sau một thời gian
sản xuất có ý kiến cho rằng chất lượng hoạt động của chúng khác nhau. Người ta đã tiến hành kiểm tra
và cho thấy trong 100 sản phẩm do máy thứ nhất sản suất có 86 chính phẩm và trong 200 sản phẩm do
máy hai sản xuất có 160 chính phẩm.
a. Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận về ý kiến trên.
b. Hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩm của máy tiện thứ nhất bằng khoảng tin cậy đối xứng với độ tin
cậy 90%.
Câu 56. Thu hoạch 41 điểm trồng lúa ở vùng A ta có năng suất tính được như sau:
Năng suất ( tạ / ha )
Số điểm

36
6

37
9

38
10

39
8

40
8


a. Trước đây năng suất lúa của vùng trung bình được 37,25 tạ/ ha. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho

rằng năng suất lúa đã tăng lên ?
b. Tại vùng B cũng thu hoạch 41 điểm thì tính được năng suất trung bình là 37,5 tạ/ ha và độ lệch
chuẩn là 1,2 tạ. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho rằng :
- Năng suất lúa hai vùng là như nhau.
- Độ ổn định năng suất lúa hai vùng là giống nhau.
Biết rằng năng suất lúa tuân theo qui luật chuẩn.