DE CUONG ON THI VAO LOP 10 MON TOAN CĂN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

©DoLanAnh

Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán

CHUYÊN ĐỀ 1:

CĂN THỨC VÀ
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN


©DoLanAnh

Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán

Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau
Phương pháp: Nếu biểu thức có
• Chứa mẫu số  ĐKXĐ: mẫu số khác 0
• Chứa căn bậc chẵn  ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn ≥ 0
• Chứa căn thức bậc chẵn dưới mẫu  ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn > 0
• Chứa căn thức bậc lẻ dưới mẫu  ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn ≠ 0
1.

x −1 +

2.

3− x

3.

1

x−3

4.

17.

1

18.

x2 + 4 x + 5
x+5 +

x +3
7−x

1
x−2

2x − x

19.

6.
7.

-5x

8.

x −1
5− x

9.

2 − 7x

10.

x−x

11.

3x − 1

12.

x2 + 3

13.

5 − 2x

14.

1
7x − 14

15.
16.

3− x
7x + 2

43.
x −3 +

3

1
22 − 44 x

32.

8x − 1

2

33.

3 − 21x

1
x − 5x + 6
2

34.

2
2−x

5
6x 2

21.

1
3x
+
x −3
5−x

35.

22.

6x − 1 + x + 3

36.

23.

x 2 − 3x + 7

24.

3x − 12

25.
26.

27.

28.
29.
30.

x +1
5− x

2x − 5x + 3

20.

2

2x − 1

x −1 +

2

5. 2008 2 − x − 1
2008
x−4

31.

3

3

−3
1 − 3x

8

2x −1 − 3 3 − 5x

37.
3

4 x − x2 − 5 −

− 5x + 1

4

38.

7
7 + 2x 2

39.

3x 2 − 6

2
−7 + 3x

1

x−2

3x 2 + 2
5
x2
−1
3x + 5

40.

2 − 3x 2

41.

2x2 4
− x−5
2− x

42.

3x − 6 − 2 x
3
1− x


©DoLanAnh

Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán

©DoLanAnh

Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau

•
•
•
•

Bước
Bước
Bước
Bước

1:
2:
3:
4:

Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
Qui đồng mẫu thức (nếu có)
Đưa một biểu thức ra ngoài dấu căn
Rút gọn biểu thức

Dạng toán này rất phong phú vì thế cần rèn luyện nhiều để nắm được “mạch
bài toán” và tìm ra hướng đi đúng, tránh các phép tính quá phức tạp.

1. 3 2 − 4 18 + 2 32 − 50
2.
50 − 18 + 200 − 162
3. 5 5 + 20 − 3 45
4. 5 48 − 4 27 − 2 75 + 108
1
33
1
48 − 2 75 −
+5 1
5.
2
3
11
6. 3 12 − 4 27 + 5 48
7. 12 + 5 3 − 48
8. 2 32 + 4 8 − 5 18
9. 3 20 − 2 45 + 4 5
10. 2 24 − 2 54 + 3 6 − 150
11. 2 18 − 7 2 + 162
12. 3 8 − 4 18 + 5 32 − 50
13. 125 − 2 20 − 3 80 + 4 45
14. 2 28 + 2 63 − 3 175 + 112
1
50 − 32
15. 3 2 + 8 +
2
16. 3 50 − 2 12 − 18 + 75 − 8
17. 2 75 − 3 12 + 27
18. 12 + 75 − 27

19. 27 − 12 + 75 + 147
20. 2 3 + 48− 75− 243
8
32
18
21. 6
−5
+ 14
9
25
49
16
1
4
22. 2
−3
−6
3
27
75
1
50 − 32
23. 3 2 + 8 +
5
24. 12 + 2 35

25.

5+2 6

26. 16 + 6 7
27.

31 − 12 3

28.

27 + 10 2

29. 14 + 6 5
30. 17 − 12 2
31.

7−4 3

32.

2+ 3

33.

8 − 28

34. 18 − 2 65
35.

9−4 5

36.

4−2 3

37.

7 + 24

38.

2− 3

39.

5+2 6 − 5−2 6

40.

9 − 4 5 − 9 + 80

41. 17 − 12 2 − 24 − 8 8
42.

3+ 2 2 − 6− 4 2

43.

8 + 2 15 -

8 − 2 15

44. 17 − 3 32 + 17 + 3 32

45.

6+2 5 + 6−2 5

46. 11 + 6 2 − 11 − 6 2
47. 15 − 6 6 + 33 − 12 6
48.

6−2 5 + 6+2 5


©DoLanAnh
49.

8 − 2 15 − 23 − 4 15

Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán


©DoLanAnh

Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán

Dạng 3: Rút gọn biểu thức
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ nếu đề bài chưa cho.
• Bước 2: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân
tử.
• Bước 3: Quy đồng mẫu thức

• Bước 4: Rút gọn

 x+2
x
1  x −1
:
+
+
1. A = 

2
 x x −1 x + x +1 1− x 
 2 x + x + 1  x − x 
1 −
 : (1 − x )
2. B = 
x + 1 
x − 1 

 x +1
x −1 8 x   x − x − 3
1 
:

−
−
−
3. B = 



x +1 x −1  x −1
x − 1 
 x −1
1   1
1 
1
 1
+
−
:
+
4. A = 
1− x 1+ x  1− x 1+ x  2 x
x
2 x
3x + 9
+
−
x +3
x −3 x −9
 x −4
3   x +2
:
−
−
6. A = 
 
x
 x−2 x 2− x  

A=

B=
A=
A=

x 

x − 2 

1
1
x3 − x
+
+
x −1 − x
x −1 + x
x −1
a +3
a −1 4 a − 4
−
+
8.
( a > 0 ; a ≠ 4)
4−a
a −2
a +2
1   1
1 
1

 1
+
−
9. A= 
÷: 
÷+
 1- x 1 + x   1 − x 1 + x  1 − x
10.
11.
12.

− x
2 x + x 2( x − 1)
−
+
x +1
x
x −1
x+x
1  
x +2 
:

−
x −1
x − 1   x + x + 1 
1
2− x 
 x
  x +1


A=
− x  : 
−
+
x
1 − x x − x 
 x −1
 
x2
x+
2
A = 
x
A=

)

x +1

A = x +1

5. A =

7. A =

(

4 x

4 x
x+4
3
2 x
3
x +3

A =1− x
A = x − 2 x −1
A=
A=

4
a −2

1
x (1 − x )

A = x − x +1
A=

1
x +2

A=

x
x +1

13.

A=

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
x + 2 x − 3 1− x
x +3

A=

2−5 x
x +3

14.

A=

x x +1 x −1
−
x −1
x +1

A=

x
x −1

15.


A = 1 −


A=

x −2
x

4
1  x−2 x
+
:
x + 1 x −1 x −1

2


©DoLanAnh
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.

27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.

Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán
A=

x
2 x
3x + 9
+
−
x +3
x −3 x−9

A=

 x −1
1
8 x   3 x −2
A = 
−
+
÷
÷:  1 − 3 x + 1 ÷

÷
9
x
−
1
3
x
−
1
3
x
+
1

 

x + 2 x − 10
x −2
1
Q=
−
−
x− x −6
x −3
x −2
1   x +2
x +1 
 1

A=

−
−
 : 
x −1   x −1
x − 2 
 x
 x x −1 x x + 1  
1  x + 1
x −1 
+ x −


E = 
−
+


 x −1

x
−
x
x
+
x
x
x
+
1







 x x +1 x −1  
x 
: x +

A = 
−
 

x
−
1
x
−
1
x
−
1

 

1
2−x 
 x
  x +1


A=
− x  : 
−
+
x
1 − x x − x 
 x −1
 
 x −4
3   x +2
x 
:

A = 
−
−
 

x
−
2
x
2
−
x
x
x
−
2


 


A=

A=

1
1
x3 − x
+
+
x −1 − x
x −1 + x
x −1

x   x +3
x +2
x +2 
:

A = 1 −
−
+
  x − 2 3− x x −5 x + 6 
1
+
x

 


 x +1 x − 2 x − 3   x + 3
2 
:
A = 
−
+

  x −1
x
−
1
x
−
1
x
+
1



 1
  1
2 x −2
2 
:
A = 
−
−
  x − 1 x − 1 

x
+
1
x
x
−
x
+
x
−
1


 2x + 1
1  
x+4 
 : 1 −
A = 
−


3
x −1  x + x +1
 x −1
A=

x +3
+
x +5

Q=

1
x +2

A=

x −2
3 x

2( x + x + 1)
x
A=

2− x
x

A=

x
x +1

A=

P=

2 a −9
a + 3 2 a +1
−
−

a−5+6
a −2 3− a
 x−5 x
 
25 − x
A = 
− 1 : 
−
 x − 25
  x + 2 x − 15

3 x − 13 x
9 x −3

A =1− x

1  
x−2 
 2x +1
A=
+
 : 1 −

 x x −1 1 − x   x + x +1
x+2 x −2
x −1
1 

A = 1 : 
−

+
x − x +1
x + 1 
 x x +1

x
3
3 x −2  x +3
2 x 
:

A = 
−
+
+


x − 2   x − 2 2 x − x 
 x +2 2− x
 4 x
8   x −1
2 
:

P = 
+
−


x 

2+ x 4− x  x−2 x

x −5

x − 3 

3
x +3

A=

x
x +3

x − x +1
x
A=

x +2
x +1

A=

4x
3− x

A = x − 2 x −1
A=

x −2

x +1

A=

4
x +1

A=

x −1
x +1

A=

x
x +3

A=

a +1
a −3

A=

5
3+ x


©DoLanAnh
35.

36.
37.
38.
39.

Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán
 x−3 x
  9− x
x −3
x −2

A = 
− 1 : 
−
−

x
−
9
x
+
x
−
6
2
−
x
x
+
3


 

 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
:

A = 
+
−
  x − 3 − 1
x
−
9
x
+
3
x
−
3

 

a +3
a −1 4 a − 4
−
+
4−a
a −2

a +2
 x x − 1 x x + 1  2( x − 2 x + 1)
:
A = 
−

x −1
x
−
x
x
+
x


 2x + 1
1   1
2 
:
A = 
−
−

3
x − 1   x − 1 x − 1 
 x −1
A=

a +2
5

1
−
+
a +3 a+ a −6 2− a

A=

3
x −2

A=

−3
x +3

A=

4
a −2

A=

x +1
x −1

A=

x
x −3

A=

a −4
a −2

40.

A=

41.

2
2x − x 
 1
 

A=
−
 :2 −
x + 1 
 x +1 x x + x + x + 1 

A=

x −1
2+ x

42.

 x+2 x −7

x −1   1
:
A = 
+
−
x−9
3 − x   x + 3


A=

x −1
x −3

1 

x −1

Dạng 4: Rút gọn và các điều kiện ràng buộc biểu thức
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau
• Để tính giá trị của biểu thức biết x = a ta rút gọn biểu thức rồi thay
x = a vào biểu thức vừa rút gọn.
• Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của biểu thức A ta giải phương
trình A = x

Lưu ý: Tất cả mọi tính toán, biến đổi đều dựa vào biểu thức đã rút
gọn.

1. Cho biểu thức : P =

a)
b)

a+ 2

−

5

a + 3 a+ a − 6

+

1
2− a

Rút gọn P
Tìm giá trị của a để P < 1

x   x+ 3
x+ 2
x+ 2 
:
+
+
2. Cho biểu thức: P =  1−
÷
÷

÷

x + 1÷

  x − 2 3− x x− 5 x + 6
a)
Rút gọn P
b)
Tìm giá trị của a để P < 0
 x−1
1
8 x   3 x − 2
−
+
: 1−
3. Cho biểu thức: P = 
÷
÷  3 x + 1÷
÷
9x
−
1
3
x
−
1
3
x
+
1

 


a)
Rút gọn P


©DoLanAnh

Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán
b)

Tìm các giá trị của x để P =

6
5



a  1
2 a
:
−
4. Cho biểu thức: P =  1+
÷
÷
÷
÷
 a+ 1  a − 1 a a + a − a− 1
a)
Rút gọn P
b)

Tìm giá trị của a để P < 1
c)
Tìm giá trị của P nếu a = 19− 8 3
5. Cho biểu thức: P =

a)
b)
6. Cho biểu
a)
b)
7. Cho biểu

a)
b)
8. Cho biểu
a)
b)
9. Cho biểu

a)
b)
10. Cho biểu
a)
b)

  1+ a3

a(1− a)2  1− a3
: 
+ a ÷.

− a ÷
÷  1+ a
÷
1+ a
 1− a



Rút gọn P
1
Xác định dấu của biểu thức M = a.(P- )
2
 x+1
2x + x  
x+1
2x + x 
+
− 1÷:  1+
−
thức: P = 
÷
÷
2x − 1
2x + 1
2x − 1 ÷
 2x + 1
 

Rút gọn P
1

Tính gía trị của P khi x = . 3+ 2 2
2

2 x
1  
x
−
:  1+
thức: P = 
÷
÷
÷
÷
 x x + x − x− 1 x − 1  x+ 1
Rút gọn P
Tìm x để P ≤ 0

 2a+ 1
a   1+ a3
.
− a÷
thức: P =  3 −
÷
÷
÷
 a − 1 a+ a + 1  1+ a

Rút gọn P
Xác định dấu của: P. 1− a
 x+ 2

x+1
x + 1
+
−
.
thức: P = 1: 
÷
÷
 x x − 1 x + x + 1 x− 1 
Rút gọn P
So sánh P với 3
 1− a a
  1+ a a

+ a ÷.
− a÷
thức: P = 
÷  1+ a
÷
 1− a



(

)

Rút gọn P
Tìm a để P < 7− 4 3
 2 x

x
3x+ 3  2 x − 2 
+
−
:
−1
11. Cho biểu thức: P = 
÷
÷  x − 3 ÷
÷
x
−
9
x
+
3
x
−
3

 

a)
Rút gọn P
1
b)
Tìm x để P <
2
c)
Tìm giá trị nhỏ nhất(GTNN) của P

©DoLanAnh

Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán
 x− 3 x   9− x
x− 3
x − 2
− 1÷: 
−
−
P = 
÷
÷  x+ x − 6 2− x
x + 3÷
 x− 9
 

Rút gọn P
Tìm gía trị của của x để P < 1

12. Cho biểu thức:
a)
b)

13. Cho biểu thức : P =

15 x − 11

3 x− 2 2 x+ 3

−
x+ 2 x − 3 1− x
x+ 3
+

a)

Rút gọn P

b)

Tìm các giá trị của x để P=

c)

Chứng minh P ≤

14. Cho biểu thức: P=

a)
b)

1
2

2
3

x
m2

+
−
2
x + m x − m 4x− 4m

2 x

với m > 0

Rút gọn P
Tính x theo m để P = 0.

c)
Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thỏa mãn
điều kiện x > 1
a2 + a 2a+ a
−
+1
15. Cho biểu thức: P =
a− a + 1
a
a)
Rút gọn P
b)
Biết a > 1 Hãy so sánh P với P
c)
Tìm a để P = 2
d)
Tìm giá trị nhổ nhất của P
 a+1

ab + a   a + 1
ab + a 
+
− 1÷: 
−
+ 1÷
16. Cho biểu thức: P = 
÷  ab + 1
÷
ab
+
1
ab
−
1
ab
−
1

 

a)
Rút gọn P
3 −1
b)
Tính gía trị của P nếu a = 2− 3 và b =
1+ 3
c)
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a + b = 4
a a−1 a a+1 

1   a + 1 a − 1
−
+  a−
+
÷
÷
a− a a+ a 
a   a − 1 a + 1÷

a) Với giá trị nào của a thì P = 7
b) Với giá trị nào của a thì P > 6

17. Cho biểu thức : P =

2

 a
1   a − 1 a + 1
18. Cho biểu thức: P = 
−
−
 2 2 a÷
÷  a + 1 a − 1÷
÷

 

a) Tìm các giá trị của a để P < 0
b) Tìm các gía trị của a để P = -2
19. Cho biểu thức:

P= (

)

2

a − b + 4 ab a b − b a
.
a+ b
ab

a) Rút gọn P
b) Tính gía trị của P khi a = 2 3 và b = 3


©DoLanAnh

Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán

 x+ 2
x
1  x−1
+
+
:
20. Cho biểu thức: P = 
÷
÷ 2
x

x
−
1
x
+
x
+
1
1
−
x


a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P > 0 ∀ x ≠ 1
 2 x+ x
1  
x+ 2 
−
:  1−
21. Cho biểu thức: P = 
÷
÷  x+ x + 1÷
÷
x
x
−
1
x
−

1

 

a) Rút gọn P
b) Tính P khi x= 5 + 2 3
3x


 1
÷
2
1
+ 2 −
22. Cho biểu thức: P = 1: 
÷:
 2+ x 4− x 4− 2 x ÷ 4− 2 x


a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 20
 2a+ a − 1 2a a − a + a  a− a
−
23. Cho biểu thức: P = 1+ 
÷.
1− a a ÷
 1− a
 2 a−1
6
a) Cho P=

tìm giá trị của a
1+ 6
2
b) Chứng minh rằng P >
3
 x− 5 x   25− x
x+ 3
x − 5
− 1÷: 
−
+
24. Cho biểu thức: P = 
÷
÷  x+ 2 x − 15
x+ 5
x − 3÷
 x− 25
 


a)
b)

Rút gọn P
Với giá trị nào của x thì P < 1

(

)


3 a
3a
1  ( a− 1) . a − b
25. Cho biểu thức P = 
−
+
:
÷
 a+ ab + b a a − b b
÷ 2a+ 2 ab + 2b
a
−
b


a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
 1
1   a + 1 a + 2
−
−
26. Cho biểu thức P = 
÷
÷: 
a− 1 ÷
 a − 1 a   a − 2

a)
Rút gọn P

1
b)
Tìm giá trị của a để P >
6

x+ 2
x − 2 x + 1
−
.
27. Cho biểu thức : Q = 
÷
÷
x
 x+ 2 x + 1 x− 1 
Tìm x để Q > Q
Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
1
x
+
28. Cho biểu thức P =
x+ 1 x− x
a)
Rút gọn P.
1
b)
Tính giá trị của biểu thức P khi x =
2
a)
b)

©DoLanAnh

Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán

a)

x x + 1 x− 1
−
x− 1
x+1
Rút gọn biểu thức

b)

Tính giá trị biểu thức A khi x =

c)
d)

Tìm x để A < 0.
Tìm x để A = A

29. Cho biểu thức: A =

 1
1 
3
+
30. Cho biểu thức: A = 

÷ 1−
÷
a + 3
a
 a− 3
a)
Rút gọn biểu thức A
1
b)
Xác định a để A > .
2

(

1
4

)

 x x − 1 x x + 1 2 x− 2 x + 1
31. Cho biểu thức: A = 
−
:
 x− x x + x ÷
÷
x− 1


a)
Rút gọn biểu thức A.

b)
Tìm x để A < 0
 x+ 2
x
1  x−1
+
+
:
32. Cho biểu thức: A = 
÷
÷ 2
x
x
−
1
x
+
x
+
1
1
−
x


a)
Rút gọn biểu thức A.
b)
Chứng minh rằng: 0 < A < 2
a+ 3

a−1 4 a− 4
−
+
33. Cho biểu thức: A =
4− a
a− 2
a+ 2
a)
Rút gọn biểu thức A.
b)
Tính gía trị của P với a = 9
 a+ a  a− a 
1−
34. Cho biểu thức: A =  1+
÷
÷
÷
a
+
1
a − 1÷


a)
Rút gọn biểu thức A.
b)
Tìm gía trị của a để N = -2010