HSG chuan.doc

Sở GD&ĐT bắc ninh Đề thi olimpic môn toán
Trờng tHPT Lơng Tài 2 Năm học:2008-2009
Đề chính thức Ngày thi: 9 tháng 11 năm 2008
Thời gian làm bài 180 phút
Câu1(5điểm)
Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
+
=

(C )
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ).
2) Chứng minh rằng phơng trình:
( )
2 2
1 1 49x x x x + =
có đúng 2 nghiệm.
3) Gọi (C) là đồ thị đối xứng với (C) qua điểm A= (3;4) .
Tìm phơng trình của đồ thị (C).
Câu2 (4điểm)
1) CMR: Tam giác ABC cân nếu :
3 3
cos sin cos sin
2 2 2 2
A B B A
=

2) Giải phơng trình :
3
3
3
6 6 6x x + + =
Câu 3 (4điểm)
1) Cho tổng :
1 1 1 1 2
..... .....
1!2005! 3!2003! 1003!1003! 2005!1! !
a
S
b
= + + + + =
Tìm a =? b = ?

2) Cho tam giác ABC nhọn và có 3 góc là A;B;C.
CMR:
( )
2 2 2
2 2 2
2
3
a b c
m m m
A B C
R
+ +
< + +

.
Câu 4 (5điểm)
1)Cho tam giác ABC đều cạnh a .Trên đờng thẳng d vuông góc với (ABC) tại A
lấy điểm M ( khác A). Gọi H;K là trực tâm của tam giác ABC và MBC.
Tìm giá trị lớn nhất của
.K ABC
V
= ? Tính AM = ? ( Khi M thay đổi trên d).

2)Cho mặt phẳng (P) có phơng trình: 2x-2y+z-3 = 0 và A=(1 ;2 ;-1);B=(-1 ;-2 ;4).
Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho
MA MB
lớn nhất.
Câu5 (2điểm)
Cho
( )
1 2008f =
và
( ) ( )
( )
3
1
1
1
n n
f n f n
n n
+ +
+ = +
+

với
*n N
Tìm
( )
?f n =
HếT.. ..
Đề này gồm 01 trang. Giám thị coi thi không cần giải thích gì thêm.
1
Đáp áN
Câu1( 5 điểm)
1)(2 điểm) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị (C ).
+) TXĐ:
{ }
\ 1R
y
+)
( )
2
2
2
'
1
x x
y
x

=


+)Cực trị :

' 0y
=

2
0
x
x
=
=





3
1
y
y
=
=


x


2 điểm cực trị là : M(2;3) ;N(0;-1)
+) Tìm tiệm cận -Tiệm cận đứng x=1;Tiệm cận xiên y=x
+) BBT
+) Vẽ tìm giao Ox; Oy ( Không cần thứ tự các bớc )
2)(2điểm) Chứng minh rằng phơng trình:

( )
2 2
1 1 49x x x x + =
có đúng 2
nghiệm .
+) Nhận xét x=1 không là nghiệm
+) Đặt
2
1
1
x x
y
x
+
=

(C ) và
2
49y x=
(
0y
)(1)
+) (C ) có 2 điểm cực trị M(2;3) N(0;1)
(1)
( )
2 2
25 0x y y+ =
nửa (O;5) nằm trên Ox
+) Ta có
( ) ( )

2;3 ;5M O
(nửa (O;5) nằm trên Ox)
+) KL :Đpcm
3)(1điểm) Gọi (C) là đồ thị đối xứng với (C) qua điểm A= (3;4) .
Tìm phơng trình của đồ thị (C).
Gọi B(x ;y) trên (C ) và B(x;y) trên (C) đối xứng với (C) qua điểm A= (3;4)
Ta có x+x=6 x=6-x


y+y=8 y=8-y Thay vào (C )
Ta có
( ) ( )
2
2
6 ' 6 ' 1
' 11 ' 31
8 '
6 ' 1 5 '
x x
x x
y
x x
+
+
= =




2 2

' 11 ' 31 9 3 ' '
' 8
5 ' 5 '
x x x x
y
x x
+ +
= =

KL :
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 2(4điểm)

0,5
0,5
2
0,5
0,5
Đáp áN
Câu 3(4điểm)
1)(2điểm) +)Ta có S.2006!=

1 3 2005
2006 2006 2006
........C C C+ +
+) Ta có:
1 3 2005 2005
2006 2006 2006
........ 2C C C+ + =
0 1 2 3 2005 2006 2006
2006 2006 2006 2006 2006 2006
.... 2C C C C C C+ + + + + + =
+) suy ra
+) KL: a =2005 ; b =2006!
2(2điểm) +)Xét
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
3
4
sin sin sin
3 3
a b c
a b c
m m m
T A B C
R R
+ +
+ +
= = = + +

+) CMR: sinx < x với
0;
2
x



ữ


Suy ra
2 2 2
T A B C< + +
Đpcm.
0,5
0,5
0,5
0.5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 5(2điểm)
Cho tam giác ABC nhọn và có 3 góc là A;B;C.
CMR:
( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
4

3
a b c
m m m
A B C A B C
R

+ +
+ + < < + +
.
+)Xét
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
3
4
sin sin sin
3 3
a b c
a b c
m m m
T A B C
R R
+ +
+ +
= = = + +
+) CMR: sinx < x với
0;
2

x



ữ


Suy ra
2 2 2
T A B C< + +
Đpcm.
+) CMR:
2
sin 0;
2
x x x




>

ữ



Suy ra
2 2 2
2
4

( )T A B C

> + +
Đpcm.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu4(5điểm)
2(2,5điểm) +) CMR : A;B khác phía bờ(P) A
+)Tìm A đối xứng với A qua (P). A= (
25 2 7
; ;
13 13 13
) M M ?
+)
' 'MA MB MA MB BA =

+)
( )
max
' 'MA MB BA M P BA = =
A
+)Phơng trình BA : B
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

3
+) Suy ra to¹ ®é M= ?

4