Bài giảng Kỹ thuật số - Chương 2.b

Bi ging K Thût Säú Trang 12
Chỉång 2

ÂẢI SÄÚ BOOLE

2.1. CẠC TIÃN ÂÃƯ V ÂËNH L ÂẢI SÄÚ BOOLE
2.1.1. Cạc tiãn âãư
Cho mäüt táûp håüp B hỉỵu hản trong âọ ngỉåìi ta trang bë cạc phẹp toạn
+ (cäüng logic), x (nhán logic), - (b logic ) v hai pháưn tỉí 0 v 1 láûp
thnh mäüt cáúu trục âải säú Boole.

∀x,y ∈ B thç: x + y ∈ B, x*y ∈ B tha mn 5 tiãn âãư sau:

2.1.1.1. Tiãn âãư giao hoạn
∀x,y ∈ B: x + y = y + x
2.1.1.2. Tiãn âãư phäúi håüp

∀x,y,z ∈ B: (x + y) + z = x + ( y + z ) = x + y + z
(x. y).z = x.(y. z) = x.y.z
2.1.1.3. Tiãn âãư phán phäúi
∀x,y, z ∈ B: x.(y + z ) = x.y + x.z
x + (y.z) = (x + y)(x + z)
2.1.1.4. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí trung ha
Trong táûp B täưn tải hai pháưn tỉí trung ha âọ l pháưn tỉí âån vë v
pháưn tỉí 0, pháưn tỉí âån vë k hiãûu l 1, pháưn tỉí 0 k hiãûu l 0.
∀x ∈ B: x + 1 = 1
x . 1 = x
x + 0 = x
x . 0 = 0
2.1.1.5. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí b
∀x ∈ B, bao giåì cng täưn tải pháưn tỉí b tỉång ỉïng sao cho ln

tha mn:
x +
x
= 0
Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 13
x.
x
= 0
Nãúu B = B* = {0, 1} v tha mn 5 tiãn âãư trãn thç cng láûp thnh
cáúu trục âải säú Boole nhỉng l cáúu trục âải säú Boole nh nháút.

2.1.2. Cạc âënh l
2.1.2.1 Váún âãư âäúi ngáùu trong âải säú Boole
Hai mãûnh âãư (hai biãøu thỉïc, hai âënh l) âỉåüc gi l âäúi ngáùu våïi
nhau nãúu trong mãûnh âãư ny ngỉåìi ta thay phẹp toạn cäüng thnh phẹp
toạn nhán v ngỉåüc lải,thay 0 bàòng 1 v ngỉåüc lải thç s suy ra âỉåüc
mãûnh âãư kia.
Khi hai mãûnh âãư âäúi ngáùu våïi nhau, nãúu 1 trong 2 mãûnh âãư âỉåüc
chỉïng minh l âụng thç mãûnh âãư cn lải l âụng.

Vê dủ: x.(y + z ) = ( x. y) + ( x. z )
x + (y. z ) = ( x + y )( x + z )
Vê dủ: x +
x
= 1
x.
x
= 0
2.1.2.2. Cạc âënh l
a. Âënh l vãư pháưn tỉí b l duy nháút

∀x, y ∈ B:
xy
0 x.y
1yx
=⇒
=
=+
⎭
⎬
⎫

∀x ∈ B:
x + x +. . . . . + x = x
x. x. x. . . . . . x = x
b. Âënh l De Morgan
∀x, y, z ∈ B, ta cọ:
zyx ..=++ zyx

zyxx.y.z ++=

∀x ∈ B, ta cọ:
x
= x
∀x, y, z ∈ B, ta cọ:

Bi ging K Thût Säú Trang 14
x + y + z =
zyx ++
=
z.y.x

x. y. z =
x.y.z
=
zyx ++

∀x, y ∈ B, ta cọ:
x. (
x
+ y) = x.y
x + (
x
. y) = x + y
∀x, y ∈ B, ta cọ:
x + x. y = x
x.(x + y) = x
Våïi 0, 1 ∈ B, ta cọ:
0
= 1 v
1
= 0
2.2. HM BOOLE V CẠC PHỈÅNG PHẠP BIÃØU DIÃÙN
2.2.1. Hm Boole
2.2.1.1. Âënh nghéa
Hm Boole l mäüt ạnh xả Boole tỉì âải säú Boole vo chênh nọ. Tỉïc
l ∀x, y ∈ B âỉåüc gi l biãún Boole thç hm Boole, k hiãûu l f, âỉåüc
hçnh thnh trãn cå såí liãn kãút cạc biãún Boole bàòng cạc phẹp toạn +
(cäüng logic ), x (nhán logic ), hồûc nghëch âo logic (-). Hm Boole
âån gin nháút l hm Boole theo 1 biãún Boole.
K hiãûu: f(x) = x

f(x) =
x

f(x) = α (α: l hàòng säú )
Trong trỉåìng håüp täøng quạt, ta cọ hm Boole theo n biãún Boole
âỉåüc k hiãûu nhỉ sau: f(x
1
, x
2
,. . . . . ., x
n
)
2.2.1.2. Cạc tênh cháút ca hm Boole
Nãúu f(x
1
, x
2
, ..., x
n
) l mäüt hm Boole thç:
+ α.f(x
1
, x
2
, ..., x
n
) cng l mäüt hm Boole.
+
f
(x

1
, x
2
, ..., x
n
) cng l mäüt hm Boole.
Nãúu f
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) v f
2
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) l nhỉỵng hm Boole thç:
+ f
1
(x
1
, x
2
, ..., x

n
) + f
2
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) cng l mäüt hm Boole.
+ f
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
).f
2
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) cng l mäüt hm Boole.
Chổồng 2. aỷi sọỳ BOOLE Trang 15
Vỏỷy, mọỹt haỡm Boole f cuợng õổồỹc hỗnh thaỡnh trón cồ sồớ lión kóỳt caùc
haỡm Boole bũng caùc pheùp toaùn + (cọỹng logic), x (nhỏn logic) hoỷc

nghởch õaớo logic (-).

2.2.1.3. Giaù trở cuớa haỡm Boole
Goỹi f (x
1
, x
2
, ..., x
n
) laỡ mọỹt haỡm Boole theo bióỳn Boole.
Trong f ngổồỡi ta thay caùc bióỳn x
i
bũng caùc giaù trở cuỷ thóứ
i
(i =
n1,
)
thỗ haỡm f (
1
,
2
,
3
,...,
n
) õổồỹc goỹi laỡ giaù trở cuớa haỡm Boole theo n
bióỳn.

Vờ duỷ: Xeùt haỡm f(x
1

, x
2
) = x
1
+ x
2
Xeùt B = B* ={0,1}
x
1
x
2
f(x
1
, x
2
)
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
Nóỳu x
1

= x
2
=0 f(0,0) = 0

Nóỳu x
1
= 0, x
2
= 1 f(0,1) = 1

Nóỳu x
1
= 1, x
2
= 0 f(1,0) = 1

Nóỳu x
1
= 1, x
2
= 1 f(1,1) = 1

Ta lỏỷp õổồỹc baớng giaù trở cuớa haỡm trón.


Vờ duỷ:

f (x
1
, x

2
, x
3
) = x
1
+ x
2
.x
3
Xeùt B = B* = {0,1 }
Baớng giaù trở cuớa haỡm:



x
1
x
2
x
3
f (x
1
, x
2
, x
3
)
0
0
0

0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 16

2.2.2. Caùc phổồng phaùp bióứu dióựn haỡm Boole
2.2.2.1. Phổồng phaùp baớng
Laỡ phổồng phaùp thổồỡng duỡng õóứ bióứu dióựn haỡm sọỳ noùi chung.
Phổồng phaùp naỡy gọửm mọỹt baớng õổồỹc chia laỡm hai phỏửn:
- Mọỹt phỏửn daỡnh cho bióỳn õóứ ghi caùc tọứ hồỹp giaù trở coù thóứ coù cuớa
bióỳn.
- Mọỹt phỏửn daỡnh cho haỡm õóứ ghi caùc giaù trở cuớa haỡm ra tổồng ổùng
vồùi caùc tọứ hồỹp cuớa caùc bióỳn vaỡo.

2.2.2.2. Phổồng phaùp giaới tờch
Laỡ phổồng phaùp bióứu dióựn haỡm Boole dổồùi daỷng tọứng caùc tờch sọỳ,
hoỷc dổồùi daỷng tờch cuớa caùc tọứng sọỳ. Daỷng tọứng cuớa caùc tờch sọỳ goỹi laỡ
daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt,
coỡn daỷng tờch cuớa caùc tọứng laỡ
daỷng chờnh từc
thổù hai
cuớa haỡm Boole, vaỡ hai daỷng chờnh từc naỡy laỡ õọỳi ngỏựu nhau.
a. Daỷng chờnh từc 1(Daỷng tọứng cuớa caùc tờch sọỳ)
Xeùt caùc haỡm Boole õồn giaớn sau õỏy: f(x) = x, f(x) =
x
, f(x) = .
Xeùt f(x) = x:
Ta coù: x =0.
x
+ 1. x
mỷt khaùc:
()
()
()

=
=
=
00f
11f
xxf

suy ra f(x) = x coù thóứ bióứứu dióựn:
f(x) = x = f(0).
x
+ f (1).x
trong õoù: f (0), f (1) õổồỹc goỹi laỡ giaù trở cuớa haỡm Boole theo mọỹt bióỳn.

Xeùt f(x) =
x
:
Ta coù:
x
= 1.
x
+ 0. x
Mỷt khaùc:
()
()
()

=
=
=
10f
01f
xxf

Suy ra: f(x) =
x
coù thóứ bióứu dióựn:
f(x) =
x
= f(0).
x
+ f(1).x

Chổồng 2. aỷi sọỳ BOOLE Trang 17
Xeùt f(x) = :
Ta coù: = .1 = (x +
x
) =
x
. + .x
Mỷt khaùc:
()
()
()

=
=
=



0f
1f
xf

Suy ra f(x) = coù thóứ õổồỹc bióứu dióựn:
f(x) = = f(0).
x
+ f(1).x
Kóỳt luỏỷn:
Duỡ laỡ f(x) = x, f(x) =
x
hay f(x) = , ta õóửu coù daỷng:
f(x) = f(0).
x
+ f(1).x
Vỏỷy f(x) = f(0).
x
+ f(1).x trong õoù f (0), f (1) õổồỹc goỹi laỡ giaù trở cuớa
haỡm Boole theo mọỹt bióỳn, õổồỹc goỹi laỡ
daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt
(daỷng
tọứng cuớa caùc tờch) theo mọỹt bióỳn.

Trong trổồỡng hồỹp hai bióỳn f(x

1
, x
2
) thỗ caùch bióứu dióựn cuợng hoaỡn
toaỡn dổỷa trón caùch bióứu dióựn cuớa daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt theo 1 bióỳn
(trong õoù xem mọỹt bióỳn laỡ hũng sọỳ).
Ta coù:
f(x
1
, x
2
) = f(0, x
2
).
x
1
+ f(1,x
2
).x
1
maỡ: f(0, x
2
) = f(0,0 ).
x
2
+ f(0,1).x
2
vaỡ: f(1, x
2
) = f(1,0).

x
2
+ f(1,1). x
2
Suy ra:
f(x
1
, x
2
) = f(0,0)
x
1
x
2
+ f(0, 1)
x
1
x
2
+ f(1,0 )x
1
x
2
+ f(1,1)x
1
x
2

Vỏỷy:
2

2
1
1
2
2
1
x)x,(
12
0e
f


),(
21


=
=xxf
trong õoù e laỡ sọỳ thỏỷp phỏn tổồng ổùng vồùi maợ (
1
,
2
) vaỡ:

x
1
nóỳu
1
= 1

x
1
nóỳu
1
= 0
=

1
1
x


x
2
nóỳu
2
= 1

x
2
nóỳu
2
= 0
2
=

2
x